Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil I/Test 5/Klausur mit Lösungen

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
Punkte 4 4 5 5 3 3 8 4 3 2 6 5 3 2 3 4 64



Aufgabe * (4 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Die Stetigkeit in einem Punkt einer Abbildung .
  2. Die gleichmäßige Stetigkeit einer Funktion

    auf einer Teilmenge .

  3. Das Cauchy-Produkt von zwei komplexen Reihen.
  4. Die Exponentialreihe zu einer komplexen Zahl .
  5. Die Supremumsnorm einer Funktion

    auf einer Menge .

  6. Der natürliche Logarithmus
  7. Die Ableitungsfunktion zu einer differenzierbaren Funktion
  8. Die Zahl (gefragt ist nach der analytischen Definition).

Lösung

  1. Man sagt, dass stetig im Punkt ist, wenn es zu jedem ein derart gibt, dass für alle mit die Abschätzung gilt.
  2. Die Funktion heißt gleichmäßig stetig, wenn es zu jedem ein gibt mit folgender Eigenschaft: Für alle mit ist .
  3. Zu zwei Reihen und komplexer Zahlen heißt die Reihe

    das Cauchy-Produkt der beiden Reihen.

  4. Die Exponentialreihe in ist die Reihe
  5. Man nennt

    die Supremumsnorm von .

  6. Der natürliche Logarithmus

    ist als die Umkehrfunktion der reellen Exponentialfunktion definiert.

  7. Die Ableitungsfunktion ist die Abbildung

    die jedem Punkt die Ableitung von an der Stelle zuordnet.

  8. Es sei die eindeutig bestimmte reelle Nullstelle der Kosinusfunktion auf dem Intervall . Die Kreiszahl ist definiert durch


 

Aufgabe * (4 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Satz über die Anzahl von Nullstellen eines Polynoms über einem Körper .
  2. Der Zwischenwertsatz.
  3. Die Kettenregel für differenzierbare Abbildungen.
  4. Der Mittelwertsatz der Differentialrechnung.

Lösung

  1. Ein von verschiedenes Polynom vom Grad besitzt maximal Nullstellen.
  2. Seien reelle Zahlen und sei eine stetige Funktion. Es sei eine reelle Zahl zwischen und . Dann gibt es ein mit .
  3. Seien und [[{{:MDLUL/{{Expansion depth limit exceeded|dient dazu, einen bestimmten mathematischen Begriff, wie er in einem mathematischen Text vorkommt, auf die gemeinte Definition umzuleiten, um dadurch einen funktionierenden Link zu erzeugen.}}Start= {{Expansion depth limit exceeded|Siehe=
    MDLUL/
    Ziel=[[{{Expansion depth limit exceeded|opt=Ziel}}]]|Ziel=[[]]}}|opt=Ziel}}|offene Mengen]] in und seien

    und

    Funktionen mit . Es sei in [[{{:MDLUL/{{Expansion depth limit exceeded|dient dazu, einen bestimmten mathematischen Begriff, wie er in einem mathematischen Text vorkommt, auf die gemeinte Definition umzuleiten, um dadurch einen funktionierenden Link zu erzeugen.}}Start= {{Expansion depth limit exceeded|Siehe=
    MDLUL/
    Ziel=[[{{Expansion depth limit exceeded|opt=Ziel}}]]|Ziel=[[]]}}|opt=Ziel}}|differenzierbar]] und sei in differenzierbar. Dann ist auch die Hintereinanderschaltung

    in differenzierbar mit der Ableitung

  4. Sei und sei

    eine [[{{:MDLUL/{{Expansion depth limit exceeded|dient dazu, einen bestimmten mathematischen Begriff, wie er in einem mathematischen Text vorkommt, auf die gemeinte Definition umzuleiten, um dadurch einen funktionierenden Link zu erzeugen.}}Start= {{Expansion depth limit exceeded|Siehe=
    MDLUL/
    Ziel=[[{{Expansion depth limit exceeded|opt=Ziel}}]]|Ziel=[[]]}}|opt=Ziel}}|stetige]], auf differenzierbare Funktion. Dann gibt es ein mit


 

Aufgabe * (5 (2+3) Punkte)

Es seien

Funktionen.

a) Zeige die Gleichheit

b) Zeige durch ein Beispiel, dass die Gleichheit

nicht gelten muss.

Lösung

a) Die Gleichheit von Funktionen bedeutet die Gleichheit für jedes Argument. Für ist

was die Aussage beweist.

b) Wir nehmen für jeweils die Identität, also die Abbildung . Die Verknüpfung der Identität mit sich selbst ist wieder die Identität. Das Produkt der Identität mit sich selbst ist das Quadrieren . Daher ist in diesem Beispiel die Funktion

gleich der Quadrierungsfunktion. Die Funktion

hingegen ist die Hintereinanderschaltung des Quadrierens mit dem Quadrieren, und das ist die Abbildung .


 

Aufgabe * (5 Punkte)

Zeige, dass die Funktion
mit
nur im Nullpunkt stetig ist.

Lösung

Sei zunächst und vorgegeben. Dann kann man setzen, denn aus folgt wegen oder auch . Sei nun . Wir zeigen, dass man für kein mit der Abschätzungseigenschaft für die Stetigkeit finden kann. Sei hierzu vorgegeben und sei . Wenn rational ist, so wählen wir eine irrationale Zahl , wenn irrational ist, so wählen wir eine rationale Zahl . Im ersten Fall gilt

im zweiten Fall gilt

so dass in beiden Fällen die -Umgebung von nicht in die -Umgebung von abgebildet wird.


 

Aufgabe * (3 Punkte)

Gibt es eine reelle Zahl, die in ihrer vierten Potenz, vermindert um das Doppelte ihrer dritten Potenz, gleich dem Negativen der Quadratwurzel von ist?

Lösung

Es geht um eine reelle Lösung für die Gleichung

Für und ist , es kann also allenfalls in eine Lösung geben. Dazu bestimmen wir, wo die Funktion ihr Minimum annimmt. Für die Ableitung gilt

An den beiden Nullstellen und sind die Werte

und

Also ist das Minimum von größer als und es gibt keine Lösung.


 

Aufgabe * (3 Punkte)

Es seien

stetige Funktionen mit und . Zeige, dass es einen Punkt mit gibt.

Lösung

Wir betrachten

Diese Funktion ist nach Fakt ***** wieder stetig und es ist

und

Nach dem Zwischenwertsatz gibt es ein mit

also ist


 

Aufgabe * (8 Punkte)

Beweise den Satz über das angenommene Maximum einer Funktion

Lösung

Nach dem Zwischenwertsatz wissen wir, dass das Bild ein Intervall ist.

Wir zeigen zunächst, dass (nach oben und nach unten) beschränkt ist. Wir nehmen dazu an, dass nicht nach oben beschränkt ist. Dann gibt es eine Folge in mit . Nach Satz 7.7 besitzt eine konvergente Teilfolge. Da abgeschlossen ist, gehört der Grenzwert der Teilfolge zu . Wegen der Stetigkeit muss dann auch die Bildfolge konvergieren. Die Bildfolge ist aber unbeschränkt, so dass sie nach Lemma 5.7 nicht konvergieren kann, und sich ein Widerspruch ergibt.

Sei nun das Supremum von . Es gibt eine Folge in , die gegen das Supremum konvergiert. Nach Definition von gibt es eine Folge mit . Für diese Folge gibt es wieder nach Satz 7.7 eine konvergente Teilfolge. Es sei der Grenzwert dieser Teilfolge. Somit ist aufgrund der Stetigkeit und daher .


 

Aufgabe * (4 Punkte)

Berechne das Cauchy-Produkt bis zur vierten Potenz der geometrischen Reihe mit der Exponentialreihe.

Lösung

Die geometrische Reihe ist und die Exponentialreihe ist . Das Cauchy-Produkt von zwei Reihen ergibt sich einfach dadurch, dass man jeden Summanden mit jedem Summanden multipliziert und gleiche Potenzen aufsummiert. Daher können die Potenzen etc. ignoriert werden und es ist

Das Cauchy-Produkt bis zur vierten Potenz der beiden Reihen ist also


 

Aufgabe * (3 Punkte)

Beweise die Produktregel für differenzierbare Funktionen unter Verwendung der Regel

mit Hilfe von

Lösung

Es ist


 

Aufgabe * (2 Punkte)

Bestimme die Ableitung der Funktion

Lösung

Wir verwenden die Darstellung . Aufgrund der Quotientenregel und der Kettenregel ist


 

Aufgabe * (6 (1+1+2+2) Punkte)

Es sei und .

a) Bestimme die Ableitung von und von .

b) Berechne die Hintereinanderschaltung .

c) Bestimme die Ableitung von direkt.

d) Bestimme die Ableitung von mittels der Kettenregel.

Lösung

a) Nach der Quotientenregel ist

und

b) Es ist

c) Die Ableitung von

ist

d) Es ist


 

Aufgabe * (5 Punkte)

Wir betrachten eine Funktion der Form

wobei und lineare Polynome seien. Zeige durch Induktion, dass für die Ableitungen () die Beziehung

gilt.

Lösung

Zum Induktionsanfang betrachten wir , es geht also um die Funktion selbst. Wegen

ist die Formel für gerade richtig.

Wir beweisen nun nun die Formel für unter der Induktionsvoraussetzung, dass sie für alle kleinere Zahlen richtig ist. Sei zunächst ungerade, also gerade. Dann ist (unter Verwendung der Tatsache, dass die zweiten Ableitungen von und gleich sind)

so dass der Ausdruck für ungerade vorliegt.

Bei gerade, also ungerade, ist

so dass der Ausdruck für gerade vorliegt.


 

Aufgabe * (3 Punkte)

Zeige, dass die Funktion streng wachsend ist.

Lösung

Die Ableitung von ist
Wegen
ist , und da der Kosinus nur bei reellen Zahlen der Form () den Wert besitzt, besitzt nur dort eine Nullstelle. Nach Satz 19.5  (2) (angewendet auf ein beliebiges beschränktes Teilintervall) ist die Funktion streng wachsend.


 

Aufgabe * (2 Punkte)

Zeige, dass der natürliche Logarithmus eine konkave Funktion ist.

Lösung

Die Ableitung des natürlichen Logarithmus ist , das ist auf dem Definitionsbereich des Logarithmus eine fallende Funktion, also ist nach Satz 20.5 der Logarithmus konkav.


 

Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme die Taylor-Reihe der Funktion im Punkt bis zur Ordnung (man gebe also das Taylor-Polynom vom Grad zum Entwicklungspunkt an, wobei die Koeffizienten in einer möglichst einfachen Form angegeben werden sollen).

Lösung

Die erste Ableitung ist

Die zweite Ableitung ist

Die dritte Ableitung ist
Die vierte Ableitung ist

Das Taylor-Polynom vom Grad ist demnach

bzw.


 

Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme die lokalen und globalen Extrema der Funktion

Lösung

Die erste Ableitung ist

deren Nullstellen sind und . Die zweite Ableitung ist

so dass und ist. Daher liegt in ein (isoliertes) lokales Minimum mit dem Wert und in ein (isoliertes) lokales Maximum mit dem Wert vor. Da für sowohl als auch positiv sind, liegt in auch das globale Minimum vor. Für wächst die Funktion hingegen gegen , sodass in kein globales Maximum vorliegt.


 

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