Kurs:Analysis (Osnabrück 2021-2023)/Teil I/Liste der Hauptsätze

???: Prinzip der vollständigen Induktion

Für jede natürliche Zahl ${}n$ sei eine Aussage ${}A(n)$ gegeben. Es gelte

1. ${}A(0)$ ist wahr.
2. Für alle ${}n$ gilt: wenn ${}A(n)$ gilt, so ist auch ${}A(n+1)$ wahr.

Dann gilt ${}A(n)$ für alle ${}n$.

 

???: Der Binomische Lehrsatz

Es seien ${}a,b$ Elemente in einem Körper. Ferner sei ${}n$ eine natürliche Zahl.

Dann gilt

$(a+b)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}a^{k}b^{n-k}.$

 

???: Bernoullische Ungleichung

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper und ${}n$ eine natürliche Zahl. Dann gilt für jedes ${}x\in K$ mit ${}x\geq -1$ die Abschätzung

${}(1+x)^{n}\geq 1+nx\,.$

 

???: Rationale Zahlen in archimedisch angeordneten Körper

Es sei ${}K$ ein archimedisch angeordneter Körper.

Dann gibt es zwischen je zwei Elementen ${}x<y$ auch eine rationale Zahl ${}n/k$ (mit ${}n\in \mathbb {Z} ,\,k\in \mathbb {N} _{+}$) mit

${}x<{\frac {n}{k}}<y\,.$

 

???: Eindeutigkeit des Limes

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper und sei ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge in ${}K$.

Dann besitzt ${}x_{n}$ maximal einen Grenzwert.

 

???: Konvergente Folge ist ...

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper. Wenn eine Folge in ${}K$ konvergent ist,

so ist sie auch beschränkt.

 

???: Summenregel für konvergente Folgen

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper und es seien ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und ${}{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ konvergente Folgen in ${}K$.

Dann ist die Folge ${}{\left(x_{n}+y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ ebenfalls konvergent und es gilt

${}\lim _{n\rightarrow \infty }{\left(x_{n}+y_{n}\right)}={\left(\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}\right)}+{\left(\lim _{n\rightarrow \infty }y_{n}\right)}\,.$

 

???: Produktregel für konvergente Folgen

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper und es seien ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und ${}{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ konvergente Folgen in ${}K$.

Dann ist die Folge ${}{\left(x_{n}\cdot y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ ebenfalls konvergent und es gilt

${}\lim _{n\rightarrow \infty }{\left(x_{n}\cdot y_{n}\right)}={\left(\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}\right)}\cdot {\left(\lim _{n\rightarrow \infty }y_{n}\right)}\,.$

 

???: Quotientenregel für konvergente Folgen

Es sei ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine konvergente Folge in einem angeordneten Körper mit dem Grenzwert ${}\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}=x\neq 0$ und mit ${}x_{n}\neq 0$ für alle ${}n\in \mathbb {N}$,

Dann ist ${}{\left({\frac {1}{x_{n}}}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ ebenfalls konvergent mit

${}\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {1}{x_{n}}}={\frac {1}{x}}\,.$

 

???: Quetschkriterium

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper und es seien ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} },\,{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und ${}{\left(z_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ drei Folgen in ${}K$. Es gelte

$x_{n}\leq y_{n}\leq z_{n}{\text{ für alle }}n\in \mathbb {N}$

und ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und ${}{\left(z_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ konvergieren beide gegen den gleichen Grenzwert ${}a$.

Dann konvergiert auch ${}{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ gegen diesen Grenzwert ${}a$.

 

???: Beschränkte monotone reelle Folge ...

Eine beschränkte und monotone Folge in ${}\mathbb {R}$

konvergiert.

 

???: Satz über die reelle Intervallschachtelung

Es sei ${}I_{n}$, ${}n\in \mathbb {N}$, eine Intervallschachtelung in ${}\mathbb {R}$.

Dann besteht der Durchschnitt

$\bigcap _{n\in \mathbb {N} }I_{n}$

aus genau einem Punkt

${}x\in \mathbb {R}$.

Eine reelle Intervallschachtelung bestimmt also genau eine reelle Zahl.

 

???: Nach oben beschränkte reelle Teilmenge ...

Jede nichtleere nach oben beschränkte Teilmenge der reellen Zahlen

besitzt ein Supremum in ${}\mathbb {R}$.

 

???: Der Satz von Bolzano-Weierstraß

Es sei ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine beschränkte Folge von reellen Zahlen.

Dann besitzt die Folge eine konvergente Teilfolge.

 

???: Intervallschachtelung für Eulersche Zahl

Die Intervalle ${}I_{n}=[a_{n},b_{n}]$, ${}n\geq 1$, mit den Grenzen

$a_{n}={\left(1+{\frac {1}{n}}\right)}^{n}{\text{ und }}b_{n}={\left(1+{\frac {1}{n}}\right)}^{n+1}$

definieren eine Intervallschachtelung.

 

???: Verhalten der Reihenglieder bei Konvergenz

Es sei

$\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}$

eine konvergente Reihe von komplexen Zahlen.

Dann ist

${}\lim _{k\rightarrow \infty }a_{k}=0\,.$

 

???: Leibnizkriterium für alternierende Reihen

Es sei ${}{\left(x_{k}\right)}_{k\in \mathbb {N} }$ eine fallende Nullfolge von nichtnegativen reellen Zahlen.

Dann konvergiert die Reihe ${}\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}x_{k}$.

 

???: Majorantenkriterium

Es sei ${}\sum _{k=0}^{\infty }b_{k}$ eine konvergente Reihe von reellen Zahlen und ${}{\left(a_{k}\right)}_{k\in \mathbb {N} }$ eine Folge komplexer Zahlen mit ${}\vert {a_{k}}\vert \leq b_{k}$ für alle ${}k$.

Dann ist die Reihe

$\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}$

absolut konvergent.

 

???: Geometrische Reihe

Für alle komplexen Zahlen ${}z$ mit ${}\vert {z}\vert <1$ konvergiert die Reihe ${}\sum _{k=0}^{\infty }z^{k}$ absolut und es gilt

${}\sum _{k=0}^{\infty }z^{k}={\frac {1}{1-z}}\,.$

 

???: Quotientenkriterium

Es sei

$\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}$

eine Reihe von komplexen Zahlen. Es gebe eine reelle Zahl ${}q$ mit ${}0\leq q<1$ und ein ${}k_{0}$ mit

${}\vert {\frac {a_{k+1}}{a_{k}}}\vert \leq q\,$

für alle ${}k\geq k_{0}$ (Insbesondere sei ${}a_{k}\neq 0$ für ${}k\geq k_{0}$).

Dann konvergiert die Reihe ${}\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}$ absolut.

 

???: Division mit Rest (Polynomring)

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}K[X]$ der Polynomring über ${}K$. Es seien ${}P,T\in K[X]$ Polynome mit ${}T\neq 0$.

Dann gibt es eindeutig bestimmte Polynome ${}Q,R\in K[X]$ mit

$P=TQ+R{\text{ und mit }}\operatorname {grad} \,(R)<\operatorname {grad} \,(T){\text{ oder }}R=0.$

 

???: Linearer Faktor und Nullstelle eines Polynoms

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}K[X]$ der Polynomring über ${}K$. Es sei ${}P\in K[X]$ ein Polynom und ${}a\in K$.

Dann ist ${}a$ genau dann eine Nullstelle von ${}P$, wenn ${}P$ ein Vielfaches des linearen Polynoms ${}X-a$ ist.

 

???: Anzahl von Nullstellen eines Polynoms

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}K[X]$ der Polynomring über ${}K$. Es sei ${}P\in K[X]$ ein Polynom ($\neq 0$) vom Grad ${}d$.

Dann besitzt ${}P$ maximal ${}d$ Nullstellen.

 

???: Interpolationssatz für Polynome

Es sei ${}K$ ein Körper und es seien ${}n$ verschiedene Elemente ${}a_{1},\ldots ,a_{n}\in K$ und ${}n$ Elemente ${}b_{1},\ldots ,b_{n}\in K$ gegeben.

Dann gibt es ein eindeutiges Polynom ${}P\in K[X]$ vom Grad ${}\leq n-1$ derart, dass ${}P{\left(a_{i}\right)}=b_{i}$ für alle ${}i$ ist.

 

???: Folgenkriterium für Stetigkeit

Es sei ${}T\subseteq {\mathbb {K} }$ eine Teilmenge,

$f\colon T\longrightarrow {\mathbb {K} }$

eine Funktion und ${}x\in T$. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

1. ${}f$ ist stetig im Punkt ${}x$.
2. Für jede konvergente Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ in ${}T$ mit ${}\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}=x$ ist auch die Bildfolge ${}{\left(f(x_{n})\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ konvergent mit dem Grenzwert ${}f(x)$.

 

???: Stetigkeit bei Hintereinanderschaltung

Es seien ${}S\subseteq {\mathbb {K} }$ und ${}T\subseteq {\mathbb {K} }$ Teilmengen und

$f\colon S\longrightarrow {\mathbb {K} }$

und

$g\colon T\longrightarrow {\mathbb {K} }$

Funktionen mit ${}f(S)\subseteq T$. Dann gelten folgende Aussagen.

1. Wenn ${}f$ in ${}x\in S$ und ${}g$ in ${}f(x)$ stetig ist, so ist auch die Hintereinanderschaltung ${}g\circ f$ in ${}x$ stetig.
2. Wenn ${}f$ und ${}g$ stetig sind, so ist auch ${}g\circ f$stetig.

 

???: Rechenregeln für stetige Funktionen

Es sei ${}T\subseteq {\mathbb {K} }$ und seien

$f,g\colon T\longrightarrow {\mathbb {K} }$

stetige Funktionen.

Dann sind auch die Funktionen

$f+g\colon T\longrightarrow {\mathbb {K} },\,x\longmapsto f(x)+g(x),$

$f-g\colon T\longrightarrow {\mathbb {K} },\,x\longmapsto f(x)-g(x),$

$f\cdot g\colon T\longrightarrow {\mathbb {K} },\,x\longmapsto f(x)\cdot g(x),$

stetig. Für eine Teilmenge ${}U\subseteq T$, auf der ${}g$ keine Nullstelle besitzt, ist auch die Funktion

$f/g\colon U\longrightarrow {\mathbb {K} },\,x\longmapsto f(x)/g(x),$

stetig.

 

???: Der Zwischenwertsatz

Es seien ${}a\leq b$ reelle Zahlen und sei ${}f\colon [a,b]\rightarrow \mathbb {R}$ eine stetige Funktion. Es sei ${}u\in \mathbb {R}$ eine reelle Zahl zwischen ${}f(a)$ und ${}f(b)$.

Dann gibt es ein ${}x\in [a,b]$ mit ${}f(x)=u$.

 

???: Stetigkeit der Umkehrfunktion

Es sei ${}I\subseteq \mathbb {R}$ ein Intervall und

$f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

eine stetige, streng wachsende Funktion.

Dann ist das Bild

${}J:=f(I)\,$

ebenfalls ein Intervall, und die Umkehrabbildung

$f^{-1}\colon J\longrightarrow I$

ist ebenfalls stetig.

 

???: Wurzelfunktionen

Es sei ${}n\in \mathbb {N} _{+}$. Für ${}n$ ungerade ist

die Potenzfunktion

$\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto x^{n},$

stetig, streng wachsend, bijektiv und die Umkehrfunktion

$\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto x^{1/n},$

ist streng wachsend und stetig.

Für ${}n$ gerade ist die Potenzfunktion

$\mathbb {R} _{\geq 0}\longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 0},\,x\longmapsto x^{n},$

stetig, streng wachsend, bijektiv und die Umkehrfunktion

$\mathbb {R} _{\geq 0}\longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 0},\,x\longmapsto x^{1/n},$

ist streng wachsend und stetig.

 

???: Satz vom Maximum und Minimum

Es sei ${}[a,b]\subseteq \mathbb {R}$ ein abgeschlossenes beschränktes Intervall und sei

$f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R}$

eine stetige Funktion.

Dann gibt es ein ${}x\in [a,b]$ mit

$f(x)\geq f(x'){\text{ für alle }}x'\in [a,b].$

D.h., dass die Funktion ihr Maximum (und ihr Minimum) annimmt.

 

???: Gleichmäßige Stetigkeit auf Intervall

Eine stetige Funktion

$f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R}$

auf einem abgeschlossenen beschränkten Intervall

ist gleichmäßig stetig.

 

???: Stetige Fortsetzbarkeit bei gleichmäßig stetig

Es sei ${}T\subseteq {\mathbb {K} }$ eine Teilmenge und ${}{\overline {T}}$ die Menge aller Berührpunkte von ${}T$. Es sei

$f\colon T\longrightarrow {\mathbb {K} }$

eine gleichmäßig stetige Funktion.

Dann gibt es eine eindeutig bestimmte stetige Fortsetzung

${\tilde {f}}\colon {\overline {T}}\longrightarrow {\mathbb {K} }.$

 

???: Eigenschaften der reellen Exponentialfunktion

Es sei ${}b$ eine positive reelle Zahl. Dann besitzt die Exponentialfunktion

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto b^{x},$

folgende Eigenschaften.

1. Es ist ${}b^{x+x'}=b^{x}\cdot b^{x'}$ für alle ${}x,x'\in \mathbb {R}$.
2. Es ist ${}b^{-x}={\frac {1}{b^{x}}}$.
3. Für ${}b>1$ und ${}x>0$ ist ${}b^{x}>1$.
4. Für ${}b<1$ und ${}x>0$ ist ${}b^{x}<1$.
5. Für ${}b>1$ ist ${}f$ streng wachsend.
6. Für ${}b<1$ ist ${}f$ streng fallend.
7. Es ist ${}(b^{x})^{x'}=b^{x\cdot x'}$ für alle ${}x,x'\in \mathbb {R}$.
8. Für ${}a\in \mathbb {R} _{+}$ ist ${}(ab)^{x}=a^{x}\cdot b^{x}$.

 

???: Konvergenz des Cauchy-Produkts

Es seien

$\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}{\text{ und }}\sum _{k=0}^{\infty }b_{k}$

zwei absolut konvergente Reihen komplexer Zahlen.

Dann ist auch das Cauchy-Produkt ${}\sum _{k=0}^{\infty }c_{k}$ absolut konvergent und für die Summe gilt

${}\sum _{k=0}^{\infty }c_{k}={\left(\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}\right)}\cdot {\left(\sum _{k=0}^{\infty }b_{k}\right)}\,.$

 

???: Konvergenz der Exponentialreihe

Für jedes ${}z\in {\mathbb {C} }$ ist die Exponentialreihe

$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}$

absolut konvergent.

 

???: Funktionalgleichung der Exponentialfunktion

Für komplexe Zahlen ${}z,w\in {\mathbb {C} }$ gilt

${}\exp \left(z+w\right)=\exp z\cdot \exp w\,.$

 

???: Eigenschaften der Exponentialfunktion

Die Exponentialfunktion

${\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto \exp z,$

besitzt folgende Eigenschaften.

1. Es ist ${}\exp 0=1$.
2. Für jedes ${}z\in {\mathbb {C} }$ ist ${}\exp \left(-z\right)=(\exp z)^{-1}$. Insbesondere ist ${}\exp z\neq 0$.
3. Für ganze Zahlen ${}n\in \mathbb {Z}$ ist ${}\exp n=(\exp 1)^{n}$.
4. Für reelles ${}z$ ist ${}\exp z\in \mathbb {R} _{+}$.
5. Für reelle Zahlen ${}z>0$ ist ${}\exp z>1$ und für ${}z<0$ ist ${}\exp z<1$.
6. Die reelle Exponentialfunktion ist streng wachsend.

 

???: Eigenschaften der trigonometrischen Funktionen

Die Funktionen

${\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto \cos z,$

und

${\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto \sin z,$

besitzen für ${}z,w\in {\mathbb {C} }$ folgende Eigenschaften.

1. Für ${}z=x+{\mathrm {i} }y$ ist

   ${}\exp z=(\exp x)(\cos y+{\mathrm {i} }\sin y)\,.$

   Speziell gilt die eulersche Formel

   ${}\exp {\mathrm {i} }y=\cos y+{\mathrm {i} }\sin y\,.$

2. Es ist ${}\cos 0=1$ und ${}\sin 0=0$.
3. Es ist ${}\cos \left(-z\right)=\cos z$ und ${}\sin \left(-z\right)=-\sin z$.
4. Es ist

   ${}\cos z={\frac {\exp \left({\mathrm {i} }z\right)+\exp \left(-{\mathrm {i} }z\right)}{2}}\,$

   und

   ${}\sin z={\frac {\exp \left({\mathrm {i} }z\right)-\exp \left(-{\mathrm {i} }z\right)}{2{\mathrm {i} }}}\,.$

5. Es gelten die Additionstheoreme

   ${}\cos(z+w)=\cos z\,\cos w-\sin z\,\sin w\,$

   und

   ${}\sin(z+w)=\sin z\,\cos w+\cos z\,\sin w\,.$

6. Es gilt

   ${}(\cos z)^{2}+(\sin z)^{2}=1\,.$

 

???: Grenzfunktion einer gleichmäßig konvergenten Funktionenfolge

Es sei ${}T\subseteq {\mathbb {K} }$

eine Teilmenge und es sei

$f_{n}\colon T\longrightarrow {\mathbb {K} }$

eine Folge von stetigen Funktionen, die gleichmäßig gegen die Funktion ${}f$ konvergiert.

Dann ist ${}f$ stetig.

 

???: Weierstraß-Kriterium

Es sei ${}T$ eine Menge und sei

$g_{k}\colon T\longrightarrow {\mathbb {K} }$

eine Funktionenfolge mit

${}\sum _{k=0}^{\infty }\Vert {g_{k}}\Vert <\infty \,.$

Dann konvergiert die Reihe ${}\sum _{k=0}^{\infty }g_{k}$ (also die Funktionenfolge ${}f_{n}=\sum _{k=0}^{n}g_{k}$) gleichmäßig und punktweise absolut gegen eine Funktion

$f\colon T\longrightarrow {\mathbb {K} }.$

 

???: Konvergenzverhalten einer Potenzreihe

Es sei ${}{\left(c_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge komplexer Zahlen und ${}a\in {\mathbb {C} }$. Die Potenzreihe

${}f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}(z-a)^{n}\,$

sei für eine komplexe Zahl ${}z=b$, ${}b\neq a$, konvergent.

Dann ist für jeden reellen Radius ${}r$ mit ${}0<r<\vert {b-a}\vert$ die Potenzreihe ${}f(z)$ auf der abgeschlossenen Kreisscheibe ${}B\left(a,r\right)$ punktweise absolut und gleichmäßig konvergent.

 

???: Stetigkeit einer Potenzreihe

Es sei

${}f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}(z-a)^{n}\,$

eine Potenzreihe mit einem positiven Konvergenzradius ${}r$.

Dann stellt die Potenzreihe ${}f(z)$ auf der offenen Kreisscheibe ${}U{\left(a,r\right)}$ eine stetige Funktion dar.

 

???: Verschiedene Beschreibungen für reelle Exponentialfunktion

Für die (durch die Exponentialreihe definierte) reelle Exponentialfunktion

$\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \exp x,$

gilt

$\exp x=(\exp 1)^{x}.$

 

???: Identitätssatz für Potenzreihen

Es seien ${}f=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n}$ und ${}g=\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}z^{n}$ Potenzreihen mit positiven Konvergenzradien und derart, dass es ein ${}\epsilon >0$ gibt, dass die dadurch definierten Funktionen

$f,g\colon U{\left(0,\epsilon \right)}\longrightarrow {\mathbb {K} }$

übereinstimmen.

Dann ist ${}a_{n}=b_{n}$ für alle ${}n\in \mathbb {N}$.

 

???: Der große Umordnungssatz

Es sei ${}a_{i}$, ${}i\in I$, eine summierbare Familie von komplexen Zahlen mit der Summe ${}s$. Es sei ${}J$ eine weitere Indexmenge und zu jedem ${}j\in J$ sei eine Teilmenge ${}I_{j}\subseteq I$ gegeben mit ${}I=\bigcup _{j\in J}I_{j}$ und ${}I_{j}\cap I_{j'}=\emptyset$ für ${}j\neq j'$.

Dann sind die Teilfamilien ${}a_{i}$, ${}i\in I_{j}$, summierbar und für ihre Summen ${}s_{j}=\sum _{i\in I_{j}}a_{i}$ gilt, dass die Familie ${}s_{j}$, ${}j\in J$, summierbar ist mit

${}s=\sum _{j\in J}s_{j}\,.$

 

???: Entwicklungssatz für Potenzreihen

Es sei

${}f=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}(z-a)^{n}\,$

eine konvergente Potenzreihe mit dem Konvergenzradius ${}R>0$ und sei ${}b\in U{\left(a,R\right)}$.

Dann gibt es eine konvergente Potenzreihe

${}h=\sum _{i=0}^{\infty }d_{i}(z-b)^{i}\,$

mit Entwicklungspunkt ${}b$ und mit einem Konvergenzradius ${}s\geq R-\vert {a-b}\vert >0$ derart, dass die durch diese beiden Potenzreihen dargestellten Funktionen auf ${}U{\left(a,R\right)}\cap U{\left(b,s\right)}$ übereinstimmen.

Die Koeffizienten von ${}h$ sind

${}d_{i}=\sum _{n=i}^{\infty }{\binom {n}{i}}c_{n}(b-a)^{n-i}\,$

und insbesondere ist

${}d_{1}=\sum _{n=1}^{\infty }nc_{n}(b-a)^{n-1}\,.$

 

???: Lineare Approximierbarkeit

Es sei ${}D\subseteq {\mathbb {K} }$ offen, ${}a\in D$ ein Punkt und

$f\colon D\longrightarrow {\mathbb {K} }$

eine Funktion.

Dann ist ${}f$ in ${}a$ genau dann differenzierbar, wenn es ein ${}s\in {\mathbb {K} }$ und eine Funktion

$r\colon D\longrightarrow {\mathbb {K} }$

gibt mit ${}r$ stetig in ${}a$ und ${}r(a)=0$ und mit

${}f(x)=f(a)+s(x-a)+r(x)(x-a)\,.$

 

???: Produktregel für differenzierbare Funktionen

Es sei ${}D\subseteq {\mathbb {K} }$ offen, ${}a\in D$ ein Punkt und

$f,g\colon D\longrightarrow {\mathbb {K} }$

Funktionen, die in ${}a$ differenzierbar seien.

Dann ist das Produkt ${}f\cdot g$ differenzierbar in ${}a$ mit

${}(f\cdot g)'(a)=f'(a)g(a)+f(a)g'(a)\,.$

 

???: Quotientenregel für differenzierbare Funktionen

Es sei ${}D\subseteq {\mathbb {K} }$ offen, ${}a\in D$ ein Punkt und

$f,g\colon D\longrightarrow {\mathbb {K} }$

Funktionen, die in ${}a$ differenzierbar seien. Die Funktion ${}g$ habe keine Nullstelle in ${}D$.

Dann ist ${}f/g$ differenzierbar in ${}a$ mit

${}\left({\frac {f}{g}}\right)'(a)={\frac {f'(a)g(a)-f(a)g'(a)}{(g(a))^{2}}}\,.$

 

???: Kettenregel

Es seien ${}D$ und ${}E$ offene Mengen in ${}{\mathbb {K} }$ und seien

$f\colon D\longrightarrow {\mathbb {K} }$

und

$g\colon E\longrightarrow {\mathbb {K} }$

Funktionen mit ${}f(D)\subseteq E$. Es sei ${}f$ in ${}a$ differenzierbar und ${}g$ sei in

${}b=f(a)\,$

differenzierbar.

Dann ist auch die Hintereinanderschaltung

$g\circ f\colon D\longrightarrow {\mathbb {K} }$

in ${}a$ differenzierbar mit der Ableitung

${}(g\circ f)'(a)=g'(f(a))\cdot f'(a)\,.$

 

???: Ableitung der Umkehrfunktion

Es seien ${}D$ und ${}E$ offene Mengen in ${}{\mathbb {K} }$ und sei

$f\colon D\longrightarrow E$

eine bijektive stetige Funktion mit einer stetigen Umkehrfunktion

$f^{-1}\colon E\longrightarrow D$

Es sei ${}f$ in

${}a\in D$ differenzierbar mit ${}f'(a)\neq 0$.

Dann ist auch die Umkehrfunktion ${}f^{-1}$ in ${}b=f(a)$ differenzierbar mit

${}{\left(f^{-1}\right)}'(b)={\frac {1}{f'(f^{-1}(b))}}={\frac {1}{f'(a)}}\,.$

 

???: Extrema und erste Ableitung

Es sei ${}D\subseteq \mathbb {R}$ offen und sei

$f\colon D\longrightarrow \mathbb {R}$

eine Funktion, die in ${}a\in D$ ein lokales Extremum besitze und dort differenzierbar sei.

Dann ist

${}f'(a)=0\,.$

 

???: Der Mittelwertsatz der Differentialrechnung

Es sei ${}a<b$ und sei

$f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R}$

eine stetige, auf ${}]a,b[$ differenzierbare Funktion.

Dann gibt es ein ${}c\in {]a,b[}$ mit

${}f'(c)={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}\,.$

 

???: Ableitungskriterium für konstante Funktionen

Es sei

$f\colon {]a,b[}\longrightarrow \mathbb {R}$

eine differenzierbare Funktion mit ${}f'(x)=0$ für alle ${}x\in {]a,b[}$.

Dann ist ${}f$ konstant.

 

???: Ableitung und Wachstumsverhalten

Es sei ${}I\subseteq \mathbb {R}$ ein offenes Intervall und

$f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

eine differenzierbare Funktion. Dann gelten folgende Aussagen.

1. Die Funktion ${}f$ ist genau dann auf ${}I$ wachsend (bzw. fallend), wenn ${}f'(x)\geq 0$ (bzw. ${}f'(x)\leq 0$) für alle ${}x\in I$ ist.
2. Wenn ${}f'(x)\geq 0$ für alle ${}x\in I$ ist und ${}f'$ nur endlich viele Nullstellen besitzt, so ist ${}f$ streng wachsend.
3. Wenn ${}f'(x)\leq 0$ für alle ${}x\in I$ ist und ${}f'$ nur endlich viele Nullstellen besitzt, so ist ${}f$ streng fallend.

 

???: Der zweite Mittelwertsatz der Differentialrechnung

Es sei ${}b>a$ und seien

$f,g\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R}$

stetige, auf ${}]a,b[$ differenzierbare Funktionen mit

${}g'(x)\neq 0\,$

für alle ${}x\in {]a,b[}$.

Dann ist ${}g(b)\neq g(a)$ und es gibt ein ${}c\in {]a,b[}$ mit

${}{\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}={\frac {f'(c)}{g'(c)}}\,.$

 

???: Regel von l'Hospital

Es sei ${}I\subseteq \mathbb {R}$ ein offenes Intervall und ${}a\in I$ ein Punkt. Es seien

$f,g\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

stetige Funktionen, die auf ${}I\setminus \{a\}$ differenzierbar seien mit ${}f(a)=g(a)=0$ und mit ${}g'(x)\neq 0$ für ${}x\neq a$. Es sei vorausgesetzt, dass der Grenzwert

${}w:=\operatorname {lim} _{x\in I\setminus \{a\},\,x\rightarrow a}\,{\frac {f'(x)}{g'(x)}}\,$

existiert.

Dann existiert auch der Grenzwert

$\operatorname {lim} _{x\in I\setminus \{a\},\,x\rightarrow a}\,{\frac {f(x)}{g(x)}},$

und sein Wert ist ebenfalls ${}w$.

 

???: Differentielle Charakterisierung von konvexen Funktionen

Es sei ${}I\subseteq \mathbb {R}$ ein Intervall und

$f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

eine differenzierbare Funktion.

Dann ist ${}f$ genau dann eine konvexe (konkave) Funktion, wenn die Ableitung ${}f'$ wachsend (fallend) ist.

 

???: Jensensche Ungleichung

Es sei

$f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

eine konvexe Funktion, seien ${}x_{1},\ldots ,x_{n}\in I$ und ${}t_{1},\ldots ,t_{n}\in \mathbb {R} _{\geq 0}$ mit ${}\sum _{i=1}^{n}t_{i}=1$.

Dann ist

${}f{\left(\sum _{i=1}^{n}t_{i}x_{i}\right)}\leq \sum _{i=1}^{n}t_{i}f(x_{i})\,.$

 

???: Ableitung von Potenzreihe

Es sei

${}g=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(z-a)^{n}\,$

eine

konvergente Potenzreihe mit dem Konvergenzradius ${}R>0$.

Dann ist auch die formal abgeleitete Potenzreihe

${}{\tilde {g}}=\sum _{n=1}^{\infty }na_{n}(z-a)^{n-1}\,$

konvergent mit demselben Konvergenzradius. Die durch die Potenzreihe ${}g$ dargestellte Funktion ${}f$ ist in jedem Punkt ${}z\in U{\left(a,R\right)}$ differenzierbar mit

${}f'(z)={\tilde {g}}(z)\,.$

 

???: Ableitung der Exponentialfunktion

Die Exponentialfunktion

${\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto \exp z,$

ist differenzierbar mit

${}\exp \!'(z)=\exp z\,.$

 

???: Ableitung des natürlichen Logarithmus

Die Ableitung des natürlichen Logarithmus

$\ln \colon \mathbb {R} _{+}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \ln x,$

ist

$\ln \!'\colon \mathbb {R} _{+}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto {\frac {1}{x}}.$

 

???: Ableitung von Potenzfunktionen

Es sei ${}\alpha \in \mathbb {R}$.

Dann ist die Funktion

$f\colon \mathbb {R} _{+}\longrightarrow \mathbb {R} _{+},\,x\longmapsto x^{\alpha },$

differenzierbar und ihre Ableitung ist

${}f'(x)=\alpha x^{\alpha -1}\,.$

 

???: Eulersche Zahl und Exponentialreihe

Für die eulersche Zahl gilt die Gleichheit

${}e=\lim _{n\rightarrow \infty }{\left(1+{\frac {1}{n}}\right)}^{n}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k!}}=\exp 1\,.$

 

???: Ableitung von Sinus

Die Sinusfunktion

${\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto \sin z,$

ist differenzierbar mit

${}\sin \!'(z)=\cos z\,.$

 

???: Ableitung von Kosinus

Die Kosinusfunktion

${\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto \cos z,$

ist differenzierbar mit

${}\cos \!'(z)=-\sin z\,.$

 

???: Periodizitätseigenschaften von Sinus und Kosinus

Die Sinusfunktion und die Kosinusfunktion erfüllen in ${}{\mathbb {C} }$ folgende Periodizitätseigenschaften.

1. Es ist ${}\cos \left(z+2\pi \right)=\cos z$ und ${}\sin \left(z+2\pi \right)=\sin z$ für alle ${}z\in {\mathbb {C} }$.
2. Es ist ${}\cos \left(z+\pi \right)=-\cos z$ und ${}\sin \left(z+\pi \right)=-\sin z$ für alle ${}z\in {\mathbb {C} }$.
3. Es ist ${}\cos \left(z+\pi /2\right)=-\sin z$ und ${}\sin \left(z+\pi /2\right)=\cos z$ für alle ${}z\in {\mathbb {C} }$.
4. Es ist ${}\cos 0=1$, ${}\cos \pi /2=0$, ${}\cos \pi =-1$ ${}\cos 3\pi /2=0$ und ${}\cos 2\pi =1$. Die Nullstellen des Kosinus sind von der Form ${}{\frac {\pi }{2}}+n\pi$, ${}n\in \mathbb {Z}$.
5. Es ist ${}\sin 0=0$, ${}\sin \pi /2=1$, ${}\sin \pi =0$, ${}\sin 3\pi /2=-1$ und ${}\sin 2\pi =0$. Die Nullstellen des Sinus sind von der Form ${}n\pi$, ${}n\in \mathbb {Z}$.

 

???: Monotonieeigenschaften der trigonometrischen Funktionen

Die reelle Sinusfunktion

induziert eine bijektive, streng wachsende Funktion

$[-\pi /2,\pi /2]\longrightarrow [-1,1],$

und die reelle Kosinusfunktion induziert eine bijektive streng fallende Funktion

$[0,\pi ]\longrightarrow [-1,1].$

 

???: Periodizitätseigenschaften der Exponentialfunktion

Die komplexe Exponentialfunktion besitzt die folgenden Eigenschaften.

1. Es ist ${}e^{z}=e^{z+2\pi {\mathrm {i} }}$.
2. Es ist ${}e^{z}=1$ genau dann, wenn ${}z=2\pi {\mathrm {i} }n$ für ein ${}n\in \mathbb {Z}$ ist.
3. Es ist ${}e^{z}=e^{w}$ genau dann, wenn ${}z-w=2\pi {\mathrm {i} }n$ für ein ${}n\in \mathbb {Z}$ ist.

 

???: Polarkoordinaten

Zu jeder komplexen Zahl ${}z\in {\mathbb {C} }$ , ${}z\neq 0$,

gibt es eine eindeutige Darstellung

${}z=r\cdot \exp({\mathrm {i} }\varphi )=re^{{\mathrm {i} }\varphi }=r(\cos \varphi +{\mathrm {i} }\sin \varphi )\,$

mit ${}r\in \mathbb {R} _{+}$ und mit ${}\varphi \in [0,2\pi [$.

 

???: Komplexe Wurzeln

Es sei ${}z\in {\mathbb {C} }$ eine komplexe Zahl und ${}n\in \mathbb {N} _{+}$.

Dann gibt es eine komplexe Zahl ${}w$ mit

${}w^{n}=z\,.$

 

???: Einheitswurzeln in ${}{\mathbb {C} }$

Es sei ${}n\in \mathbb {N} _{+}$.

Die Nullstellen des Polynoms ${}X^{n}-1$ über ${}{\mathbb {C} }$ sind

$e^{2\pi {\mathrm {i} }k/n}=\cos {\frac {2\pi k}{n}}+{\mathrm {i} }\sin {\frac {2\pi k}{n}},k=0,1,\ldots ,n-1.$

In ${}{\mathbb {C} }[X]$ gilt die Faktorisierung

${}X^{n}-1=(X-1)(X-e^{2\pi {\mathrm {i} }/n}){\cdots }(X-e^{2\pi {\mathrm {i} }(n-1)/n})\,.$

 

???: Taylor-Formel

Es sei ${}I$ ein reelles Intervall,

$f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

eine ${}(n+1)$-mal differenzierbare Funktion und ${}a\in I$ ein innerer Punkt des Intervalls.

Dann gibt es zu jedem Punkt ${}x\in I$ ein ${}c\in I$ mit

$f(x)=\sum _{k=0}^{n}{\frac {f^{(k)}(a)}{k!}}(x-a)^{k}+{\frac {f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}}(x-a)^{n+1}.$

Dabei kann ${}c$ zwischen ${}a$ und ${}x$ gewählt werden.

 

???: Taylor-Abschätzung

Es sei ${}I$ ein beschränktes abgeschlossenes Intervall,

$f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

eine ${}(n+1)$-mal stetig differenzierbare Funktion, ${}a\in I$ ein innerer Punkt und ${}B:={\max {\left(\vert {f^{(n+1)}(c)}\vert ,c\in I\right)}}$.

Dann gilt zwischen ${}f(x)$ und dem ${}n$-ten Taylor-Polynom die Fehlerabschätzung

${}\vert {f(x)-\sum _{k=0}^{n}{\frac {f^{(k)}(a)}{k!}}(x-a)^{k}}\vert \leq {\frac {B}{(n+1)!}}\vert {x-a}\vert ^{n+1}\,.$

 

???: Charakterisierung von Extrema mit höheren Ableitungen

Es sei ${}I$ ein reelles Intervall,

$f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

eine ${}(n+1)$-mal stetig differenzierbare Funktion, und ${}a\in I$ ein innerer Punkt des Intervalls. Es gelte

$f'(a)=f^{\prime \prime }(a)=\ldots =f^{(n)}(a)=0{\text{ und }}f^{(n+1)}(a)\neq 0.$

Dann gelten folgende Aussagen.

1. Wenn ${}n$ gerade ist, so besitzt ${}f$ in ${}a$ kein lokales Extremum.
2. Es sei ${}n$ ungerade. Bei ${}f^{(n+1)}(a)>0$ besitzt ${}f$ in ${}a$ ein isoliertes lokales Minimum.
3. Es sei ${}n$ ungerade. Bei ${}f^{(n+1)}(a)<0$ besitzt ${}f$ in ${}a$ ein isoliertes lokales Maximum.

 

???: Integrierbarkeit stetiger Funktionen

Es sei ${}I$ ein reelles Intervall und sei

$f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

eine stetige Funktion.

Dann ist ${}f$ Riemann-integrierbar.

 

???: Mittelwertsatz der Integralrechnung

Es sei ${}[a,b]$ ein kompaktes Intervall und sei

$f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R}$

eine stetige Funktion.

Dann gibt es ein ${}c\in [a,b]$ mit

${}\int _{a}^{b}f(t)\,dt=f(c)(b-a)\,.$

 

???: Hauptsatz der Infinitesimalrechnung

Es sei ${}I$ ein reelles Intervall und sei

$f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

eine stetige Funktion. Es sei ${}a\in I$ und es sei

${}F(x):=\int _{a}^{x}f(t)\,dt\,$

die zugehörige Integralfunktion.

Dann ist ${}F$ differenzierbar und es gilt

${}F'(x)=f(x)\,$

für alle ${}x\in I$.

 

???: Existenz von Stammfunktionen

Es sei ${}I$ ein reelles Intervall und sei

$f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

eine stetige Funktion.

Dann besitzt ${}f$ eine Stammfunktion.

 

???: Newton-Leibniz-Formel

Es sei ${}I$ ein reelles Intervall und sei

$f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

eine stetige Funktion, für die ${}F$ eine Stammfunktion sei.

Dann gilt für ${}a,b\in I$ die Gleichheit

${}\int _{a}^{b}f(t)\,dt=F(b)-F(a)\,.$

 

???: Stammfunktion der Potenzreihe

Es sei

${}f=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}\,$

eine in ${}U{\left(0,r\right)}$ konvergente Potenzreihe.

Dann ist die Potenzreihe

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n-1}}{n}}x^{n}$

ebenfalls in ${}U{\left(0,r\right)}$ konvergent und stellt dort eine Stammfunktion für ${}f$ dar.

 

???: Partielle Integration

Es seien

$f,g\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R}$

stetig differenzierbare Funktionen.

Dann gilt

${}\int _{a}^{b}f(t)g'(t)\,dt=fg|_{a}^{b}-\int _{a}^{b}f'(t)g(t)\,dt\,.$

 

???: Stammfunktion der Umkehrfunktion

Es sei ${}f\colon [a,b]\rightarrow [c,d]$ eine bijektive differenzierbare Funktion und es sei ${}F$ eine Stammfunktion von ${}f$.

Dann ist

${}G(y):=yf^{-1}(y)-F{\left(f^{-1}(y)\right)}\,$

eine Stammfunktion der Umkehrfunktion ${}f^{-1}$.

 

???: Substitutionsregel

Es sei ${}I$ ein reelles Intervall und sei

$f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

eine stetige Funktion. Es sei

$g\colon [a,b]\longrightarrow I$

stetig differenzierbar.

Dann gilt

${}\int _{a}^{b}f(g(t))g'(t)\,dt=\int _{g(a)}^{g(b)}f(s)\,ds\,.$

 

???: Lösungsverfahren für homogene lineare gewöhnliche Differentialgleichungen

Es sei

${}y'=g(t)y\,$

eine homogene lineare gewöhnliche Differentialgleichung mit einer stetigen Funktion

$g\colon I\longrightarrow \mathbb {R} ,\,t\longmapsto g(t),$

die auf einem Intervall ${}I\subseteq \mathbb {R}$ definiert sei. Es sei ${}G$ eine Stammfunktion zu ${}g$ auf ${}I$.

Dann sind die Lösungen der Differentialgleichung gleich

$y(t)=c\cdot \exp(G(t)){\text{ mit }}c\in \mathbb {R} .$

Das Anfangswertproblem

$y'=g(t)y{\text{ und }}y(t_{0})=y_{0}$

(mit ${}t_{0}\in I,\,y_{0}\in \mathbb {R}$) besitzt eine eindeutige Lösung.

 

???: Lösungsverfahren für inhomogene lineare gewöhnliche Differentialgleichungen

Es sei

${}y'=g(t)y+h(t)\,$

eine inhomogene lineare gewöhnliche Differentialgleichung mit stetigen Funktionen ${}g,h\colon I\rightarrow \mathbb {R}$. Es sei ${}G$ eine Stammfunktion von ${}g$ und es sei

${}a(t)=\exp(G(t))\,$

eine Lösung der zugehörigen homogenen linearen Differentialgleichung.

Dann sind die Lösungen (auf ${}I$) der inhomogenen Differentialgleichung genau die Funktionen

${}y(t)=c(t)a(t)\,,$

wobei ${}c(t)$ eine Stammfunktion zu ${}{\frac {h(t)}{a(t)}}$ ist.

Das Anfangswertproblem

$y'=g(t)y+h(t){\text{ und }}y(t_{0})=y_{0}$

(mit ${}t_{0}\in I,\,y_{0}\in \mathbb {R}$) besitzt eine eindeutige Lösung.

 

???: Lösungen für Differentialgleichungen mit getrennten Variablen

Es sei

${}y'=g(t)\cdot h(y)\,$

eine Differentialgleichung mit getrennten Variablen mit stetigen Funktionen

$g\colon I\longrightarrow \mathbb {R} ,\,t\longmapsto g(t),$

und

$h\colon J\longrightarrow \mathbb {R} ,\,y\longmapsto h(y),$

wobei ${}h$ keine Nullstelle besitze. Es sei ${}G$ eine Stammfunktion von ${}g$ und ${}H$ eine Stammfunktion von ${}{\frac {1}{h}}$. Weiter sei ${}I'\subseteq I$ ein Teilintervall mit ${}G(I')\subseteq H(J)$.

Dann ist ${}H$ eine bijektive Funktion auf sein Bild ${}H(J)$ und die Lösungen dieser Differentialgleichung haben die Form

${}y(t)=H^{-1}(G(t))\,.$

Wenn zusätzlich die Anfangsbedingung

$y(t_{0})=y_{0}{\text{ mit }}(t_{0},y_{0})\in I\times J$

gegeben ist, und wenn die Stammfunktionen die zusätzlichen Eigenschaften ${}G(t_{0})=0$ und ${}H(y_{0})=0$ erfüllen, so ist

${}y(t)=H^{-1}(G(t))\,$

die eindeutige Lösung des Anfangswertproblems.

 

???: Zeitunabhängige Differentialgleichungen

Es sei

${}y'=h(y)\,$

eine zeitunabhängige Differentialgleichung mit einer

stetigen Funktion

$h\colon J\longrightarrow \mathbb {R} ,\,y\longmapsto h(y),$

ohne Nullstelle. Es sei ${}H$ eine Stammfunktion von ${}{\frac {1}{h}}$ mit der Umkehrfunktion

$H^{-1}\colon J'\longrightarrow J.$

Dann sind die Funktionen

$y(t)=H^{-1}(t+c){\text{ mit }}c\in \mathbb {R}$

die Lösungen dieser Differentialgleichung auf dem Intervall ${}H(J)-c$.