Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil III/Arbeitsblatt 62/latex

\setcounter{section}{62}

\zwischenueberschrift{Aufwärmaufgaben}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathl{(M,d)}{} ein \definitionsverweis {metrischer Raum}{}{.} Zeige, dass in $M$ die sogenannte \stichwort {Hausdorff} {-}Eigenschaft gilt, d.h. zu je zwei verschiedenen Punkten \mathkor {} {x} {und} {y} {} gibt es \definitionsverweis {offene Mengen}{}{} \mathkor {} {U} {und} {V} {} mit
\mathdisp {x \in U \text{ und } y \in V \text{ und } U \cap V = \emptyset} { . }

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Zeige, dass in einem \definitionsverweis {Hausdorff-Raum}{}{} $X$ jeder Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x }
{ \in }{ X }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} \definitionsverweis {abgeschlossen}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $X$ ein \definitionsverweis {topologischer Raum}{}{} mit einer \definitionsverweis {abzählbaren Basis}{}{.} Zeige, dass dann auch jeder Unterraum
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Y }
{ \subseteq }{ X }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit der \definitionsverweis {induzierten Topologie}{}{} eine abzählbare Basis besitzt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $X$ ein \definitionsverweis {topologischer Raum}{}{} mit einer \definitionsverweis {abzählbaren Basis}{}{.} Zeige, dass es zu jeder Überdeckung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U }
{ = }{ \bigcup_{i \in I} U_i }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit \definitionsverweis {offenen Mengen}{}{} $U_i$ eine abzählbare Teilüberdeckung gibt.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei
\mathl{(X, {\mathcal T } )}{} ein \definitionsverweis {topologischer Raum}{}{} und sei
\mathl{{\mathcal A }}{} die davon erzeugte \definitionsverweis {Mengenalgebra}{}{.} Zeige, dass diese genau aus allen endlichen Vereinigungen
\mathdisp {(U_1 \cap A_1) \cup ( U_2 \cap A_2) \cup \ldots \cup (U_n \cap A_n)} { }
mit offenen Mengen
\mathl{U_1 , \ldots , U_n}{} und abgeschlossenen Mengen
\mathl{A_1 , \ldots , A_n}{} besteht.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathl{(M, {\mathcal A }, \mu)}{} ein \definitionsverweis {Maßraum}{}{.} Zeige, dass die Menge der \definitionsverweis {Nullmengen}{}{} von $M$ ein \definitionsverweis {Mengen-Präring}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathl{(M, {\mathcal A }, \mu)}{} ein \definitionsverweis {Maßraum}{}{.} Zeige, dass die Mengen
\mathdisp {{ \left\{ T \in {\mathcal A } \mid \mu(T) < \infty \right\} }} { , }
einen \definitionsverweis {Mengen-Präring}{}{,} aber im Allgemeinen keine \definitionsverweis {Mengen-Algebra}{}{} bilden.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei
\mathl{(X,{\mathcal B })}{} ein Messraum und $\mu$ und $\nu$ seien Maße darauf.

a) Ist die durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{(\mu+\nu)(T) }
{ \defeq} { \mu(T) + \nu(T) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T }
{ \in }{ {\mathcal B } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} definierte Abbildung ein Maß?

b) Ist die durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{(\mu * \nu)(T) }
{ \defeq} { {\max { \left( \mu(T) , \nu(T) \right) } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T }
{ \in }{ {\mathcal B } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} definierte Abbildung ein Maß?

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathl{(M, {\mathcal A }, \mu)}{} ein \definitionsverweis {Maßraum}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ c }
{ \in }{ \R_{\geq 0} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige, dass durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \lambda (T) }
{ \defeq} { c \mu(T) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} ein Maß auf $M$ definiert ist.\zusatzfussnote {Dieses Maß nennt man das mit $c$ \stichwort {umskalierte Maß} {}} {.} {} Diskutiere insbesondere die Teilmengen mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \mu(T) }
{ = }{ \infty }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathl{(M, {\mathcal A })}{} ein \definitionsverweis {Messraum}{}{,} der als abzählbare disjunkte Vereinigung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M }
{ =} { \bigcup_{i \in I} M_i }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ M_i }
{ \in }{ {\mathcal A } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gegeben ist. Es seien
\mathbed {\mu_i} {}
{i \in I} {}
{} {} {} {,} Maße auf
\mathl{(M_i, {\mathcal A }{{|}}_{M_i} )}{.} Zeige, dass es ein eindeutiges Maß $\mu$ auf $M$ derart gibt, dass die Einschränkungen von $\mu$ auf die
\mathl{(M_i, {\mathcal A }{{|}}_{M_i} )}{} mit $\mu_i$ übereinstimmen.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathl{(M, {\mathcal A })}{} ein \definitionsverweis {Messraum}{}{.} Wir nennen ein \definitionsverweis {Maß}{}{} auf $M$ \stichwort {explosiv} {,} wenn es lediglich die Werte \mathkor {} {0} {und} {\infty} {} annimmt.

a) Zeige, dass \zusatzklammer {für
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{ T }
{ \in }{ {\mathcal A } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{}} {} {} durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \gamma (T) }
{ =} { \begin{cases} 0, \text{ falls } T = \emptyset \, , \\ \infty, \text{ falls } T \neq \emptyset \, , \end{cases} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} ein Maß definiert ist.

b) Es sei $\mu$ ein Maß auf
\mathl{(M, {\mathcal A })}{.} Zeige, dass durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \lambda (T) }
{ =} { \begin{cases} 0, \text{ falls } \mu(T) = 0 \, , \\ \infty, \text{ falls } \mu(T) > 0 \, , \end{cases} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} ebenfalls ein Maß definiert ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme die \definitionsverweis {Belegungsfunktion}{}{} zu einem \definitionsverweis {Dirac-Maß}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Man mache sich klar, dass die \definitionsverweis {Maßtheorie}{}{} auf den \definitionsverweis {natürlichen Zahlen}{}{} $\N$ \anfuehrung{nahezu}{} äquivalent ist zur Theorie der \definitionsverweis {Reihen}{}{} mit nichtnegativen reellen Summanden. Warum nur nahezu? Welches maßtheoretische Konzept korrespondiert dabei zur \definitionsverweis {Konvergenz der Reihe}{}{?}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Der \definitionsverweis {Messraum}{}{} $(\N_+, \mathfrak {P} \, (\N_+ ))$ sei mit dem \definitionsverweis {Maß}{}{} versehen, bei der die Zahl $n$ den Wert
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\mu(n) }
{ = }{ { \frac{ 1 }{ n } } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} erhält. Bestimme für möglichst viele Teilmengen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T }
{ \subseteq }{ \N_+ }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} den Wert
\mathl{\mu(T)}{.}

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{4}
{

Es sei
\mathl{(M, {\mathcal A })}{} ein \definitionsverweis {Messraum}{}{} und sei \maabbdisp {f_n} {M} {\R } {} eine \definitionsverweis {Folge}{}{} von \definitionsverweis {messbaren Funktionen}{}{.} Zeige, dass
\mathdisp {{ \left\{ x \in M \mid f_n(x) \text{ konvergiert} \right\} }} { }
\definitionsverweis {messbar}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{3}
{

Zeige, dass es eine \definitionsverweis {abzählbare Familie}{}{} von \definitionsverweis {offenen Bällen}{}{} im $\R^n$ gibt, die eine \definitionsverweis {Basis der Topologie}{}{} bilden.

}
{} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Es sei $X$ ein \definitionsverweis {Hausdorff-Raum}{}{} und es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T_1,T_2 }
{ \subseteq }{X }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} zwei \definitionsverweis {disjunkte}{}{} endliche Teilmengen. Zeige, dass es \definitionsverweis {offene Mengen}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U_1,U_2 }
{ \subseteq }{X }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T_1 }
{ \subseteq }{ U_1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T_2 }
{ \subseteq }{ U_2 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U_1 \cap U_2 }
{ = }{ \emptyset }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gibt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{3}
{

Zeige, dass es auf jedem \definitionsverweis {endlichdimensionalen}{}{} \definitionsverweis {reellen Vektorraum}{}{} ein wohldefiniertes Konzept von \stichwort {Borel-Mengen} {} gibt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{7}
{

Zeige, dass die Menge der \definitionsverweis {stetigen}{}{} \definitionsverweis {wachsenden Funktionen}{}{} \maabbdisp {f} {\R} {\R } {} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f(\Q) }
{ \subseteq }{ \Q }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f(\R_{\leq 0}) }
{ = }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f(\R_{\geq 1}) }
{ = }{ 1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} \definitionsverweis {überabzählbar}{}{} ist.

}
{} {}