Kurs:Analysis I/Kapitel I: Das System der reellen und komplexen Zahlen/Überabzählbarkeit und Konvergenzeigenschaften reeller Zahlen (§3)

Besitzt eine Menge $M$ – nur – endlich viele Elemente, so kann man diese mittels $1,2,\ldots ,n$ durchnummerieren und erhält $M=\{x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\}$; dabei wurde $n\in \mathbb {N}$ geeignet gewählt. Besitzt eine Menge unendlich viele Elemente, so können zwei Fälle eintreten:

(i) Lassen sich ihre Elemente als Folge $\{x_{n}\}$ schreiben, so erhalten wir eine abzählbare Menge

$M=\{x_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }\Leftrightarrow$ Es gibt eine Bijektion $f:\mathbb {N} \to M$ vermöge $n\mapsto x_{n}$.

(ii) Die Elemente der Menge $M$ können nicht durch eine Folge angegeben werden. In diesem Fall sprechen wir von einer überabzählbaren – oder auch nicht abzählbaren – Menge.

Bemerkung

Jede endliche Menge ist abzählbar. Die Menge $\mathbb {N}$ ist trivialerweise abzählbar.

Satz 1

Die Menge der rationalen Zahlen ist abzählbar.

Beweis

Es genügt zu zeigen, dass die Menge

$M_{1}:=\left\{r={\frac {p}{q}}:p,q\in \mathbb {N} \right\}=\{x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n},\ldots \}\subset \mathbb {Q}$

der positiven rationalen Zahlen abzählbar ist. Dann gibt es eine bijektive Abbildung

$f:\mathbb {N} \to \mathbb {Q}$ vermöge $1\mapsto 0,\quad 2\mapsto x_{1},\quad 3\mapsto -x_{1},\quad 4\mapsto x_{2},\quad 5\mapsto -x_{2}$ usw.

Die Abzählbarkeit von $M_{1}$ wird durch das Diagonalverfahren von Cantor deutlich. Wir nummerieren die positiven rationalen Zahlen in Richtung der Pfeile. Erscheint ein $r\in M_{1}$ mehrfach in dem Schema, so erhält $r$ nur beim ersten Auftreten eine Nummer und wird dann nicht mehr berücksichtigt. $M$ ist abzählbar, denn jede Diagonale hat endlich viele Elemente und alle Diagonalen sind abzählbar. Es entsteht die Folge

$\{x_{n}\}=1,{\frac {1}{2}},2,3,{\frac {1}{3}},{\frac {1}{4}},{\frac {2}{3}},{\frac {3}{2}},4,5,\ldots$.

q.e.d.

Satz 2

Die Menge der reellen Zahlen des Intervalls $[0,1]$ ist überabzählbar.

Beweis

Sei $M_{2}:=\{x\in \mathbb {R} :0\leq x\leq 1\}$. Angenommen, die Menge $M_{2}$ wäre abzählbar. Dann wird $M_{2}$ durch eine Folge $\{x_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }$ gegeben. Nach §1 lässt sich jedes $x_{n}\in M_{2}$ durch die Dezimalbruchentwicklung

(1) $x_{n}=\left\{\sum _{k=1}^{m}{\frac {b_{nk}}{10^{k}}}\right\}_{m\in \mathbb {N} }$ mit den Ziffern $b_{nk}\in \{0,1,2,\ldots ,9\}$

darstellen. Um die Annahme zum Widerspruch zu führen, geben wir nun ein $\alpha \in M_{2}$ an, welches nicht Element der Folge reeller Zahlen $\{x_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }$ ist – für das also $\alpha \neq x_{n}$ für alle $n\in \mathbb {N}$ gilt. Es sei eine Folge mit den Gliedern $b_{n}\in \{0,1,2,\ldots ,9\}$ und $b_{n}\neq b_{nn}$ für alle $n\in \mathbb {N}$ gewählt. Dann setzen wir

(2) $\alpha :=\left\{\sum _{k=1}^{m}{\frac {b_{k}}{10^{k}}}\right\}_{m\in \mathbb {N} }$.

Offenbar unterscheidet sich die Zahl $\alpha$ in der $n$-ten Stelle von der Dezimalbruchentwicklung einer jeden Zahl $x_{n}$ von $\{x_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }$. Damit gilt $\alpha \in M_{2}$ aber $\alpha \notin \{x_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }$ – was einen Widerspruch zur Annahme bedeutet.

Bemerkung

Somit ist das Kontinuum $[0,1]$ nicht abzählbar; diesen Nachweis führte Georg Cantor 1873.

Definition 1

Eine Folge reeller Zahlen $\{x_{n}\}$ heißt Cauchy-Folge genau dann, wenn es zu jedem $\varepsilon >0$ eine natürliche Zahl $N=N(\varepsilon )$ gibt, so dass für alle $m,n\geq N$ die Ungleichung $|x_{n}-x_{m}|<\varepsilon$ erfüllt ist.

Definition 2

Eine Folge reeller Zahlen $\{x_{n}\}$ heißt Nullfolge genau dann, wenn es zu jedem $\varepsilon >0$ eine natürliche Zahl $N=N(\varepsilon )$ derart gibt, dass für alle $n\geq N$ stets $|x_{n}|<\varepsilon$ gilt.

Definition 3

Eine Folge $\{x_{n}\}\subset \mathbb {R}$ heißt konvergent genau dann, wenn es ein $\alpha \in \mathbb {R}$ gibt, so dass $\{x_{n}-\alpha \}$ eine Nullfolge ist. Man verwendet die schreibweise:

(3) $\alpha :=\lim _{n\to \infty }x_{n}$.

Bemerkung

Die Folge $\{x_{n}\}$ ist konvergent. $\Leftrightarrow$ Es gibt ein $\alpha \in \mathbb {R}$ mit $|x_{n}-\alpha |<\varepsilon$ für alle $n\geq N(\varepsilon )$. Man dann schreibt auch: $x_{n}\to \alpha$ für $n\to \infty$.

Hilfssatz 1

Sei $\{x_{n}\}$ eine konvergente Folge und es gelten die Beziehungen $\lim _{n\to \infty }x_{n}=\alpha$ und $\lim _{n\to \infty }x_{n}=\beta$ mit den reellen Zahlen $\alpha$ und $\beta$. Dann folgt $\alpha =\beta$.

Beweis

Zu jedem $\varepsilon >0$ liefert Definition 3 die Ungleichung

$|\alpha -\beta |=|(\alpha -x_{n})+(x_{n}-\beta )|\leq |x_{n}-\alpha |+|x_{n}-\beta |<\varepsilon +\varepsilon =2\varepsilon$

für alle $n\geq N(\varepsilon )$. Also folgt $\alpha =\beta$.

Hilfssatz 2

Seien $\{x_{n}\}\subset \mathbb {R}$ und $\{y_{n}\}\subset \mathbb {R}$ konvergente Folgen mit

$\lim _{n\to \infty }x_{n}=\alpha$ und $\lim _{n\to \infty }y_{n}=\beta$.

Dann gelten die Identitäten

(4) $\lim _{n\to \infty }(x_{n}+y_{n})=\alpha +\beta$ und

(5) $\lim _{n\to \infty }(x_{n}y_{n})=\alpha \beta$.

Weiter existiert eine Konstante $c>0$ mit der Eigenschaft:

$|x_{n}|\leq c$ für alle $n\in \mathbb {N}$.

Falls zusätzlich $\alpha \neq 0$ und $x_{n}\neq 0$ für alle $n\in \mathbb {N}$ richtig ist, so folgt

(6) $\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{x_{n}}}={\frac {1}{\alpha }}$.

Beweis von (6)

Nach Voraussetzung gibt es ein $\alpha \in \mathbb {R} \setminus \{0\}$ mit

$|x_{n}-\alpha |<\varepsilon$ für alle $n\geq N(\varepsilon )$.

Insbesondere finden wir eine reelle Zahl $a>0$, so dass die Ungleichungen $|\alpha |\geq a$ sowie

$|x_{n}|\geq a$ für alle $n\geq N(\varepsilon )$

erfüllt sind. Somit folgt

$\left|{\frac {1}{x_{n}}}-{\frac {1}{\alpha }}\right|=\left|{\frac {\alpha -x_{n}}{x_{n}\cdot \alpha }}\right|={\frac {|x_{n}-\alpha |}{|x_{n}|\cdot |\alpha |}}\leq {\frac {\varepsilon }{a^{2}}}$ für alle $n\geq N(\varepsilon )$

gemäß Formel (18) aus §1. Damit ist $\left\{{\frac {1}{x_{n}}}-{\frac {1}{\alpha }}\right\}$ eine Nullfolge und mit Definition 3 ergibt sich die Behauptung.

q.e.d.

Hilfssatz 3

Die rationale Cauchy-Folge $\{x_{n}\}\in {\mathcal {M}}$ repräsentiere die Äquivalenzklasse $\alpha =[x_{1},x_{2},x_{3},\ldots ]$ und die Ungleichung $|x_{n}|\leq \varepsilon$ für alle $n\geq N$ gelte mit einem index $N\in \mathbb {N}$. Dann folgt $|\alpha |\leq \varepsilon$.

Beweis

$(i)$ Für alle $n\geq N$ gilt $x_{n}\leq |x_{n}|{\stackrel {(n.V.)}{\leq }}\varepsilon \Rightarrow x_{n}-\varepsilon \leq 0$. Somit folgt $\alpha -\varepsilon \leq 0\Rightarrow \alpha \leq \varepsilon$.

$(ii)$ Für alle $n\geq N$ gilt $-x_{n}\leq |-x_{n}|\leq \varepsilon \Rightarrow x_{n}+\varepsilon \geq 0$. Somit folgt $\alpha +\varepsilon \geq 0\Rightarrow -\alpha \leq \varepsilon$.

Aus $(i)$ und $(ii)$ erhalten wir $|\alpha |\leq \varepsilon$.

q.e.d.

Hilfssatz 4

Die rationalen Zahlen $\mathbb {Q}$ liegen in $\mathbb {R}$ dicht, d. h. zu jedem $\alpha \in \mathbb {R}$ gibt es eine Folge $\{a_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }\subset \mathbb {Q}$ mit der Eigenschaft

$\lim _{n\to \infty }a_{n}=\alpha$.

Beweis

Sei die reelle Zahl $\alpha =[x_{n}]_{n\in \mathbb {N} }$ mit $x_{n}\in \mathbb {Q}$ für alle $n\in \mathbb {N}$ gegeben. Wir erklären dann die rationale Zahl $a_{m}:=[y_{n}]_{n\in \mathbb {N} }$ durch die konstante Folge

$\{y_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }:=\{x_{m},x_{m},\ldots \}$.

Dann gilt für festes $m\in \mathbb {N}$ die Identität

$\alpha -a_{m}=[x_{n}-y_{n}]_{n\in \mathbb {N} }=[x_{n}-x_{m}]_{n\in \mathbb {N} }$.

Da nun $\{x_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }$ eine cauchy-Folge ist, gibt es zu jedem $\varepsilon >0$ eine natürliche Zahl $N=N(\varepsilon )$ mit

$|x_{n}-x_{m}|<\varepsilon$ für alle $m,n\geq N$.

Bei festem index $m\geq N$ wenden wir hilfssatz 3 auf die Folge

$z_{n}:=x_{n}-x_{m},\quad n=1,2,\ldots$

an. Wir erhalten

$|\alpha -a_{m}|=|[x_{n}-x_{m}]_{n\in \mathbb {N} }|\leq \varepsilon$ für alle $m\geq N(\varepsilon )$

bzw.

$\lim _{m\to \infty }a_{m}=\alpha$.

q.e.d.

Satz 3 (Cauchysches Konvergenzkriterium: Vollständigkeit von $\mathbb {R}$)

Eine Folge $\{x_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }\subset \mathbb {R}$ ist genau dann konvergent, wenn $\{x_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Cauchy-Folge ist.

Beweis

„$\Rightarrow$“: Sei $\{x_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }$ konvergent, d. h. es gibt ein $\alpha \in \mathbb {R}$ mit

$\lim _{n\to \infty }x_{n}=\alpha$.

Somit gibt es zu jedem $\varepsilon >0$ eine natürliche Zahl $N=N(\varepsilon )$ mit der Eigenschaft

$|x_{n}-\alpha |<\varepsilon$ für alle $n\geq N$.

Wegen der Ungleichung

$|x_{n}-x_{m}|=|(x_{n}-\alpha )+(\alpha -x_{m})|\leq |x_{n}-\alpha |+|x_{m}-\alpha |<2\varepsilon$

für alle $n\geq N$ ist $\{x_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Cauchy-Folge.

„$\Leftarrow$“: Sei $\{x_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Cauchy-Folge, d. h. zu jedem $\varepsilon >0$ gibt es eine natürliche Zahl $N=N(\varepsilon )$ derart, dass die Ungleichung

$|x_{n}-x_{m}|<\varepsilon$ für alle $m,n\geq N$

erfüllt ist. Nach Hilfssatz 4 gibt es zu jedem $n\in \mathbb {N}$ ein $a_{n}\in \mathbb {Q}$ mit

$|x_{n}-a_{n}|\leq {\frac {1}{n}}$.

Wegen

$|a_{n}-a_{m}|=|(a_{n}-x_{n})+(x_{n}-x_{m})+(x_{m}-a_{m})|$

$\leq |x_{n}-a_{n}|+|x_{n}-x_{m}|+|x_{m}-a_{m}|\leq {\frac {1}{n}}+\varepsilon +{\frac {1}{m}}\leq {\tilde {\varepsilon }}$ für alle $m,n\geq N({\tilde {\varepsilon }})$

ist $\{a_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }$ eine rationale Cauchy-Folge. Wir definieren die reelle Zahl $\alpha :=[a_{m}]_{m\in \mathbb {N} }\in \mathbb {R}$ und erhalten

$|\alpha -x_{n}|=|(\alpha -a_{n})+(a_{n}-x_{n})|\leq |\alpha -a_{n}|+|x_{n}-a_{n}|\leq {\frac {1}{n}}+{\tilde {\varepsilon }}$

für alle $m,n\geq N({\tilde {\varepsilon }})$. Damit ist die Folge $\{x_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }$ konvergent.

q.e.d.

Hilfssatz 5

Die Folge $\{x_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }$ sei gemäß

$x_{n}\leq c$ für alle $n\in \mathbb {N}$

mit einer Konstante $c\in \mathbb {R}$ nach oben beschränkt und konvergiere gemäß $\lim _{n\to \infty }x_{n}=\alpha$ – mit dem Grenzwert $\alpha \in \mathbb {R}$. Dann folgt $\alpha \leq c$.

Beweis

Angenommen es wäre $\alpha >c$ erfüllt. Dann folgt zunächst ${\frac {1}{2}}(\alpha +c)>c$. Äquivalent zur Aussage

$\lim _{n\to \infty }x_{n}=\alpha$

gibt es zu jedem $\varepsilon >0$ einen Index $N(\varepsilon )\in \mathbb {N}$ mit der Eigenschaft

$|x_{n}-\alpha |<\varepsilon$ für alle $n\geq N(\varepsilon )$

bzw.

$x_{n}-\varepsilon \leq \alpha \leq x_{n}+\varepsilon$ für alle $n\geq N(\varepsilon )$.

Zu dem speziellen $\varepsilon :={\frac {1}{2}}(\alpha -c)$ ist nun für alle Indices $n\geq N(\varepsilon )$ die Ungleichung

$\alpha \leq x_{n}+{\frac {1}{2}}(\alpha -c)$

bzw.

$x_{n}\geq \alpha -{\frac {1}{2}}(\alpha -c)={\frac {1}{2}}(\alpha +c)>c$

erfüllt. Dieses steht im Widerspruch zur Voraussetzung.

q.e.d.

Satz 4 (Häufungsstellensatz von Weierstraß)

Sei $\{x_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }\subset \mathbb {R}$ eine beschränkte Folge mit der Schranke $c\in \mathbb {R}$, so dass

$|x_{n}|\leq c$ für alle $n\in \mathbb {N}$

erfüllt ist. Dann gibt es eine konvergente Teilfolge $\{x_{n_{k}}\}_{k\in \mathbb {N} }$ der Folge $\{x_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }$ mit dem Grenzwert $\lim _{k\to \infty }x_{n_{k}}=\alpha$ und $|\alpha |\leq c$.

Beweis

Wir betrachten das intervall $I_{0}:=[-c,c]$ der Länge $2c$ und beachten $x_{n}\in I_{0}$ für alle $n\in \mathbb {N}$. Ist $I:=[a,b]$ mit $-c\leq a<b\leq c$ ein beliebiges Teilintervall von $I_{0}$, so können folgende zwei Fälle eintreten:

$(i)$ In $I$ liegen nur endlich viele Glieder der Folge $\{x_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }$, d. h. es gibt eine natürliche Zahl $N$ mit $x_{n}\notin I$ für alle $n\geq N$.

$(ii)$ In $I$ liegen unendlich viele Glieder der Folge $\{x_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }$, d. h. zu jeder natürlichen Zahl $N$ gibt es ein $n\geq N$ mit $x_{n}\in I$.

Wir setzen $a_{0}:=-c,b_{0}:=c$ und teilen das intervall $I_{0}$ in zwei intervalle $L,R$ der Länge $c$

$L:=\left[a_{0},{\frac {1}{2}}(a_{0}+b_{0})\right]$ und $R:=\left[{\frac {1}{2}}(a_{0}+b_{0}),b_{0}\right]$.

Nun liegen entweder in $L$ oder in $R$ unendlich viele Glieder der Folge $\{x_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }$. Wenn nun z. B. $(ii)$ für $L$ zutrifft, so wählen wir $I_{1}:=L$ – ansonsten wird $L$ durch $R$ ersetzt. Jetzt halbieren wir das Intervall $I_{1}=[a_{1},b_{1}]$ in ein

linkes Teilintervall $L:=\left[a_{1},{\frac {1}{2}}(a_{1}+b_{1})\right]$

sowie ein

rechtes Teilintervall $R:=\left[{\frac {1}{2}}(a_{1}+b_{1}),b_{1}\right]$.

Dann wählen wir als $I_{2}:=[a_{2},b_{2}]$ dasjenige Intervall von $L$ oder $R$, für welches $(ii)$ zutrifft. Die Fortsetzung dieses Verfahrens liefert eine Folge $\{I_{k}\}_{k\in \mathbb {N} _{0}}$ von Intervallen mit den Eigenschaften:

(7) Für alle $k\in \mathbb {N} _{0}$ gilt: $I_{k}=[a_{k},b_{k}]\wedge b_{k}-a_{k}={\frac {2c}{2^{k}}}\wedge a_{k}<b_{k}$

(8) $a_{0}\leq a_{1}\leq a_{2}\leq \ldots \leq b_{2}\leq b_{1}\leq b_{0}\wedge I_{0}\supset I_{1}\supset I_{2}\supset I_{3}\supset \ldots$.

In jedem Intervall $I_{k}$ liegen unendlich viele Glieder der Folge $\{x_{n}\}$. Nun ist die Folge $\{a_{k}\}_{k\in \mathbb {N} _{0}}$ der linken Eckpunkte von $I_{k}$ eine Cauchy-Folge, denn wegen (7) und (8) gilt

$|a_{k}-a_{l}|\leq |b_{l}-a_{l}|={\frac {2c}{2^{l}}}\leq {\frac {2c}{2^{n}}}<\varepsilon$ für alle $k\geq l\geq n=n(\varepsilon )$.

Nach Satz 3 existiert nun ein $\alpha \in \mathbb {R}$ mit $\lim _{k\to \infty }a_{k}=\alpha$ und Hilfssatz 5 liefert

$a_{k}\leq \alpha \leq b_{k}$ für alle $k\in \mathbb {N} _{0}$.

Zu vorgegebenem $\varepsilon >0$ wählen wir $k$ derart, dass

$\alpha -\varepsilon <a_{k}\leq \alpha \leq b_{k}<\alpha +\varepsilon$

gilt. Da nun in jedem $I_{k}$ unendlich viele $x_{n}$ liegen, finden wir zu jeder natürlichen Zahl $N=N(\varepsilon )$ ein $m\geq N$, so dass

$\alpha -\varepsilon <a_{k}\leq x_{m}\leq b_{k}<\alpha +\varepsilon$

richtig ist. Wir setzen jetzt $\varepsilon :={\frac {1}{l}}$, wobei der Index $l=1,2,\ldots$ durchläuft. Es gibt also eine Folge $\{n_{l}\}$ natürlicher Zahlen mit $n_{1}<n_{2}<\ldots$, welche

$\alpha -{\frac {1}{l}}\leq x_{n_{l}}\leq \alpha +{\frac {1}{l}}$

erfüllen. Somit folgen die Ungleichungen $|x_{n_{l}}-\alpha |<{\frac {1}{l}}$ und schließlich

$\lim _{l\to \infty }x_{n_{l}}=\alpha$ mit $\alpha \in I_{k}$ für alle $k\in \mathbb {N} _{0}$.

q.e.d.

Definition 4

Eine Folge heißt monoton nicht fallend bzw. schwach monoton steigend, wenn die Ungleichung $x_{n}\leq x_{n+1}$ für alle $n\in \mathbb {N}$ erfüllt ist. Die Folge heißt (streng) monoton steigend, wenn $x_{n}<x_{n+1}$ für alle $n\in \mathbb {N}$ gilt.

Entsprechend heißt die Folge monoton nicht steigend bzw. schwach monoton fallend, wenn die Ungleichung $x_{n}\geq x_{n+1}$ für alle $n\in \mathbb {N}$ erfüllt ist. Die Folge heißt (streng) monoton fallend, wenn $x_{n}>x_{n+1}$ für alle $n\in \mathbb {N}$ gilt.

Satz 5

Sei die monoton nicht fallende Folge $\{x_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }\subset \mathbb {R}$ gegeben, die nach oben beschränkt ist gemäß $x_{n}\leq c\ (n=1,2,\ldots )$ – mit der Schranke $c\in \mathbb {R}$. Dann ist $\{x_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }$ konvergent.

Beweis

Wegen der Beschränktheit und Monotonie unserer Folge gilt

$|x_{n}|\leq c_{1}:=\max\{|x_{1}|,c\}$ für alle $n\in \mathbb {N}$.

Nach Satz 4 gibt es zu $\{x_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Teilfolge $\{x_{n_{k}}\}_{k\in \mathbb {N} }$ mit

$\lim _{k\to \infty }x_{n_{k}}=\alpha$.

Wir zeigen jetzt, dass auch $\{x_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }$ gegen $\alpha \in \mathbb {R}$ konvergiert: Zu jedem $n\in \mathbb {N}$ ist die Ungleichung $n\leq n_{k}$ für alle $k\geq n$ richtig und die Monotonie liefert

$x_{n}\leq x_{n_{k}}$ für alle $k\geq n$.

Der Grenzübergang $k\to \infty$ ergibt mittels Hilfssatz 5 die Ungleichung

(9) $x_{n}\leq \lim _{k\to \infty }x_{n_{k}}=\alpha \leq c$ für alle $n\in \mathbb {N}$.

Zu vorgegebenem $\varepsilon >0$ existiert nun eine natürliche Zahl $K=K(\varepsilon )$ mit $|x_{n_{k}}-\alpha |<\varepsilon$ für alle $k\geq K$. Wir erhalten die Ungleichung

$\alpha -\varepsilon \leq x_{n_{k}}\leq \alpha$ für alle $k\geq K$.

Da die Folge $\{x_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }$ monoton nicht fallend ist, gibt es eine Zahl $N=N(K)\in \mathbb {N}$, so dass

$\alpha -\varepsilon \leq x_{n_{k}}\leq x_{n}\leq \alpha$ für alle $n\geq N(K)$

richtig ist. Dies bedeutet aber

$\lim _{n\to \infty }x_{n}=\alpha$.

q.e.d.

Satz 6

Jede monoton nicht wachsende, nach unten beschränkte Folge $\{x_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }$ mit $x_{n}\geq c\ (n=1,2,\ldots )$ für ein $c\in \mathbb {R}$ ist konvergent.

Beweis

Die Behauptung ergibt sich unmittelbar aus Satz 5: Durch Spiegelung am Nullpunkt betrachten wir die monoton nicht fallende Folge $\{-x_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }\subset \mathbb {R}$ mit $-x_{n}\leq -c$.

q.e.d.

Jede endliche Menge $M=\{x_{1},\ldots ,x_{n}\}\subset \mathbb {R}$ – mit $n\in \mathbb {N}$ – besitzt ein kleinstes Element $\min M\in M$ und ein größtes Element $\max M\in M$. Dieses nennen wir Maximum bzw. Minimum der Menge $M$. Offenbar ist die Ungleichung

$\min M\leq x_{k}\leq \max M$ für $k=1,\ldots ,n$

erfüllt. Bei Mengen mit unendlich vielen Elementen liegt diese einfache Situation im allgemeinen nicht vor – jedoch können wir folgendes zeigen:

Satz 7

Sei $M$ eine nicht leere Menge reeller Zahlen, die nach oben beschränkt ist, d. h. es gibt ein $c\in \mathbb {R}$ derart, dass

$x\leq c$ für alle $x\in M$

gilt. Dann gibt es ein durch die Menge $M$ eindeutig bestimmtes Element $\sigma \in \mathbb {R}$ mit den folgenden Eigenschaften:

(10) Für alle $x\in M$ gilt $x\leq \sigma$.

(11) Zu jedem $\varepsilon >0$ gibt es ein $y\in M$ mit $\sigma -\varepsilon \leq y\leq \sigma$.

Bemerkung

Im Gegensatz zu endlichen Mengen ist im allgemeinen Fall auch $\sigma \notin M$ möglich, z. B. für $M:=\left\{{\frac {1}{n}}:n\in \mathbb {N} \right\}$ mit der oberen Grenze $\sigma =0$.

Beweis

(Eindeutigkeit von $\sigma$): Angenommen, die verschieden Größen $\sigma _{1}\in \mathbb {R}$ und $\sigma _{2}\in \mathbb {R}$ erfüllen die bedingungen (10) und (11): Wir können dann o. B. d. A. $\sigma _{1}<\sigma _{2}$ voraussetzen. Nun gibt es zu jedem $\varepsilon >0$ ein $y\in M$ mit $\sigma _{2}-\varepsilon \leq y\leq \sigma _{2}$. Speziell für $\varepsilon :={\frac {1}{2}}(\sigma _{2}-\sigma _{1})$ erhalten wir

$y\geq \sigma _{2}-{\frac {1}{2}}(\sigma _{2}-\sigma _{1})={\frac {1}{2}}(\sigma _{2}+\sigma _{1})>\sigma _{1}$.

Dies steht im Widerspruch zu (10) für die Größe $\sigma _{1}$.

(Existenz von $\sigma$): Wegen $M\neq \emptyset$ gibt es ein $x_{0}\in M$ und wir wählen das intervall $I_{0}:=[x_{0},c]$. Wir beachten $x_{0}\in I_{0}$ und $x\leq c$ für alle $x\in M$. Wie im Beweis von Satz 4 teilen wir das intervall $I_{0}$ in zwei teilintervalle $L$ und $R$:

$L:=\left[x_{0},{\frac {1}{2}}(x_{0}+c)\right]$ und $R:=\left[{\frac {1}{2}}(x_{0}+c),c\right]$.

Wir setzen $I_{1}:=[a_{1},b_{1}]=L$, falls $M\cap R=\emptyset$ erfüllt ist – ansonsten sei $I_{1}:=R$ erklärt. Dann gibt es ein $x_{1}\in I_{1}\cap M$ und für alle $x\in M$ gilt $x\leq b_{1}$. Dieses Verfahren wenden wir nun auf $I_{1}$ an und erhalten das Intervall $I_{2}\subset I_{1}$. Wir wählen dabei das folgende Intervall stets so, dass wenigstens ein $y\in M$ darin enthalten ist. Haben wir bereits das Intervall $I_{n}=[a_{n},b_{n}]$ konstruiert, halbieren wir dieses wieder in die Intervalle $L$ und $R$ und wählen als $I_{n+1}=[a_{n+1},b_{n+1}]$ das Intervall L, falls $M\cap R=\emptyset$ – ansonsten sei $I_{n+1}=R$ gesetzt. Wir erhalten also eine Folge $\{I_{k}\}_{k\in \mathbb {N} _{0}}$ von intervallen mit den Eigenschaften:

(12) Für alle $k\in \mathbb {N} _{0}$ gilt $I_{k}=[a_{k},b_{k}]\wedge b_{k}-a_{k}={\frac {c-x_{0}}{2^{k}}}$

(13) $a_{0}\leq a_{1}\leq \ldots \leq b_{1}\leq b_{0}\wedge I_{0}\supset I_{1}\supset I_{2}\supset \ldots$.

In jedem Intervall $I_{k}\ (k\in \mathbb {N} _{0})$ liegt wenigstens ein $y\in M$ und es gilt:

$x\leq b_{k}$ für alle $x\in M$ und $k=0,1,2,\ldots$.

Die Folge $\{a_{k}\}_{k\in \mathbb {N} _{0}}$ der linken Eckpunkte von $I_{k}$ ist monoton nicht fallend und nach oben beschränkt. Wegen Satz 5 existiert ihr Grenzwert $\lim _{k\to \infty }a_{k}=\eta$. Weiterhin ist die Folge $\{b_{k}\}_{k\in \mathbb {N} _{0}}$ der rechten Eckpunkte von $I_{k}$ monoton nicht steigend und nach unten beschränkt – also gibt es nach Satz 6 ein $\sigma \in \mathbb {R}$ mit $\lim _{k\to \infty }b_{k}=\sigma$. Wegen (12) und (13) folgt für hinreichend große $k$

$|\eta -\sigma |=|(\eta -a_{k})+(a_{k}-b_{k})+(b_{k}-\sigma )|\leq |a_{k}-\eta |+|a_{k}-b_{k}|+|b_{k}-\sigma |<3\varepsilon$

bzw.

$\lim _{k\to \infty }a_{k}=\lim _{k\to \infty }b_{k}=\sigma$.

Zu vorgegebenem $\varepsilon >0$ existiert nun eine natürliche Zahl $K=K(\varepsilon )$ mit der Eigenschaft

$\sigma -\varepsilon \leq a_{k}\leq \sigma \leq b_{k}\leq \sigma +\varepsilon$ für alle $k\geq K$.

Also folgt $\sigma -\varepsilon \leq y\leq \sigma +\varepsilon$ für mindestens $y\in I_{k}\cap M$. Andererseits liefert $y\leq b_{k}$ für alle $y\in M$ und $\lim _{k\to \infty }b_{k}=\sigma$ die Ungleichung $y\leq \sigma$ für jedes $y\in M$. Das beweist die Behauptung des Satzes 7.

q.e.d.

Satz 8

Sei $M$ eine nicht leere Menge reeller Zahlen, die nach unten beschränkt ist, d. h. es gibt ein $c\in \mathbb {R}$ derart, dass $x\geq c$ für alle $x\in M$ gilt. Dann gibt es ein durch die Menge $M$ eindeutig bestimmtes Element $\tau \in \mathbb {R}$ mit den folgenden Eigenschaften:

(14) Für alle $x\in M$ gilt $x\geq \tau$.

(15) Zu jedem $\varepsilon >0$ gibt es ein $x\in M$ mit $\tau \leq x\leq \tau +\varepsilon$.

Beweis

Wir wenden Satz 7 auf die Menge

$M^{*}:=\{z\in \mathbb {R} :z=-x,x\in M\}$

an.

q.e.d.

Definition 5

Für eine nach oben beschränkte Menge $\emptyset \neq M\subset \mathbb {R}$ heißt $\sigma \in \mathbb {R}$ mit den Eigenschaften (10) und (11) die obere Grenze, die kleinste obere Schranke oder das Supremum von $M$. Man schreibt

$\sigma :=\sup M$

Definition 6

Für eine nach unten beschränkte Menge $\emptyset \neq M\subset \mathbb {R}$ heißt $\tau \in \mathbb {R}$ mit den Eigenschaften (14) und (15) die untere Grenze, die größte untere Schranke oder das Infimum von $M$. Man schreibt

$\tau :=\inf M$

Definition 7

Eine Zahl $\xi \in \mathbb {R}$ heißt Häufungswert einer Folge $\{x_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }\subset \mathbb {R}$ genau dann, wenn es eine konvergente Teilfolge $\{x_{n_{k}}\}_{k\in \mathbb {N} }$ von $\{x_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }$ mit der Eigenschaft

$\lim _{k\to \infty }x_{n_{k}}=\xi$

gibt.

Beispiele

1. Die Menge aller Häufungswerte der Folge der rationalen Zahlen ist $\mathbb {R}$.
2. Die Folge der natürlichen Zahlen besitzt in $\mathbb {R}$ keinen Häufungswert.
3. Wenn $\{x_{n}\}\subset \mathbb {R}$ eine nach oben beschränkte, monoton nicht fallende Folge ist, dann besitzt sie nach Satz 5 genau einen Häufungswert.

Definition 8

Das erweiterte reelle Zahlensystem

${\overline {\mathbb {R} }}:=\mathbb {R} \cup \{-\infty \}\cup \{+\infty \}$

entsteht durch Hinzufügen der beiden uneigentlichen Elemente $-\infty$ und $+\infty$ zu dem Körper der reellen Zahlen. Für alle $x\in \mathbb {R}$ gilt $-\infty <x<+\infty$.

Definition 9

Sei $\{x_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }\subset {\overline {\mathbb {R} }}$ eine beliebige Folge. Dann vereinbaren wir:

$\lim _{n\to \infty }x_{n}=+\infty \quad \Leftrightarrow$

Zu jedem $c\in \mathbb {R}$ existiert ein $K=K(c)\in \mathbb {N}$: $x_{n}\geq c$ für alle $n\geq K$.

$\lim _{n\to \infty }x_{n}=-\infty \quad \Leftrightarrow$

Zu jedem $c\in \mathbb {R}$ existiert ein $K=K(c)\in \mathbb {N}$: $x_{n}\leq c$ für alle $n\geq K$.

Beispiele

1. Die Folge der natürlichen Zahlen ist in ${\overline {\mathbb {R} }}$ konvergent und besitzt den Häufungswert $+\infty \in {\overline {\mathbb {R} }}$.
2. Die Folge $\{x_{n}\}\subset {\overline {\mathbb {R} }}$ mit $x_{n}:=(-1)^{n}\cdot n^{2}\ (n\in \mathbb {N} )$ ist nicht konvergent, hat aber die beiden Häufungswerte $+\infty$ und $-\infty$.

Definition 10

$\xi \in \{-\infty ,+\infty \}$ heißt Häufungswert einer Folge $\{x_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }\subset {\overline {\mathbb {R} }}$ genau dann, wenn es eine Teilfolge $\{x_{n_{k}}\}_{k\in \mathbb {N} }$ gibt mit dem Grenzwert

$\lim _{k\to \infty }x_{n_{k}}=\xi$.

Definition 11

Wir setzen

$\sup M=+\infty \Leftrightarrow$ Zu jedem $c\in \mathbb {R}$ gibt es ein $x\in M$ mit $x\geq c$

$\sup M=-\infty \Leftrightarrow M=\{-\infty \}$

$\sup M=+\infty \Leftrightarrow M=\{+\infty \}$

$\inf M=-\infty \Leftrightarrow$ Zu jedem $c\in \mathbb {R}$ gibt es ein $x\in M$ mit $x\leq c$

Satz 9

Jede Zahlenfolge $\{x_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }\subset {\overline {\mathbb {R} }}$ besitzt wenigstens einen Häufungswert $\xi \in {\overline {\mathbb {R} }}$.

Beweis

Wenn $|x_{n}|\leq c$ für alle $n\in \mathbb {N}$ richtig ist, so folgt die Behauptung aus Satz 4 mit einem Häufungswert $\xi \in \mathbb {R}$. Anderenfalls gibt es eine Teilfolge $\{x_{n_{k}}\}_{k\in \mathbb {N} }$ mit $\lim _{k\to \infty }|x_{n_{k}}|=+\infty$. Dann existiert eine Teilfolge $\{x_{m_{j}}\}_{j\in \mathbb {N} }$ von $\{x_{n_{k}}\}_{k\in \mathbb {N} }$ mit der Eigenschaft

$\lim _{j\to \infty }x_{m_{j}}=-\infty$ oder $\lim _{j\to \infty }x_{m_{j}}|=+\infty$

q.e.d.

Satz 10

Jede monoton nicht fallende Folge $\{x_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }\subset {\overline {\mathbb {R} }}$ ist konvergent, d. h. es gibt ein $\alpha \in {\overline {\mathbb {R} }}$ mit

$\lim _{n\to \infty }x_{n}=\alpha$

Beweis

Wenn $\{x_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }$ nach oben beschränkt ist, so folgt die Behauptung aus Satz 5. Ist hingegen $\{x_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }$ nach oben unbeschränkt, dann gibt es wegen der Monotonie zu jedem $c\in \mathbb {R}$ eine natürliche Zahl $K=K(c)$ derart, dass $x_{n}\geq c$ für alle $n\geq K$ gilt. Definition 9 liefert $\lim _{n\to \infty }x_{n}=+\infty$.

q.e.d.

Satz 11

Jede monoton nicht steigende Folge $\{x_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }\subset {\overline {\mathbb {R} }}$ ist konvergent.

Definition 12

Seien $\{x_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }\subset {\overline {\mathbb {R} }}$ eine beliebige Folge und $E\neq \emptyset$ die Menge aller Häufungspunkte von $\{x_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }$. Dann setzt man

(16) $\sup E=:\limsup _{n\to \infty }x_{n}$ als Limes superior und

(17) $\inf E=:\liminf _{n\to \infty }x_{n}$ als Limes inferior.

Satz 12

Sei $\{x_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }\subset {\overline {\mathbb {R} }}$ eine Folge mit $\limsup _{n\to \infty }x_{n}=\xi$. Dann gilt:

(18) Es gibt eine Teilfolge $\{x_{n_{k}}\}_{k\in \mathbb {N} }\subset \{x_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }:\quad \lim _{k\to \infty }x_{n_{k}}=\xi$.

(19) Zu jedem $c\in {\overline {\mathbb {R} }}$ mit $c>\xi$ existiert $K=K(c)\in \mathbb {N} :x_{n}\leq c$ für alle $n\geq N$.

Bemerkungen

Wegen (18) ist $\xi :=\sup E\in E$ erfüllt. Die Bedingung (19) besagt, dass es zu beliebigem $c>\xi$ nur endlich viele Folgenglieder gibt, die größer als $c$ sind. Die Aussage wird falsch, wenn $c=\xi$ gesetzt wird. Betrachten wir dazu die Folge $\{x_{n}\}$ mit $x_{n}:=(-1)^{n}+{\frac {1}{n}}\ (n\in \mathbb {N} )$. Wegen

$\lim _{k\to \infty }x_{2k}=\lim _{k\to \infty }\left\{1+{\frac {1}{2k}}\right\}=1=\limsup _{n\to \infty }x_{n}$

und

$\lim _{k\to \infty }x_{2k+1}=\lim _{k\to \infty }\left\{-1+{\frac {1}{2k+1}}\right\}=-1=\liminf _{n\to \infty }x_{n}$

gilt $E=\{1,-1\}$. Für diese Folge liegen oberhalb von $c=\xi =1$ unendlich viele Glieder.

Beweis

1. Sei zunächst $\limsup _{n\to \infty }x_{n}=-\infty$. Wegen Definition 11 und 12 gilt $E=\{-\infty \}$ für die Menge aller Häufungswerte $E$ von $\{x_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }\subset {\overline {mathbb{R}}}$. Damit gibt es eine Teilfolge $\{x_{n_{k}}\}_{k\in \mathbb {N} }\subset \{x_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }$ mit $\lim _{k\to \infty }x_{n_{k}}=-\infty$. Daraus folgt unmittelbar $\lim _{n\to \infty }x_{n}=-\infty$ und nach Definition 9 gibt es zu jedem $c\in \mathbb {R}$ eine natürliche Zahl $K=K(c)$ mit $x_{n}\leq c$ für alle $n\geq K$.

2. Gelte nun $\limsup _{n\to \infty }x_{n}=+\infty$. Dann gibt es wegen Definition 9 eine Teilfolge $\{x_{n_{k}}\}_{k\in \mathbb {N} }\subset \{x_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }$ mit $\lim _{k\to \infty }x_{n_{k}}=+\infty$. Anderenfalls gäbe es ein $c\in \mathbb {R}$, so dass $x_{n}\leq c$ für alle $n\geq K$ mit einem geeigneten $K=K(c)\in \mathbb {N}$ richtig ist. Dann müsste wegen Hilfssatz 5 aber $\xi \leq c$ gelten – im Widerspruch zu $\xi =+\infty$.

3. Im dritten Fall sei $\limsup _{n\to \infty }x_{n}=:\xi \in \mathbb {R}$ erfüllt. Da $\xi =\sup E$ ist, gibt es eine Folge $\{y_{k}\}_{k\in \mathbb {N} }\subset E$ mit $\lim _{k\to \infty }y_{k}=\xi$. Da jedes $y_{k}$ Häufungswert von der Folge $\{x_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }$ ist, gibt es zu jedem $k\in \mathbb {N}$ eine Teilfolge $\{x_{m_{j}}^{(k)}\}_{j\in \mathbb {N} }\subset \{x_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }$ mit $\lim _{j\to \infty }x_{m_{j}}^{(k)}=y_{k}$. Wir finden somit Glieder $x_{n_{k}}$ der Folge, so dass $|x_{n_{k}}-y_{k}|<{\frac {1}{k}}$ für $k=1,2,\ldots$ gilt. Mit

$|x_{n_{k}}-\xi |\leq |x_{n_{k}}-y_{k}|+|y_{k}-\xi |<{\frac {1}{k}}+\varepsilon$

erhalten wir $\lim _{k\to \infty }x_{n_{k}}=\xi$. Wäre nun (19) falsch, so gäbe es ein $c\in {\overline {\mathbb {R} }}$ mit $x_{n}>c>\xi$ für unendlich viele $n\in \mathbb {N}$. Damit muss ein Häufungswert $\omega \in {\overline {\mathbb {R} }}$ der Folge $\{x_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }$ existieren, der $\omega \geq c$ erfüllt. Dies steht aber im Widerspruch zu $c>\xi =\sup E$ – und somit gilt (19).

q.e.d.

Satz 13

Sei $\{x_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }\subset {\overline {\mathbb {R} }}$ eine Folge mit $\liminf _{n\to \infty }x_{n}=\eta$. Dann gilt:

(20) Es gibt eine Teilfolge $\{x_{n_{k}}\}_{k\in \mathbb {N} }\subset \{x_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }:\quad \lim _{k\to \infty }x_{n_{k}}=\eta$.

(21) Zu jedem $c\in {\overline {\mathbb {R} }}$ mit $c<\eta$ existiert $K=K(c)\in \mathbb {N} :x_{n}\geq c$ für alle $n\geq N$.

Beweis

Indem wir die Folge $\{z_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }\subset {\overline {\mathbb {R} }}$ mit $z_{n}:=-x_{n},n=1,2,\ldots$ betrachten, erhalten wir aus Satz 12 die Behauptungen (20) und (21).

q.e.d.

Bemerkung

Nach Definition 12 gilt für eine beliebige Folge $\{x_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }\subset {\overline {\mathbb {R} }}$ offenbar

$\liminf _{n\to \infty }x_{n}\leq \limsup _{n\to \infty }x_{n}$.

Satz 14

Eine Folge $\{x_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }\subset {\overline {\mathbb {R} }}$ ist genau dann konvergent (im eigentlichen Sinne), wenn

$\liminf _{n\to \infty }x_{n}=\limsup _{n\to \infty }x_{n}=:\alpha \in \mathbb {R}$

erfüllt ist. Es gilt dann

$\lim _{n\to \infty }x_{n}=\alpha$.

Beweis

„$\Rightarrow$“: Sei $\{x_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }$ konvergent mit $\lim _{n\to \infty }x_{n}=\alpha$. Dann gibt es zu jedem $\varepsilon >0$ eine natürliche Zahl $N=N(\varepsilon )$ mit der Eigenschaft

$\alpha -\varepsilon \leq x_{n}\leq \alpha +\varepsilon$ für alle $n\geq N$.

Jede Teilfolge besitzt also den Häufungswert $\alpha$ und somit ergibt sich

$E=\{\alpha \}$ sowie $\liminf _{n\to \infty }x_{n}=\limsup _{n\to \infty }x_{n}=\alpha$.

„$\Leftarrow$“: Für die Folge $\{x_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }\subset {\overline {\mathbb {R} }}$ gibt es ein $\alpha \in \mathbb {R}$ mit

$\liminf _{n\to \infty }x_{n}=\limsup _{n\to \infty }x_{n}=\alpha$.

Zu jedem $\varepsilon >0$ existiert wegen $\limsup _{n\to \infty }x_{n}=\alpha$ und Satz 12 eine natürliche Zahl $N_{1}=N_{1}(\varepsilon )$, so dass $x_{n}\leq \alpha +\varepsilon$ für alle $n\geq N_{1}$ richtig ist. Entsprechend gibt es wegen $\liminf _{n\to \infty }x_{n}=\alpha$ und Satz 13 eine natürliche Zahl $N_{2}=N_{2}(\varepsilon )$ mit $x_{n}\geq \alpha -\varepsilon$ für alle $n\geq N_{2}$. Setzen wir $N:=\max\{N_{1},N_{2}\}$, dann erhalten wir $|x_{n}-\alpha |<\varepsilon$ für alle $n\geq N$. Also folgt $\lim _{n\to \infty }x_{n}=\alpha$.

q.e.d.

Satz 15

Sei $\{x_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }\subset {\overline {\mathbb {R} }}$ eine beliebige Folge, dann gilt

(22) $\limsup _{n\to \infty }x_{n}=\lim _{m\to \infty }\left[\sup _{k\in \mathbb {N} _{0}}x_{m+k}\right]=\inf _{m\in \mathbb {N} }\left[\sup _{k\in \mathbb {N} _{0}}x_{m+k}\right]$

(23) $\liminf _{n\to \infty }x_{n}=\lim _{m\to \infty }\left[\inf _{k\in \mathbb {N} _{0}}x_{m+k}\right]=\sup _{m\in \mathbb {N} }\left[\inf _{k\in \mathbb {N} _{0}}x_{m+k}\right]$.

Beweis

Wir beweisen nur (22), da der Beweis von (23) entsprechend geführt wird. Sei $\{x_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }\subset {\overline {\mathbb {R} }}$ und $\limsup _{n\to \infty }x_{n}=:\xi$.

1. Fall ($\xi =-\infty$): Nach (19) gibt es zu jedem $c>-\infty$ eine natürliche Zahl $K=K(c)$ mit $x_{n}\leq c$ für alle $n\geq K$. Setzen wir

$y_{m}:=\sup\{x_{m},x_{m+1},x_{m+2},\ldots \}$ für $m\in \mathbb {N}$,

so gilt $y_{1}\geq y_{2}\geq y_{3}\geq \ldots$. Dann erfüllt die Folge $\{x_{m}\}_{m\in \mathbb {N} }$ für alle $m\geq K$ die Ungleichung $y_{m}\leq c$. Somit folgt für alle $c\in \mathbb {R}$ die Beziehung

$\inf _{m\in \mathbb {N} }y_{m}=\lim _{m\to \infty }y_{m}=\lim _{m\to \infty }[\sup\{x_{m},x_{m+1},x_{m+2},\ldots \}]\leq c$ und damit $\lim _{m\to \infty }[\sup\{x_{m},x_{m+1},x_{m+2},\ldots \}]=\inf _{m\in \mathbb {N} }[\sup\{x_{m},x_{m+1},x_{m+2},\ldots \}]=-\infty$.

2. Fall ($\xi =\infty$): Es gibt eine Teilfolge $\{x_{n_{k}}\}_{k\in \mathbb {N} }$ mit $\lim _{k\to \infty }x_{n_{k}}=+\infty$ und für alle $m\in \mathbb {N}$ gilt

$y_{m}:=\sup\{x_{m},x_{m+1},x_{m+2},\ldots \}=+\infty$.

Dann folgt

$\inf _{m\in \mathbb {N} }y_{m}=\lim _{m\to \infty }y_{m}=\lim _{m\to \infty }\sup\{x_{m},x_{m+1},x_{m+2},\ldots \}=+\infty$.

3. Fall ($\xi \in \mathbb {R}$): Wir betrachten die Folge $\{y_{m}\}_{m\in \mathbb {N} }$ der Suprema

$y_{m}:=\sup\{x_{m},x_{m+1},x_{m+2},\ldots \}$ für $m\in \mathbb {N}$,

welche monoton nicht steigend ist. Also existiert die Größe

$\eta :=\inf _{m\in \mathbb {N} }y_{m}=\lim _{m\to \infty }y_{m}\in \mathbb {R}$.

Wir werden zeigen, dass $\eta =\xi$ gilt: Zu vorgegebenem $\varepsilon >0$ gibt es eine natürliche Zahl $N_{1}=N_{1}(\varepsilon )$, so dass $x_{n}\leq \xi +\varepsilon$ für alle $n\geq N_{1}$ gilt (vgl. Satz 12). Daraus folgt

$y_{m}=\sup\{x_{m},x_{m+1},x_{m+2},\ldots \}\leq \xi +\varepsilon$ für alle $m\geq N_{1}$.

Also gilt für jedes $\varepsilon >0$ die Abschätzung

$\eta =\inf _{m\in \mathbb {N} }y_{m}=\lim _{m\to \infty }y_{m}\leq \xi +\varepsilon$

und damit $\eta \leq \xi$. Es bleibt noch zu zeigen, dass $\eta \geq \xi$ gilt. Wegen $\limsup _{n\to \infty }x_{n}=\xi$ gibt es nach (18) eine Teilfolge $\{x_{n_{k}}\}_{k\in \mathbb {N} }\subset \{x_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }$ mit $\lim _{k\to \infty }x_{n_{k}}=\xi$. Deshalb existiert zu beliebigem $\varepsilon >0$ eine Zahl $N_{2}=N_{2}(\varepsilon )$ mit $x_{n_{k}}\geq \xi -\varepsilon$ für alle $k\geq N_{2}$. Sei nun $m\in \mathbb {N}$ vorgegeben und $n_{k}>m$ entsprechend gewählt, so folgt

$y_{m}=\sup\{x_{m},x_{m+1},x_{m+2},\ldots \}\geq \xi -\varepsilon$ für alle $m$.

Also gilt für beliebiges $\varepsilon >0$ die Abschätzung

$\eta =\inf _{m\in \mathbb {N} }y_{m}=\lim _{m\to \infty }y_{m}\geq \xi -\varepsilon$

und damit $\eta \geq \xi$. Mit der nun folgenden Identität $\eta =\xi$ haben wir (22) bewiesen.

q.e.d.