- Es gibt kein
mit
.
Angenommen, es gibt ein
mit
, dann lässt sich
in der Form

mit

und

darstellen. Wir können o. B. d. A. voraussetzen, dass
und
teilerfremd sind, da wir ggf. gemeinsame Teiler kürzen. Damit folgt wegen

,
dass
und damit auch
eine gerade Zahl ist. Es gibt also ein
mit
. Wir erhalten

.
Somit ist neben
auch
eine gerade Zahl. Dieses steht im Widerspruch zur Voraussetzung, dass
und
teilerfremd sind. Die Annahme, es gäbe ein
mit
, ist also falsch. Damit ist Hilfssatz 1 bewiesen.
q.e.d.
Wir wollen nun eine Lösung der Gleichung
definieren. Seien die Ziffern
mit
für alle
gewählt. Dazu betrachten wir die Darstellung

als unendlichen Dezimalbruch mit
usw. Wir erklären die in rationale Zahlenfolge
durch

für

mit dem Grenzwert
. Der Hilfssatz 1 besagt, dass dieser Grenzwert nicht in
liegen kann. Wir werden die Folge
mit der reellen Zahl
identifizieren. Für beliebige
und o. B. d. A.
gilt die Ungleichung



.
Für ein gegebenes
kann man ein
derart wählen, dass

für alle

richtig ist – und somit die Streuung der Folge
rationaler Zahlen beliebig klein wird.
- Eine Abbildung
vermöge 
- heißt rationale Zahlenfolge
. Die
heißen Glieder der Zahlenfolge.
Bei Folgen und Reihen betrachten wir die Indexmengen
und
als geordnete Mengen.
- Eine rationale Zahlenfolge
heißt Cauchy-Folge genau dann, wenn es zu jedem
eine natürliche Zahl
gibt, dass für alle
die Ungleichung
(1)

- erfüllt ist.
- Eine rationale Cauchy-Folge
heißt Nullfolge genau dann, wenn es zu jedem
eine natürliche Zahl
derart gibt, dass für alle
stets
gilt.
- Zwei Cauchy-Folgen
und
heißen zueinander äquivalent genau dann, wenn
eine Nullfolge ist. Man schreibt:

für alle

.
- Für eine beliebige Menge
sei zwischen zwei Elementen
eine Relation
derart definiert, so dass für jedes geordnete Paar
feststeht, ob
richtig ist oder nicht. Diese Relation heißt Äquivalenzrelation genau dann, wenn die Axiome
erfüllt sind.
Für alle
gilt:
(Reflexivität)
Für alle
gilt:
(Symmetrie)
Für alle
gilt:
(Transitivität)
a) Die Gleichheit rationaler Zahlen ist eine Äquivalenzrelation, denn für alle
gelten:



b) Die kleiner-Relation rationaler Zahlen ist wegen
keine Äquivalenzrelation.
c) Für
ist

eine Äquivalenzrelation, die
in die elementfremden Äquivalenzklassen der geraden und ungeraden Zahlen einteilt. (vgl. Definition 6)
Sei
die Menge der rationalen Cauchy-Folgen
. Dann ist die in Definition 4 erklärte Beziehung eine Äquivalenzrelation, denn für alle
gelten

für alle 
gemäß Definition 4.
- Sei
eine Menge mit einer Äquivalenzrelation
. Dann heißt eine Teilmenge
Äquivalenzklasse, falls folgendes gilt:
- 1.
.
- 2.
.
- 3.
.
- Sei
eine Äquivalenzrelation auf der Menge
, dann ist für jedes beliebige
die Menge

- eine Äquivalenzklasse. Wir nennen
einen Repräsentanten der Äquivalenzklasse
.
Zunächst zeigen wir, dass
eine Äquivalenzklasse ist. Wegen
ist
und damit
. Seien
, so folgt
und
und wegen
folgt
. Ist
und
, so folgt
– wegen
und
. Damit ist
eine Äquivalenzklasse. Das Nachrechnen der Äquivalenz (2) überlassen wir zur Übung dem Leser.
q.e.d.
Eine Menge
wird also durch die Erklärung einer Äquivalenzrelation
in paarweise disjunkte Klassen eingeteilt und es gilt
.
- Für eine rationale Cauchy-Folge
bezeichnen wir mit
die Äquivalenzklasse aller Cauchy-Folgen
, die mit der Folge
äquivalent sind. Die Menge der reellen Zahlen
erklären wir als die Menge aller Äquivalenzklassen
rationaler Cauchy-Folgen. Die Elemente
heißen reelle Zahlen. Man verwendet die Schreibweise:
![{\displaystyle \alpha :=[a_{n}]=\{\{x_{n}\}\in {\mathcal {M}}:\{x_{n}\}\sim \{a_{n}\}\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b57598ade2f4ffc465ab0d5e7c8d922fd64979e)
.
Wir nennen
rational, wenn
für alle
gilt – sonst heißt
irrational. Damit sind die konstanten rationalen Cauchy-Folgen die Repräsentanten der rationalen Elemente von
.
- Jede Cauchy-Folge ist beschränkt.
Sei
. Dann ist zu zeigen, dass es eine positive Zahl
gibt mit
für alle
. Da
eine Cauchy-Folge ist, gibt es gemäß Definition 2 zu
eine natürliche Zahl
mit
für alle
. Dann folgt nach der Dreiecksungleichung

.
Setzen wir
, so ergibt sich mit
für alle
die Behauptung.
- Seien
rationale Cauchy-Folgen, wobei
und
erfüllt ist. Dann sind auch
rationale Cauchy-Folgen und es gelten die Relationen
(3)

- sowie
(4)

.
Es ist jeweils die Differenzfolge als Nullfolge zu erkennen (vgl. Definition 4). Zuerst zeigen wir (3) unter Anwendung der Dreiecksungleichung:
(3)


für alle

.
Analog ergibt sich nach Hilfssatz 2 und (12) und (13) in Satz 2 aus §1:
(4)




für alle

.
Dabei wurde
geeignet gewählt.
q.e.d.
- Im beliebigen Körper
sei die Folge
gegeben. Weiter sei eine beliebige Folge natürlicher Zahlen
gewählt. Dann nennen wir

- eine Teilfolge der Folge
.
- Sei
eine rationale Cauchy-Folge. Dann tritt genau einer der folgenden Fälle ein:
ist eine Nullfolge.
Typ
: Es gibt eine positive Zahl
und ein
mit
für alle
.
Typ
: Es gibt eine negative Zahl
und ein
mit
für alle
.
Sei
. Wenn Fall
nicht eintritt, also
keine Nullfolge darstellt, so gibt es ein
und eine Teilfolge

mit

für alle

.
Wegen
gibt es andererseits eine natürliche Zahl
derart, dass folgendes gilt:

für alle

.
Nach Voraussetzung
gilt entweder
oder
. Im ersten Fall gilt

für alle
, also tritt Fall
ein; dabei wird
und
gesetzt.
Im zweiten Fall hat man für alle
die Abschätzung

,
aus der
folgt.
q.e.d.
- Seien
und
zueinander äquivalente rationale Cauchy-Folgen, die keine Nullfolgen sind. Weiter gelte
und
für alle
. Dann sind
und
Cauchy-Folgen und es gilt
(5)

.
Wegen Hilfssatz 4 gibt es eine positive Zahl
und ein
derart, dass die Ungleichungen
und
für alle
erfüllt sind. Da für alle
die Abschätzungen

richtig sind, bildet
eine Cauchy-Folge. Somit liefert auch
eine Cauchy-Folge.
Weiter folgt wegen Formel (18) aus §1 und Definition 4 für alle
und
:

.
q.e.d.
Wenn
und
eine Teilfolge von
darstellt, dann sehen wir

.
Offenbar kann man durch Addition der Terme
eine Folge
so verändern, dass eine Folge
entsteht, die den Bedingungen
für
und
genügt.
Aufgrund der vorangegangenen Überlegungen lassen sich die Rechenoperationen und der Begriff der Positivität für Elemente
durch Repräsentanten
der zugehörigen Äquivalenzklassen definieren.
Definition 9 (Eigenschaft der Positivität)
[Bearbeiten]
ist eine Nullfolge.
gehört zum Typ
.
gehört zum Typ
.
Definition 10 (Rechenoperationen in
)
[Bearbeiten]
- Seien
und
. Dann definiert man:
(8)
Negatives von 
Definition 11 (Einbettung der rationalen Zahlen in
)
[Bearbeiten]
- Sei
mit
für alle
. Dann setzen wir
.
Definition 12 (Intervalle reeller Zahlen)
[Bearbeiten]
- Seien
und
gegeben, so erklären wir
als offenes Intervall,
als abgeschlossenes Intervall,
als halboffenes Intervall,
als offenes Intervall.
Es kann auch
und
gewählt werden.
- Die Menge
ist bezüglich Definition 9 und der in Definition 10 erklärten Operationen (6) bis (9) ein angeordneter Körper, der den Körper
als echten Unterkörper enthält.
Der Beweis ist bezüglich Definition 1 und 2 aus §1 leicht zu führen. Die Erweiterung
ist sinnvoll, da wir nun die Gleichung
in
lösen können.
- Es seien
mit
und
. Dann gibt es genau ein
mit
derart, dass
gilt.
1. (Eindeutigkeit) Angenommen, es gäbe zwei positive Zahlen
mit
und
sowie
. Dann sei o. B. d. A.
und mittels vollständiger Induktion über
zeigt man
. Dies steht im Widerspruch zu der Annahme, dass
gilt. Somit besitzt die Gleichung
höchstens eine Lösung.
2. (Konstruktion der Lösung) Angenommen es gibt ein
mit
. Dann ist nichts mehr zu beweisen. Nehmen wir also an, es gäbe kein
mit
. Für
zerlegt die Zahlenfolge

die Menge der nicht negativen reellen Zahlen
. Beim Übergang von der
-ten zur
-ten Zerlegung wird jedes Intervall in zehn Teilintervalle zerlegt. Nach Voraussetzung folgt für alle
die Ungleichung

,
denn die Lösung soll nicht in
liegen. Somit fällt
bei jeder Zerlegung ins Innere genau eines solchen Intervalls. Deshalb gibt es eine Folge
erklärt durch

mit
sowie
für
. Wir beachten
(10)

.
Für
hat man die Ungleichung

.
Also ist
und wir setzen
. Für alle
gelten
(11)

und

.
Aus (10), (11) und Satz 5 aus §1 folgt
![{\displaystyle 0\leq |x^{p}-a|\leq \left(x_{n}+{\frac {1}{10^{n}}}\right)^{p}-x_{n}^{p}=x_{n}^{p}\left[\left({\frac {1}{x_{n}\cdot 10^{n}}}+1\right)^{p}-1\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/edf782e2bc9c792f2258cdc552bdd61da968109e)

.
Für
strebt die rechte Seite in obiger Ungleichung gegen Null. Also gilt für
die Abschätzung

bzw.

.
q.e.d.