Kurs:Analysis I/Kapitel I: Das System der reellen und komplexen Zahlen/Überabzählbarkeit und Konvergenzeigenschaften reeller Zahlen (§3)

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Besitzt eine Menge – nur – endlich viele Elemente, so kann man diese mittels durchnummerieren und erhält ; dabei wurde geeignet gewählt. Besitzt eine Menge unendlich viele Elemente, so können zwei Fälle eintreten:

(i) Lassen sich ihre Elemente als Folge schreiben, so erhalten wir eine abzählbare Menge

Es gibt eine Bijektion vermöge .

(ii) Die Elemente der Menge können nicht durch eine Folge angegeben werden. In diesem Fall sprechen wir von einer überabzählbaren – oder auch nicht abzählbaren – Menge.

Bemerkung[Bearbeiten]

Jede endliche Menge ist abzählbar. Die Menge ist trivialerweise abzählbar.

Satz 1[Bearbeiten]

Die Menge der rationalen Zahlen ist abzählbar.

Beweis[Bearbeiten]

Es genügt zu zeigen, dass die Menge

der positiven rationalen Zahlen abzählbar ist. Dann gibt es eine bijektive Abbildung

vermöge usw.

Die Abzählbarkeit von wird durch das Diagonalverfahren von Cantor deutlich. Wir nummerieren die positiven rationalen Zahlen in Richtung der Pfeile. Erscheint ein mehrfach in dem Schema, so erhält nur beim ersten Auftreten eine Nummer und wird dann nicht mehr berücksichtigt. ist abzählbar, denn jede Diagonale hat endlich viele Elemente und alle Diagonalen sind abzählbar. Es entsteht die Folge

.

q.e.d.

Satz 2[Bearbeiten]

Die Menge der reellen Zahlen des Intervalls ist überabzählbar.

Beweis[Bearbeiten]

Sei . Angenommen, die Menge wäre abzählbar. Dann wird durch eine Folge gegeben. Nach §1 lässt sich jedes durch die Dezimalbruchentwicklung

(1) mit den Ziffern

darstellen. Um die Annahme zum Widerspruch zu führen, geben wir nun ein an, welches nicht Element der Folge reeller Zahlen ist – für das also für alle gilt. Es sei eine Folge mit den Gliedern und für alle gewählt. Dann setzen wir

(2) .

Offenbar unterscheidet sich die Zahl in der -ten Stelle von der Dezimalbruchentwicklung einer jeden Zahl von . Damit gilt aber – was einen Widerspruch zur Annahme bedeutet.

Bemerkung[Bearbeiten]

Somit ist das Kontinuum nicht abzählbar; diesen Nachweis führte Georg Cantor 1873.

Definition 1[Bearbeiten]

Eine Folge reeller Zahlen heißt Cauchy-Folge genau dann, wenn es zu jedem eine natürliche Zahl gibt, so dass für alle die Ungleichung erfüllt ist.

Definition 2[Bearbeiten]

Eine Folge reeller Zahlen heißt Nullfolge genau dann, wenn es zu jedem eine natürliche Zahl derart gibt, dass für alle stets gilt.

Definition 3[Bearbeiten]

Eine Folge heißt konvergent genau dann, wenn es ein gibt, so dass eine Nullfolge ist. Man verwendet die schreibweise:
(3) .

Bemerkung[Bearbeiten]

Die Folge ist konvergent. Es gibt ein mit für alle . Man dann schreibt auch: für .

Hilfssatz 1[Bearbeiten]

Sei eine konvergente Folge und es gelten die Beziehungen und mit den reellen Zahlen und . Dann folgt .

Beweis[Bearbeiten]

Zu jedem liefert Definition 3 die Ungleichung

für alle . Also folgt .

Hilfssatz 2[Bearbeiten]

Seien und konvergente Folgen mit
und .
Dann gelten die Identitäten
(4) und
(5) .
Weiter existiert eine Konstante mit der Eigenschaft:
für alle .
Falls zusätzlich und für alle richtig ist, so folgt
(6) .

Beweis von (6)[Bearbeiten]

Nach Voraussetzung gibt es ein mit

für alle .

Insbesondere finden wir eine reelle Zahl , so dass die Ungleichungen sowie

für alle

erfüllt sind. Somit folgt

für alle

gemäß Formel (18) aus §1. Damit ist eine Nullfolge und mit Definition 3 ergibt sich die Behauptung.

q.e.d.

Hilfssatz 3[Bearbeiten]

Die rationale Cauchy-Folge repräsentiere die Äquivalenzklasse und die Ungleichung für alle gelte mit einem index . Dann folgt .

Beweis[Bearbeiten]

Für alle gilt . Somit folgt .
Für alle gilt . Somit folgt .
Aus und erhalten wir .

q.e.d.

Hilfssatz 4[Bearbeiten]

Die rationalen Zahlen liegen in dicht, d. h. zu jedem gibt es eine Folge mit der Eigenschaft
.

Beweis[Bearbeiten]

Sei die reelle Zahl mit für alle gegeben. Wir erklären dann die rationale Zahl durch die konstante Folge

.

Dann gilt für festes die Identität

.

Da nun eine cauchy-Folge ist, gibt es zu jedem eine natürliche Zahl mit

für alle .

Bei festem index wenden wir hilfssatz 3 auf die Folge

an. Wir erhalten

für alle

bzw.

.

q.e.d.

Satz 3 (Cauchysches Konvergenzkriterium: Vollständigkeit von )[Bearbeiten]

Eine Folge ist genau dann konvergent, wenn eine Cauchy-Folge ist.

Beweis[Bearbeiten]

“: Sei konvergent, d. h. es gibt ein mit

.

Somit gibt es zu jedem eine natürliche Zahl mit der Eigenschaft

für alle .

Wegen der Ungleichung

für alle ist eine Cauchy-Folge.

“: Sei eine Cauchy-Folge, d. h. zu jedem gibt es eine natürliche Zahl derart, dass die Ungleichung

für alle

erfüllt ist. Nach Hilfssatz 4 gibt es zu jedem ein mit

.

Wegen

für alle

ist eine rationale Cauchy-Folge. Wir definieren die reelle Zahl und erhalten

für alle . Damit ist die Folge konvergent.

q.e.d.

Hilfssatz 5[Bearbeiten]

Die Folge sei gemäß
für alle
mit einer Konstante nach oben beschränkt und konvergiere gemäß – mit dem Grenzwert . Dann folgt .

Beweis[Bearbeiten]

Angenommen es wäre erfüllt. Dann folgt zunächst . Äquivalent zur Aussage

gibt es zu jedem einen Index mit der Eigenschaft

für alle

bzw.

für alle .

Zu dem speziellen ist nun für alle Indices die Ungleichung

bzw.

erfüllt. Dieses steht im Widerspruch zur Voraussetzung.

q.e.d.

Satz 4 (Häufungsstellensatz von Weierstraß)[Bearbeiten]

Sei eine beschränkte Folge mit der Schranke , so dass
für alle
erfüllt ist. Dann gibt es eine konvergente Teilfolge der Folge mit dem Grenzwert und .

Beweis[Bearbeiten]

Wir betrachten das intervall der Länge und beachten für alle . Ist mit ein beliebiges Teilintervall von , so können folgende zwei Fälle eintreten:

In liegen nur endlich viele Glieder der Folge , d. h. es gibt eine natürliche Zahl mit für alle .
In liegen unendlich viele Glieder der Folge , d. h. zu jeder natürlichen Zahl gibt es ein mit .

Wir setzen und teilen das intervall in zwei intervalle der Länge

und .

Nun liegen entweder in oder in unendlich viele Glieder der Folge . Wenn nun z. B. für zutrifft, so wählen wir – ansonsten wird durch ersetzt. Jetzt halbieren wir das Intervall in ein

linkes Teilintervall

sowie ein

rechtes Teilintervall .

Dann wählen wir als dasjenige Intervall von oder , für welches zutrifft. Die Fortsetzung dieses Verfahrens liefert eine Folge von Intervallen mit den Eigenschaften:

(7) Für alle gilt:
(8) .

In jedem Intervall liegen unendlich viele Glieder der Folge . Nun ist die Folge der linken Eckpunkte von eine Cauchy-Folge, denn wegen (7) und (8) gilt

für alle .

Nach Satz 3 existiert nun ein mit und Hilfssatz 5 liefert

für alle .

Zu vorgegebenem wählen wir derart, dass

gilt. Da nun in jedem unendlich viele liegen, finden wir zu jeder natürlichen Zahl ein , so dass

richtig ist. Wir setzen jetzt , wobei der Index durchläuft. Es gibt also eine Folge natürlicher Zahlen mit , welche

erfüllen. Somit folgen die Ungleichungen und schließlich

mit für alle .

q.e.d.

Definition 4[Bearbeiten]

Eine Folge heißt monoton nicht fallend bzw. schwach monoton steigend, wenn die Ungleichung für alle erfüllt ist. Die Folge heißt (streng) monoton steigend, wenn für alle gilt.
Entsprechend heißt die Folge monoton nicht steigend bzw. schwach monoton fallend, wenn die Ungleichung für alle erfüllt ist. Die Folge heißt (streng) monoton fallend, wenn für alle gilt.

Satz 5[Bearbeiten]

Sei die monoton nicht fallende Folge gegeben, die nach oben beschränkt ist gemäß – mit der Schranke . Dann ist konvergent.

Beweis[Bearbeiten]

Wegen der Beschränktheit und Monotonie unserer Folge gilt

für alle .

Nach Satz 4 gibt es zu eine Teilfolge mit

.

Wir zeigen jetzt, dass auch gegen konvergiert: Zu jedem ist die Ungleichung für alle richtig und die Monotonie liefert

für alle .

Der Grenzübergang ergibt mittels Hilfssatz 5 die Ungleichung

(9) für alle .

Zu vorgegebenem existiert nun eine natürliche Zahl mit für alle . Wir erhalten die Ungleichung

für alle .

Da die Folge monoton nicht fallend ist, gibt es eine Zahl , so dass

für alle

richtig ist. Dies bedeutet aber

.

q.e.d.

Satz 6[Bearbeiten]

Jede monoton nicht wachsende, nach unten beschränkte Folge mit für ein ist konvergent.

Beweis[Bearbeiten]

Die Behauptung ergibt sich unmittelbar aus Satz 5: Durch Spiegelung am Nullpunkt betrachten wir die monoton nicht fallende Folge mit .

q.e.d.

Jede endliche Menge – mit – besitzt ein kleinstes Element und ein größtes Element . Dieses nennen wir Maximum bzw. Minimum der Menge . Offenbar ist die Ungleichung

für

erfüllt. Bei Mengen mit unendlich vielen Elementen liegt diese einfache Situation im allgemeinen nicht vor – jedoch können wir folgendes zeigen:

Satz 7[Bearbeiten]

Sei eine nicht leere Menge reeller Zahlen, die nach oben beschränkt ist, d. h. es gibt ein derart, dass
für alle
gilt. Dann gibt es ein durch die Menge eindeutig bestimmtes Element mit den folgenden Eigenschaften:
(10) Für alle gilt .
(11) Zu jedem gibt es ein mit .

Bemerkung[Bearbeiten]

Im Gegensatz zu endlichen Mengen ist im allgemeinen Fall auch möglich, z. B. für mit der oberen Grenze .

Beweis[Bearbeiten]

(Eindeutigkeit von ): Angenommen, die verschieden Größen und erfüllen die bedingungen (10) und (11): Wir können dann o. B. d. A. voraussetzen. Nun gibt es zu jedem ein mit . Speziell für erhalten wir

.

Dies steht im Widerspruch zu (10) für die Größe .

(Existenz von ): Wegen gibt es ein und wir wählen das intervall . Wir beachten und für alle . Wie im Beweis von Satz 4 teilen wir das intervall in zwei teilintervalle und :

und .

Wir setzen , falls erfüllt ist – ansonsten sei erklärt. Dann gibt es ein und für alle gilt . Dieses Verfahren wenden wir nun auf an und erhalten das Intervall . Wir wählen dabei das folgende Intervall stets so, dass wenigstens ein darin enthalten ist. Haben wir bereits das Intervall konstruiert, halbieren wir dieses wieder in die Intervalle und und wählen als das Intervall L, falls – ansonsten sei gesetzt. Wir erhalten also eine Folge von intervallen mit den Eigenschaften:

(12) Für alle gilt
(13) .

In jedem Intervall liegt wenigstens ein und es gilt:

für alle und .

Die Folge der linken Eckpunkte von ist monoton nicht fallend und nach oben beschränkt. Wegen Satz 5 existiert ihr Grenzwert . Weiterhin ist die Folge der rechten Eckpunkte von monoton nicht steigend und nach unten beschränkt – also gibt es nach Satz 6 ein mit . Wegen (12) und (13) folgt für hinreichend große

bzw.

.

Zu vorgegebenem existiert nun eine natürliche Zahl mit der Eigenschaft

für alle .

Also folgt für mindestens . Andererseits liefert für alle und die Ungleichung für jedes . Das beweist die Behauptung des Satzes 7.

q.e.d.

Satz 8[Bearbeiten]

Sei eine nicht leere Menge reeller Zahlen, die nach unten beschränkt ist, d. h. es gibt ein derart, dass für alle gilt. Dann gibt es ein durch die Menge eindeutig bestimmtes Element mit den folgenden Eigenschaften:
(14) Für alle gilt .
(15) Zu jedem gibt es ein mit .

Beweis[Bearbeiten]

Wir wenden Satz 7 auf die Menge

an.

q.e.d.

Definition 5[Bearbeiten]

Für eine nach oben beschränkte Menge heißt mit den Eigenschaften (10) und (11) die obere Grenze, die kleinste obere Schranke oder das Supremum von . Man schreibt

Definition 6[Bearbeiten]

Für eine nach unten beschränkte Menge heißt mit den Eigenschaften (14) und (15) die untere Grenze, die größte untere Schranke oder das Infimum von . Man schreibt

Definition 7[Bearbeiten]

Eine Zahl heißt Häufungswert einer Folge genau dann, wenn es eine konvergente Teilfolge von mit der Eigenschaft
gibt.

Beispiele[Bearbeiten]

  1. Die Menge aller Häufungswerte der Folge der rationalen Zahlen ist .
  2. Die Folge der natürlichen Zahlen besitzt in keinen Häufungswert.
  3. Wenn eine nach oben beschränkte, monoton nicht fallende Folge ist, dann besitzt sie nach Satz 5 genau einen Häufungswert.

Definition 8[Bearbeiten]

Das erweiterte reelle Zahlensystem
entsteht durch Hinzufügen der beiden uneigentlichen Elemente und zu dem Körper der reellen Zahlen. Für alle gilt .

Definition 9[Bearbeiten]

Sei eine beliebige Folge. Dann vereinbaren wir:
Zu jedem existiert ein : für alle .
Zu jedem existiert ein : für alle .

Beispiele[Bearbeiten]

  1. Die Folge der natürlichen Zahlen ist in konvergent und besitzt den Häufungswert .
  2. Die Folge mit ist nicht konvergent, hat aber die beiden Häufungswerte und .

Definition 10[Bearbeiten]

heißt Häufungswert einer Folge genau dann, wenn es eine Teilfolge gibt mit dem Grenzwert
.

Definition 11[Bearbeiten]

Wir setzen
Zu jedem gibt es ein mit
Zu jedem gibt es ein mit

Satz 9[Bearbeiten]

Jede Zahlenfolge besitzt wenigstens einen Häufungswert .

Beweis[Bearbeiten]

Wenn für alle richtig ist, so folgt die Behauptung aus Satz 4 mit einem Häufungswert . Anderenfalls gibt es eine Teilfolge mit . Dann existiert eine Teilfolge von mit der Eigenschaft

oder

q.e.d.

Satz 10[Bearbeiten]

Jede monoton nicht fallende Folge ist konvergent, d. h. es gibt ein mit

Beweis[Bearbeiten]

Wenn nach oben beschränkt ist, so folgt die Behauptung aus Satz 5. Ist hingegen nach oben unbeschränkt, dann gibt es wegen der Monotonie zu jedem eine natürliche Zahl derart, dass für alle gilt. Definition 9 liefert .

q.e.d.

Satz 11[Bearbeiten]

Jede monoton nicht steigende Folge ist konvergent.

Definition 12[Bearbeiten]

Seien eine beliebige Folge und die Menge aller Häufungspunkte von . Dann setzt man
(16) als Limes superior und
(17) als Limes inferior.

Satz 12[Bearbeiten]

Sei eine Folge mit . Dann gilt:
(18) Es gibt eine Teilfolge .
(19) Zu jedem mit existiert für alle .

Bemerkungen[Bearbeiten]

Wegen (18) ist erfüllt. Die Bedingung (19) besagt, dass es zu beliebigem nur endlich viele Folgenglieder gibt, die größer als sind. Die Aussage wird falsch, wenn gesetzt wird. Betrachten wir dazu die Folge mit . Wegen

und

gilt . Für diese Folge liegen oberhalb von unendlich viele Glieder.

Beweis[Bearbeiten]

1. Sei zunächst . Wegen Definition 11 und 12 gilt für die Menge aller Häufungswerte von . Damit gibt es eine Teilfolge mit . Daraus folgt unmittelbar und nach Definition 9 gibt es zu jedem eine natürliche Zahl mit für alle .

2. Gelte nun . Dann gibt es wegen Definition 9 eine Teilfolge mit . Anderenfalls gäbe es ein , so dass für alle mit einem geeigneten richtig ist. Dann müsste wegen Hilfssatz 5 aber gelten – im Widerspruch zu .

3. Im dritten Fall sei erfüllt. Da ist, gibt es eine Folge mit . Da jedes Häufungswert von der Folge ist, gibt es zu jedem eine Teilfolge mit . Wir finden somit Glieder der Folge, so dass für gilt. Mit

erhalten wir . Wäre nun (19) falsch, so gäbe es ein mit für unendlich viele . Damit muss ein Häufungswert der Folge existieren, der erfüllt. Dies steht aber im Widerspruch zu – und somit gilt (19).

q.e.d.

Satz 13[Bearbeiten]

Sei eine Folge mit . Dann gilt:
(20) Es gibt eine Teilfolge .
(21) Zu jedem mit existiert für alle .

Beweis[Bearbeiten]

Indem wir die Folge mit betrachten, erhalten wir aus Satz 12 die Behauptungen (20) und (21).

q.e.d.

Bemerkung[Bearbeiten]

Nach Definition 12 gilt für eine beliebige Folge offenbar

.

Satz 14[Bearbeiten]

Eine Folge ist genau dann konvergent (im eigentlichen Sinne), wenn
erfüllt ist. Es gilt dann
.

Beweis[Bearbeiten]

“: Sei konvergent mit . Dann gibt es zu jedem eine natürliche Zahl mit der Eigenschaft

für alle .

Jede Teilfolge besitzt also den Häufungswert und somit ergibt sich

sowie .

“: Für die Folge gibt es ein mit

.

Zu jedem existiert wegen und Satz 12 eine natürliche Zahl , so dass für alle richtig ist. Entsprechend gibt es wegen und Satz 13 eine natürliche Zahl mit für alle . Setzen wir , dann erhalten wir für alle . Also folgt .

q.e.d.

Satz 15[Bearbeiten]

Sei eine beliebige Folge, dann gilt
(22)
(23) .

Beweis[Bearbeiten]

Wir beweisen nur (22), da der Beweis von (23) entsprechend geführt wird. Sei und .

1. Fall (): Nach (19) gibt es zu jedem eine natürliche Zahl mit für alle . Setzen wir

für ,

so gilt . Dann erfüllt die Folge für alle die Ungleichung . Somit folgt für alle die Beziehung

und damit .

2. Fall (): Es gibt eine Teilfolge mit und für alle gilt

.

Dann folgt

.

3. Fall (): Wir betrachten die Folge der Suprema

für ,

welche monoton nicht steigend ist. Also existiert die Größe

.

Wir werden zeigen, dass gilt: Zu vorgegebenem gibt es eine natürliche Zahl , so dass für alle gilt (vgl. Satz 12). Daraus folgt

für alle .

Also gilt für jedes die Abschätzung

und damit . Es bleibt noch zu zeigen, dass gilt. Wegen gibt es nach (18) eine Teilfolge mit . Deshalb existiert zu beliebigem eine Zahl mit für alle . Sei nun vorgegeben und entsprechend gewählt, so folgt

für alle .

Also gilt für beliebiges die Abschätzung

und damit . Mit der nun folgenden Identität haben wir (22) bewiesen.

q.e.d.