Die Zahlen bilden das Fundament der Analysis. Grundlegend für den Umgang mit Zahlen und anderen mathematischen Objekten ist der Mengenbegriff. Eine Menge von Zahlen lässt sich auf zwei Arten festlegen, indem wir ihre Elemente aufschreiben oder diese durch eine definierende Eigenschaft angeben. Die einfachste unendliche Menge ist die Menge

der natürlichen Zahlen. Fügen wir das Nullelement hinzu, so erhalten wir die Menge

.
Durch Erweiterungen von Zahlenbereichen erhält man – ausgehend von
– die Menge

der ganzen Zahlen und die Menge

der rationalen Zahlen.
Es ist notwendig den Körper der rationalen Zahlen zu erweitern, denn die Gleichung
besitzt in
keine Lösung. Die Länge der Diagonale eines Einheitsquadrats ergibt nach dem Satz des Pythagoras wegen
die Zahl
(vgl. §2). Der durch diese Länge definierte Punkt
auf der Zahlengeraden ist kein rationaler Punkt.
Dies erfordert die Konstruktion der reellen Zahlen aus
durch einen Abschlussprozess und die reellen Zahlen
entsprechen dann der gesamten Zahlengeraden.
Weitere Beispiele von Mengen:
bedeutet die leere Menge, die kein Element enthält (sie ist somit Teilmenge jeder Menge);
bezeichnet die Menge der reellen Zahlen (das Kontinuum);
meint ein offenes Intervall, wobei
gewählt ist;
ist die Menge der komplexen Zahlen
.
Man kann sich die komplexen Zahlen als Punkte in der Gaußschen Zahlenebene veranschaulichen – als geordnete Paare reeller Zahlen.
Insgesamt gilt:

.
Die Zahlensysteme
,
und
haben gemeinsame Eigenschaften, die Körperaxiome.
- Ein System
von Elementen heißt ein Körper genau dann, wenn es zu je zwei Elementen eine Summe und ein Produkt derart gibt, dass die Körperaxiome gelten.
- 1. Axiome der Addition
- a) Assoziativgesetz: Für alle
gilt: .
- b) Kommutativgesetz: Für alle
gilt: .
- c) Existenz des additiv neutralen (Null-)Elements: Es existiert ein neutrales Element
derart, dass für alle die Bedingung gilt.
- d) Existenz des additiv inversen (negativen) Elements: Zu jedem
gibt es ein inverses Element mit . Man schreibt .
- 2. Axiome der Multiplikation
- a) Assoziativgesetz: Für alle
gilt: .
- b) Kommutativgesetz: Für alle
gilt: .
- c) Existenz des multiplikativ neutralen (Eins-)elements: Es existiert ein neutrales Element
mit derart, dass für alle die Bedingung gilt.
- d) Existenz des multiplikativ inversen (reziproken) Elements: Zu jedem
gibt es ein inverses Element mit . Man schreibt .
- 3. Distributivgesetz
- Für alle
gilt: .
|
Wir zeigen leicht, dass die Menge
gemäß Definition 1 die Körperaxiome erfüllt, z. B. gilt das Assoziativgesetz der Addition:
Seien
,
und
mit
sowie
.
Im Zahlbereich
gelten
und
, also folgt


.
Die Axiome der Addition
bzw. der Multiplikation bedeuten, dass
bzgl. der Addition bzw. der Multiplikation eine Abelsche Gruppe ist.
|}
- Aus den Körperaxiomen lassen sich weitere Eigenschaften der Elemente von
folgern.
- (1) Für beliebige
ist die Gleichung
eindeutig lösbar.
- (2) Für beliebige
und
ist die Gleichung
eindeutig lösbar.
- (3) Für alle
gelten
und
.
- (4) Für alle
gilt 
- (5) Für alle
gilt
.
Nach
existiert zu
das inverse Element
. Wir addieren zur Gleichung
von links
und erhalten
bzw. nach
, was die Eindeutigkeit der Lösung zeigt. Angenommen
sei die eindeutig bestimmte Lösung der Gleichung
. Dann gilt nach
![{\displaystyle a+x=a+[b+(-a)]=(a+b)+(-a)=(b+a)+(-a)=b+[a+(-a)]=b+0=b}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c42fe83de4aad028a42c475d1f700ec5a420283a)
.
Damit hat man die Existenz einer Lösung nachgewiesen.
q.e.d.
Nach
gibt es zu
das inverse Element
. Wir multiplizieren die Gleichung
von links mit
und erhalten
bzw. nach

.
Sei nun
, so realisiert dieses die Lösung der Gleichung
, denn gemäß
gilt:

.
q.e.d.
Sei
. Damit erhält man:

![{\displaystyle \Rightarrow x\cdot 0+[-(x\cdot 0)]=x\cdot 0+x\cdot 0+[-(x\cdot 0)]\Rightarrow 0{\stackrel {(K_{1})}{=}}x\cdot 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/643ba75a66b2c9871a0d7ac0d2b0d696db6fea0e)
Mit
und
und somit
erhalten wir die zweite Aussage von (3):


q.e.d.
Sei
. Einerseits gilt nach
. Somit ist
das entgegengesetzte Element von
. Es gilt also
.
Wir beweisen die Folgerung indirekt. Seien
. Angenommen, die Aussage
unter der Voraussetzung
und
ist falsch. Dann gilt
. Nach
gibt es zu
das inverse Element
. Wir multiplizieren die Gleichung
von links mit
und erhalten gemäß (3)
und es ergibt sich mit
ein Widerspruch zur Voraussetzung
. Damit ist die Annahme
falsch und (5) richtig.
- Ein Körper
heißt angeordnet genau dann, wenn für gewisse Elemente
die Eigenschaft positiv zu sein
durch die sogenannten Anordnungsaxiome
charakterisiert wird:
Für jedes
gilt genau eine der drei Beziehungen:

.
Für jedes
gilt: Aus
und
folgt
und
.
ist das Gesetz der Trichotomie: Gilt
, so ist
positiv. Für
ist
negativ, man schreibt auch
; denn
heißt
nach Definition 2 und dies ist definitionsgemäß gleichbedeutend mit
, also
.
und
sind angeordnete Körper,
ist ein Beispiel für einen nicht angeordneten Körper.
- Der Körper
bezüglich der Menge
kann nicht angeordnet werden, denn
steht im Widerspruch zu
.
- Sei
ein angeordneter Körper. Für beliebige
gilt
genau dann, wenn
ist. Man vereinbart:

.
- Sei
ein angeordneter Körper. Für
heißt

- der Absolutbetrag von
.
Für alle
gilt:

und

.
Man kann sich diese beiden Aussagen klar machen, wenn man die in der Definition 4 durchgeführte Fallunterscheidung
hier ebenfalls beachtet:
Ist

, so gilt:

.
Ist

, so gilt:

.
- Aus den Körper- und Anordnungsaxiomen lassen sich weitere Eigenschaften der Elemente von dem angeordneten Körper
folgern.
- (6) Für alle
gilt: Aus
und
folgt
.
- (7) Für alle
gilt: Aus
folgt
.
- (8) Für alle
gilt: Aus
und
folgt
.
- (9) Für alle
gilt: Aus
folgt
.
- (10) Für alle
gilt:
sowie
.
- (11) Für alle
gilt: Aus
folgt
.
- (12) Für alle
gilt
.
- (13) Für alle
gilt
(Dreiecksungleichung).
- (14) Für alle
gilt
.
- (15) Für alle
gilt
.
- (16) Gegeben seien
und
. Dann ist
äquivalent zu
mit
.
- (17) Sei
. Gelten für beliebige
die Ungleichungen
und
,
- dann folgt

.
- (18) Sei
. Wenn für beliebige
die Ungleichungen
und
gelten, dann folgt:

.
Transitivität der kleiner-Relation. Nach Definition 3 ist zu zeigen, dass
erfüllt ist. Nach Voraussetzung gilt

q.e.d.
Monotoniegesetz der Addition. Nach Definition 3 ist zu zeigen, dass
ist. Nach Definition 3 und Voraussetzung gilt

q.e.d.
Monotoniegesetz der Multiplikation. Nach Definition 3 ist zu zeigen, dass
ist. Wegen der Voraussetzung
und
folgt nach
und

.
Nach Definition 3 ist zu zeigen, dass
gilt. Mit (4) und
sowie der Voraussetzung
gilt

.
Sei
. Nach
ist
. Wir multiplizieren diese Gleichung mit
bzw.
und erhalten nach
![{\displaystyle x[x+(-x)]=x\cdot x+x\cdot (-x)=x^{2}+(-x)(x)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d5b908339803ffe3b2b1b12f3a03ba9cebd1e3b)
![{\displaystyle (-x)[x+(-x)]=(-x)\cdot x+(-x)\cdot (-x)=(-x)x+(-x)^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b76217b98a4b3ec2dd459cbee59d6cd25585ecec)
.
Gemäß
und wegen der Eindeutigkeit des entgegengesetzten Elements gilt somit für
die Beziehung
. Aus Definition 4 folgt unmittelbar

und damit

.
Wir bemerken in Verallgemeinerung, dass für
stets

folgt. Das Gleichheitszeichen steht genau dann, wenn
gilt.
q.e.d.
Sei
ein angeordneter Körper. Dann gilt
, denn nach (10) und
ergibt sich
. Nach Voraussetzung ist
. Angenommen es wäre
, so folgt
. Wegen
und
gilt
![{\displaystyle -1=(-1)\cdot 1=(-1)\cdot (x\cdot x^{-1})=[(-1)\cdot x]\cdot x^{-1}=x\cdot (-x^{-1})>0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c2ac5a06c513ace9b5d57713daec68217bd78979)
.
Dies steht im Widerspruch zu
; also gilt
. Analog zeigt man
.
Sei nun
gegeben, so ist
und
richtig. Gemäß
und
erhält man

Damit ist nach Definition 3 auch
bzw.
erfüllt.
q.e.d.
Beim Beweis muss man die vier Fälle unterscheiden:
(a)

und

(b)

und

(c)

und

(d)

und

Wir überlassen die Fälle (a) bis (c) dem Leser und betrachten nur den letzten Fall. Voraussetzung:

.
Nach
, (3) und (4) folgt
. Wegen Definition 4 gilt einerseits
. Andererseits ist
und
richtig, woraus

folgt.
q.e.d.
Sei nun
gegeben. In Bezug auf die Bemerkung zu Definition 4 gilt
.

Durch Addition des Nullelements gilt einerseits
. Mit Hilfe der Dreiecksungleichung
folgt
. Andererseits ist
durch Vertauschen von
. Die Dreiecksungleichung liefert
bzw.
. Insgesamt erhält man nach Definition 4 für alle
die Behauptung
.
q.e.d.
Sei
. Wegen
gilt
. Nach Definition 4 sowie (11) und (12) ergibt sich
. Damit ist nach
das inverse Element zu
, also gilt
.
Die Behauptung ergibt sich gemäß Definition 4 durch nachfolgende äquivalente Aussagen:



.
Es seien
beliebige reelle Zahlen. Dann gilt


q.e.d.
Seien
und
. Dann gilt


denn aus der Voraussetzung
und
folgt
und
.
Seien
reelle Parameter. Um den Scheitelpunkt
einer Parabel

zu ermitteln, bildet man ein vollständiges Quadrat:

.
Das Gleichheitszeichen steht genau dann, wenn
gilt. Somit erhält man für den Scheitelpunkt
(globales Minimum) die Koordinaten
.
Beispiel 2: Die Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel
[Bearbeiten]
Für alle
gilt

.
Mittels Substitution
und
erhalten wir folgende Aussage:
Das geometrische Mittel von zwei positiven reellen Zahlen
ist kleiner oder gleich dem arithmetischen Mittel:

.
Der Beweis durch vollständige Induktion ist ein wichtiges Hilfsmittel in der Mathematik. Er dient zum Nachweis, dass gewisse Aussagen
für alle natürlichen Zahlen
wahr sind. Das Beweisprinzip besteht darin, dass man im Induktionsanfang die Wahrheit der Aussage
für ein festes
nachweist und man im Induktionsschritt aus der Induktionsvoraussetzung (IV), dass nämlich
für ein beliebiges
mit
schon als wahr nachgewiesen ist, die Induktionsbehauptung
erschließt – also dann die Aussage auch für den unmittelbaren Nachfolger
von
wahr ist.
- Für alle
und für alle
gilt
(19)

.
Beweis (durch vollständige Induktion über
)
[Bearbeiten]
Die Aussage
sei die zu beweisende Ungleichung (19).
(i) Für
und
erhält man im Induktionsanfang die wahre Aussage

.
(ii) Der Induktionsschritt besagt, dass für alle
gilt:

.
Nach Induktionsvoraussetzung (IV) gilt für ein beliebiges
:

.
Nun folgt wegen


die Induktionsbehauptung
. Nach dem Prinzip der vollständigen Induktion ist die Ungleichung von Bernoulli für alle
richtig.
q.e.d.
- Sei
ein angeordneter Körper.
heißt archimedisch angeordnet genau dann, wenn für alle
das Archimedische Axiom
gilt:
Für alle
mit
und
existiert ein
mit
.
und
sind archimedisch angeordnete Körper.
Es seien
. Die ganzen Zahlen
dienen zur Unterscheidung der
und heißen Indices. Man verwendet die Schreibweise

bzw.

.
1. Es kann vorkommen, dass nur über eine Teilmenge der Indices summiert wird, z. B.

mit einem
.
2. Auch Doppelindices können auftreten. Wir erklären zunächst die Indexmenge

.
Wir betrachten nun die Abbildung
vermöge
und erhalten in Matrixschreibweise:
(20)

Die Summe aller Körperelemente aus (20) liefert uns die Doppelsumme

.
Dabei wird einmal über die Zeilen
der Anordnung (20) und das andere Mal über die Spalten
summiert.
Sind
und
mit
gegeben, so gilt wegen
und
die Identität
(21)
![{\displaystyle {\begin{matrix}\sum \limits _{i,j=1}^{n}a_{ij}=\sum \limits _{i,j=1}^{n}x_{i}\cdot y_{j}=\sum \limits _{i=1}^{n}\left(\sum \limits _{j=1}^{n}x_{i}\cdot y_{j}\right)=\sum \limits _{i=1}^{n}\left[x_{i}\sum \limits _{j=1}^{n}y_{j}\right]=\sum \limits _{i=1}^{n}x_{i}\cdot \alpha \\=\alpha \cdot \sum \limits _{i=1}^{n}x_{i}=\left(\sum \limits _{i=1}^{n}x_{i}\right)\cdot \left(\sum \limits _{j=1}^{n}y_{j}\right)\end{matrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dceb645b00984fdb7121f742d444cefa877bdc67)
mit

.
Es kann vorkommen, dass nur über Teilmengen von geordneten Paaren
summiert wird. So treten in der Summe

nur die
Terme auf, die oberhalb der Hauptdiagonalen in der Anordnung (20) liegen. Gilt insbesondere
(22)

,
so folgt

.
Satz 4 (Ungleichung von Cauchy-Schwarz)
[Bearbeiten]
- Wenn
für
gilt, dann folgt

.
O.B.d.A gelte:
(sonst ist die Gleichung trivial erfüllt)
Wir betrachten die Funktion

Nach Definition ist klar, dass
für alle
. Die Umformung

zeigt, dass
ein (höchstens) quadratisches Polynom ist. Es ist genau dann nichtnegativ, wenn es an einem Punkt echt positiv ist und sein Vorzeichen nicht wechselt. Für t=0 ist sein Wert W, nach Voraussetzung
. Ist seine Diskriminante

nichtpositiv, wenn also
gilt, bleibt es
.
ist jedoch genau die behauptete Ungleichung.
q.e.d.
Für
definieren wir die Größe
Fakultät wie folgt:




.
Weiter erklären wir für
den Binomialkoeffizienten
(23)

.
Wegen

![{\displaystyle ={\frac {n!}{k!(n-k+1)!}}[(n-k+1)+k]={\frac {(n+1)!}{k![(n+1)-k]!}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb0e878cdaae90cd81f42b9adfba2061cea0ce7d)

gilt für alle
das Additionstheorem für die Binomialkoeffizienten:
(24)

.
- Für alle
und
gilt die Identität
(25)

.
Sei
, so ist obige Gleichung wegen

offenbar erfüllt. Sei also
. Wir multiplizieren (25) mit
und erhalten
![{\displaystyle (a+b)^{n}\cdot b^{-n}=\left[b\left({\frac {a}{b}}+1\right)\right]^{n}\cdot b^{-n}=\left({\frac {a}{b}}+1\right)^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0fc3f57664af4ffa0f12cd80693252a1813e5915)

.
Mit Hilfe der Substitution
genügt es, die Aussage
(26)

zu zeigen.
Wir beweisen nun durch vollständige Induktion, dass (26) für alle
gilt. Die Aussage
ist die Gleichung (26).
(IA) Für
und
ergibt sich die wahre Aussage

.
(IS) Nach Induktionsvoraussetzung gilt (26) für ein beliebiges
. Dann folgt
![{\displaystyle (z+1)^{n+1}=(z+1)\cdot (z+1)^{n}{\stackrel {(IV)}{=}}(z+1)\cdot \left[\sum _{k=0}^{n}{\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}}z^{k}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c2f7b2049485661fad15a756d2649c0e44dbeb7)


![{\displaystyle ={\begin{pmatrix}n\\0\end{pmatrix}}z^{0}+\sum _{k=1}^{n}\left[{\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}n\\k-1\end{pmatrix}}\right]z^{k}+{\begin{pmatrix}n\\n\end{pmatrix}}z^{n+1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/58104c890fd4b6870c032c7d066128b29ccd4c71)

.
Damit ist Satz 5 nach dem Prinzip der vollständigen Induktion bewiesen.
q.e.d.
Seien
mit
gegeben sowie die Zahlenfolge
zu den Indices
. Wir betrachten jetzt die Zahlenfolge
mit
für
und berechnen
(27)


Für
und
ergibt sich dann

und

.
Andererseits ist nach (27)

,
woraus sich unmittelbar die Gauß-Formel

ergibt.
Seien
und
gewählt. Dann ermitteln wir
und

,
woraus sich die geometrische Summenformel

ergibt.
Setzen wir in die geometrische Summenformel

ein und multiplizieren wir diese Gleichung mit
, so erhalten wir

.
Damit finden wir die Identität

.