Kurs:Analysis I/Kapitel I: Das System der reellen und komplexen Zahlen/Das Rechnen mit reellen und komplexen Zahlen (§1)

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Die Zahlen bilden das Fundament der Analysis. Grundlegend für den Umgang mit Zahlen und anderen mathematischen Objekten ist der Mengenbegriff. Eine Menge von Zahlen lässt sich auf zwei Arten festlegen, indem wir ihre Elemente aufschreiben oder diese durch eine definierende Eigenschaft angeben. Die einfachste unendliche Menge ist die Menge

der natürlichen Zahlen. Fügen wir das Nullelement hinzu, so erhalten wir die Menge

.

Durch Erweiterungen von Zahlenbereichen erhält man – ausgehend von – die Menge

der ganzen Zahlen und die Menge

der rationalen Zahlen.
Es ist notwendig den Körper der rationalen Zahlen zu erweitern, denn die Gleichung besitzt in keine Lösung. Die Länge der Diagonale eines Einheitsquadrats ergibt nach dem Satz des Pythagoras wegen die Zahl (vgl. §2). Der durch diese Länge definierte Punkt auf der Zahlengeraden ist kein rationaler Punkt.

Dies erfordert die Konstruktion der reellen Zahlen aus durch einen Abschlussprozess und die reellen Zahlen entsprechen dann der gesamten Zahlengeraden.

Weitere Beispiele von Mengen:

  • bedeutet die leere Menge, die kein Element enthält (sie ist somit Teilmenge jeder Menge);
  • bezeichnet die Menge der reellen Zahlen (das Kontinuum);
  • meint ein offenes Intervall, wobei gewählt ist;
  • ist die Menge der komplexen Zahlen .

Man kann sich die komplexen Zahlen als Punkte in der Gaußschen Zahlenebene veranschaulichen – als geordnete Paare reeller Zahlen.
Insgesamt gilt:

.

Die Zahlensysteme , und haben gemeinsame Eigenschaften, die Körperaxiome.

Definition 1[Bearbeiten]

Ein System von Elementen heißt ein Körper genau dann, wenn es zu je zwei Elementen eine Summe und ein Produkt derart gibt, dass die Körperaxiome gelten.
1. Axiome der Addition
a) Assoziativgesetz: Für alle gilt: .
b) Kommutativgesetz: Für alle gilt: .
c) Existenz des additiv neutralen (Null-)Elements: Es existiert ein neutrales Element derart, dass für alle die Bedingung gilt.
d) Existenz des additiv inversen (negativen) Elements: Zu jedem gibt es ein inverses Element mit . Man schreibt .
2. Axiome der Multiplikation
a) Assoziativgesetz: Für alle gilt: .
b) Kommutativgesetz: Für alle gilt: .
c) Existenz des multiplikativ neutralen (Eins-)elements: Es existiert ein neutrales Element mit derart, dass für alle die Bedingung gilt.
d) Existenz des multiplikativ inversen (reziproken) Elements: Zu jedem gibt es ein inverses Element mit . Man schreibt .
3. Distributivgesetz
Für alle gilt: .

Wir zeigen leicht, dass die Menge gemäß Definition 1 die Körperaxiome erfüllt, z. B. gilt das Assoziativgesetz der Addition:
Seien , und mit sowie .
Im Zahlbereich gelten und , also folgt

.

Die Axiome der Addition bzw. der Multiplikation bedeuten, dass bzgl. der Addition bzw. der Multiplikation eine Abelsche Gruppe ist. |}

Satz 1[Bearbeiten]

Aus den Körperaxiomen lassen sich weitere Eigenschaften der Elemente von folgern.
(1) Für beliebige ist die Gleichung eindeutig lösbar.
(2) Für beliebige und ist die Gleichung eindeutig lösbar.
(3) Für alle gelten und .
(4) Für alle gilt
(5) Für alle gilt .

Beweis von (1)[Bearbeiten]

Nach existiert zu das inverse Element . Wir addieren zur Gleichung von links und erhalten bzw. nach , was die Eindeutigkeit der Lösung zeigt. Angenommen sei die eindeutig bestimmte Lösung der Gleichung . Dann gilt nach

.

Damit hat man die Existenz einer Lösung nachgewiesen.

q.e.d.

Beweis von (2)[Bearbeiten]

Nach gibt es zu das inverse Element . Wir multiplizieren die Gleichung von links mit und erhalten bzw. nach

.

Sei nun , so realisiert dieses die Lösung der Gleichung , denn gemäß gilt:

.

q.e.d.

Beweis von (3)[Bearbeiten]

Sei . Damit erhält man:

Mit und und somit erhalten wir die zweite Aussage von (3):

q.e.d.

Beweis von (4)[Bearbeiten]

Sei . Einerseits gilt nach . Somit ist das entgegengesetzte Element von . Es gilt also .

Beweis von (5)[Bearbeiten]

Wir beweisen die Folgerung indirekt. Seien . Angenommen, die Aussage unter der Voraussetzung und ist falsch. Dann gilt . Nach gibt es zu das inverse Element . Wir multiplizieren die Gleichung von links mit und erhalten gemäß (3) und es ergibt sich mit ein Widerspruch zur Voraussetzung . Damit ist die Annahme falsch und (5) richtig.

Definition 2[Bearbeiten]

Ein Körper heißt angeordnet genau dann, wenn für gewisse Elemente die Eigenschaft positiv zu sein durch die sogenannten Anordnungsaxiome charakterisiert wird:
Für jedes gilt genau eine der drei Beziehungen:
.
Für jedes gilt: Aus und folgt und .

Bemerkungen[Bearbeiten]

  1. ist das Gesetz der Trichotomie: Gilt , so ist positiv. Für ist negativ, man schreibt auch ; denn heißt nach Definition 2 und dies ist definitionsgemäß gleichbedeutend mit , also .
  2. und sind angeordnete Körper, ist ein Beispiel für einen nicht angeordneten Körper.
  3. Der Körper bezüglich der Menge kann nicht angeordnet werden, denn steht im Widerspruch zu .

Definition 3[Bearbeiten]

Sei ein angeordneter Körper. Für beliebige gilt genau dann, wenn ist. Man vereinbart:
.

Definition 4[Bearbeiten]

Sei ein angeordneter Körper. Für heißt
der Absolutbetrag von .

Bemerkung[Bearbeiten]

Für alle gilt:

und .

Man kann sich diese beiden Aussagen klar machen, wenn man die in der Definition 4 durchgeführte Fallunterscheidung hier ebenfalls beachtet:

Ist , so gilt: .
Ist , so gilt: .

Satz 2[Bearbeiten]

Aus den Körper- und Anordnungsaxiomen lassen sich weitere Eigenschaften der Elemente von dem angeordneten Körper folgern.
(6) Für alle gilt: Aus und folgt .
(7) Für alle gilt: Aus folgt .
(8) Für alle gilt: Aus und folgt .
(9) Für alle gilt: Aus folgt .
(10) Für alle gilt: sowie .
(11) Für alle gilt: Aus folgt .
(12) Für alle gilt .
(13) Für alle gilt (Dreiecksungleichung).
(14) Für alle gilt .
(15) Für alle gilt .
(16) Gegeben seien und . Dann ist äquivalent zu
mit .
(17) Sei . Gelten für beliebige die Ungleichungen
und ,
dann folgt
.
(18) Sei . Wenn für beliebige die Ungleichungen und gelten, dann folgt:
.

Beweis von (6)[Bearbeiten]

Transitivität der kleiner-Relation. Nach Definition 3 ist zu zeigen, dass erfüllt ist. Nach Voraussetzung gilt

q.e.d.

Beweis von (7)[Bearbeiten]

Monotoniegesetz der Addition. Nach Definition 3 ist zu zeigen, dass ist. Nach Definition 3 und Voraussetzung gilt

q.e.d.

Beweis von (8)[Bearbeiten]

Monotoniegesetz der Multiplikation. Nach Definition 3 ist zu zeigen, dass ist. Wegen der Voraussetzung und folgt nach und

.

Beweis von (9)[Bearbeiten]

Nach Definition 3 ist zu zeigen, dass gilt. Mit (4) und sowie der Voraussetzung gilt

.

Beweis von (10)[Bearbeiten]

Sei . Nach ist . Wir multiplizieren diese Gleichung mit bzw. und erhalten nach

.

Gemäß und wegen der Eindeutigkeit des entgegengesetzten Elements gilt somit für die Beziehung . Aus Definition 4 folgt unmittelbar

und damit .

Wir bemerken in Verallgemeinerung, dass für stets

folgt. Das Gleichheitszeichen steht genau dann, wenn gilt.

q.e.d.

Beweis von (11)[Bearbeiten]

Sei ein angeordneter Körper. Dann gilt , denn nach (10) und ergibt sich . Nach Voraussetzung ist . Angenommen es wäre , so folgt . Wegen und gilt

.

Dies steht im Widerspruch zu ; also gilt . Analog zeigt man .
Sei nun gegeben, so ist und richtig. Gemäß und erhält man

Damit ist nach Definition 3 auch bzw. erfüllt.

q.e.d.

Beweis von (12)[Bearbeiten]

Beim Beweis muss man die vier Fälle unterscheiden:

(a) und
(b) und
(c) und
(d) und

Wir überlassen die Fälle (a) bis (c) dem Leser und betrachten nur den letzten Fall. Voraussetzung:

.

Nach , (3) und (4) folgt . Wegen Definition 4 gilt einerseits . Andererseits ist und richtig, woraus

folgt.

q.e.d.

Beweis von (13)[Bearbeiten]

Sei nun gegeben. In Bezug auf die Bemerkung zu Definition 4 gilt .

Beweis von (14)[Bearbeiten]

Durch Addition des Nullelements gilt einerseits . Mit Hilfe der Dreiecksungleichung folgt . Andererseits ist durch Vertauschen von . Die Dreiecksungleichung liefert bzw. . Insgesamt erhält man nach Definition 4 für alle die Behauptung .

q.e.d.

Beweis von (15)[Bearbeiten]

Sei . Wegen gilt . Nach Definition 4 sowie (11) und (12) ergibt sich . Damit ist nach das inverse Element zu , also gilt .

Beweis von (16)[Bearbeiten]

Die Behauptung ergibt sich gemäß Definition 4 durch nachfolgende äquivalente Aussagen:

.

Beweis von (17)[Bearbeiten]

Es seien beliebige reelle Zahlen. Dann gilt

q.e.d.

Beweis von (18)[Bearbeiten]

Seien und . Dann gilt

denn aus der Voraussetzung und folgt und .

Beispiel 1: Quadratische Ergänzung[Bearbeiten]

Seien reelle Parameter. Um den Scheitelpunkt einer Parabel

zu ermitteln, bildet man ein vollständiges Quadrat:

.

Das Gleichheitszeichen steht genau dann, wenn gilt. Somit erhält man für den Scheitelpunkt (globales Minimum) die Koordinaten .

Beispiel 2: Die Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel[Bearbeiten]

Für alle gilt

.

Mittels Substitution und erhalten wir folgende Aussage:
Das geometrische Mittel von zwei positiven reellen Zahlen ist kleiner oder gleich dem arithmetischen Mittel:

.

Der Beweis durch vollständige Induktion ist ein wichtiges Hilfsmittel in der Mathematik. Er dient zum Nachweis, dass gewisse Aussagen für alle natürlichen Zahlen wahr sind. Das Beweisprinzip besteht darin, dass man im Induktionsanfang die Wahrheit der Aussage für ein festes nachweist und man im Induktionsschritt aus der Induktionsvoraussetzung (IV), dass nämlich für ein beliebiges mit schon als wahr nachgewiesen ist, die Induktionsbehauptung erschließt – also dann die Aussage auch für den unmittelbaren Nachfolger von wahr ist.

Satz 3 (Bernoullische Ungleichung)[Bearbeiten]

Für alle und für alle gilt
(19) .

Beweis (durch vollständige Induktion über )[Bearbeiten]

Die Aussage sei die zu beweisende Ungleichung (19).

(i) Für und erhält man im Induktionsanfang die wahre Aussage

.

(ii) Der Induktionsschritt besagt, dass für alle gilt:

.

Nach Induktionsvoraussetzung (IV) gilt für ein beliebiges :

.

Nun folgt wegen

die Induktionsbehauptung . Nach dem Prinzip der vollständigen Induktion ist die Ungleichung von Bernoulli für alle richtig.

q.e.d.

Definition 5[Bearbeiten]

Sei ein angeordneter Körper. heißt archimedisch angeordnet genau dann, wenn für alle das Archimedische Axiom gilt:
Für alle mit und existiert ein mit .

Bemerkung[Bearbeiten]

und sind archimedisch angeordnete Körper.

Es seien . Die ganzen Zahlen dienen zur Unterscheidung der und heißen Indices. Man verwendet die Schreibweise

bzw. .

Bemerkungen[Bearbeiten]

1. Es kann vorkommen, dass nur über eine Teilmenge der Indices summiert wird, z. B.

mit einem .
2. Auch Doppelindices können auftreten. Wir erklären zunächst die Indexmenge

.

Wir betrachten nun die Abbildung vermöge und erhalten in Matrixschreibweise:

(20)

Die Summe aller Körperelemente aus (20) liefert uns die Doppelsumme

.

Dabei wird einmal über die Zeilen der Anordnung (20) und das andere Mal über die Spalten summiert.

Beispiel 4[Bearbeiten]

Sind und mit gegeben, so gilt wegen und die Identität

(21)

mit

.

Es kann vorkommen, dass nur über Teilmengen von geordneten Paaren summiert wird. So treten in der Summe

nur die Terme auf, die oberhalb der Hauptdiagonalen in der Anordnung (20) liegen. Gilt insbesondere

(22) ,

so folgt

.

Satz 4 (Ungleichung von Cauchy-Schwarz)[Bearbeiten]

Wenn für gilt, dann folgt
.

Beweis[Bearbeiten]

O.B.d.A gelte:

(sonst ist die Gleichung trivial erfüllt)

Wir betrachten die Funktion

Nach Definition ist klar, dass für alle . Die Umformung

zeigt, dass ein (höchstens) quadratisches Polynom ist. Es ist genau dann nichtnegativ, wenn es an einem Punkt echt positiv ist und sein Vorzeichen nicht wechselt. Für t=0 ist sein Wert W, nach Voraussetzung . Ist seine Diskriminante

nichtpositiv, wenn also gilt, bleibt es . ist jedoch genau die behauptete Ungleichung.

q.e.d.

Beispiel 5[Bearbeiten]

Für definieren wir die Größe Fakultät wie folgt:

.

Weiter erklären wir für den Binomialkoeffizienten

(23) .

Wegen

gilt für alle das Additionstheorem für die Binomialkoeffizienten:

(24) .

Satz 5 (Binomischer Lehrsatz)[Bearbeiten]

Für alle und gilt die Identität
(25) .

Beweis[Bearbeiten]

Sei , so ist obige Gleichung wegen

offenbar erfüllt. Sei also . Wir multiplizieren (25) mit und erhalten

.

Mit Hilfe der Substitution genügt es, die Aussage

(26)

zu zeigen. Wir beweisen nun durch vollständige Induktion, dass (26) für alle gilt. Die Aussage ist die Gleichung (26).

(IA) Für und ergibt sich die wahre Aussage

.

(IS) Nach Induktionsvoraussetzung gilt (26) für ein beliebiges . Dann folgt

.

Damit ist Satz 5 nach dem Prinzip der vollständigen Induktion bewiesen.

q.e.d.

Beispiel 6 (Teleskopsummen)[Bearbeiten]

Seien mit gegeben sowie die Zahlenfolge zu den Indices . Wir betrachten jetzt die Zahlenfolge mit für und berechnen

(27)

Für und ergibt sich dann

und .

Andererseits ist nach (27)

,

woraus sich unmittelbar die Gauß-Formel

ergibt.

Beispiel 7[Bearbeiten]

Seien und gewählt. Dann ermitteln wir und

,

woraus sich die geometrische Summenformel

ergibt.

Bemerkung[Bearbeiten]

Setzen wir in die geometrische Summenformel

ein und multiplizieren wir diese Gleichung mit , so erhalten wir

.

Damit finden wir die Identität

.