Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil I/Test 5/Klausur

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
Punkte 4 4 5 5 3 3 8 4 3 2 6 5 3 2 3 4 64



Aufgabe * (4 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Die Stetigkeit in einem Punkt einer Abbildung .
  2. Die gleichmäßige Stetigkeit einer Funktion

    auf einer Teilmenge .

  3. Das Cauchy-Produkt von zwei komplexen Reihen.
  4. Die Exponentialreihe zu einer komplexen Zahl .
  5. Die Supremumsnorm einer Funktion

    auf einer Menge .

  6. Der natürliche Logarithmus
  7. Die Ableitungsfunktion zu einer differenzierbaren Funktion
  8. Die Zahl (gefragt ist nach der analytischen Definition).


Aufgabe * (4 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Satz über die Anzahl von Nullstellen eines Polynoms über einem Körper .
  2. Der Zwischenwertsatz.
  3. Die Kettenregel für differenzierbare Abbildungen.
  4. Der Mittelwertsatz der Differentialrechnung.


Aufgabe * (5 (2+3) Punkte)

Es seien

Funktionen.

a) Zeige die Gleichheit

b) Zeige durch ein Beispiel, dass die Gleichheit

nicht gelten muss.


Aufgabe * (5 Punkte)

Zeige, dass die Funktion
mit
nur im Nullpunkt stetig ist.


Aufgabe * (3 Punkte)

Gibt es eine reelle Zahl, die in ihrer vierten Potenz, vermindert um das Doppelte ihrer dritten Potenz, gleich dem Negativen der Quadratwurzel von ist?


Aufgabe * (3 Punkte)

Es seien

stetige Funktionen mit und . Zeige, dass es einen Punkt mit gibt.


Aufgabe * (8 Punkte)

Beweise den Satz über das angenommene Maximum einer Funktion


Aufgabe * (4 Punkte)

Berechne das Cauchy-Produkt bis zur vierten Potenz der geometrischen Reihe mit der Exponentialreihe.


Aufgabe * (3 Punkte)

Beweise die Produktregel für differenzierbare Funktionen unter Verwendung der Regel

mit Hilfe von


Aufgabe * (2 Punkte)

Bestimme die Ableitung der Funktion


Aufgabe * (6 (1+1+2+2) Punkte)

Es sei und .

a) Bestimme die Ableitung von und von .

b) Berechne die Hintereinanderschaltung .

c) Bestimme die Ableitung von direkt.

d) Bestimme die Ableitung von mittels der Kettenregel.


Aufgabe * (5 Punkte)

Wir betrachten eine Funktion der Form

wobei und lineare Polynome seien. Zeige durch Induktion, dass für die Ableitungen () die Beziehung

gilt.


Aufgabe * (3 Punkte)

Zeige, dass die Funktion streng wachsend ist.


Aufgabe * (2 Punkte)

Zeige, dass der natürliche Logarithmus eine konkave Funktion ist.


Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme die Taylor-Reihe der Funktion im Punkt bis zur Ordnung (man gebe also das Taylor-Polynom vom Grad zum Entwicklungspunkt an, wobei die Koeffizienten in einer möglichst einfachen Form angegeben werden sollen).


Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme die lokalen und globalen Extrema der Funktion

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