- Sei
eine reelle Folge. Die reelle Reihe
heißt bedingt konvergent, falls
konvergent und nicht absolut konvergent ist.
Eine überraschende Eigenschaft bedingt konvergenter Reihen besteht darin, dass mit Veränderung der Summationsreihenfolge – einer sogenannten Umordnung der Reihenglieder – sich auch der Wert der Reihe verändert! Dieses beobachtet man am Beispiel der alternierenden harmonischen Reihe oder Leibnizschen Reihe

.
Sie ist nach dem Leibniz-Kriterium konvergent, aber gemäß Beispiel 1 aus §6 nicht absolut konvergent.
- Sei die Folge
gegeben. Weiter sei eine bijektive Abbildung
(1)
vermöge 
- zwischen den natürlichen Zahlen gegeben, die wir – unendliche – Permutation nennen. Dann betrachten wir die Folge
mit den Gliedern
(2)

.
- Die Reihe
heißt eine Umordnung der Reihe
. Also geht die Reihe
aus der Reihe
durch eine Permutation der Indices (1) hervor!
- Sei
eine reelle Folge, so dass die Reihe
bedingt konvergent ist. Dann gibt es zu jeder reellen Zahl
eine Umordnung
von
, so dass
gilt.
1. Da die verschwindenden Terme der Reihe für die Aussage des Satzes irrelevant sind, nehmen wir ohne Einschränkung
für unsere Folge an. Wir definieren dann für
die Koeffizienten

falls

und

falls

gilt
sowie

falls

und

falls

gilt.
Dann beachten wir

für

.
Da die Reihe
konvergiert, folgt
und somit
(3)

Weiter ist
(4)

und

erfüllt. Da nämlich
richtig ist, muss mindestens eine der beiden Reihen in (4) divergent sein. Würde aber eine der beiden Reihen konvergieren und die andere divergieren, so ergäbe sich ein Widerspruch zur Konvergenz der Reihe

.
2. Wir nehmen nun ohne Einschränkung
für unseren zu erreichenden Grenzwert an. Wir teilen die natürlichen Zahlen auf in die beiden Indexmengen
und
. Beginnend mit dem kleinsten Element wählen wir unter Beachtung von (4) aufsteigend Zahlen abwechselnd in
und
nach der folgenden Vorschrift: Wir wählen die Indices

mit minimalem
, so dass

erfüllt ist. Wir wählen dann Indices

mit minimalem
, so dass

erfüllt ist. Wir wählen dann wieder Indices
mit minimalem
, so dass

richtig ist. Durch Fortsetzung des Verfahrens schöpfen wir die Indexmengen
und
aus. Wir erhalten eine Umordnung
unserer Reihe mit der Eigenschaft
; hierbei setzen wir
. Die konstruierten Partialsummen oszillieren nämlich um den Grenzwert
, wobei der Abstand zu
wegen (3) gegen Null strebt.
q.e.d.
- Seien die Folgen
und
so gegeben, dass die Reihe
eine Umordnung der Reihe
gemäß Definition 2 darstellt. Wenn nun
absolut konvergiert, so ist das auch für die umgeordnete Reihe
der Fall und ihre Werte stimmen gemäß
überein.
1. Wir gehen aus von der Konvergenzeigenschaft
sowie der vorgegebenen Permutation

mit der Bijektion

.
Zu einem festen
gibt es ein
, so dass die Inklusion

erfüllt ist. Somit folgt
(5)

für alle
. Also ist
erfüllt und die Reihe
ist absolut konvergent.
2. Zu vorgegebenem
gibt es eine Zahl
, so dass
(6)

für alle

erfüllt ist. Weiter gibt es eine natürliche Zahl
, so dass die Inklusion

für alle
richtig ist. Es folgt für alle
die Abschätzung
(7)


.
Wir erhalten damit

.
q.e.d.
Leider ist die oben verwendete suggestive Doppelindizierung durch
für unsere Permutation nur schwer lesbar.
- Eine Doppelfolge ist eine Abbildung
vermöge
.
- Diese bezeichnen wir durch
.
- Wir betrachten eine bijektive Abbildung

- auf das Gitter
. Dann nennen wir

- eine Abzählung des Gitters.
- Sei die Doppelfolge
gegeben und

- eine beliebige Abzählung des Gitters. Dann nennen wir die zugehörige Doppelreihe
absolut konvergent, falls

- ausfällt. Wir setzen dann

- für den Wert der Doppelreihe.
1. Der Wert der absolut konvergenten Doppelreihe ist unabhängig von der gewählten Abzählung des Gitters nach dem Umordnungssatz.
2. Üblicherweise prüft man die absolute Konvergenz einer Doppelreihe wie folgt nach: Man bestimmt eine Konstante
, so dass die Abschätzung

für alle

erfüllt ist.
3. Entsprechend erklärt man absolut konvergente
-fache Reihen

mit den Termen

für

.
Satz 3 (Multiplikationssatz für Reihen)
[Bearbeiten]
- Seien
und
Folgen komplexer Zahlen, so dass deren zugehörige Reihen
bzw.
absolut konvergieren. Dann konvergiert auch die Doppelreihe
absolut und es gilt
(8)

.
- Dabei ist

- gesetzt worden und die Konvergenzbedingung
erfüllt.
1. Für alle
gilt die Abschätzung
(9)

.
Ist nun
eine beliebige Abzählung des Gitters
, so liefert (8) die Ungleichung
(10)

.
Somit ist die Doppelreihe
absolut konvergent und der Wert der Reihe ist unabhängig von der gewählten Abzählung des Gitters. Der Ungleichung (9) entnehmen wir auch die Abschätzung

für alle

,
welche die absolute Konvergenz der Reihe
impliziert.
2. Durch den Grenzübergang
in der Identität
(11)

erhalten wir schließlich die linke Identität in (7). Durch Wahl einer speziellen Abzählung erhalten wir ferner
(12)

und somit die rechte Identität in (7).
q.e.d.
- Die Potenzreihen
und
seien konvergent für alle
mit
, wobei
gegeben sei. Dann gilt für alle
mit
die Identität

- mit den Koeffizienten

.
Nach Satz 14 aus §6 konvergieren die angegebenen Reihen für alle
mit
absolut und mit Satz 3 multiplizieren wir wie folgt aus:

.
Wir erhalten damit die angegebene Identität.
q.e.d.
- Die Doppelfolge
heißt konvergent, wenn es eine komplexe Zahl
gibt, so dass für alle
ein
existiert mit der Eigenschaft
für alle
.
Die Zahl
ist eindeutig bestimmt und wir schreiben
(13)

oder

.
Satz 4 (Cauchysches Konvergenzkriterium für Doppelfolgen)
[Bearbeiten]
- Eine Doppelfolge
ist genau dann konvergent, wenn es zu jedem
eine Zahl
gibt, so dass
für alle
und
ausfällt.
„
“:
Sei
konvergent. Dann gibt es einen Grenzwert
und zu jedem
ein
, so dass die Abschätzung
für alle
richtig ist. Damit erhalten wir für alle
und
die Ungleichung

.
Somit stellt
eine Cauchy-Folge dar.
„
“:
Sei
eine Cauchy-Folge. Dann gibt es zu jedem
ein
gibt, so dass
für alle
und
gilt. Dann betrachten wir die Diagonalfolge
mit
für alle
, welche ebenfalls eine Cauchy-Folge ist. Wegen der Vollständigkeit von
nach Satz 2 in §5 existiert eine Zahl
mit der Eigenschaft

.
Somit finden wir ein
, welches
für alle
realisiert. Setzen wir
, so folgt für alle
die Abschätzung:
(14)

.
Damit ist
gezeigt.
q.e.d.
Satz 6 (Iterierter Limes von Doppelfolgen)
[Bearbeiten]
- Es sei
eine konvergente Doppelfolge. Außerdem existiere für alle
der Grenzwert
. Dann existiert auch der Grenzwert
und es gilt

.
Sei
gesetzt. Zu beliebig vorgegebenem
gibt es dann ein
, so dass

für alle

richtig ist. Für festes
betrachten wir in dieser Ungleichung den Grenzübergang
und erhalten die Abschätzung

für alle

.
Somit folgt
.
q.e.d.
- Sei
eine Doppelfolge, so dass deren zugehörige Doppelreihe
absolut konvergent ist. Dann ist die Doppelfolge ihrer Partialsummen
(15)

- konvergent und es gilt die Identität
(16)

- zwischen dem Limes der Doppelfolge ihrer Partialsummen und dem Wert der Doppelreihe.
Mit dem Cauchyschen Konvergenzkriterium für Doppelfolgen zeigen wir die Existenz des Grenzwerts
. Da die Doppelreihe absolut konvergent ist, gibt es zu jedem
ein
, so dass die Abschätzung
(17)

erfüllt ist, wenn wir die angegebene Reihe über die zugehörige Indexmenge

summieren. Nun gilt für alle
die folgende Abschätzung
(18)

.
Dabei erscheinen in der Reihe auf der rechten Seite offenbar die folgenden Faktoren:
(19)

für

und

,
(19)

für

oder

,
(19)

sonst.
Wir bemerken, dass sich damit die Reihe in (18) auf eine endliche Summe reduziert. Also folgt für alle
die Ungleichung
(20)

.
Nach Satz 5 ist damit die Doppelfolge
konvergent.
2. Der Wert der absolut konvergenten Doppelreihe ist unabhängig von der Auswahl der Abzählung des Gitters
. Da weiter der Grenzwert einer konvergenten Doppelfolge mit dem Grenzwert der zugehörigen Diagonalfolge übereinstimmt, erhalten wir
(21)

.
Damit ist alles gezeigt.
q.e.d.
- Sei
eine Doppelfolge, so dass deren zugehörige Doppelreihe
absolut konvergent ist. Dann gilt
(22)

.
Wir betrachten die Doppelfolge der Partialsummen

.
Nach obigem Satz 7 besitzt diese einen Grenzwert

.
Wegen der absoluten Konvergenz der Doppelreihe existieren für alle
die Grenzwerte
(23)

.
Satz 6 liefert dann die Existenz des Grenzwertes
sowie die Gleichung
(24)

des iterierten Limes. Also folgt aus (23), (24) und Satz 7 die Identität:
(25)
![{\displaystyle \sum _{k,l=0}^{\infty }c_{kl}=s=\lim _{m\to \infty }s_{m}=\lim _{m\to \infty }\left[\sum _{k=0}^{m}\left(\sum _{l=0}^{\infty }c_{kl}\right)\right]=\sum _{k=0}^{\infty }\left(\sum _{l=0}^{\infty }c_{kl}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3fe2058a0ec73ad4c335742a7bbfccbb784219d8)
.
Somit ist die linke Identität in (22) gezeigt; die rechte Gleichung beweist man genauso.
q.e.d.