Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil III/Liste der Hauptsätze

???: Dynkin-System und

{}\sigma

-Algebra

Es sei ${}M$ eine Menge. Für ein Mengensystem ${}{\mathcal {A}}$ auf ${}M$ sind äquivalent.

${}{\mathcal {A}}$ ist ein durchschnittsstabiles Dynkin-System

${}{\mathcal {A}}$ ist eine ${}\sigma$ -Algebra.

???: Messbarkeitskriterium für Abbildungen

Es seien ${}(M,{\mathcal {A}})$ und ${}(N,{\mathcal {B}})$ zwei Messräume und es sei

\varphi \colon M\longrightarrow N

eine Abbildung. Es sei ${}{\mathcal {E}}$ ein Erzeugendensystem für ${}{\mathcal {B}}$ .

Dann ist ${}\varphi$ bereits dann messbar, wenn für jede Teilmenge ${}T\subseteq N$ mit ${}T\in {\mathcal {E}}$ das Urbild ${}\varphi ^{-1}(T)$ zu ${}{\mathcal {A}}$ gehört.

???: Borel-Mengen und Quader

Die Menge der Borel-Mengen im ${}\mathbb {R} ^{n}$ stimmt mit der von der Menge aller offenen Quader erzeugten ${}\sigma$ - Algebra überein.

Dabei kann man sich sogar auf die Menge der offenen achsenparallelen Quader mit rationalen Eckpunkten beschränken.

???: Messbarkeit stetiger Abbildungen

Es seien ${}X$ und ${}Y$ topologische Räume, die wir als Messräume mit den zugehörigen ${}\sigma$ - Algebren der Borelmengen auffassen.

Dann ist jede stetige Abbildung

$\varphi \colon X\longrightarrow Y$

messbar.

???: Rechenregeln für Prämaße

Es sei ${}M$ eine Menge, ${}{\mathcal {P}}$ ein Präring auf ${}M$ und ${}\mu$ ein Prämaß auf ${}{\mathcal {P}}$ .

Dann gelten folgende Aussagen.

Es ist ${}\mu (\emptyset )=0$ .

Für Mengen ${}S,T\in {\mathcal {P}}$ mit ${}S\subseteq T$ gilt ${}\mu (T)=\mu (S)+\mu (T\setminus S)$ . Insbesondere ist ein Prämaß monoton.

Für Mengen ${}S,T\in {\mathcal {P}}$ gilt ${}\mu (T\cup S)=\mu (S)+\mu (T)-\mu (S\cap T)$ .

Seien ${}T_{n}$ , ${}n\in \mathbb {N}$ , und ${}T$ aus ${}{\mathcal {P}}$ mit ${}T\subseteq \bigcup _{n\in \mathbb {N} }T_{n}$ Dann gilt
${}\mu (T)\leq \sum _{n\in \mathbb {N} }\mu (T_{n})\,.$

Es sei ${}T_{n}\uparrow T$ eine Ausschöpfung in ${}{\mathcal {P}}$ . Dann ist
${}\mu (T)=\lim _{n\rightarrow \infty }\mu (T_{n})\,,$

wobei diese Folge monoton wachsend ist.

Es sei ${}T_{n}\downarrow T$ eine Schrumpfung in ${}{\mathcal {P}}$ und sei ${}\mu (T_{0})<\infty$ vorausgesetzt. Dann ist
${}\mu (T)=\lim _{n\rightarrow \infty }\mu (T_{n})\,,$

wobei diese Folge monoton fallend ist.

???: Eindeutigkeitssatz für Maße

Es sei ${}(M,{\mathcal {A}})$ ein Messraum und es sei ${}{\mathcal {E}}$ ein durchschnittsstabiles Erzeugendensystem für ${}{\mathcal {A}}$ . Es seien ${}\mu _{1}$ und ${}\mu _{2}$ zwei Maße auf ${}(M,{\mathcal {A}})$ , die auf ${}{\mathcal {E}}$ übereinstimmen. Es gebe eine Ausschöpfung ${}M_{n}\uparrow M$ mit ${}M_{n}\in {\mathcal {E}}$ und mit

{}\mu _{1}(M_{n})=\mu _{2}(M_{n})<\infty \,.

Dann ist

${}\mu _{1}=\mu _{2}\,.$

???: Fortsetzung von äußeren Maßen

Es sei ${}M$ eine Menge, ${}{\mathcal {P}}$ ein Präring auf ${}M$ und

\mu \colon {\mathcal {P}}\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}_{\geq 0}

ein äußeres Maß auf ${}M$ .

Dann ist die Fortsetzung ${}{\tilde {\mu }}$ des äußeren Maßes ${}\mu$ ein äußeres Maß auf der Potenzmenge ${}{\mathfrak {P}}\,(M)$ , das auf ${}{\mathcal {P}}$ mit ${}\mu$ übereinstimmt.

???: Mengen mit Zerlegungseigenschaft zu äußerem Maß

Es sei ${}M$ eine Menge, ${}{\mathcal {P}}$ ein Präring auf ${}M$ ,

\mu \colon {\mathcal {P}}\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}_{\geq 0}

ein äußeres Maß auf ${}M$ und ${}{\tilde {\mu }}$ die Fortsetzung von ${}\mu$ auf die Potenzmenge ${}{\mathfrak {P}}\,(M)$ . Dann gelten folgende Aussagen.

Das Mengensystem aller Teilmengen ${}Z\subseteq M$ , die die Zerlegungseigenschaft besitzen, bilden eine ${}\sigma$ - Algebra.

Die Einschränkung von ${}{\tilde {\mu }}$ auf diese ${}\sigma$ -Algebra ist ein Maß.

???: Prämaß und Zerlegungseigenschaft

Es sei ${}M$ eine Menge, ${}{\mathcal {P}}$ ein Präring auf ${}M$ ,

\mu \colon {\mathcal {P}}\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}_{\geq 0}

ein Prämaß auf ${}M$ und ${}{\tilde {\mu }}$ die Fortsetzung von ${}\mu$ auf die Potenzmenge ${}{\mathfrak {P}}\,(M)$ .

Dann besitzen alle Mengen aus ${}{\mathcal {P}}$ die Zerlegungseigenschaft.

???: Fortsetzungssatz für Maße

Es sei ${}M$ eine Menge, ${}{\mathcal {P}}$ ein Präring auf ${}M$ ,

\mu \colon {\mathcal {P}}\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}_{\geq 0}

ein Prämaß auf ${}M$ und ${}{\tilde {\mu }}$ die Fortsetzung von ${}\mu$ auf die von ${}{\mathcal {P}}$ erzeugte ${}\sigma$ - Algebra ${}{\mathcal {A}}$ .

Dann ist ${}{\tilde {\mu }}$ ein Maß auf ${}{\mathcal {A}}$ .

Wenn ${}\mu$ ${}\sigma$ - endlich ist, so ist ${}{\tilde {\mu }}$ die einzige Fortsetzung von ${}\mu$ zu einem Maß auf ${}{\mathcal {A}}$ .

???: Beschreibung des Produkt-Präringes

Es seien ${}(M_{1},{\mathcal {P}}_{1}),\ldots ,(M_{n},{\mathcal {P}}_{n})$ Mengen mit darauf erklärten Präringen.

Dann besteht der Produkt-Präring aus allen endlichen disjunkten Vereinigungen von Quadern.

???: Konstruktion des Produktprämaßes auf Quadern

Es seien ${}(M_{1},{\mathcal {P}}_{1},\mu _{1}),\ldots ,(M_{n},{\mathcal {P}}_{n},\mu _{n})$ Mengen mit darauf erklärten Präringen und Prämaßen. Dann gelten folgende Aussagen.

Die für eine endliche disjunkte Vereinigung
${}V=\biguplus _{i\in I}Q_{i}\,$

von Quadern ${}Q_{i}=S_{i1}\times \cdots \times S_{in}$ (wobei die Seiten endliches Maß haben) durch

${}\mu (V)=\sum _{i\in I}\mu (Q_{i})\,$

mit ${}\mu (Q_{i})=\mu _{1}(S_{i1}){\cdots }\mu _{n}(S_{in})$ definierte Zahl ist unabhängig von der gewählten Zerlegung.

Es seien ${}\mu _{i}(M_{i})<\infty$ (insbesondere sei dies definiert). Dann ist die Zuordnung ${}V\mapsto \mu (V)$ ein Prämaß auf dem Produkt-Präring.

???: Produktsatz für Maße

Es seien ${}n$ ${}\sigma$ - endliche Maßräume ${}(M_{1},{\mathcal {A}}_{1},\mu _{1}),\ldots ,(M_{n},{\mathcal {A}}_{n},\mu _{n})$ gegeben.

Dann gibt es genau ein ( ${}\sigma$ -endliches) Maß ${}\mu$ auf der Produkt- ${}\sigma$ - Algebra ${}{\mathcal {A}}_{1}\otimes _{}\cdots \otimes _{}{\mathcal {A}}_{n}$ , das für alle messbaren Quader (deren Seiten endliches Maß besitzen) den Wert

${}\mu (T_{1}\times \cdots \times T_{n})=\mu _{1}(T_{1}){\cdots }\mu _{n}(T_{n})\,$

besitzt.

???: Das Borel-Lebesgue-Maß auf

{}\mathbb {R}

Es sei ${}{\mathcal {B}}={\mathcal {B}}(\mathbb {R} )$ die ${}\sigma$ - Algebra der Borel-Mengen auf ${}\mathbb {R}$ .

Dann gibt es genau ein ( ${}\sigma$ - endliches) Maß ${}\lambda$ auf ${}(\mathbb {R} ,{\mathcal {B}})$ , das für jedes halboffene Intervall ${}[a,b[$ den Wert ${}\lambda ([a,b[)=b-a$ besitzt.

Statt halboffene Intervalle kann man auch offene oder abgeschlossene Intervalle nehmen.

???: Satz über die Existenz des Borel-Lebesgue-Maßes

Der ${}\mathbb {R} ^{n}$ sei mit der ${}\sigma$ - Algebra der Borel-Mengen ${}{\mathcal {B}}^{n}$ versehen.

Dann gibt es auf ${}(\mathbb {R} ^{n},{\mathcal {B}}^{n})$ genau ein ( ${}\sigma$ - endliches) Maß

$\lambda ^{n}\colon {\mathcal {B}}^{n}\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}_{\geq 0},\,T\longmapsto \lambda ^{n}(T),$

das für alle Quader

${}Q=[a_{1},b_{1}[\times \cdots \times [a_{n},b_{n}[\,$

den Wert

${}\lambda ^{n}(Q)=(b_{1}-a_{1})\cdots (b_{n}-a_{n})\,$

besitzt.

Die Aussage gilt auch für (achsenparallele) Quader mit offenen bzw. abgeschlossenen Intervallen als Seiten.

???: Maß auf Untervektorräumen

Es sei ${}\mu$ ein translationsinvariantes Maß auf dem ${}\mathbb {R} ^{n}$ , das auf dem Einheitswürfel endlich sei. Es sei ${}U\subset \mathbb {R} ^{n}$ ein echter Untervektorraum.

Dann ist ${}\mu (U)=0$ .

???: Translationsinvariante Maße auf dem

{}\mathbb {R} ^{n}

.

Das Borel-Lebesgue-Maß ${}\lambda ^{n}$

ist das einzige translationsinvariante Maß auf ${}(\mathbb {R} ^{n},{\mathcal {B}}^{n})$ , das auf dem Einheitswürfel den Wert ${}1$ besitzt.

???: Translationsinvariante Maße

Es sei ${}\nu$ ein translationsinvariantes Maß auf ${}(\mathbb {R} ^{n},{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ^{n}))$ , das auf dem Einheitswürfel ein endliches Maß habe.

Dann gibt es eine eindeutig bestimmte Zahl ${}c\in \mathbb {R} _{\geq 0}$ mit ${}\nu =c\lambda ^{n}$ .

???: Die lineare Transformationsformel

Es sei

L\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}

eine lineare Abbildung.

Dann gilt für jede messbare Menge ${}S\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ die Beziehung

${}\lambda ^{n}(L(S))=\vert {\det L}\vert \cdot \lambda ^{n}(S)\,.$

???: Isometrie und Maßtreue

Eine lineare Isometrie

L\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}

ist volumentreu.

???: Kanonisches Maß auf euklidischem Vektorraum

Es sei ${}(V,\left\langle -,-\right\rangle )$ ein euklidischer Vektorraum.

Dann gibt es ein eindeutig bestimmtes translationsinvariantes Maß ${}\lambda _{V}$ auf den Borelmengen von ${}V$ , das jedem von einer Orthonormalbasis aufgespannten Parallelotop den Wert ${}1$ zuweist.

???: Volumen eines Parallelotops mit Skalarprodukt

Es sei ${}(V,\left\langle -,-\right\rangle )$ ein euklidischer Vektorraum, sei ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ eine Basis von ${}V$ und sei ${}P$ das davon erzeugte Parallelotop.

Dann gilt für das Borel-Lebesgue-Maß ${}\lambda _{V}$ auf ${}V$

${}\lambda _{V}(P)={\left(\det(\left\langle v_{i},v_{j}\right\rangle )_{1\leq i,j\leq n}\right)}^{1/2}\,.$

???: Supremum von messbaren Funktionen

Es sei ${}I$ eine abzählbare Indexmenge und ${}(M,{\mathcal {A}})$ ein Messraum. Es sei

f_{i}\colon M\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}

( $i\in I$ ) eine Familie von messbaren numerischen Funktionen.

Dann sind auch die Funktionen ${}{\operatorname {sup} \,{\left(f_{i},i\in I\right)}}$ und ${}\inf {\left(f_{i},\,i\in I\right)}$ messbar.

???: Grenzfunktion von messbaren Funktionen

Es sei ${}(M,{\mathcal {A}})$ ein Messraum und sei

f_{n}\colon M\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}

eine Folge von messbaren numerischen Funktionen, die punktweise gegen eine Grenzfunktion ${}f$ konvergiere.

Dann ist auch ${}f$ messbar.

???: Einfache Funktionen und messbare Funktion

Es sei ${}(M,{\mathcal {A}})$ ein Messraum und sei

f\colon M\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}_{\geq 0}

eine messbare numerische nichtnegative Funktion.

Dann gibt es eine wachsende Folge von nichtnegativen einfachen Funktionen

$f_{n}\colon M\longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 0},$

die punktweise gegen ${}f$ konvergieren.

???: Subgraph einer messbaren Funktion

Es sei ${}(M,{\mathcal {A}})$ ein Messraum und

f\colon M\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}

eine messbare Funktion.

Dann sind der Graph ${}\Gamma (f)$ und der Subgraph ${}S(f)$ messbare Teilmengen in ${}M\times {\overline {\mathbb {R} }}$ .

???: Charakterisierung von integrierbaren Funktionen

Es sei ${}(M,{\mathcal {A}},\mu )$ ein ${}\sigma$ - endlicher Maßraum und

f\colon M\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}

eine messbare numerische Funktion. Dann sind folgende Eigenschaften äquivalent.

${}f$ ist integrierbar.

Der positive und der negative Teil von ${}f$ sind integrierbar.

Die Betragsfunktion ${}\vert {f}\vert$ ist integrierbar.

Es gibt eine integrierbare messbare Funktion
$h\colon M\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}_{\geq 0}$

mit ${}\vert {f(x)}\vert \leq h(x)$ für alle ${}x\in M$ .

???: Graph einer messbaren Funktion

Es sei ${}(M,{\mathcal {A}},\mu )$ ein ${}\sigma$ - endlicher Maßraum und

f\colon M\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}

eine messbare numerische Funktion.

Dann ist der Graph ${}\Gamma (f)$ eine Nullmenge in ${}M\times {\overline {\mathbb {R} }}$ .

???: Tschebyschow-Abschätzung

Es sei ${}(M,{\mathcal {A}},\mu )$ ein ${}\sigma$ - endlicher Maßraum und

f\colon M\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}_{\geq 0}

eine messbare numerische nichtnegative Funktion.

Dann gilt für jedes ${}a\in \mathbb {R} _{\geq 0}$ die Abschätzung

${}\int _{M}f\,d\mu \geq a\cdot \mu {\left\{x\in M\mid f(x)\geq a\right\}}\,.$

???: Allgemeine Transformationsformel

Es sei ${}(M,{\mathcal {A}},\mu )$ ein ${}\sigma$ - endlicher Maßraum, ${}(N,{\mathcal {B}})$ ein Messraum und

\varphi \colon M\longrightarrow N

eine messbare Abbildung. Es sei ${}\nu$ das Bildmaß von ${}\mu$ unter ${}\varphi$ , das ebenfalls als ${}\sigma$ - endlich vorausgesetzt sei, und es sei

f\colon N\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}

eine ${}\nu$ - integrierbare Funktion.

Dann ist auch ${}f\circ \varphi$ ${}\mu$ - integrierbar, und es gilt

${}\int _{N}f\,d\nu =\int _{M}(f\circ \varphi )\,d\mu \,.$

???: Satz von der monotonen Konvergenz

Es sei ${}(M,{\mathcal {A}},\mu )$ ein ${}\sigma$ - endlicher Maßraum und sei

f_{n}\colon M\longrightarrow {\bar {\mathbb {R} }}_{\geq 0}

eine wachsende Folge von nichtnegativen messbaren numerischen Funktionen mit der Grenzfunktion ${}f$ .

Dann gilt

${}\int _{M}f\,d\mu =\lim _{n\rightarrow \infty }\int _{M}f_{n}\,d\mu \,.$

???: Riemann-integrierbare Funktionen und Maßtheorie

Es sei

f\colon I=[a,b]\longrightarrow \mathbb {R}

eine messbare Riemann-integrierbare Funktion.

Dann gilt

${}\int _{I}f\,d\lambda ^{1}=\int _{a}^{b}f(x)\,dx\,.$

???: Linearität des Integrals

Es sei ${}(M,{\mathcal {A}},\mu )$ ein ${}\sigma$ - endlicher Maßraum. Es seien ${}f,g$ integrierbare messbare reellwertige Funktionen auf ${}M$ und ${}a,b\in \mathbb {R}$ .

Dann ist auch ${}af+bg$ integrierbar, und es gilt

${}\int _{M}(af+bg)\,d\mu =a\int _{M}f\,d\mu +b\int _{M}g\,d\mu \,.$

???: Lemma von Fatou

Es sei ${}(M,{\mathcal {A}},\mu )$ ein ${}\sigma$ - endlicher Maßraum und es sei

f_{n}\colon M\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}_{\geq 0}

eine Folge von nichtnegativen messbaren numerischen Funktionen.

Dann gilt

${}\int _{M}\operatorname {lim} \operatorname {inf} \,{\left(f_{n}\right)}\,d\mu \leq \operatorname {lim} \operatorname {inf} \,{\left(\int _{M}f_{n}\,d\mu \right)}\,.$

???: Der Satz von der majorisierten Konvergenz

Es sei ${}(M,{\mathcal {A}},\mu )$ ein ${}\sigma$ - endlicher Maßraum und es sei

f_{n}\colon M\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}

eine punktweise konvergente Folge von messbaren Funktionen. Es gebe eine messbare integrierbare Funktion

h\colon M\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}_{\geq 0}

mit ${}\vert {f_{n}(x)}\vert \leq h(x)$ für alle ${}n\in \mathbb {N}$ und alle ${}x\in M$ .

Dann ist auch die Grenzfunktion ${}f=\lim _{n\rightarrow \infty }f_{n}$ integrierbar, und es gilt

${}\int _{M}f\,d\mu =\lim _{n\rightarrow \infty }\int _{M}f_{n}\,d\mu \,.$

???: Stetige Abhängigkeit des Integrals

Es sei ${}(M,{\mathcal {A}},\mu )$ ein ${}\sigma$ - endlicher Maßraum, ${}E$ ein metrischer Raum, ${}t_{0}\in E$ und

f\colon E\times M\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }},\,(t,x)\longmapsto f(t,x),

eine Funktion,

die die folgenden Eigenschaften erfülle.

Für alle ${}t\in E$ ist die Funktion ${}x\mapsto f(t,x)$ messbar.
Für alle ${}x\in M$ ist die Funktion ${}t\mapsto f(t,x)$ stetig in ${}t_{0}$ .
Es gibt eine nichtnegative messbare integrierbare Funktion
$h\colon M\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}$

mit

${}\vert {f(t,x)}\vert \leq h(x)\,$

für alle ${}t\in E$ und alle ${}x\in M$ .

Dann ist die Funktion

$\varphi \colon E\longrightarrow \mathbb {R} ,\,t\longmapsto \varphi (t)=\int _{M}f(t,x)\,d\mu (x),$

wohldefiniert und stetig in ${}t_{0}$ .

???: Differenzierbare Abhängigkeit des Integrals

Es sei ${}(M,{\mathcal {A}},\mu )$ ein ${}\sigma$ - endlicher Maßraum, ${}I$ ein nichtleeres offenes Intervall und

f\colon I\times M\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(t,x)\longmapsto f(t,x),

eine Funktion,

die die folgenden Eigenschaften erfülle.

Für alle ${}t\in I$ ist die Funktion ${}x\mapsto f(t,x)$ integrierbar.
Für alle ${}x\in M$ ist die Funktion ${}t\mapsto f(t,x)$ (stetig) differenzierbar.
Es gibt eine nichtnegative messbare integrierbare Funktion
$h\colon M\longrightarrow \mathbb {R}$

mit

${}\vert {f'(t,x)}\vert \leq h(x)\,$

für alle ${}t\in I$ und alle ${}x\in M$ .

Dann ist die Funktion

$\varphi \colon I\longrightarrow \mathbb {R} ,\,t\longmapsto \varphi (t)=\int _{M}f(t,x)\,d\mu (x),$

(stetig) differenzierbar in ${}t$ , die Zuordnung ${}x\mapsto f'(t,x)$ ist integrierbar und es gilt die Formel

${}\varphi '(t)=\int _{M}f'(t,x)\,d\mu (x)\,.$

???: Querschnittslemma

Es seien ${}(M,{\mathcal {A}},\mu )$ und ${}(N,{\mathcal {B}},\nu )$ ${}\sigma$ - endliche Maßräume und sei ${}T\subseteq M\times N$ eine messbare Teilmenge.

Dann sind die Funktionen

$M\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }},\,x\longmapsto \nu (T(x)),$
und
$N\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }},\,y\longmapsto \mu (T(y)),$

messbar.

???: Das Cavalieri-Prinzip (Integrationsversion)

Es seien ${}(M,{\mathcal {A}},\mu )$ und ${}(N,{\mathcal {B}},\nu )$ ${}\sigma$ - endliche Maßräume.

Dann gilt für alle messbaren Teilmengen ${}T\subseteq M\times N$ die Beziehung

${}(\mu \otimes \nu )(T)=\int _{M}\nu (T(x))\,d\mu (x)=\int _{N}\mu (T(y))\,d\nu (y)\,.$

???: Cavalieri-Prinzip (Verschiebungsversion)

Es sei ${}(M,{\mathcal {A}},\mu )$ ein ${}\sigma$ - endlicher Maßraum und

v\colon M\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}

eine messbare Abbildung.

Dann ist die Abbildung

$\varphi _{v}\colon M\times \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow M\times \mathbb {R} ^{n},\,(x,y)\longmapsto (x,y+v(x)),$

bijektiv und maßtreu.

???: Volumen eines Rotationskörpers

Es sei

f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 0},\,t\longmapsto f(t),

eine nichtnegative messbare Funktion und sei ${}K\subseteq \mathbb {R} ^{3}$ der Rotationskörper zum Subgraphen von ${}f$ um die ${}x$ -Achse.

Dann besitzt ${}K$ das Volumen

${}\lambda ^{3}(K)=\pi \cdot \int _{[a,b]}(f(t))^{2}\,d\lambda (t)=\pi \cdot \int _{a}^{b}(f(t))^{2}\,dt\,,$

wobei für die zweite Formel ${}f$ als stetig vorausgesetzt sei.

???: Kegelvolumen

Es sei ${}B\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ messbar, ${}P\in \mathbb {R} ^{n+1}$ ein Punkt und ${}K_{B}$ der zugehörige Kegel. Es sei ${}h=P_{n+1}$ die letzte Koordinate von ${}P$ .

Dann ist ${}K_{B}$ ebenfalls messbar, und es gilt

${}\lambda ^{n+1}{\left(K_{B}\right)}={\frac {1}{n+1}}\lambda ^{n}(B)\cdot \vert {h}\vert \,.$

???: Der Satz von Fubini

Es seien ${}(M,{\mathcal {A}},\mu )$ und ${}(N,{\mathcal {B}},\nu )$ ${}\sigma$ - endliche Maßräume und sei

f\colon M\times N\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}

eine integrierbare Funktion.

Dann sind die beiden Funktionen

$M\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }},\,x\longmapsto \int _{N}f(x,y)\,d\nu (y),$

und

$N\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }},\,y\longmapsto \int _{M}f(x,y)\,d\mu (x),$

fast überall reellwertig und fast überall integrierbar, und es gilt

${}\int _{M\times N}f\,d(\mu \otimes \nu )=\int _{M}{\left(\int _{N}f(x,y)\,d\nu (y)\right)}\,d\mu (x)=\int _{N}{\left(\int _{M}f(x,y)\,d\mu (x)\right)}\,d\nu (y)\,$

???: Integration des Produkts von zwei Funktionen über dem Produktraum

Es seien ${}(M,{\mathcal {A}},\mu )$ und ${}(N,{\mathcal {B}},\nu )$ ${}\sigma$ - endliche Maßräume und es seien ${}f\colon M\rightarrow {\overline {\mathbb {R} }}$ und ${}g\colon N\rightarrow {\overline {\mathbb {R} }}$ integrierbare Funktionen.

Dann ist auch die Funktion

$fg\colon M\times N\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }},\,(x,y)\longmapsto f(x)\cdot g(y),$

integrierbar und es gilt

${}\int _{M\times N}fg\,d(\mu \otimes \nu )=\int _{M}f\,d\mu \cdot \int _{N}g\,d\nu \,.$

???: Nullmengen unter differenzierbaren Abbildungen

Es sei ${}G\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen und sei

\varphi \colon G\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}

eine stetig differenzierbare Abbildung. Es sei ${}S\subseteq G$ eine Nullmenge.

Dann ist auch ${}\varphi (S)$ eine Nullmenge.

???: Die Transformationsformel

Es seien ${}G$ und ${}H$ offene Mengen im ${}\mathbb {R} ^{n}$ und es sei

\varphi \colon G\longrightarrow H

ein ${}C^{1}$ -Diffeomorphismus mit der Jacobi-Determinante ${}(J(\varphi ))(x)=\det \left(D\varphi \right)_{x}$ für ${}x\in G$ . Es sei ${}S\subseteq G$ eine messbare Menge.

Dann ist ${}\varphi (S)$ ebenfalls messbar und es gilt

${}\lambda ^{n}(\varphi (S))=\int _{S}\vert {J(\varphi )}\vert \,d\lambda ^{n}\,.$

???: Die Transformationsformel für Integrale

Es seien ${}G$ und ${}H$ offene Mengen im ${}\mathbb {R} ^{n}$ und es sei

\varphi \colon G\longrightarrow H

ein ${}C^{1}$ - Diffeomorphismus mit der Jacobi-Determinante

{}(J(\varphi ))(x)=\det \left(D\varphi \right)_{x}\,

für ${}x\in G$ . Es sei

f\colon H\longrightarrow \mathbb {R}

eine messbare Funktion.

Dann ist ${}f$ auf ${}H$ genau dann integrierbar, wenn die Hintereinanderschaltung ${}f\circ \varphi$ auf ${}G$ integrierbar ist. In diesem Fall gilt

${}\int _{H}f\,d\lambda ^{n}=\int _{G}(f\circ \varphi )\vert {J(\varphi )}\vert \,d\lambda ^{n}\,.$

???: Transformationsformel für Polarkoordinaten

Es sei

\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,(r,\theta )\longmapsto (r\cos \theta ,r\sin \theta ),

die Polarkoordinatenauswertung und es seien ${}G$ und ${}H$ offene Mengen, auf denen ${}\varphi$ einen Diffeomorphismus induziert. Es sei

f\colon H\longrightarrow \mathbb {R}

eine integrierbare Funktion.

Dann ist

$\int _{H}f(x,y)\,d\lambda ^{2}(x,y)=\int _{G}f(r\cos \theta ,r\sin \theta )\cdot \vert {r}\vert \,d\lambda ^{2}(r,\theta )\,.$

Dies gilt auch dann, wenn außerhalb von Nullmengen ein Diffeomorphismus vorliegt. Insbesondere gilt bei stetigem ${}f$ die Formel

\int _{\mathbb {R} ^{2}}f(x,y)\,d\lambda ^{2}(x,y)=\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{2\pi }f(r\cos \theta ,r\sin \theta )\cdot r\,d\theta \,dr\,.

???: Fehlerintegral

Es ist

${}\int _{-\infty }^{+\infty }e^{-x^{2}}\,dx={\sqrt {\pi }}\,.$

???: Fasern und differenzierbare Mannigfaltigkeiten

Es sei ${}G\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen und sei

\varphi \colon G\longrightarrow \mathbb {R} ^{m}

eine stetig differenzierbare Abbildung. Es sei ${}Z=\varphi ^{-1}(0)$ die Faser über ${}0\in \mathbb {R} ^{m}$ , und ${}\varphi$ sei in jedem Punkt der Faser regulär.

Dann gibt es zu jedem Punkt ${}P\in Z$ eine offene Umgebung ${}P\in W\subseteq G$ , offene Mengen ${}V\subseteq \mathbb {R} ^{n-m}$ und ${}V'\subseteq \mathbb {R} ^{m}$ , und einen ${}C^{1}$ - Diffeomorphismus

$\theta \colon W\longrightarrow V\times V'$

mit ${}\varphi \!\mid _{W}=p_{2}\circ \theta$ , der eine Bijektion zwischen ${}Z\cap W$ und ${}V\times \{0\}$ induziert, und so, dass das totale Differential ${}\left(D\theta \right)_{Q}$ für jedes ${}Q\in W$ eine Bijektion zwischen ${}\operatorname {kern} \left(D\varphi \right)_{Q}$ und ${}\mathbb {R} ^{n-m}$ stiftet.

???: Fasern und differenzierbare Mannigfaltigkeiten

Es sei ${}G\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen und sei

\varphi \colon G\longrightarrow \mathbb {R} ^{m}

eine stetig differenzierbare Abbildung. Es sei ${}Z=\varphi ^{-1}(Q)$ die Faser über einem Punkt ${}Q\in \mathbb {R} ^{m}$ . Das totale Differential ${}\left(D\varphi \right)_{P}$ sei surjektiv für jeden Punkt ${}P\in Z$ .

Dann ist ${}Z$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit der Dimension ${}n-{m}$ .

???: Eigenschaften der Tangentialabbildung (Punkt)

Es seien ${}M$ und ${}N$ differenzierbare Mannigfaltigkeiten und es sei

\varphi \colon M\longrightarrow N

eine differenzierbare Abbildung. Es sei ${}P\in M$ , ${}Q=\varphi (P)$ und es sei

T_{P}(\varphi )\colon T_{P}M\longrightarrow T_{Q}N

die zugehörige Tangentialabbildung. Dann gelten folgende Aussagen.

Wenn ${}M\subseteq \mathbb {R} ^{m}$ und ${}N\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offene Teilmengen sind und die Tangentialräume mit den umgebenden euklidischen Räumen identifiziert werden, so ist die Tangentialabbildung gleich dem totalen Differential ${}\left(D\varphi \right)_{P}$ .

Wenn
$\alpha \colon U\longrightarrow V$

mit ${}P\in U$ und ${}V\subseteq \mathbb {R} ^{m}$ und

$\beta \colon U'\longrightarrow W$

mit ${}Q\in U'$ und ${}W\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ Karten sind, so ist das Diagramm

${\begin{matrix}T_{p}M&{\stackrel {T_{P}\varphi }{\longrightarrow }}&T_{Q}N&\\\downarrow &&\downarrow &\\\mathbb {R} ^{m}&{\stackrel {\left(D{\left(\beta \circ \varphi \circ \alpha ^{-1}\right)}\right)_{\alpha (P)}}{\longrightarrow }}&\mathbb {R} ^{n}&\!\!\!\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$

kommutativ, wobei die vertikalen Abbildungen durch die Isomorphismen ${}[\gamma ]\mapsto (\alpha \circ \gamma )'(0)$ bzw. ${}[\gamma ]\mapsto (\beta \circ \gamma )'(0)$ gegeben sind.

${}T_{P}(\varphi )$ ist ${}\mathbb {R}$ - linear.

Wenn ${}L$ eine weitere Mannigfaltigkeit, ${}R\in L$ und
$\psi \colon L\longrightarrow M$

eine weitere differenzierbare Abbildung mit ${}\psi (R)=P$ ist, so gilt

${}T_{R}(\varphi \circ \psi )=T_{P}(\varphi )\circ T_{R}(\psi )\,.$

Wenn ${}\varphi$ ein Diffeomorphismus ist, dann ist ${}T_{P}(\varphi )$ ein Isomorphismus.

Für eine differenzierbare Kurve
$\gamma \colon I\longrightarrow M$

mit einem offenen Intervall ${}I\subseteq \mathbb {R}$ , ${}0\in I$ und ${}\gamma (0)=P$ gilt im Tangentialraum ${}T_{P}M$ die Gleichheit

${}[\gamma ]=(T_{0}(\gamma ))(1)\,.$

???: Abgeschlossene Untermannigfaltigkeiten sind ...

Es sei ${}N$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit der Dimension ${}n$ und ${}M\subseteq N$ eine abgeschlossene Untermannigfaltigkeit der Dimension ${}m$ von ${}N$ .

Dann ist ${}M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit derart, dass die Inklusion ${}M\rightarrow N$ eine differenzierbare Abbildung ist.

???: Tangentialraum einer abgeschlossenen Untermannigfaltigkeit

Es sei ${}N$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit der Dimension ${}n$ und es sei ${}M\subseteq N$ eine abgeschlossene Untermannigfaltigkeit der Dimension ${}m$ .

Dann ist für jeden Punkt ${}P\in M$ die Tangentialabbildung

$T_{P}M\longrightarrow T_{P}N$

injektiv.

D.h. der Tangentialraum ${}T_{P}M$ ist ein Untervektorraum der Dimension ${}m$ von ${}T_{P}N$ .

???: Eigenschaften der Tangentialabbildung

Es seien ${}M$ und ${}N$ differenzierbare Mannigfaltigkeiten und es sei

\varphi \colon M\longrightarrow N

eine differenzierbare Abbildung. Es sei

T(\varphi )\colon TM\longrightarrow TN

die zugehörige Tangentialabbildung. Dann gelten folgende Aussagen.

Es gibt ein kommutatives Diagramm
${\begin{matrix}TM&{\stackrel {T(\varphi )}{\longrightarrow }}&TN&\\\!\!\!\!\!\pi \downarrow &&\downarrow \pi \!\!\!\!\!&\\M&{\stackrel {\varphi }{\longrightarrow }}&N&\!\!\!\!\!\!\!\!.\\\end{matrix}}$

Für eine Karte
$\alpha \colon U\longrightarrow V$

zu ${}U\subseteq M$ offen und mit ${}V\subseteq \mathbb {R} ^{m}$ offen gibt es ein kommutatives Diagramm

${\begin{matrix}TU&{\stackrel {T(\alpha )}{\longrightarrow }}&TV=V\times \mathbb {R} ^{m}&\\\downarrow &&\downarrow &\\U&{\stackrel {\alpha }{\longrightarrow }}&V&\!\!\!\!\!\!\!\!.\\\end{matrix}}$

Wenn ${}M\subseteq \mathbb {R} ^{m}$ und ${}N\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offene Teilmengen sind und die Tangentialbündel mit ${}M\times \mathbb {R} ^{m}$ bzw. ${}N\times \mathbb {R} ^{n}$ identifiziert werden, so ist die Tangentialabbildung gleich
$M\times \mathbb {R} ^{m}\longrightarrow N\times \mathbb {R} ^{n},\,(P,v)\longmapsto \left(\varphi (P),{\left(D\varphi \right)}_{P}{\left(v\right)}\right).$

Wenn ${}L$ eine weitere Mannigfaltigkeit und
$\psi \colon L\longrightarrow M$

eine weitere differenzierbare Abbildung ist, so gilt

${}T(\varphi \circ \psi )=T(\varphi )\circ T(\psi )\,.$

Die Tangentialabbildung ${}T(\varphi )$ ist stetig.

Wenn ${}\varphi$ ein Diffeomorphismus ist, so ist ${}T(\varphi )$ ein Homöomorphismus.

???: Abbildungseigenschaften von Produktmannigfaltigkeiten

Es seien ${}M$ und ${}N$ differenzierbare Mannigfaltigkeiten und ${}M\times N$ ihr Produkt. Dann gelten folgende Eigenschaften.

Die Projektionen
$p_{1}\colon M\times N\longrightarrow M,\,(x,y)\longmapsto x,$

und

$p_{2}\colon M\times N\longrightarrow N,\,(x,y)\longmapsto y,$

sind differenzierbare Abbildungen.

Der Tangentialraum in einem Punkt ${}R=(P,Q)$ ist ${}T_{R}(M\times N)=T_{P}M\times T_{Q}N$ .

Es sei ${}L$ eine weitere differenzierbare Mannigfaltigkeit. Dann ist eine Abbildung
$\varphi \times \psi \colon L\longrightarrow M\times N,\,u\longmapsto (\varphi (u),\psi (u)),$

genau dann differenzierbar, wenn die Komponentenabbildungen ${}\varphi$ und ${}\psi$ differenzierbar sind.

???: Transformationsformel für Dachprodukte

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein ${}K$ - Vektorraum und seien ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ und ${}w_{1},\ldots ,w_{n}$ Vektoren in ${}V$ , die miteinander in der Beziehung

{}{\begin{pmatrix}v_{1}\\\vdots \\v_{n}\end{pmatrix}}=M{\begin{pmatrix}w_{1}\\\vdots \\w_{n}\end{pmatrix}}\,

stehen, wobei ${}M$ eine ${}n\times n$ - Matrix bezeichnet.

Dann gilt in ${}\bigwedge ^{n}V$ die Beziehung

${}v_{1}\wedge \ldots \wedge v_{n}=(\det M)w_{1}\wedge \ldots \wedge w_{n}\,.$

???: Universelle Eigenschaft des Dachprodukts

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}V$ ein ${}K$ - Vektorraum und ${}n\in \mathbb {N}$ . Es sei

\psi \colon V^{n}\longrightarrow W

eine alternierende multilineare Abbildung in einen weiteren ${}K$ -Vektorraum ${}W$ .

Dann gibt es eine eindeutig bestimmte lineare Abbildung

${\tilde {\psi }}\colon \bigwedge ^{n}V\longrightarrow W$

derart, dass das Diagramm

${\begin{matrix}V^{n}&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&\bigwedge ^{n}V&\\&\searrow &\downarrow &\\&&W&\!\!\!\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$

kommutiert.

???: Alternierende Formen und Dachprodukt

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}V$ ein ${}K$ - Vektorraum und ${}n\in \mathbb {N}$ .

Dann gibt es eine natürliche Isomorphie

${\left(\bigwedge ^{n}V\right)}^{*}\longrightarrow \operatorname {Alt} ^{n}(V,K),\,\psi \longmapsto ((v_{1},\ldots ,v_{n})\mapsto \psi (v_{1}\wedge \ldots \wedge v_{n})).$

???: Basis für Dachprodukte

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$ - Vektorraum der Dimension ${}m$ . Es sei ${}v_{1},\ldots ,v_{m}$ eine Basis von ${}V$ und es sei ${}n\in \mathbb {N}$ .

Dann bilden die Dachprodukte

$v_{i_{1}}\wedge \ldots \wedge v_{i_{n}}{\text{ mit }}1\leq i_{1}<\ldots <i_{n}\leq m$

eine Basis von ${}\bigwedge ^{n}V$ .

???: Dimension der äußeren Potenzen

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$ - Vektorraum der Dimension ${}m$ .

Dann besitzt das ${}n$ -te äußere Produkt ${}\bigwedge ^{n}V$ die Dimension

${\binom {m}{n}}.$

???: Dachprodukt und Dualität

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein endlichdimensionaler Vektorraum. Es sei ${}k\in \mathbb {N}$ .

Dann gibt es eine natürliche Isomorphie

$\psi \colon \bigwedge ^{k}V^{*}\longrightarrow {\left(\bigwedge ^{k}V\right)}^{*}$

mit

${}(\psi (f_{1}\wedge \ldots \wedge f_{k}))(v_{1}\wedge \ldots \wedge v_{k})=\det(f_{i}(v_{j}))_{ij}\,$

(mit ${}f_{i}\in V^{*}$ und ${}v_{j}\in V$ ).

???: Dachprodukt zu linearer Abbildung

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}V$ und ${}W$ seien ${}K$ - Vektorräume und

\varphi \colon V\longrightarrow W

sei eine ${}K$ - lineare Abbildung.

Dann gibt es zu jedem ${}n\in \mathbb {N}$ eine ${}K$ -lineare Abbildung

$\bigwedge ^{n}\varphi \colon \bigwedge ^{n}V\longrightarrow \bigwedge ^{n}W$
mit ${}v_{1}\wedge \ldots \wedge v_{n}\mapsto \varphi (v_{1})\wedge \ldots \wedge \varphi (v_{n})$ .

???: Eigenschaften des Dachprodukts einer linearen Abbildung

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}V$ und ${}W$ seien ${}K$ - Vektorräume und

\varphi \colon V\longrightarrow W

sei eine ${}K$ - lineare Abbildung. Zu ${}n\in \mathbb {N}$ sei

\bigwedge ^{n}\varphi \colon \bigwedge ^{n}V\longrightarrow \bigwedge ^{n}W

die zugehörige ${}K$ -lineare Abbildung. Dann gelten folgende Eigenschaften.

Wenn ${}\varphi$ surjektiv ist, dann ist auch ${}\bigwedge ^{n}\varphi$ surjektiv.

Wenn ${}\varphi$ injektiv ist, dann ist auch ${}\bigwedge ^{n}\varphi$ injektiv.

Wenn ${}U$ ein weiterer ${}K$ -Vektorraum und
$\psi \colon U\longrightarrow V$

eine weitere ${}K$ -lineare Abbildung ist, so gilt

${}\bigwedge ^{n}(\varphi \circ \psi )={\left(\bigwedge ^{n}\varphi \right)}\circ {\left(\bigwedge ^{n}\psi \right)}\,.$

???: Orientierungen auf Vektorraum und Dachprodukt

Es sei ${}V\neq 0$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum der Dimension ${}n$ .

Dann entsprechen durch die Zuordnung

$[v_{1},\ldots ,v_{n}]\longmapsto [v_{1}\wedge \ldots \wedge v_{n}]$

die Orientierungen auf ${}V$ den Orientierungen auf ${}\bigwedge ^{n}V$ .

???: Der Satz von Heine-Borel

Es sei ${}T\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ eine Teilmenge. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

${}T$ ist überdeckungskompakt.

Jede Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ in ${}T$ besitzt einen Häufungspunkt in ${}T$ .

Jede Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ in ${}T$ besitzt eine in ${}T$ konvergente Teilfolge.

${}T$ ist abgeschlossen und beschränkt.

???: Lokale Beschreibung von Differentialformen

Es sei ${}M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und ${}U\subseteq M$ eine offene Teilmenge mit einer Karte

\alpha \colon U\longrightarrow V

und ${}V\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen. Es seien

x_{j}\colon U\longrightarrow \mathbb {R}

die zugehörigen Koordinatenfunktionen, ${}1\leq j\leq n$ .

Dann lässt sich jede auf ${}U$ definierte ${}k$ -Differentialform ${}\omega \in {\mathcal {E}}^{k}(U)$ eindeutig schreiben als

${}\omega =\sum _{J,\,{\#\left(J\right)}=k}f_{J}dx_{J}\,$

mit eindeutig bestimmten Funktionen

$f_{J}\colon U\longrightarrow \mathbb {R} .$

???: Lokale Beschreibung von 1-Differentialformen

Es sei ${}M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und ${}U\subseteq M$ eine offene Teilmenge mit einer Karte

\alpha \colon U\longrightarrow V

und ${}V\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen. Es seien

x_{j}\colon U\longrightarrow \mathbb {R}

die zugehörigen Koordinatenfunktionen, ${}1\leq j\leq n$ . Es sei

f\colon U\longrightarrow \mathbb {R}

eine differenzierbare Funktion.

Dann gilt für die zugehörige ${}1$ - Differentialform ${}df$ die Darstellung

${}df=\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x_{j}}}dx_{j}\,.$

???: Lokale Beschreibung der zurückgezogenen Differentialform

Es seien ${}U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ und ${}V\subseteq \mathbb {R} ^{m}$ offene Teilmengen, deren Koordinaten mit ${}x_{1},\ldots ,x_{n}$ bzw. mit ${}y_{1},\ldots ,y_{m}$ bezeichnet seien. Es sei

\varphi \colon U\longrightarrow V

eine differenzierbare Abbildung und es sei ${}\omega$ eine ${}k$ - Differentialform auf ${}V$ mit der Darstellung

{}\omega =\sum _{I,\,{\#\left(I\right)}=k}f_{I}dy_{I}\,,

wobei ${}f_{I}\colon V\rightarrow \mathbb {R}$ Funktionen sind.

Dann besitzt die zurückgezogene Form die Darstellung

${}{\begin{aligned}\varphi ^{*}\omega &=\sum _{I,\,{\#\left(I\right)}=k}{\left(f_{I}\circ \varphi \right)}\left(\sum _{J,\,{\#\left(J\right)}=k}\det {\left({\left({\frac {\partial \varphi _{i}}{\partial x_{j}}}\right)}_{i\in I,j\in J}\right)}dx_{J}\right)\\&=\sum _{J,\,{\#\left(J\right)}=k}\left(\sum _{I,\,{\#\left(I\right)}=k}{\left(f_{I}\circ \varphi \right)}\det {\left({\left({\frac {\partial \varphi _{i}}{\partial x_{j}}}\right)}_{i\in I,j\in J}\right)}\right)dx_{J}.\end{aligned}}$

???: Lokale Beschreibung der zurückgezogenen Volumenform

Es seien ${}U,V\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offene Teilmengen, deren Koordinaten mit ${}x_{1},\ldots ,x_{n}$ bzw. mit ${}y_{1},\ldots ,y_{n}$ bezeichnet seien. Es sei

\varphi \colon U\longrightarrow V

eine differenzierbare Abbildung und es sei ${}\omega$ eine ${}n$ - Differentialform auf ${}V$ mit der Darstellung

{}\omega =fdy_{1}\wedge \ldots \wedge dy_{n}\,.

Dann besitzt die zurückgezogene Form die Darstellung

${}\varphi ^{*}\omega =(f\circ \varphi )\cdot \det {\left({\left({\frac {\partial \varphi _{i}}{\partial x_{j}}}\right)}_{1\leq i,j\leq n}\right)}dx_{1}\wedge \ldots \wedge dx_{n}\,.$

???: Wohldefiniertheit des Maßes zu einer positiven Volumenform

Es sei ${}M$ eine ${}n$ - dimensionale differenzierbare Mannigfaltigkeit mit abzählbarer Basis der Topologie und es sei ${}\omega$ eine positive Volumenform auf ${}M$ . Zu einer Karte

\alpha \colon U\longrightarrow V

mit ${}\alpha _{*}(\omega {|}_{U})=fdx_{1}\wedge \ldots \wedge dx_{n}$ und einer messbaren Teilmenge ${}T\subseteq U$ setzen wir

{}\nu (\alpha ,T):=\int _{\alpha (T)}f\,d\lambda ^{n}\,

Dann gelten folgende Eigenschaften.

Wenn ${}T\subseteq U_{1},U_{2}$ zwei Kartenumgebungen sind, so ist ${}\nu (\alpha _{1},T)=\nu (\alpha _{2},T)$ .

Zu einer messbaren Teilmenge ${}T\subseteq M$ gibt es eine abzählbare disjunkte Vereinigung ${}T=\biguplus _{i\in I}T_{i}$ derart, dass jedes ${}T_{i}$ ganz in einer Karte ${}U_{i}$ liegt.

Die Summe ${}\sum _{i\in I}\nu (\alpha _{i},T_{i})$ ist unabhängig von der gewählten abzählbaren disjunkten Zerlegung in (2).

???: Volumenform auf abgeschlossener Untermannigfaltigkeit

Es sei ${}G\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen und sei

\varphi \colon G\longrightarrow \mathbb {R} ^{\ell }

(mit ${}m=n-\ell \geq 0$ ) eine stetig differenzierbare Abbildung, die in jedem Punkt der Faser ${}M$ über ${}0\in \mathbb {R} ^{\ell }$ regulär sei.

Dann ist die Abbildung

$\bigwedge ^{m}T_{P}M\longrightarrow \mathbb {R} ,\,v_{1}\wedge \ldots \wedge v_{m}\longmapsto \det(\operatorname {Grad} \,\varphi _{1}(P),\ldots ,\operatorname {Grad} \,\varphi _{\ell }(P),v_{1},\ldots ,v_{m}),$

in jedem Punkt ${}P\in M$ eine Isomorphie, wodurch eine stetige nullstellenfreie Volumenform auf ${}M$ gegeben ist.

???: Berechnung des kanonischen Volumens

Es sei ${}M$ eine orientierte riemannsche Mannigfaltigkeit und ${}\omega$ die kanonische Volumenform. Es sei

\alpha \colon U\longrightarrow V

eine orientierte Karte mit ${}V\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen mit Koordinaten ${}x_{1},\ldots ,x_{n}$ mit der metrischen Fundamentalmatrix ${}G=(g_{ij})_{1\leq i,j\leq n}$ und ${}g=\det G$ .

Dann ist

${}\alpha _{*}\omega ={\sqrt {g}}dx_{1}\wedge \ldots \wedge dx_{n}\,.$

Für eine messbare Teilmenge ${}T\subseteq U$ ist

{}\int _{T}\omega =\int _{\alpha (T)}{\sqrt {g}}dx_{1}\wedge \ldots \wedge dx_{n}=\int _{\alpha (T)}{\sqrt {g}}\,d\lambda ^{n}\,.

???: Berechnung der Volumenform bei einer Einbettung

Es sei ${}G\subseteq \mathbb {R} ^{m}$ offen und sei ${}M\subseteq G$ eine ${}n$ - dimensionale abgeschlossene Untermannigfaltigkeit, die orientiert und mit der induzierten riemannschen Struktur und der kanonischen Volumenform ${}\omega$ versehen sei. Es sei ${}W\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen und es sei

\varphi \colon W\longrightarrow U

ein Diffeomorphismus mit der offenen Menge ${}U\subseteq M$ .

Dann ist ${}\varphi ^{-1}$ eine Karte von ${}M$ , und auf ${}W$ gilt

${}{\begin{aligned}\varphi ^{*}{\left(\omega {|}_{U}\right)}&=\left(\det \left(\left\langle {\begin{pmatrix}{\frac {\partial \varphi _{1}}{\partial x_{i}}}\\\vdots \\{\frac {\partial \varphi _{m}}{\partial x_{i}}}\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}{\frac {\partial \varphi _{1}}{\partial x_{j}}}\\\vdots \\{\frac {\partial \varphi _{m}}{\partial x_{j}}}\end{pmatrix}}\right\rangle \right)_{1\leq i,j\leq n}\right)^{1/2}dx_{1}\wedge \ldots \wedge dx_{n}\\&=\left(\det {\left({\frac {\partial \varphi _{1}}{\partial x_{i}}}{\frac {\partial \varphi _{1}}{\partial x_{j}}}+\cdots +{\frac {\partial \varphi _{m}}{\partial x_{i}}}{\frac {\partial \varphi _{m}}{\partial x_{j}}}\right)}_{1\leq i,j\leq n}\right)^{1/2}dx_{1}\wedge \ldots \wedge dx_{n}.\end{aligned}}$

???: Inhaltsberechnung für eingebettete Flächen

Es sei ${}M\subseteq G$ eine abgeschlossene Fläche in einer offenen Menge ${}G\subseteq \mathbb {R} ^{3}$ , die mit der induzierten riemannschen Struktur und der kanonischen Flächenform ${}\omega$ versehen sei. Es sei ${}W\subseteq \mathbb {R} ^{2}$ offen und es sei

\varphi \colon W\longrightarrow U

ein Diffeomorphismus mit der offenen Menge ${}U\subseteq M$ . Die Koordinaten von ${}\mathbb {R} ^{2}$ seien ${}u$ und ${}v$ und wir setzen

E=\left\langle {\begin{pmatrix}{\frac {\partial \varphi _{1}}{\partial u}}\\{\frac {\partial \varphi _{2}}{\partial u}}\\{\frac {\partial \varphi _{3}}{\partial u}}\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}{\frac {\partial \varphi _{1}}{\partial u}}\\{\frac {\partial \varphi _{2}}{\partial u}}\\{\frac {\partial \varphi _{3}}{\partial u}}\end{pmatrix}}\right\rangle ,\,F=\left\langle {\begin{pmatrix}{\frac {\partial \varphi _{1}}{\partial u}}\\{\frac {\partial \varphi _{2}}{\partial u}}\\{\frac {\partial \varphi _{3}}{\partial u}}\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}{\frac {\partial \varphi _{1}}{\partial v}}\\{\frac {\partial \varphi _{2}}{\partial v}}\\{\frac {\partial \varphi _{3}}{\partial v}}\end{pmatrix}}\right\rangle {\text{ und }}G=\left\langle {\begin{pmatrix}{\frac {\partial \varphi _{1}}{\partial v}}\\{\frac {\partial \varphi _{2}}{\partial v}}\\{\frac {\partial \varphi _{3}}{\partial v}}\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}{\frac {\partial \varphi _{1}}{\partial v}}\\{\frac {\partial \varphi _{2}}{\partial v}}\\{\frac {\partial \varphi _{3}}{\partial v}}\end{pmatrix}}\right\rangle .

Dann gilt auf ${}W$

${}{\begin{aligned}\varphi ^{*}(\omega {|}_{U})&={\sqrt {EG-F^{2}}}du\wedge dv\\\end{aligned}}$

???: Flächeninhalt einer Rotationsfläche

Es sei

\gamma \colon ]a,b[\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto (x(t),y(t)),

eine differenzierbare Kurve mit ${}y(t)>0$ , die einen Diffeomorphismus zu ${}M=\gamma (I)$ induziere, wobei ${}M\subseteq G$ eine eindimensionale abgeschlossene Untermannigfaltigkeit in einer offenen Menge ${}G\subseteq \mathbb {R} \times \mathbb {R} _{+}$ sei.

Dann ist die zugehörige Rotationsfläche eine abgeschlossene Untermannigfaltigkeit von ${}\mathbb {R} ^{3}$ ohne die ${}x$ -Achse, und ihr Flächeninhalt ist gleich

$2\pi \int _{a}^{b}{\sqrt {(x'(t))^{2}+(y'(t))^{2}}}\cdot y(t)\,dt.$

???: Eigenschaften der äußeren Ableitung auf Mannigfaltigkeiten

Es sei ${}M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit, ${}k\in \mathbb {N}$ und es sei

d\colon {\mathcal {E}}_{1}^{k}(M)\longrightarrow {\mathcal {E}}_{0}^{k+1}(M),\,\omega \longmapsto d\omega ,

die äußere Ableitung. Dann gelten folgende Eigenschaften.

Die äußere Ableitung
$d\colon {\mathcal {E}}_{1}^{0}(M)\longrightarrow {\mathcal {E}}_{0}^{1}(M),$

ist die Tangentialabbildung.

Die äußere Ableitung ist ${}\mathbb {R}$ - linear.

Für ${}\omega \in {\mathcal {E}}_{1}^{k}(M)$ und ${}\tau \in {\mathcal {E}}_{1}^{\ell }(M)$ gilt die Produktregel
${}d(\omega \wedge \tau )=(d\omega )\wedge \tau +(-1)^{k}\omega \wedge d\tau \,$

Für jede zweimal stetig differenzierbare Differentialform ${}\omega$ ist ${}d(d\omega )=0$ .

Es sei ${}L$ eine weitere differenzierbare Mannigfaltigkeit. Für eine stetig differenzierbare Abbildung
$\psi \colon L\longrightarrow M$

und jedes ${}\omega \in {\mathcal {E}}_{1}^{k}(M)$ gilt für die zurückgezogenen Differentialformen

${}d(\psi ^{*}\omega )=\psi ^{*}(d\omega )\,.$