Kurs:Analysis I/Kapitel I: Das System der reellen und komplexen Zahlen/Der n-dimensionale Zahlenraum (§4)

Definition 1

Sei $n\in \mathbb {N}$ eine natürliche Zahl. Das kartesische Produkt

$\mathbb {R} ^{n}:=\underbrace {\mathbb {R} \times \ldots \times \mathbb {R} } _{n-mal}$

bezeichnen wir als $n$-dimensionalen reellen Zahlenraum. Ein Punkt $x=(x_{1},\ldots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}$ ist ein geordnetes $n$-Tupel reeller Zahlen. Das ausgezeichnete Element $0:=(0,\ldots ,0)\in \mathbb {R} ^{n}$ heißt Nullelement bzw. Nullvektor. Seien weiter $x,y\in \mathbb {R} ^{n}$ und $\lambda \in \mathbb {R}$, so erklären wir durch

(1) $x+y=(x_{1},\ldots ,x_{n})+(y_{1},\ldots ,y_{n}):=(x_{1}+y_{1},\ldots ,x_{n}+y_{n})$

eine Addition und durch

(2) $\lambda \cdot x=\lambda \cdot (x_{1},\ldots ,x_{n}):=(\lambda \cdot x_{1},\ldots ,\lambda \cdot x_{n})$

eine skalare Multiplikation.

Bemerkungen

1. Für zwei Punkte $x=(x_{1},\ldots ,x_{n}),y=(y_{1},\ldots ,y_{n})\in \mathbb {R} ^{n}$ gilt:

$x=y\Leftrightarrow x_{k}=y_{k}$ für $k=1,\ldots ,n$.

2. Für beliebige $x,y\in \mathbb {R} ^{n},\lambda \in \mathbb {R}$ sind $x+y\in \mathbb {R} ^{n}$ und $\lambda x\in \mathbb {R} ^{n}$. Somit wird aufgrund der Eigenschaften von $\mathbb {R}$ als Körper der Raum $\mathbb {R} ^{n}$ zusammen mit den Verknüpfungen (1) und (2) zu einem $n$-dimensionalen Vektorraum über $\mathbb {R}$.

Definition 2

Seien $x,y\in \mathbb {R} ^{n}$ zwei Vektoren, so erklären wir deren Skalarprodukt (auch inneres Produkt genannt) durch

(3) $x\cdot y:=(x,y):=\sum _{k=1}^{n}x_{k}y_{k}$

und den Betrag bzw. die Norm (euklidische Norm oder 2-Norm) des Vektors $x\in \mathbb {R} ^{n}$ durch

(4) $|x|:={\sqrt {(x,x)}}={\sqrt {\sum _{k=1}^{n}x_{k}^{2}}}$.

Bemerkung

Es gilt $|x|=0\Leftrightarrow x=0$.

(Eigenschaften der Norm ||•|| in einem Vektorraum V über einem Körper K sind Nichtnegativität, Definitheit, absolute Homogenität, Subadditivität)

Definition 3

Zwei Vektoren $x,y\in \mathbb {R} ^{n}$ heißen zueinander orthogonal (symbolisch: $x\perp y$), falls $(x,y)=0$ gilt.

Satz 1

Für alle $x,y\in \mathbb {R} ^{n}$ gelten die folgenden Ungleichungen

(5) $|(x,y)|\leq |x|\cdot |y|$,

(6) $|x+y|\leq |x|+|y|$ (Dreiecksungleichung),

(7) $|x-y|\geq ||x|-|y||$.

Beweis von (5)

Seien $x=(x_{1},\ldots ,x_{n}),y=(y_{1},\ldots ,y_{n})\in \mathbb {R} ^{n}$. Mit Hilfe der Ungleichung von Cauchy-Schwarz erhalten wir:

$(x,y)^{2}{\stackrel {(3)}{=}}\left(\sum _{k=1}^{n}x_{k}y_{k}\right)^{2}\leq \left(\sum _{k=1}^{n}x_{k}^{2}\right)\cdot \left(\sum _{k=1}^{n}y_{k}^{2}\right){\stackrel {(4)}{=}}|x|^{2}\cdot |y|^{2}$.

Durch Wurzelziehen erhalten wir die Behauptung.

Beweis von (6)

Wir berechnen

$|x+y|^{2}{\stackrel {(4)}{=}}\sum _{k=1}^{n}(x_{k}+y_{k})^{2}=\sum _{k=1}^{n}(x_{k}^{2}+2x_{k}y_{k}+y_{k}^{2})=\sum _{k=1}^{n}x_{k}^{2}+2\sum _{k=1}^{n}x_{k}y_{k}+\sum _{k=1}^{n}y_{k}^{2}$

${\stackrel {(3),(4)}{=}}|x|^{2}+2(x,y)+|y|^{2}\leq |x|^{2}+2|(x,y)|+|y|^{2}{\stackrel {(5)}{\leq }}|x|^{2}+2|x||y|+|y|^{2}=(|x|+|y|)^{2}$

und Radizieren liefert die Behauptung.

Beweis von (7)

Es gilt einerseits

$|x|=|x-y+y|{\stackrel {(6)}{\leq }}|x-y|+|y|$

also $|x|-|y|\leq |x-y|$. Andererseits haben wir

$|y|=|y-x+x|{\stackrel {(6)}{\leq }}|y-x|+|x|$

also $-(|x|-|y|)=|y|-|x|\leq |y-x|=|x-y|$. Es folgt schließlich (7)

q.e.d.

Unter einer Punktfolge im $\mathbb {R} ^{n}$ verstehen wir – wie üblich – die Abbildung $\mathbb {N} \ni k\mapsto x^{(k)}\in \mathbb {R} ^{n}$, welche wir zu $\{x^{(k)}\}_{k\in \mathbb {N} }\subset \mathbb {R} ^{n}$ abkürzen. Eine Teilfolge dieser Punktfolge

$\{x^{(k_{l})}\}_{l\in \mathbb {N} }\subset \{x^{(k)}\}_{k\in \mathbb {N} }$

wird gegeben durch die aufsteigende Auswahl der Indices

$1\leq k_{1}<k_{2}<k_{3}<\ldots$.

Wir sprechen von einer beschränkten Punktfolge, wenn es eine Schranke $c\in [0,+\infty )$ so gibt, dass $|x^{(k)}|\leq c$ für alle $k\in \mathbb {N}$ erfüllt ist.

Definition 4

Eine Punktfolge $\{x^{(k)}\}_{k\in \mathbb {N} }\subset \mathbb {R} ^{n}$ heißt konvergent genau dann, wenn es ein $x\in \mathbb {R} ^{n}$ gibt, so dass

(8) $\lim _{k\to \infty }|x^{(k)}-x|=0$

gilt. Der Punkt $x$ heißt Grenzpunkt der Folge und ist eindeutig bestimmt. Wir schreiben $x=\lim _{k\to \infty }x^{(k)}$ oder $x^{(k)}\to x\ (k\to \infty )$.

Hilfssatz 1

Sei $\{x^{(k)}\}_{k\in \mathbb {N} }\subset \mathbb {R} ^{n}$ mit $x^{(k)}=(x_{1}^{(k)},\ldots ,x_{n}^{(k)}),k\in \mathbb {N}$, eine Punktfolge und $x=(x_{1},\ldots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}$ ein Punkt. Dann gilt $x^{(k)}\to x\ (k\to \infty )$ genau dann, wenn $x_{i}^{(k)}\to x_{i}\ (k\to \infty )$ für $i=1,\ldots ,n$ richtig ist.

Beweis

„$\Rightarrow$“: Gilt $\lim _{k\to \infty }|x^{(k)}-x|=0$, so folgt wegen

$0\leq |x_{i}^{(k)}-x_{i}|\leq |x^{(k)}-x|$ für $i=1,\ldots ,n$ und alle $k\in \mathbb {N}$

die Relation $\lim _{k\to \infty }|x_{i}^{(k)}-x_{i}|=0$ für $i=1,\ldots ,n$.

„$\Leftarrow$“: Gilt $\lim _{k\to \infty }|x_{i}^{(k)}-x_{i}|=0$ für $i=1,\ldots ,n$, so haben wir

$\lim _{k\to \infty }\max \left\{|x_{i}^{(k)}-x_{i}|:i=1,\ldots ,n\right\}=0$.

Wegen der Ungleichung

$0\leq |x^{(k)}-x|={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}\left(x_{i}^{(k)}-x_{i}\right)^{2}}}\leq {\sqrt {\sum _{i=1}^{n}\left(\max \left\{|x_{i}^{(k)}-x_{i}|:i=1,\ldots ,n\right\}\right)^{2}}}$

$={\sqrt {n}}\cdot \max \left\{|x_{i}^{(k)}-x_{i}|:i=1,\ldots ,n\right\}$ für alle $k\in \mathbb {N}$

folgt schließlich $\lim _{k\to \infty }|x^{(k)}-x|=0$.

q.e.d.

Definition 5

Eine Punktfolge $\{x^{(k)}\}_{k\in \mathbb {N} }\subset \mathbb {R} ^{n}$ heißt Cauchy-Folge (oder auch in sich konvergente Folge) genau dann, wenn die folgende Aussage richtig ist: Zu jedem $\varepsilon >0$ gibt es eine natürliche Zahl $N=N(\varepsilon )\in \mathbb {N}$, so dass $|x^{(k)}-x^{(l)}|<\varepsilon$ für alle $k,l\geq N$ erfüllt ist.

Hilfssatz 2

Es ist $\{x^{(k)}\}_{k\in \mathbb {N} }\subset \mathbb {R} ^{n}$ eine Cauchy-Folge genau dann, wenn $\{x_{i}^{(k)}\}_{k\in \mathbb {N} }\subset \mathbb {R} ^{n}$ eine Cauchy-Folge ist für $i=1,\ldots ,n$.

Satz 2 (Cauchysches Konvergenzkriterium im $\mathbb {R} ^{n}$)

Eine Punktfolge ist genau dann konvergent, wenn sie eine Cauchy-Folge ist.

Beweis

Mit den Hilfssätzen 2 und 3 können wir das Cauchysche Konvergenzkriterium in $\mathbb {R}$ (Satz 3 aus §3) auf den $\mathbb {R} ^{n}$ übertragen:

$\{x^{(k)}\}_{k\in \mathbb {N} }$ ist Cauchy-Folge

$\Leftrightarrow \{x_{i}^{(k)}\}_{k\in \mathbb {N} }$ ist Cauchy-Folge für $i=1,\ldots ,n$

$\Leftrightarrow \{x_{i}^{(k)}\}_{k\in \mathbb {N} }$ ist konvergent in $\mathbb {R}$ für $i=1,\ldots ,n$

$\Leftrightarrow \{x^{(k)}\}_{k\in \mathbb {N} }$ ist konvergent in $\mathbb {R} ^{n}$

Satz 3 (Weierstraßscher Häufungsstellensatz im $\mathbb {R} ^{n}$)

Sei $\{x^{(k)}\}_{k\in \mathbb {N} }$ mit $x^{(k)}=(x_{1}^{(k)},\ldots ,x_{n}^{(k)})$, $k\in \mathbb {N}$, eine beschränkte Folge, d. h. es gibt eine reelle Zahl $c>0$, so dass $|x^{(k)}|\leq c$ für alle $k\in \mathbb {N}$ richtig ist. Dann gibt es eine Teilfolge $\{x^{(k_{p})}\}_{p\in \mathbb {N} }\subset \{x^{(k)}\}_{k\in \mathbb {N} }$ und ein $x\in \mathbb {R} ^{n}$, so dass $x^{(k_{p})}\to x\ (k\to \infty )$ gilt.

Beweis

Für $n=1$ haben wir den Weierstraßschen Häufungsstellensatz in $\mathbb {R}$ (Satz 4 aus §3) bereits gezeigt. Sei nun $n\in \mathbb {N}$ beliebig und

$z^{(k)}=(x_{1}^{(k)},\ldots ,x_{n-1}^{(k)})\in \mathbb {R} ^{n-1},\quad k\in \mathbb {N}$

gesetzt, so erhalten wir

$x^{(k)}=\left(z^{(k)},x_{n}^{(k)}\right),\quad k\in \mathbb {N}$.

Dabei ist $\{z^{(k)}\}_{k\in \mathbb {N} }$ eine Punktfolge im $\mathbb {R} ^{n-1}$. Wir haben dann die Abschätzung

$c^{2}\geq |x^{(k)}|^{2}=|z^{(k)}|^{2}+(x_{n}^{(k)})^{2},\quad k\in \mathbb {N}$

und somit

$|z^{(k)}|\leq c$ sowie $|x_{n}^{(k)}|\leq c$ für alle $k\in \mathbb {N}$.

Es sind also $\{z^{(k)}\}{k\in \mathbb {N} }\subset \mathbb {R} ^{n-1}$ und $\{x_{n}^{(k)}\}{k\in \mathbb {N} }\subset \mathbb {R}$ beschränkte Punktfolgen. Gelte nun die Aussage von Satz 3 bereits für $n-1$. Dann können wir eine Teilfolge $\{z^{(k_{p})}\}{p\in \mathbb {N} }\subset \{z^{(k)}\}{k\in \mathbb {N} }$ und ein $z=(x_{1},\ldots ,x_{n-1})\in \mathbb {R} ^{n-1}$ so finden, dass $z^{(k_{p})}\to z\ (p\to \infty )$ bzw.

$x_{i}^{(k_{p})}\to x_{i}\ (p\to \infty )$ für $i=1,\ldots ,n-1$

richtig ist. Wegen $|x_{n}^{(k)}|\leq c$ für alle $k\in \mathbb {N}$ haben wir $|x_{n}^{(k_{p})}|\leq c$ für alle $p\in \mathbb {N}$ und nach dem Weierstraßschen Häufungsstellensatz in $\mathbb {R}$ finden wir wiederum eine Teilfolge

$\{x_{n}^{(k_{p_{l}})}\}{l\in \mathbb {N} }\subset \{x_{n}^{(k_{p})}\}{p\in \mathbb {N} }$

und ein $x_{n}\in \mathbb {R}$, so dass

$x_{n}^{(k_{p_{l}})}\to x_{n}\ (l\to \infty )$

erfüllt ist. Wegen

$x_{i}^{(k_{p})}\to x_{i}\ (p\to \infty )$ für $i=1,\ldots ,n-1$

folgt

$x_{i}^{(k_{p_{l}})}\to x_{i}\ (l\to \infty )$ für $i=1,\ldots ,n-1$.

Es gilt also

$x^{(k_{p_{l}})}\to x=(x_{1},\ldots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}\ (l\to \infty )$

und wir haben die Aussage für $n$ bewiesen.

q.e.d.

Definition 6

Seien $x\in \mathbb {R} ^{n}$ und $r>0$ beliebig gewählt, so wird durch

(9) $K_{r}(x):=\{\xi \in \mathbb {R} ^{n}:|\xi -x|<r\}$

die offene Kugel (Offene Menge) im $\mathbb {R} ^{n}$ vom Radius $r$ um den Mittelpunkt $x$ definiert. Wählen wir den Radius $r=\varepsilon >0$ (im allgemeinen hinreichend klein), so sprechen wir auch kurz von der $\varepsilon$-Umgebung des Punktes $x$.

Bemerkungen

Wegen der englischen Bezeichnung Ball für eine Kugel verwendet man oft auch die Abkürzung $B_{r}(x):=K_{r}(x)$. Wenn keine Verwechslungen zu befürchten sind, lässt man ggf. bei den Kugeln den Mittelpunkt 0 und den Radius $r=1$ als normal weg, also ergibt sich $B_{r}=K_{r}:=K_{r}(0)$ sowie $B:=K_{1}(0)$ für die offene Einheitskugel um den Nullpunkt. Die Dimension $n$ des umgebenden Raumes ist aus dem Zusammenhang ersichtlich.

Definition 7

Sei $M\subset \mathbb {R} ^{n}$. Dann nennen wir die Menge

${\mathcal {C}}M:=\{x\in \mathbb {R} ^{n}:x\notin M\}$

das Komplement der Menge $M$.

Definition 8

Sei $M\subset \mathbb {R} ^{n}$ eine Punktmenge.

(a) Ein Punkt $x\in \mathbb {R} ^{n}$ heißt Häufungspunkt von $M$, wenn es zu jedem $\varepsilon >0$ einen Punkt $y\in M\setminus \{x\}$ gibt, der auch $y\in K_{\varepsilon }(x)$ erfüllt.

(b) Ein Punkt $x\in \mathbb {R} ^{n}$ heißt Randpunkt von $M$, wenn es zu jedem $\varepsilon >0$ Punkte $y,z\in K_{\varepsilon }(x)$ gibt, so dass $y\in M$ und $z\in {\mathcal {C}}M$ richtig sind.

(c) Ein Punkt $x\in M$ heißt isolierter Punkt von $M$, wenn $x$ kein Häufungspunkt von $M$ ist.

(d) Ein Punkt $x\in M$ heißt innerer Punkt von $M$, wenn es ein $\varepsilon >0$ mit der Eigenschaft $K_{\varepsilon }(x)\subset M$ gibt.

Definition 8

(e) Eine Menge $M\subset \mathbb {R} ^{n}$ heißt offen, falls jeder ihrer Punkte ein innerer Punkt ist.

(f) Eine Menge $M\subset \mathbb {R} ^{n}$ heißt abgeschlossen, wenn für jeden Häufungspunkt $\xi \in \mathbb {R} ^{n}$ von $M$ gilt, das $\xi \in M$ ist.

(g) Eine Menge $M\subset \mathbb {R} ^{n}$ heißt beschränkt, falls eine reelle Zahl $c>0$ existiert, so dass $|x|\leq c$ für alle $x\in M$ richtig ist.

Definition 9

Sei die Menge $M\subset \mathbb {R} ^{n}$ gegeben.

(h) Die Menge

${\stackrel {\circ }{M}}:=\{x\in \mathbb {R} ^{n}:x\ ist\ innerer\ Punkt\ von\ M\}$

nennen wir den offenen Kern oder auch das Innere der Menge $M$.

(i) Die Menge

${\overline {M}}:=\{x\in \mathbb {R} ^{n}:x\ liegt\ in\ M\ oder\ ist\ Haeufungspunkt\ von\ M$

heißt abgeschlossene Hülle bzw. Abschluss von $M$.

(j) Die Menge

$\partial M:=\{x\in \mathbb {R} ^{n}:x\ ist\ Randpunkt\ von\ M\}$

nennen wir den topologischen Rand von $M$.

Hilfssatz 3

Sei $M\subset \mathbb {R} ^{n}$. Ein Punkt $x\in \mathbb {R} ^{n}$ ist genau dann Häufungspunkt von $M$, wenn es eine Folge $\{x^{(k)}\}_{k\in \mathbb {N} }\subset M\setminus \{x\}$ gibt mit $x^{(k)}\to x\ (k\to \infty )$.

Beweis

„$\Rightarrow$“: Sei $x\in \mathbb {R} ^{n}$ Häufungspunkt von $M$. Dann gibt es für jedes $k\in \mathbb {N}$ einen Punkt $x^{(k)}\in M\setminus \{x\}$ mit $x^{(k)}\in K_{\frac {1}{k}}(x)$. Wir erhalten also eine Folge $\{x^{(k)}\}_{k\in \mathbb {N} }\subset M\setminus \{x\}$ mit $|x^{(k)}-x|<{\frac {1}{k}}$ für alle $k\in \mathbb {N}$ und damit $x^{(k)}\to x\ (k\to \infty )$.

„$\Leftarrow$“: Sei $\{x^{(k)}\}_{k\in \mathbb {N} }\subset M\setminus \{x\}$ eine Folge mit $x^{(k)}\to x\ (k\to \infty )$, so existiert zu jedem $\varepsilon >0$ ein $k_{\varepsilon }$, so dass $|x^{(k_{\varepsilon })}-x|<\varepsilon$. Wir finden also einen Punkt $x^{(k_{\varepsilon })}\in M\setminus \{x\}$ mit $x^{(k_{\varepsilon })}\in K_{\varepsilon }$. Somit ist $x$ ein Häufungspunkt von $M$.

Hilfssatz 4

Eine Menge $M\subset \mathbb {R} ^{n}$ ist genau dann abgeschlossen, wenn für jede konvergente Folge $\{x^{(k)}\}_{k\in \mathbb {N} }\subset M\setminus \{x\}$ die Aussage $\lim _{k\to \infty }x^{(k)}\in M$ richtig ist.

Hilfssatz 5

Sei die Menge $M\subset \mathbb {R} ^{n}$ gegeben. Dann gilt:

(a) $M$ ist abgeschlossen $\Longleftrightarrow {\mathcal {C}}M$ ist offen.

(b) $M$ ist offen $\Longleftrightarrow {\mathcal {C}}M$ ist abgeschlossen.

Beweis

Es genügt jeweils nur die Richtung „$\Rightarrow$“ zu zeigen, denn wegen ${\mathcal {C}}({\mathcal {C}}M)=M$ folgt auch „$\Leftarrow$“.

(a) Sei $M$ abgeschlossen. Wäre nun ${\mathcal {C}}M$ nicht offen, dann gäbe es einen Punkt $x\in {\mathcal {C}}M$ mit der Eigenschaft, dass für jedes $\varepsilon >0$ gilt: $K_{\varepsilon }(x)\not \subset {\mathcal {C}}M$. Also gibt es ein $y\in K_{\varepsilon }(x)$ mit $y\notin {\mathcal {C}}M$ bzw. $y\in M$. Damit ist $x$ Häufungspunkt von $M$. Da $M$ abgeschlossen ist, muss $x\in M$ sein, im Widerspruch zu $x\in {\mathcal {C}}M$.

(b) Sei $M$ offen. Wir betrachten eine beliebige konvergente Punktfolge

$\{x^{(k)}\}_{k\in \mathbb {N} }\subset {\mathcal {C}}M$ mit $\lim _{k\to \infty }x^{(k)}=x\in \mathbb {R} ^{n}$.

Es muss dann $x\in {\mathcal {C}}M$ sein, denn wäre $x\in M$, dann gäbe es ein $\varepsilon >0$ mit $K_{\varepsilon }(x)\subset M$ und damit $|x^{(k)}-x|\geq \varepsilon$ für alle $k\in \mathbb {N}$, im Widerspruch zu $\lim _{k\to \infty }x^{(k)}=x$. Folglich ist ${\mathcal {C}}M$ abgeschlossen.

q.e.d.

Satz 4 (Vereinigung und durchschnitt von Teilmengen des $\mathbb {R} ^{n}$)

(a) Die Vereinigung beliebig vieler offener Mengen ist offen.

(b) Der Durchschnitt endlich vieler offener Mengen ist offen.

(c) Die Vereinigung endlich vieler abgeschlossener Mengen ist abgeschlossen.

(d) Der Durchschnitt beliebig vieler abgeschlossener Mengen ist abgeschlossen.

Beweis

(a) Es seien $I$ eine beliebige Indexmenge und $M_{i}\subset \mathbb {R} ^{n}$ offen für alle $i\in I$. Sei weiter $x\in M:=\bigcup _{i\in I}M_{i}$. Dann gibt es einen Index $j\in I$ mit $x\in M_{j}$. Da $M_{j}$ offen ist, gilt $K_{\varepsilon }(x)\subset M_{j}$ für ein $\varepsilon >0$ und damit $K_{\varepsilon }(x)\subset M_{j}\subset \bigcup _{i\in I}M_{i}=M$. Also ist $M$ offen.

(b) Seien $I:=\{1,\ldots ,m\}$ eine endliche Indexmenge und $M_{i}\subset \mathbb {R} ^{n}$ offen für alle $i\in I$. Sei weiter $x\in \bigcap _{i\in I}M_{i}$, so haben wir $x\in M_{i}$ für alle $i\in I$. Ferner gibt es zu jedem $i\in I$ ein $\varepsilon _{i}>0$, so dass $K_{\varepsilon _{i}}(x)\subset M_{i}$ gilt. Mit

$\varepsilon :=\min _{i\in I}\varepsilon _{i}=\min\{\varepsilon _{1},\ldots ,\varepsilon _{m}\}>0$

erhalten wir $K_{\varepsilon }(x)\subset K_{\varepsilon _{i}}(x)\subset M_{i}$ für alle $i\in I$ und damit $K_{\varepsilon }(x)\subset \bigcap _{i\in I}M_{i}=M$. Es ist also $M$ offen.

(c) Seien $I:=\{1,\ldots ,m\}$ und $M_{i}\subset \mathbb {R} ^{n}$ abgeschlossen für alle $i\in I$. Wir betrachten eine konvergente Folge $\{x^{(k)}\}_{k\in \mathbb {N} }\subset M:=\bigcup _{i\in I}M_{i}$ mit $\lim _{k\to \infty }x^{(k)}=x\in \mathbb {R} ^{n}$. Da $I$ endlich ist, gibt es ein $j\in I$ und eine Teilfolge $\{x^{(k_{p})}\}_{p\in \mathbb {N} }\subset \{x^{(k)}\}_{k\in \mathbb {N} }$ mit $x^{(k_{p})}\in M_{j}$ für alle $p\in \mathbb {N}$. Wegen $x^{(k)}\to x\ (k\to \infty )$ gilt auch $x^{(k_{p})}\to x\ (p\to \infty )$. Nun ist $M_{j}$ abgeschlossen, also ist $x\in M_{j}$, folglich gilt $x\in M_{j}\subset \bigcup _{i\in I}M_{i}=M$ und damit ist $M$ abgeschlossen.

(d) Seien nun $I$ eine beliebige Indexmenge und $M_{i}\subset \mathbb {R} ^{n}$ abgeschlossen für alle $i\in I$. Sei weiter $\{x^{(k)}\}_{k\in \mathbb {N} }\subset M:=\bigcup _{i\in I}M_{i}$ eine konvergente Folge mit $\lim _{k\to \infty }x^{(k)}=x\in \mathbb {R} ^{n}$. Dann gilt $\{x^{(k)}\}_{k\in \mathbb {N} }\subset M_{i}$ für alle $i\in I$. Weil $M_{i}$ abgeschlossen ist, gilt $x\in M_{i}$ für alle $i\in I$, also $x\in \bigcap _{i\in I}M_{i}=M$. Es ist $M$ demnach abgeschlossen.

Bemerkungen

Auf die Endlichkeit der Indexmengen in den Aussagen (b) und (c) können wir nicht verzichten, wie bereits im Beweis ersichtlich wird. So muss ein unendlicher Durchschnitt von offenen Mengen durchaus nicht mehr offen sein. Für $n=1$ gilt zum Beispiel

$\bigcap _{i\in \mathbb {N} }\left(-{\frac {1}{i}},1+{\frac {1}{i}}\right)=[0,1]$.

Analog ist eine unendliche Vereinigung abgeschlossener Mengen im allgemeinen nicht mehr abgeschlossen, wie das folgende Beispiel für $n=1$ zeigt:

$\bigcup _{i\in \mathbb {N} }\left[-1+{\frac {1}{i}},1-{\frac {1}{i}}\right]=(-1,1)$.

Definition 11

Sei $X$ eine beliebige Menge und ${\mathcal {P}}(X):=\{A:A\subset X\}$ deren Potenzmenge. Ein System von Teilmengen ${\mathcal {T}}\subset {\mathcal {P}}(X)$ heißt Topologie auf $X$, wenn es folgende Bedingungen erfüllt:

(i) Es gelten $\emptyset \in {\mathcal {T}}$ und $X\in {\mathcal {T}}$;

(ii) Mit $A,B\in {\mathcal {T}}$ ist auch $A\cap B\in {\mathcal {T}}$;

(iii) Für eine beliebige Indexmenge $I$ ist mit $U_{i}\in {\mathcal {T}}$ für alle $i\in I$ auch $\bigcup _{i\in I}U_{i}\in {\mathcal {T}}$ erfüllt.

Das geordnete Paar $(X,{\mathcal {T}})$ heißt topologischer Raum mit den offenen Mengen $U\in {\mathcal {T}}$.

Satz 5

Mit ${\mathcal {O}}:=\{U\subset \mathbb {R} ^{n}:U{\text{ ist offen gemaess Definition 9(e)}}\}$ wird $(\mathbb {R} ^{n},{\mathcal {O}})$ zu einem topologischen Raum.

Satz 6 (Cantorscher Durchschnittssatz)

Sei $\{A_{i}\}_{i\in \mathbb {N} }$ eine Folge von nicht leeren, abgeschlossenen Teilmengen des $\mathbb {R} ^{n}$. Sei weiter die Menge $A_{1}$ beschränkt und $A_{i+1}\subset A_{i}$ für alle $i\in \mathbb {N}$ erfüllt. Dann ist $\bigcap _{i\in \mathbb {N} }A_{i}\neq \emptyset$.

Beweis

Zu jedem $k\in \mathbb {N}$ wählen wir einen Punkt $x^{(k)}\in A_{k}\subset A_{1}$ und erhalten eine Folge $\{x^{(k)}\}_{k\in \mathbb {N} }\subset A_{1}$. Diese ist beschränkt, weil $A_{1}$ beschränkt ist. Nach dem Weierstraßschen Häufungsstellensatz im $\mathbb {R} ^{n}$ gibt es eine Teilfolge $\{x^{(k_{p})}\}_{p\in \mathbb {N} }\subset \{x^{(k)}\}_{k\in \mathbb {N} }$ und ein $x\in \mathbb {R} ^{n}$, so dass $x^{(k_{p})}\to x\ (p\to \infty )$ gilt. Nach Voraussetzung ist nun zu beliebig vorgegebenem $i\in \mathbb {N}$ die Inklusion $A_{k}\subset A_{i}$ für alle $k\geq i$ richtig und damit folgt $x^{(k)}\in A_{k}\subset A_{i}$ für alle $k\geq i$. Wir bestimmen einen Index $P=P(i)$, so dass $k_{p}\geq i$ und damit $x^{(k_{p})}\in A_{i}$ für alle $p\geq P$ erfüllt ist. Wegen der Konvergenz $x^{(k_{p})}\to x\ (p\to \infty )$ und der Abgeschlossenheit von $A_{i}$ folgt $x\in A_{i}$ für alle $i\in \mathbb {N}$. Somit ist $x\in \bigcap _{i\in \mathbb {N} }A_{i}$ gezeigt.

q.e.d.

Bemerkungen

1. Auf die Beschränktheit können wir nicht verzichten, denn wählen wir für $n=1$ beispielsweise $A_{i}:=[i,+\infty ),i\in \mathbb {N}$, so erhalten wir $\bigcap _{i\in \mathbb {N} }A_{i}=\emptyset$.
2. Ebenso wird obige Aussage für nicht abgeschlossene Mengen im allgemeinen falsch: Die Mengen $U_{i}:=\left(0,{\frac {1}{i}}\right),i\in \mathbb {N}$ haben den leeren Durchschnitt $\bigcap _{i\in \mathbb {N} }U_{i}=\emptyset$.

Definition 12

Seien $a,b\in \mathbb {R} ^{n}$ zwei Punkte mit der Eigenschaft

$a<b\Leftrightarrow a_{i}<b_{i}$ für $i=1,\ldots ,n$.

Dann nennen wir die abgeschlossene Punktmenge

(10) $Q:=\{x\in \mathbb {R} ^{n}:a_{i}\leq x_{i}\leq b_{i},i=1,\ldots ,n\}=[a_{1},b_{1}]\times \ldots \times [a_{n},b_{n}]$

einen Quader im $\mathbb {R} ^{n}$. Gilt speziell $b_{i}-a_{i}=c,i=1,\ldots ,n$ mit einem $c\in (0,+\infty )$, dann sprechen wir auch von einem Würfel der Kantenlänge $2c$.

Definition 13

Sei $M\subset \mathbb {R} ^{n}$. Wir nennen

$diam(M)=\delta (M):=\sup\{|x-y|:x,y\in M\}\in [0,+\infty ]$

den Durchmesser – im Englischen 'diameter' – der Menge $M$.

Der Durchmesser eines Quaders ist gerade die Länge seiner Diagonale

(11) $\delta (Q)=diam(Q)=|b-a|={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}(b_{i}-a_{i})^{2}}}$.

Wir wollen nun die Methode der Quaderzerlegung kennenlernen: Wir gehen aus von einem Quader gemäß Definition 12, nämlich

$Q=I_{1}\times \ldots \times I_{n}\subset \mathbb {R} ^{n}$

mit den konstituierenden Intervallen $I_{i}:=[a_{i},b_{i}]$ für $i=1,\ldots ,n$. Diese Intervalle halbieren wir und erhalten zwei Teilintervalle

(12) $I_{i}^{(1)}:=\left[a_{i},{\frac {1}{2}}(a_{i}+b_{i})\right]$ und $I_{i}^{(2)}:=\left[{\frac {1}{2}}(a_{i}+b_{i}),b_{i}\right]$,

so dass

(13) $I_{i}^{(1)}\cup I_{i}^{(2)}=I_{i}$ und ${\stackrel {\circ }{I_{i}^{(1)}}}\cap {\stackrel {\circ }{I_{i}^{(2)}}}=\emptyset$

für $i=1,\ldots ,n$ gilt. Dann wählen wir $n$ Indices $p_{1},\ldots ,p_{n}\in \{1,2\}$ bzw. den Multiindex $p=(p_{1},\ldots ,p_{n})\in \{1,2\}\times \ldots \times \{1,2\}=\{1,2\}^{n}$ und erhalten in

(14) $Q^{p}=Q^{(p_{1},\ldots ,p_{n})}:=I_{1}^{(p_{1})}\times \ldots \times I_{n}^{(p_{n})}\subset Q$

jeweils einen der $2^{n}$ gleich großen Teilquader von $Q$. Es gelten die Identitäten

(15) $Q=\bigcup _{p\in \{1,2\}^{n}}Q^{p}$ und ${\stackrel {\circ }{Q^{p}}}\cap {\stackrel {\circ }{Q^{q}}}=\emptyset$ für $p,q\in \{1,2\}^{n}$ mit $p\neq q$.

Außerdem berechnen wir für $p\in \{1,2\}^{n}$ die Durchmesser der Teilquader

(16) $\delta (Q^{p})={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}\left[{\frac {1}{2}}(b_{i}-a_{i})\right]^{2}}}={\frac {1}{2}}{\sqrt {\sum _{i=1}^{n}(b_{i}-a_{i})^{2}}}={\frac {1}{2}}\delta (Q)$.

Definition 14

Seien eine Punktmenge $M\subset \mathbb {R} ^{n}$ und eine Indexmenge $I$ gegeben. Weiter sei einem jeden Index $i\in I$ eine offene Menge $U_{i}\subset \mathbb {R} ^{n}$ zugeordnet, so dass die Inklusion $M\subset \bigcup _{i\in I}U_{i}$ erfüllt ist. Dann nennen wir das System $\{U_{i}\}_{i\in I}$ ein offenes Überdeckungssystem von $M$.

Beispiel

Sei jedem Punkt $x\in M$ eine offene Kugel $U_{x}:=K_{\varepsilon (x)}\subset \mathbb {R} ^{n}$ vom Radius $\varepsilon (x)>0$ um den Mittelpunkt $x$ zugeordnet. Dann folgt $M\subset \bigcup _{x\in M}U_{x}$ und wir erhalten mit $\{U_{x}\}_{x\in M}$ ein offenes Überdeckungssystem von $M$.

Satz 7 (Überdeckungssatz von E. Heine und E. Borel)

Sei $M\subset \mathbb {R} ^{n}$ eine beschränkte, abgeschlossene Menge. Sei weiter $\{U_{i}\}_{i\in I}$ ein offenes Überdeckungssystem von $M$ mit der Indexmenge $I$. Dann existiert eine endliche Indexmenge $J$ mit $J\subset I$, so dass auch $\{U_{i}\}_{i\in J}$ ein offenes Überdeckungssystem von $M$ ist.

Beweis

1. Da die Menge $M$ beschränkt ist, existiert eine reelle Zahl $c>0$ hinreichend groß, so dass der zugehörige Würfel $W$ der Kantenlänge $2c$ um den Nullpunkt die Inklusion

$M\subset [-c,+c]\times \ldots \times [-c,+c]=:W\subset \mathbb {R} ^{n}$

erfüllt.
Wir nehmen nun an, die Aussage des Satzes wäre falsch: Also ist für jede endliche Indexmenge $J\subset I$ die Aussage $M\not \subset \bigcup _{i\in J}U_{i}$ richtig, d. h. endlich viele Mengen des Überdeckungssystems reichen nicht zur Überdeckung von $M$ aus.

2. Zunächst setzen wir $W_{0}:=W$. Dann konstruieren wir eine Folge $\{W_{k}\}_{k\in \mathbb {N} _{0}}$ von Würfeln, so dass für alle $k\in \mathbb {N} _{0}$ die Bedingungen

(17) $W_{k+1}\subset W_{k}$ sowie $\delta (W_{k})={\frac {1}{2^{k}}}2c{\sqrt {n}}$

und

(18) $M\cap W_{k}\not \subset \bigcup _{i\in J}U_{i}$ für jede endliche Indexmenge $J\subset I$

erfüllt sind.
Sei für ein beliebiges $k\in \mathbb {N} _{0}$ bereits der Würfel $W_{k}\in \mathbb {R} ^{n}$ mit den o. a. Eigenschaften gefunden. Diesen zerlegen wir wie oben beschrieben in $2^{n}$ gleich große Teilwürfel $W_{k}^{p},p\in \{1,2\}^{n}$. Dann sehen wir:

(19) $M\cap W_{k}=M\cap \left(\bigcup _{p\in \{1,2\}^{n}}W_{k}^{p}\right)=\bigcup _{p\in \{1,2\}^{n}}\left(M\cap W_{k}^{p}\right).$

Nun muss es ein $p\in \{1,2\}^{n}$ geben, so dass auch $W_{k}^{p}$ die Bedingung erfüllt: $M\cap W_{k}^{p}\not \subset \bigcup _{i\in J}U_{i}$ ist für jede endliche Indexmenge richtig bzw. endlich viele Mengen des Überdeckungssystems reichen zur Überdeckung von $M\cap W_{k}^{p}$ nicht aus.
Wäre dies nämlich nicht so, dann könnten wir alle Teilmengen

$M\cap W_{k}^{p},\quad p\in \{1,2\}^{n}$

durch endlich viele Mengen aus dem Überdeckungssystem überdecken und somit auch die endliche Vereinigung (19) – im Widerspruch zu (18).
Wir wählen dieses $p\in \{1,2\}^{n}$ und setzen

$W_{k+1}:=W_{k}^{p}\subset W_{k}$.

Mit Hilfe von (17) ermitteln wir

$\delta (W_{k+1})=\delta (W_{k}^{p})={\frac {1}{2}}\delta (W_{k})={\frac {1}{2}}{\frac {1}{2^{k}}}2c{\sqrt {n}}={\frac {1}{2^{k+1}}}2c{\sqrt {n}}$.

3. Mit der in Teil 2.) konstruierten Würfelfolge $\{W_{k}\}_{k\in \mathbb {N} _{0}}$ bilden wir die Folge $\{M_{k}\}_{k\in \mathbb {N} _{0}}$ abgeschlossener Mengen

$M_{k}:=M\cap W_{k}\subset M,\quad k\in \mathbb {N} _{0}$.

Wegen (17) folgt $M_{k+1}\subset M_{k}$ für alle $k\in \mathbb {N} _{0}$. Da $M_{0}=M\cap W_{0}=M$ beschränkt ist, gibt es nach dem Cantorschen Durchschnittssatz einen Punkt $x\in \bigcap _{k\in \mathbb {N} _{0}}M_{k}\subset M$. Da weiter $\{U_{i}\}_{i\in I}$ ein Überdeckungssystem von $M$ ist, gibt es einen Index $j\in I$ mit $x\in U_{j}$. Die Menge $U_{j}$ ist offen, also existiert ein $\varepsilon >0$, so dass $K_{\varepsilon }(x)\subset U_{j}$ gilt. Mit (17) erhalten wir

$\delta (M_{k})\leq \delta (W_{k})={\frac {1}{2^{k}}}2c{\sqrt {n}}$.

Wir können also ein $k\in \mathbb {N} _{0}$ finden, so dass $\delta (M_{K})\leq 2^{-K}\cdot 2c\cdot {\sqrt {n}}<\varepsilon$ richtig wird. Wegen $x\in M_{K}$ folgt mit der endlichen Menge $J:=\{j\}\subset I$, dass die Inklusion

$M\cap W_{K}=M_{K}\subset K_{\varepsilon }(x)\subset U_{j}=\bigcup _{i\in J}U_{i}$

gilt – im Widerspruch zu (18). Unsere Annahme ist also falsch und somit ist die Behauptung des Satzes richtig.

q.e.d.

Bemerkungen

1. Wir können obigen Satz auch folgendermaßen formulieren:

Sei $M\subset \mathbb {R} ^{n}$ eine beschränkte, abgeschlossene Menge und sei jedem Punkt $x\in M$ eine offene Menge $U_{x}\subset \mathbb {R} ^{n}$ mit $x\in U_{x}$ zugeordnet. Dann gibt es endlich viele Punkte $x^{(1)},\ldots ,x^{(m)}\in M$, so dass $M\subset \bigcup _{i=1}^{m}U_{x^{(i)}}$ gilt.

2. Aus einer gegebenen unendlichen offenen Überdeckung einer offenen Menge können wir nicht immer eine endliche Teilüberdeckung auswählen, wie für $n=1$ das folgende Beispiel zeigt:
Seien die offene Menge $M:=(0,1)$ und die offenen Intervalle

$U_{i}:=\left({\frac {1}{2^{i+2}}},{\frac {1}{2^{i}}}\right),\quad i\in \mathbb {N} _{0}$

definiert. Dann ist die Überdeckung $M\subset \bigcup _{i\in \mathbb {N} _{0}}U_{i}$ erfüllt, aber für jede endliche Teilmenge $J\subset \mathbb {N} _{0}$ sehen wir die Aussage $M\not \subset \bigcup _{i\in J}U_{i}$ leicht ein.
3. Eine beschränkte, abgeschlossene Menge $M\subset \mathbb {R} ^{n}$ erfüllt nach dem Heine-Borelschen Satz die folgende Überdeckungseigenschaft: Ein beliebig vorgegebenes Überdeckungssystem von $M$ enthält eine endliche Teilüberdeckung. Diese Eigenschaft nennt man in der Topologie Kompaktheit.

Definition 15

Eine beschränkte, abgeschlossene Menge $M$ im $\mathbb {R} ^{n}$ heißt kompakt.