Kurs:Analysis I/Kapitel I: Das System der reellen und komplexen Zahlen/Das Rechnen mit reellen und komplexen Zahlen (§1)

Die Zahlen bilden das Fundament der Analysis. Grundlegend für den Umgang mit Zahlen und anderen mathematischen Objekten ist der Mengenbegriff. Eine Menge von Zahlen lässt sich auf zwei Arten festlegen, indem wir ihre Elemente aufschreiben oder diese durch eine definierende Eigenschaft angeben. Die einfachste unendliche Menge ist die Menge

$\mathbb {N} :=\{1,2,\ldots \}$

der natürlichen Zahlen. Fügen wir das Nullelement hinzu, so erhalten wir die Menge

$\mathbb {N} _{0}:=\{0,1,2,\ldots \}$.

Durch Erweiterungen von Zahlenbereichen erhält man – ausgehend von $\mathbb {N}$ – die Menge

$\mathbb {Z} :=\{0,\pm 1,\pm 2,\ldots \}$

der ganzen Zahlen und die Menge

$\mathbb {Q} :=\left\{x={\frac {p}{q}}:p\in \mathbb {Z} \wedge q\in \mathbb {N} \right\}$

der rationalen Zahlen.
Es ist notwendig den Körper der rationalen Zahlen zu erweitern, denn die Gleichung $x^{2}-2=0$ besitzt in $\mathbb {Q}$ keine Lösung. Die Länge der Diagonale eines Einheitsquadrats ergibt nach dem Satz des Pythagoras wegen $1^{2}+1^{2}=2$ die Zahl ${\sqrt {2}}$ (vgl. §2). Der durch diese Länge definierte Punkt $P$ auf der Zahlengeraden ist kein rationaler Punkt.

Dies erfordert die Konstruktion der reellen Zahlen aus $\mathbb {Q}$ durch einen Abschlussprozess und die reellen Zahlen $\mathbb {R}$ entsprechen dann der gesamten Zahlengeraden.

Weitere Beispiele von Mengen:

• $\emptyset$ bedeutet die leere Menge, die kein Element enthält (sie ist somit Teilmenge jeder Menge);
• $\mathbb {R}$ bezeichnet die Menge der reellen Zahlen (das Kontinuum);
• $(a,b):=\{x\in \mathbb {R} :a<x<b\}$ meint ein offenes Intervall, wobei $a,b\in \mathbb {R}$ gewählt ist;
• $\mathbb {C} :=\{z=x+iy:x,y\in \mathbb {R} \}$ ist die Menge der komplexen Zahlen $(i^{2}=-1)$.

Man kann sich die komplexen Zahlen als Punkte in der Gaußschen Zahlenebene veranschaulichen – als geordnete Paare reeller Zahlen.
Insgesamt gilt:

$\emptyset \subset \mathbb {N} \subset \mathbb {Z} \subset \mathbb {Q} \subset \mathbb {R} \subset \mathbb {C}$.

Die Zahlensysteme $\mathbb {Q}$, $\mathbb {R}$ und $\mathbb {C}$ haben gemeinsame Eigenschaften, die Körperaxiome.

Definition 1

Ein System $\mathbb {K}$ von Elementen heißt ein Körper genau dann, wenn es zu je zwei Elementen $a,b\in \mathbb {K}$ eine Summe $a+b\in \mathbb {K}$ und ein Produkt $ab\in \mathbb {K}$ derart gibt, dass die Körperaxiome $(K_{1}),(K_{2}),(K_{3})$ gelten. 1. Axiome der Addition $(K_{1})$ a) Assoziativgesetz: Für alle $a,b,c\in \mathbb {K}$ gilt: $(a+b)+c=a+(b+c)$. b) Kommutativgesetz: Für alle $a,b\in \mathbb {K}$ gilt: $a+b=b+a$. c) Existenz des additiv neutralen (Null-)Elements: Es existiert ein neutrales Element $0\in \mathbb {K}$ derart, dass für alle $a\in \mathbb {K}$ die Bedingung $a+0=a$ gilt. d) Existenz des additiv inversen (negativen) Elements: Zu jedem $x\in \mathbb {K}$ gibt es ein inverses Element $y\in \mathbb {K}$ mit $x+y=0$. Man schreibt $y:=-x$. 2. Axiome der Multiplikation $(K_{2})$ a) Assoziativgesetz: Für alle $a,b,c\in \mathbb {K}$ gilt: $(ab)c=a(bc)$. b) Kommutativgesetz: Für alle $a,b\in \mathbb {K}$ gilt: $ab=ba$. c) Existenz des multiplikativ neutralen (Eins-)elements: Es existiert ein neutrales Element $1\in \mathbb {K}$ mit $1\neq 0$ derart, dass für alle $a\in \mathbb {K}$ die Bedingung $a\cdot 1=a$ gilt. d) Existenz des multiplikativ inversen (reziproken) Elements: Zu jedem $x\in \mathbb {K} \setminus \{0\}$ gibt es ein inverses Element $y\in \mathbb {K}$ mit $x\cdot y=1$. Man schreibt $y:=x^{-1}$. 3. Distributivgesetz $(K_{3})$ Für alle $a,b,c\in \mathbb {K}$ gilt: $(a+b)c=ac+bc$.

Wir zeigen leicht, dass die Menge $\mathbb {Q}$ gemäß Definition 1 die Körperaxiome erfüllt, z. B. gilt das Assoziativgesetz der Addition:
Seien $a={\frac {p_{1}}{q_{1}}}$, $b={\frac {p_{2}}{q_{2}}}$ und $c={\frac {p_{3}}{q_{3}}}$ mit $p_{k}\in \mathbb {Z}$ sowie $q_{k}\in \mathbb {N} \ (k=1,2,3)$.
Im Zahlbereich $\mathbb {Z}$ gelten $(K_{1})$ und $(K_{3})$, also folgt

$(a+b)+c=\left({\frac {p_{1}}{q_{1}}}+{\frac {p_{2}}{q_{2}}}\right)+{\frac {p_{3}}{q_{3}}}=\left({\frac {p_{1}q_{2}+p_{2}q_{1}}{q_{1}q_{2}}}\right)+{\frac {p_{3}}{q_{3}}}={\frac {p_{1}q_{2}+p_{2}q_{1}}{q_{1}q_{2}}}+{\frac {p_{3}}{q_{3}}}$

$={\frac {(p_{1}q_{2}+p_{2}q_{1})q_{3}+p_{3}(q_{1}q_{2})}{q_{1}q_{2}q_{3}}}={\frac {p_{1}q_{2}q_{3}+(p_{2}q_{1}q_{3}+p_{3}q_{1}q_{2})}{q_{1}q_{2}q_{3}}}={\frac {p_{1}}{q_{1}}}+\left({\frac {p_{2}}{q_{2}}}+{\frac {p_{3}}{q_{3}}}\right)=a+(b+c)$.

Die Axiome der Addition $(K_{1})$ bzw. der Multiplikation bedeuten, dass $\mathbb {K}$ bzgl. der Addition bzw. der Multiplikation eine Abelsche Gruppe ist. |}

Satz 1

Aus den Körperaxiomen lassen sich weitere Eigenschaften der Elemente von $\mathbb {K}$ folgern.

(1) Für beliebige $a,b\in \mathbb {K}$ ist die Gleichung $a+x=b$ eindeutig lösbar.

(2) Für beliebige $a\in \mathbb {K} \setminus \{0\}$ und $b\in \mathbb {K}$ ist die Gleichung $a\cdot y=b$ eindeutig lösbar.

(3) Für alle $x\in \mathbb {K}$ gelten $x\cdot 0=0$ und $(-1)\cdot x=-x$.

(4) Für alle $x\in \mathbb {K}$ gilt $-(-x)=x$

(5) Für alle $x,y\in \mathbb {K} \setminus \{0\}$ gilt $xy\neq 0$.

Beweis von (1)

Nach $(K_{1})$ existiert zu $a\in \mathbb {K}$ das inverse Element $-a\in \mathbb {K}$. Wir addieren zur Gleichung $a+x=b$ von links $(-a)$ und erhalten $(-a)+a+x=(-a)+b$ bzw. nach $(K_{1})$ $0+x=x=b+(-a)=:b-a$, was die Eindeutigkeit der Lösung zeigt. Angenommen $x=b-a$ sei die eindeutig bestimmte Lösung der Gleichung $a+x=b$. Dann gilt nach $(K_{1})$

$a+x=a+[b+(-a)]=(a+b)+(-a)=(b+a)+(-a)=b+[a+(-a)]=b+0=b$.

Damit hat man die Existenz einer Lösung nachgewiesen.

q.e.d.

Beweis von (2)

Nach $(K_{2})$ gibt es zu $a\neq 0$ das inverse Element $a^{-1}\in \mathbb {K}$. Wir multiplizieren die Gleichung $ay=b$ von links mit $a^{-1}$ und erhalten $a^{-1}ay=a^{-1}b$ bzw. nach $(K_{2})$

$1\cdot y=y=ba^{-1}=:{\frac {b}{a}}$.

Sei nun $y={\frac {b}{a}}$, so realisiert dieses die Lösung der Gleichung $ay=b$, denn gemäß $(K_{2})$ gilt:

$ay=a(ba^{-1})=(ab)a^{-1}=(ba)a^{-1}=b(aa^{-1})=b\cdot 1=b$.

q.e.d.

Beweis von (3)

Sei $x\in \mathbb {K} {\stackrel {(K_{2})}{\Rightarrow }}x\cdot 0\in \mathbb {K} {\stackrel {(K_{1})}{\Rightarrow }}-(x\cdot 0)\in \mathbb {K}$. Damit erhält man:

$x\cdot 0{\stackrel {(K_{1})}{=}}x\cdot (0+0){\stackrel {(K_{3})}{=}}x\cdot 0+x\cdot 0$

$\Rightarrow x\cdot 0+[-(x\cdot 0)]=x\cdot 0+x\cdot 0+[-(x\cdot 0)]\Rightarrow 0{\stackrel {(K_{1})}{=}}x\cdot 0$

Mit $0\cdot x=0$ und $x\in \mathbb {K}$ und somit $-x\in \mathbb {K}$ erhalten wir die zweite Aussage von (3):

$0\cdot x{\stackrel {(K_{1})}{=}}(1+(-1))\cdot x{\stackrel {(K_{3})}{=}}1\cdot x+(-1)\cdot x{\stackrel {(K_{2})}{=}}x+(-1)\cdot x$

$\Rightarrow 0\cdot x+(-x)=x+(-1)\cdot x+(-x)\Rightarrow -x{\stackrel {(K_{1})}{=}}(-1)\cdot x$

q.e.d.

Beweis von (4)

Sei $x\in \mathbb {K}$. Einerseits gilt nach $(K_{1})$ $x+(-x)=0$. Somit ist $x\in \mathbb {K}$ das entgegengesetzte Element von $(-x)\in \mathbb {K}$. Es gilt also $x=-(-x)$.

Beweis von (5)

Wir beweisen die Folgerung indirekt. Seien $x,y\in \mathbb {K}$. Angenommen, die Aussage $xy\neq 0$ unter der Voraussetzung $x\neq 0$ und $y\neq 0$ ist falsch. Dann gilt $xy=0$. Nach $(K_{2})$ gibt es zu $x\neq 0$ das inverse Element $x^{-1}\in \mathbb {K}$. Wir multiplizieren die Gleichung $xy=0$ von links mit $x^{-1}$ und erhalten gemäß (3) $x^{-1}xy=x^{-1}\cdot 0=0$ und es ergibt sich mit $0=x^{-1}xy=(x^{-1}x)y=1\cdot y=y$ ein Widerspruch zur Voraussetzung $y\neq 0$. Damit ist die Annahme $xy\neq 0$ falsch und (5) richtig.

Definition 2

Ein Körper $\mathbb {K}$ heißt angeordnet genau dann, wenn für gewisse Elemente $x\in \mathbb {K}$ die Eigenschaft positiv zu sein $x>0$ durch die sogenannten Anordnungsaxiome $(A_{1}),(A_{2})$ charakterisiert wird:

$(A_{1})$ Für jedes $x\in \mathbb {K}$ gilt genau eine der drei Beziehungen:

$x=0,\quad x>0,\quad -x>0$.

$(A_{2})$ Für jedes $x,y\in \mathbb {K}$ gilt: Aus $x>0$ und $y>0$ folgt $x+y>0$ und $xy>0$.

Bemerkungen

1. $(A_{1})$ ist das Gesetz der Trichotomie: Gilt $x>0$, so ist $x$ positiv. Für $-x>0$ ist $x$ negativ, man schreibt auch $x<0$; denn $x<0$ heißt $0>x$ nach Definition 2 und dies ist definitionsgemäß gleichbedeutend mit $0-x>0$, also $-x>0$.
2. $\mathbb {Q}$ und $\mathbb {R}$ sind angeordnete Körper, $\mathbb {C}$ ist ein Beispiel für einen nicht angeordneten Körper.
3. Der Körper $\mathbb {K}$ bezüglich der Menge $\mathbb {F} =\{0,1\}$ kann nicht angeordnet werden, denn $1+1=0$ steht im Widerspruch zu $(A_{2})$.

Definition 3

Sei $\mathbb {K}$ ein angeordneter Körper. Für beliebige $x,y\in \mathbb {K}$ gilt $x>y$ genau dann, wenn $x-y>0$ ist. Man vereinbart:

${\begin{matrix}x\geq y\Leftrightarrow x>y\ oder\ x=y\\x>y\Leftrightarrow y<x\end{matrix}}$.

Definition 4

Sei $\mathbb {K}$ ein angeordneter Körper. Für $x\in \mathbb {K}$ heißt

$|x|:=\left\{{\begin{matrix}x,\ falls\ x>0\\0,\ falls\ x=0\\-x,\ falls\ x<0\end{matrix}}\right.$

der Absolutbetrag von $x$.

Bemerkung

Für alle $x\in \mathbb {K}$ gilt:

$|x|\geq 0$ und $-|x|\leq x\leq |x|$.

Man kann sich diese beiden Aussagen klar machen, wenn man die in der Definition 4 durchgeführte Fallunterscheidung $(x\geq 0,x<0)$ hier ebenfalls beachtet:

Ist $x\geq 0$, so gilt: $-|x|\leq 0\leq x=|x|$.

Ist $x<0$, so gilt: $-|x|=-(-x)=x<0<-x=|x|$.

Satz 2

Aus den Körper- und Anordnungsaxiomen lassen sich weitere Eigenschaften der Elemente von dem angeordneten Körper $\mathbb {K}$ folgern.

(6) Für alle $x,y,z\in \mathbb {K}$ gilt: Aus $x<y$ und $y<z$ folgt $x<z$.

(7) Für alle $x,y,z\in \mathbb {K}$ gilt: Aus $x<y$ folgt $x+z<y+z$.

(8) Für alle $x,y,z\in \mathbb {K}$ gilt: Aus $x<y$ und $z>0$ folgt $xz<yz$.

(9) Für alle $x,y\in \mathbb {K}$ gilt: Aus $x<y$ folgt $-x>-y$.

(10) Für alle $x\in \mathbb {K}$ gilt: $x^{2}=(-x)^{2}=|x|^{2}\geq 0$ sowie $x^{2}=0\Leftrightarrow x=0$.

(11) Für alle $x,y\in \mathbb {K}$ gilt: Aus $0<x<y$ folgt $0<y^{-1}<x^{-1}$.

(12) Für alle $x,y\in \mathbb {K}$ gilt $|xy|=|x|\cdot |y|$.

(13) Für alle $x,y\in \mathbb {K}$ gilt $|x+y|\leq |x|+|y|$ (Dreiecksungleichung).

(14) Für alle $x,y\in \mathbb {K}$ gilt $|x-y|\geq ||x|-|y||$.

(15) Für alle $x\in \mathbb {K} \setminus \{0\}$ gilt $|x^{-1}|=|x|^{-1}$.

(16) Gegeben seien $a\in \mathbb {R}$ und $0<\varepsilon \in \mathbb {R}$. Dann ist $|x-a|<\varepsilon$ äquivalent zu

$a-\varepsilon <x<a+\varepsilon$ mit $x\in \mathbb {R}$.

(17) Sei $a\in \mathbb {R}$. Gelten für beliebige $x,x',y,y'\in \mathbb {R}$ die Ungleichungen

$|x|\leq a,\quad |x'|\leq a,\quad |y|\leq a$ und $|y'|\leq a$,

dann folgt

$|xy-x'y'|\leq a(|x-x'|+|y-y'|)$.

(18) Sei $0<a\in \mathbb {R}$. Wenn für beliebige $x,y\in \mathbb {R}$ die Ungleichungen $|x|\geq a$ und $|y|\geq a$ gelten, dann folgt:

$\left|{\frac {1}{x}}-{\frac {1}{y}}\right|\leq {\frac {1}{a^{2}}}|x-y|$.

Beweis von (6)

Transitivität der kleiner-Relation. Nach Definition 3 ist zu zeigen, dass $z-x>0$ erfüllt ist. Nach Voraussetzung gilt

${\begin{matrix}z>y&\Leftrightarrow &z-y>0\\y>x&\Leftrightarrow &y-x>0\end{matrix}}\quad {\stackrel {(A_{2})}{\Rightarrow }}z-x=(z-y)+(y-x)>0.$

q.e.d.

Beweis von (7)

Monotoniegesetz der Addition. Nach Definition 3 ist zu zeigen, dass $(y+z)-(x+z)>0$ ist. Nach Definition 3 und Voraussetzung gilt

$0<y-x=y-x+(z-z){\stackrel {(K_{1})}{=}}y+z-(x+z).$

q.e.d.

Beweis von (8)

Monotoniegesetz der Multiplikation. Nach Definition 3 ist zu zeigen, dass $yz-xz>0$ ist. Wegen der Voraussetzung $y-x>0$ und $z>0$ folgt nach $(A_{2})$ und $(K_{3})$

$yz-xz=(y-x)z>0$.

Beweis von (9)

Nach Definition 3 ist zu zeigen, dass $-x-(-y)>0$ gilt. Mit (4) und $(K_{1})$ sowie der Voraussetzung $x<y$ gilt

$(-x)-(-y)=(-x)+y=y-x>0$.

Beweis von (10)

Sei $x\in \mathbb {K}$. Nach $(K_{1})$ ist $x+(-x)=0$. Wir multiplizieren diese Gleichung mit $x$ bzw. $(-x)$ und erhalten nach $(K_{1})$

$x[x+(-x)]=x\cdot x+x\cdot (-x)=x^{2}+(-x)(x)=0$

$(-x)[x+(-x)]=(-x)\cdot x+(-x)\cdot (-x)=(-x)x+(-x)^{2}$.

Gemäß $(K_{1})$ und wegen der Eindeutigkeit des entgegengesetzten Elements gilt somit für $y:=(-x)x\in \mathbb {K}$ die Beziehung $-y=x^{2}=(-x)^{2}$. Aus Definition 4 folgt unmittelbar

$|x|^{2}=\left\{{\begin{matrix}x^{2},&\mathrm {falls\ } x>0\\0,&\mathrm {falls\ } x=0\\(-x)^{2},&\mathrm {falls\ } x<0\end{matrix}}\right.$ und damit $|x|^{2}\geq 0$.

Wir bemerken in Verallgemeinerung, dass für $x_{1},\ldots ,x_{n}\in \mathbb {R}$ stets

$\sum _{k=1}^{n}x_{k}^{2}\geq 0$

folgt. Das Gleichheitszeichen steht genau dann, wenn $x_{1}=x_{2}=\ldots =x_{n}=0$ gilt.

q.e.d.

Beweis von (11)

Sei $\mathbb {K}$ ein angeordneter Körper. Dann gilt $1>0$, denn nach (10) und $(K_{2})$ ergibt sich $1=1^{2}>0$. Nach Voraussetzung ist $x>0$. Angenommen es wäre $x^{-1}<0$, so folgt $-x^{-1}>0$. Wegen $(A_{2})$ und $(K_{2})$ gilt

$-1=(-1)\cdot 1=(-1)\cdot (x\cdot x^{-1})=[(-1)\cdot x]\cdot x^{-1}=x\cdot (-x^{-1})>0$.

Dies steht im Widerspruch zu $1>0$; also gilt $x^{-1}>0$. Analog zeigt man $y^{-1}>0$.
Sei nun $0<x<y$ gegeben, so ist $x^{-1}>0$ und $y^{-1}>0$ richtig. Gemäß $(A_{2}),(K_{2})$ und $(K_{3})$ erhält man

$(y-x)x^{-1}y^{-1}=yx^{-1}y^{-1}-xx^{-1}y^{-1}=x^{-1}(yy^{-1})-(xx^{-1})y^{-1}=x^{-1}\cdot 1-1\cdot y^{-1}=x^{-1}-y^{-1}>0$

Damit ist nach Definition 3 auch $x^{-1}>y^{-1}$ bzw. $0<y^{-1}<x^{-1}$ erfüllt.

q.e.d.

Beweis von (12)

Beim Beweis muss man die vier Fälle unterscheiden:

(a) $x\geq 0$ und $y\geq 0$

(b) $x<0$ und $y\geq 0$

(c) $x\geq 0$ und $y<0$

(d) $x<0$ und $y<0$

Wir überlassen die Fälle (a) bis (c) dem Leser und betrachten nur den letzten Fall. Voraussetzung:

$x<0\wedge y<0\Leftrightarrow -x>0\wedge -y>0$.

Nach $(A_{2}),(K_{2})$, (3) und (4) folgt $(-x)\cdot (-y)=-(-xy)=xy>0$. Wegen Definition 4 gilt einerseits $|xy|=xy$. Andererseits ist $|x|=-x$ und $|y|=-y$ richtig, woraus

$|x|\cdot |y|=(-x)\cdot (-y)=xy=|xy|$

folgt.

q.e.d.

Beweis von (13)

Sei nun $x\in \mathbb {K}$ gegeben. In Bezug auf die Bemerkung zu Definition 4 gilt $x\leq |x|$.

$\left.{\begin{matrix}\left.{\begin{matrix}x\leq |x|\\y\leq |y|\end{matrix}}\right\}\Rightarrow x+y\leq |x|+|y|\\\left.{\begin{matrix}-x\leq |x|\\-y\leq |y|\end{matrix}}\right\}\Rightarrow (-x)+(-y)=-(x+y)\leq |x|+|y|\end{matrix}}\right\}{\stackrel {\mathrm {Def.\ 4} }{\Rightarrow }}|x+y|\leq |x|+|y|.$

Beweis von (14)

Durch Addition des Nullelements gilt einerseits $x=(x-y)+y$. Mit Hilfe der Dreiecksungleichung $|x|=|(x-y)+y|\leq |x-y|+|y|$ folgt $|x-y|\geq |x|-|y|$. Andererseits ist $y=(y-x)+x$ durch Vertauschen von $x,y\in \mathbb {K}$. Die Dreiecksungleichung liefert $|y|=|(y-x)+x|\leq |y-x|+|x|$ bzw. $|y-x|=|x-y|\geq |y|-|x|=-(|x|-|y|)$. Insgesamt erhält man nach Definition 4 für alle $x\in \mathbb {K}$ die Behauptung $|x-y|\geq ||x|-|y||$.

q.e.d.

Beweis von (15)

Sei $x\in \mathbb {K} \setminus \{0\}$. Wegen $(K_{2})$ gilt $xx^{-1}=1$. Nach Definition 4 sowie (11) und (12) ergibt sich $|xx^{-1}|=|x||x^{-1}|=|1|=1$. Damit ist nach $(K_{2})$ $|x^{-1}|\in \mathbb {K}$ das inverse Element zu $|x|\in \mathbb {K}$, also gilt $|x^{-1}|=|x|^{-1}$.

Beweis von (16)

Die Behauptung ergibt sich gemäß Definition 4 durch nachfolgende äquivalente Aussagen:

$|x-a|<\varepsilon \Leftrightarrow \left\{{\begin{matrix}x-a<\varepsilon ,&\mathrm {falls\ } x>a\\0<\varepsilon ,&\mathrm {falls\ } x=a\\-(x-a)<\varepsilon ,&\mathrm {falls\ } x<a\end{matrix}}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{{\begin{matrix}x-a<\varepsilon ,&\mathrm {falls\ } x>a\\0<\varepsilon ,&\mathrm {falls\ } x=a\\x-a>-\varepsilon ,&\mathrm {falls\ } x<a\end{matrix}}\right.$

$\Leftrightarrow -\varepsilon <x-a<\varepsilon \Leftrightarrow a-\varepsilon <x<a+\varepsilon$.

Beweis von (17)

Es seien $x,x',y,y'$ beliebige reelle Zahlen. Dann gilt

$|xy-x'y'|=|xy\overbrace {-x'y+x'y} ^{=0}-x'y'|=|y(x-x')+x'(y-y')|{\stackrel {(13)}{\leq }}|y(x-x')|+|x'(y-y')|$

${\stackrel {(12)}{=}}|y|\cdot |x-x'|+|x'|\cdot |y-y'|{\stackrel {(\mathrm {Vor.} )}{\leq }}a\cdot |x-x'|+a\cdot |y-y'|{\stackrel {(K_{3})}{=}}a\cdot (|x-x'|+|y-y'|).$

q.e.d.

Beweis von (18)

Seien $a,x,y\in \mathbb {R}$ und $a>0$. Dann gilt

$\left|{\frac {1}{x}}-{\frac {1}{y}}\right|=\left|{\frac {y-x}{xy}}\right|=\left|{\frac {1}{xy}}(y-x)\right|{\stackrel {(12)}{=}}\left|{\frac {1}{xy}}\right|\cdot |y-x|{\stackrel {(15)}{=}}{\frac {1}{|xy|}}\cdot |y-x|$

${\stackrel {(12)}{=}}{\frac {1}{|x||y|}}\cdot |y-x|\leq {\frac {1}{a^{2}}}\cdot |y-x|,$

denn aus der Voraussetzung $|x|\geq a$ und $|y|\geq a$ folgt ${\frac {1}{|x|}}\leq {\frac {1}{a}}$ und ${\frac {1}{|y|}}\leq {\frac {1}{a}}$.

Beispiel 1: Quadratische Ergänzung

Seien $a,b$ reelle Parameter. Um den Scheitelpunkt $S$ einer Parabel

$y=x^{2}+2ax+b$

zu ermitteln, bildet man ein vollständiges Quadrat:

$y=(x+a)^{2}+(b-a^{2})\geq b-a^{2}$.

Das Gleichheitszeichen steht genau dann, wenn $x+a=0$ gilt. Somit erhält man für den Scheitelpunkt $S$ (globales Minimum) die Koordinaten $S=(-a,b-a^{2})$.

Beispiel 2: Die Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel

Für alle $a,b\in \mathbb {R}$ gilt

$(a-b)^{2}\geq 0\Leftrightarrow a^{2}-2ab+b^{2}\geq 0\Leftrightarrow a^{2}+b^{2}\geq 2ab\Leftrightarrow ab\leq {\frac {1}{2}}(a^{2}+b^{2})$.

Mittels Substitution $a:={\sqrt {x}}$ und $b:={\sqrt {y}}$ erhalten wir folgende Aussage:
Das geometrische Mittel von zwei positiven reellen Zahlen $x,y$ ist kleiner oder gleich dem arithmetischen Mittel:

${\sqrt {xy}}=ab\leq {\frac {1}{2}}(a^{2}+b^{2})={\frac {1}{2}}(x+y)$.

Der Beweis durch vollständige Induktion ist ein wichtiges Hilfsmittel in der Mathematik. Er dient zum Nachweis, dass gewisse Aussagen $H(n)$ für alle natürlichen Zahlen $n\geq n_{0},n\in \mathbb {N}$ wahr sind. Das Beweisprinzip besteht darin, dass man im Induktionsanfang die Wahrheit der Aussage $H(n)$ für ein festes $n_{0}\in \mathbb {N}$ nachweist und man im Induktionsschritt aus der Induktionsvoraussetzung (IV), dass nämlich $H(n)$ für ein beliebiges $n\in \mathbb {N}$ mit $n\geq n_{0}$ schon als wahr nachgewiesen ist, die Induktionsbehauptung $H(n+1)$ erschließt – also dann die Aussage auch für den unmittelbaren Nachfolger $n+1$ von $n$ wahr ist.

Satz 3 (Bernoullische Ungleichung)

Für alle $n\in \mathbb {N}$ und für alle $x\in \mathbb {R}$ gilt

(19) $x\geq -1\Rightarrow (1+x)^{n}\geq 1+nx$.

Beweis (durch vollständige Induktion über $n$)

Die Aussage $H(n)$ sei die zu beweisende Ungleichung (19).

(i) Für $n_{0}=1$ und $x\geq -1$ erhält man im Induktionsanfang die wahre Aussage

$H(1):\quad (1+x)^{1}\geq 1+1\cdot x$.

(ii) Der Induktionsschritt besagt, dass für alle $n\in \mathbb {N}$ gilt:

$H(n)\Rightarrow H(n+1)$.

Nach Induktionsvoraussetzung (IV) gilt für ein beliebiges $n\in \mathbb {N}$:

$x+1\geq 0\Rightarrow (1+x)^{n}\geq 1+nx$.

Nun folgt wegen $nx^{2}\geq 0$

$(1+x)^{n+1}=(1+x)\cdot (1+x)^{n}{\stackrel {\mathrm {(IV)} }{\geq }}(1+x)\cdot (1+nx)$

$=1+nx+x+nx^{2}\geq 1+(n+1)x$

die Induktionsbehauptung $H(n+1)$. Nach dem Prinzip der vollständigen Induktion ist die Ungleichung von Bernoulli für alle $n\geq 1$ richtig.

q.e.d.

Definition 5

Sei $\mathbb {K}$ ein angeordneter Körper. $\mathbb {K}$ heißt archimedisch angeordnet genau dann, wenn für alle $x,y\in \mathbb {K}$ das Archimedische Axiom $(A_{3})$ gilt:

$(A_{3})$ Für alle $x,y\in \mathbb {K}$ mit $x>0$ und $y>0$ existiert ein $n\in \mathbb {N}$ mit $nx>y$.

Bemerkung

$\mathbb {Q}$ und $\mathbb {R}$ sind archimedisch angeordnete Körper.

Es seien $a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}\in \mathbb {K}$. Die ganzen Zahlen $1,2,\ldots ,n$ dienen zur Unterscheidung der $a_{k}$ und heißen Indices. Man verwendet die Schreibweise

$\sum _{k=1}^{n}a_{k}:=a_{1}+a_{2}+\ldots +a_{n}$ bzw. $\prod _{k=1}^{n}a_{k}:=a_{1}\cdot a_{2}\cdot \ldots \cdot a_{n}$.

Bemerkungen

1. Es kann vorkommen, dass nur über eine Teilmenge der Indices summiert wird, z. B.

$\sum _{i=1 \atop i\neq k}^{n}a_{i}=a_{1}+\ldots +a_{k-1}+a_{k+1}+\ldots +a_{n}$

mit einem $1\leq k\leq n$.
2. Auch Doppelindices können auftreten. Wir erklären zunächst die Indexmenge

$M:=\{k\in \mathbb {N} :1\leq k\leq n\}$.

Wir betrachten nun die Abbildung $M\times M\to \mathbb {K}$ vermöge $(i,j)\mapsto a_{ij}$ und erhalten in Matrixschreibweise:

(20) ${\begin{matrix}&\vline &j=1&j=2&\ldots &j=n\\\hline i=1&\vline &a_{11}&a_{12}&\ldots &a_{1n}\\i=2&\vline &a_{21}&a_{22}&\ldots &a_{2n}\\\vdots &\vline &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\i=n&\vline &a_{n1}&a_{n2}&\ldots &a_{nn}\end{matrix}}$

Die Summe aller Körperelemente aus (20) liefert uns die Doppelsumme

$\sum _{i,j=1}^{n}a_{ij}=\sum _{i=1}^{n}\left(\sum _{j=1}^{n}a_{ij}\right){\stackrel {(K_{1})}{=}}\sum _{j=1}^{n}\left(\sum _{i=1}^{n}a_{ij}\right)$.

Dabei wird einmal über die Zeilen $i=1,\ldots ,n$ der Anordnung (20) und das andere Mal über die Spalten $j=1,\ldots ,n$ summiert.

Beispiel 4

Sind $x_{i},y_{j}\in \mathbb {K}$ und $a_{ij}:=x_{i}\cdot y_{j}$ mit $i,j=1,2,\ldots ,n$ gegeben, so gilt wegen $(K_{2})$ und $(K_{3})$ die Identität

(21) ${\begin{matrix}\sum \limits _{i,j=1}^{n}a_{ij}=\sum \limits _{i,j=1}^{n}x_{i}\cdot y_{j}=\sum \limits _{i=1}^{n}\left(\sum \limits _{j=1}^{n}x_{i}\cdot y_{j}\right)=\sum \limits _{i=1}^{n}\left[x_{i}\sum \limits _{j=1}^{n}y_{j}\right]=\sum \limits _{i=1}^{n}x_{i}\cdot \alpha \\=\alpha \cdot \sum \limits _{i=1}^{n}x_{i}=\left(\sum \limits _{i=1}^{n}x_{i}\right)\cdot \left(\sum \limits _{j=1}^{n}y_{j}\right)\end{matrix}}$

mit

$\alpha :=\sum _{j=1}^{n}y_{j}$.

Es kann vorkommen, dass nur über Teilmengen von geordneten Paaren $(i,j)$ summiert wird. So treten in der Summe

$\sum _{i,j=1 \atop i<j}^{n}a_{ij}$

nur die ${\frac {n}{2}}(n-1)$ Terme auf, die oberhalb der Hauptdiagonalen in der Anordnung (20) liegen. Gilt insbesondere

(22) $a_{ij}=\left\{{\begin{matrix}a_{ji},&\mathrm {falls\ } i\neq j\\0,&\mathrm {falls\ } i=j\end{matrix}}\right.$,

so folgt

$\sum _{i,j=1}^{n}a_{ij}=2\cdot \sum _{i,j=1 \atop i<j}^{n}a_{ij}$.

Satz 4 (Ungleichung von Cauchy-Schwarz)

Wenn $a_{k},b_{k}\in \mathbb {R}$ für $k=1,2,\ldots ,n$ gilt, dann folgt

$\left(\sum _{k=1}^{n}a_{k}b_{k}\right)^{2}\leq \left(\sum _{k=1}^{n}a_{k}^{2}\right)\cdot \left(\sum _{k=1}^{n}b_{k}^{2}\right)$.

Beweis

O.B.d.A gelte:

$\exists k:b_{k}\neq 0$ (sonst ist die Gleichung trivial erfüllt)

Wir betrachten die Funktion

$t\mapsto f(t)=\sum _{k=1}^{n}(a_{k}t+b_{k})^{2}.$

Nach Definition ist klar, dass $f(t)\geq 0$ für alle $t$. Die Umformung

$\sum _{k=1}^{n}(a_{k}t+b_{k})^{2}=t^{2}\cdot \sum _{k=1}^{n}a_{k}^{2}+2t\cdot \sum _{k=1}^{n}a_{k}b_{k}+\sum _{k=1}^{n}b_{k}^{2}=t^{2}\cdot U+2t\cdot V+W$

zeigt, dass $f$ ein (höchstens) quadratisches Polynom ist. Es ist genau dann nichtnegativ, wenn es an einem Punkt echt positiv ist und sein Vorzeichen nicht wechselt. Für t=0 ist sein Wert W, nach Voraussetzung $>0$. Ist seine Diskriminante

$(2V)^{2}-4UW=4(V^{2}-UW)$

nichtpositiv, wenn also $V^{2}\leq UW$ gilt, bleibt es $\geq 0$. $V^{2}\leq UW$ ist jedoch genau die behauptete Ungleichung.

q.e.d.

Beispiel 5

Für $n\in \mathbb {N} _{0}$ definieren wir die Größe $n$ Fakultät wie folgt:

$0!:=1$

$1!:=1$

$2!:=2\cdot 1=2$

$\ldots$

$n!:=\prod _{k=1}^{n}k$.

Weiter erklären wir für $k,n\in \mathbb {N} _{0}$ den Binomialkoeffizienten

(23) ${\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}}:={\frac {n!}{k!(n-k)!}}={\frac {n\cdot (n-1)\cdot \ldots \cdot (n-k+1)}{k!}}$.

Wegen

${\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}n\\k-1\end{pmatrix}}{\stackrel {(23)}{=}}{\frac {n!}{k!(n-k)!}}+{\frac {n!}{(k-1)!(n-k+1)!}}$

$={\frac {n!}{k!(n-k+1)!}}[(n-k+1)+k]={\frac {(n+1)!}{k![(n+1)-k]!}}$

$={\begin{pmatrix}n+1\\k\end{pmatrix}}$

gilt für alle $k,n\in \mathbb {N}$ das Additionstheorem für die Binomialkoeffizienten:

(24) $1\leq k\leq n\Rightarrow {\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}n-1\\k-1\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}n-1\\k\end{pmatrix}}$.

Satz 5 (Binomischer Lehrsatz)

Für alle $n\in \mathbb {N}$ und $a,b\in \mathbb {K}$ gilt die Identität

(25) $(a+b)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}}a^{k}b^{n-k}$.

Beweis

Sei $b=0$, so ist obige Gleichung wegen

$(a+0)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}}a^{k}0^{n-k}={\begin{pmatrix}n\\n\end{pmatrix}}a^{n}0^{0}=a^{n}$

offenbar erfüllt. Sei also $b\neq 0$. Wir multiplizieren (25) mit $b^{-n}$ und erhalten

$(a+b)^{n}\cdot b^{-n}=\left[b\left({\frac {a}{b}}+1\right)\right]^{n}\cdot b^{-n}=\left({\frac {a}{b}}+1\right)^{n}$

$=b^{-n}\cdot \sum _{k=0}^{n}{\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}}a^{k}b^{n-k}=\sum _{k=0}^{n}{\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}}a^{k}b^{-k}=\sum _{k=0}^{n}{\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}}\left({\frac {a}{b}}\right)^{k}$.

Mit Hilfe der Substitution $z:={\frac {a}{b}}\in \mathbb {K}$ genügt es, die Aussage

(26) $(z+1)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}}z^{k}$

zu zeigen. Wir beweisen nun durch vollständige Induktion, dass (26) für alle $n\in \mathbb {N}$ gilt. Die Aussage $H(n)$ ist die Gleichung (26).

(IA) Für $n=1$ und $z\in \mathbb {K}$ ergibt sich die wahre Aussage

$(1+z)^{1}=\sum _{k=0}^{1}{\begin{pmatrix}1\\k\end{pmatrix}}z^{k}={\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}z^{0}+{\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}z^{1}=1+z$.

(IS) Nach Induktionsvoraussetzung gilt (26) für ein beliebiges $n\in \mathbb {N}$. Dann folgt

$(z+1)^{n+1}=(z+1)\cdot (z+1)^{n}{\stackrel {(IV)}{=}}(z+1)\cdot \left[\sum _{k=0}^{n}{\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}}z^{k}\right]$

${\stackrel {(K_{3})}{=}}\sum _{k=0}^{n}{\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}}z^{k}+\sum _{k=0}^{n}{\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}}z^{k+1}$

${\stackrel {l:=k+1}{=}}\sum _{k=0}^{n}{\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}}z^{k}+\sum _{l=1}^{n}{\begin{pmatrix}n\\l-1\end{pmatrix}}z^{l}+{\begin{pmatrix}n\\n\end{pmatrix}}z^{n+1}$

$={\begin{pmatrix}n\\0\end{pmatrix}}z^{0}+\sum _{k=1}^{n}\left[{\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}n\\k-1\end{pmatrix}}\right]z^{k}+{\begin{pmatrix}n\\n\end{pmatrix}}z^{n+1}$

${\stackrel {(24)}{=}}1+\sum _{k=1}^{n}{\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}}z^{k}+{\begin{pmatrix}n+1\\n+1\end{pmatrix}}z^{n+1}=\sum _{k=1}^{n+1}{\begin{pmatrix}n+1\\k\end{pmatrix}}z^{k}$.

Damit ist Satz 5 nach dem Prinzip der vollständigen Induktion bewiesen.

q.e.d.

Beispiel 6 (Teleskopsummen)

Seien $m,n\in \mathbb {N}$ mit $m<n$ gegeben sowie die Zahlenfolge $\{b_{i}\}$ zu den Indices $i=m,m+1,\ldots ,n+1$. Wir betrachten jetzt die Zahlenfolge $\{a_{i}\}$ mit $a_{i}:=b_{i+1}-b_{i}$ für $m\leq i\leq n$ und berechnen

(27) $\sum _{i=m}^{n}a_{i}=\sum _{i=m}^{n}(b_{i+1}-b_{i})=\sum _{i=m}^{n}b_{i+1}-\sum _{i=m}^{n}b_{i}$

$=(b_{m+1}+b_{m+2}+\ldots +b_{n+1})-(b_{m}+b_{m+1}+b_{m+2}+\ldots +b_{n})=b_{n+1}-b_{m}$

Für $b_{i}:=i^{2}$ und $m:=1$ ergibt sich dann

$a_{i}=(i+1)^{2}-i^{2}=2i+1$ und $\sum _{i=1}^{n}a_{i}=\sum _{i=1}^{n}(2i+1)=n+2\cdot \left(\sum _{i=1}^{n}i\right)$.

Andererseits ist nach (27)

$\sum _{i=1}^{n}(2i+1)=(n+1)^{2}-1=n^{2}+2n$,

woraus sich unmittelbar die Gauß-Formel

$\sum _{k=1}^{n}k={\frac {n}{2}}(n+1)$

ergibt.

Beispiel 7

Seien $z\in \mathbb {C} \setminus \{1\}$ und $b_{i}:=z^{i}\ (i=0,1,2,...,n)$ gewählt. Dann ermitteln wir $a_{i}=z^{i+1}-z^{i}=(z-1)z^{i}$ und

$\sum _{i=0}^{n-1}a_{i}=\sum _{i=0}^{n-1}(z-1)z^{i}=(z-1)\sum _{i=0}^{n-1}z^{i}{\stackrel {(27)}{=}}z^{n}-1$,

woraus sich die geometrische Summenformel

$\sum _{k=0}^{n-1}z^{k}={\frac {z^{n}-1}{z-1}}$

ergibt.

Bemerkung

Setzen wir in die geometrische Summenformel

$z:={\frac {a}{b}}\quad (a,b\neq 0)$

ein und multiplizieren wir diese Gleichung mit $b^{n}$, so erhalten wir

${\frac {a^{n}-b^{n}}{{\frac {a}{b}}-1}}=\sum _{k=0}^{n-1}a^{k}\cdot b^{n-k}$.

Damit finden wir die Identität

${\frac {a^{n}-b^{n}}{a-b}}=\sum _{k=0}^{n-1}a^{k}\cdot b^{n-k-1}$.