Kurs:Analysis I/Kapitel I: Das System der reellen und komplexen Zahlen/Der n-dimensionale Zahlenraum (§4)

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Definition 1[Bearbeiten]

Sei eine natürliche Zahl. Das kartesische Produkt
bezeichnen wir als -dimensionalen reellen Zahlenraum. Ein Punkt ist ein geordnetes -Tupel reeller Zahlen. Das ausgezeichnete Element heißt Nullelement bzw. Nullvektor. Seien weiter und , so erklären wir durch
(1)
eine Addition und durch
(2)
eine skalare Multiplikation.

Bemerkungen[Bearbeiten]

1. Für zwei Punkte gilt:

für .

2. Für beliebige sind und . Somit wird aufgrund der Eigenschaften von als Körper der Raum zusammen mit den Verknüpfungen (1) und (2) zu einem -dimensionalen Vektorraum über .

Definition 2[Bearbeiten]

Seien zwei Vektoren, so erklären wir deren Skalarprodukt (auch inneres Produkt genannt) durch
(3)
und den Betrag bzw. die Norm (euklidische Norm oder 2-Norm) des Vektors durch
(4) .

Bemerkung[Bearbeiten]

Es gilt .

(Eigenschaften der Norm ||•|| in einem Vektorraum V über einem Körper K sind Nichtnegativität, Definitheit, absolute Homogenität, Subadditivität)

Definition 3[Bearbeiten]

Zwei Vektoren heißen zueinander orthogonal (symbolisch: ), falls gilt.

Satz 1[Bearbeiten]

Für alle gelten die folgenden Ungleichungen
(5) ,
(6) (Dreiecksungleichung),
(7) .

Beweis von (5)[Bearbeiten]

Seien . Mit Hilfe der Ungleichung von Cauchy-Schwarz erhalten wir:

.

Durch Wurzelziehen erhalten wir die Behauptung.

Beweis von (6)[Bearbeiten]

Wir berechnen

und Radizieren liefert die Behauptung.

Beweis von (7)[Bearbeiten]

Es gilt einerseits

also . Andererseits haben wir

also . Es folgt schließlich (7)

q.e.d.

Unter einer Punktfolge im verstehen wir – wie üblich – die Abbildung , welche wir zu abkürzen. Eine Teilfolge dieser Punktfolge

wird gegeben durch die aufsteigende Auswahl der Indices

.

Wir sprechen von einer beschränkten Punktfolge, wenn es eine Schranke so gibt, dass für alle erfüllt ist.

Definition 4[Bearbeiten]

Eine Punktfolge heißt konvergent genau dann, wenn es ein gibt, so dass
(8)
gilt. Der Punkt heißt Grenzpunkt der Folge und ist eindeutig bestimmt. Wir schreiben oder .

Hilfssatz 1[Bearbeiten]

Sei mit , eine Punktfolge und ein Punkt. Dann gilt genau dann, wenn für richtig ist.

Beweis[Bearbeiten]

“: Gilt , so folgt wegen

für und alle

die Relation für .

“: Gilt für , so haben wir

.

Wegen der Ungleichung

für alle

folgt schließlich .

q.e.d.

Definition 5[Bearbeiten]

Eine Punktfolge heißt Cauchy-Folge (oder auch in sich konvergente Folge) genau dann, wenn die folgende Aussage richtig ist: Zu jedem gibt es eine natürliche Zahl , so dass für alle erfüllt ist.

Hilfssatz 2[Bearbeiten]

Es ist eine Cauchy-Folge genau dann, wenn eine Cauchy-Folge ist für .

Satz 2 (Cauchysches Konvergenzkriterium im )[Bearbeiten]

Eine Punktfolge ist genau dann konvergent, wenn sie eine Cauchy-Folge ist.

Beweis[Bearbeiten]

Mit den Hilfssätzen 2 und 3 können wir das Cauchysche Konvergenzkriterium in (Satz 3 aus §3) auf den übertragen:

ist Cauchy-Folge
ist Cauchy-Folge für
ist konvergent in für
ist konvergent in

Satz 3 (Weierstraßscher Häufungsstellensatz im )[Bearbeiten]

Sei mit , , eine beschränkte Folge, d. h. es gibt eine reelle Zahl , so dass für alle richtig ist. Dann gibt es eine Teilfolge und ein , so dass gilt.

Beweis[Bearbeiten]

Für haben wir den Weierstraßschen Häufungsstellensatz in (Satz 4 aus §3) bereits gezeigt. Sei nun beliebig und

gesetzt, so erhalten wir

.

Dabei ist eine Punktfolge im . Wir haben dann die Abschätzung

und somit

sowie für alle .

Es sind also und beschränkte Punktfolgen. Gelte nun die Aussage von Satz 3 bereits für . Dann können wir eine Teilfolge und ein so finden, dass bzw.

für

richtig ist. Wegen für alle haben wir für alle und nach dem Weierstraßschen Häufungsstellensatz in finden wir wiederum eine Teilfolge

und ein , so dass

erfüllt ist. Wegen

für

folgt

für .

Es gilt also

und wir haben die Aussage für bewiesen.

q.e.d.

Definition 6[Bearbeiten]

Seien und beliebig gewählt, so wird durch
(9)
die offene Kugel (Offene Menge) im vom Radius um den Mittelpunkt definiert. Wählen wir den Radius (im allgemeinen hinreichend klein), so sprechen wir auch kurz von der -Umgebung des Punktes .

Bemerkungen[Bearbeiten]

Wegen der englischen Bezeichnung Ball für eine Kugel verwendet man oft auch die Abkürzung . Wenn keine Verwechslungen zu befürchten sind, lässt man ggf. bei den Kugeln den Mittelpunkt 0 und den Radius als normal weg, also ergibt sich sowie für die offene Einheitskugel um den Nullpunkt. Die Dimension des umgebenden Raumes ist aus dem Zusammenhang ersichtlich.

Definition 7[Bearbeiten]

Sei . Dann nennen wir die Menge
das Komplement der Menge .

Definition 8[Bearbeiten]

Sei eine Punktmenge.
(a) Ein Punkt heißt Häufungspunkt von , wenn es zu jedem einen Punkt gibt, der auch erfüllt.
(b) Ein Punkt heißt Randpunkt von , wenn es zu jedem Punkte gibt, so dass und richtig sind.
(c) Ein Punkt heißt isolierter Punkt von , wenn kein Häufungspunkt von ist.
(d) Ein Punkt heißt innerer Punkt von , wenn es ein mit der Eigenschaft gibt.

Definition 8[Bearbeiten]

(e) Eine Menge heißt offen, falls jeder ihrer Punkte ein innerer Punkt ist.
(f) Eine Menge heißt abgeschlossen, wenn für jeden Häufungspunkt von gilt, das ist.
(g) Eine Menge heißt beschränkt, falls eine reelle Zahl existiert, so dass für alle richtig ist.

Definition 9[Bearbeiten]

Sei die Menge gegeben.
(h) Die Menge
nennen wir den offenen Kern oder auch das Innere der Menge .
(i) Die Menge
heißt abgeschlossene Hülle bzw. Abschluss von .
(j) Die Menge
nennen wir den topologischen Rand von .

Hilfssatz 3[Bearbeiten]

Sei . Ein Punkt ist genau dann Häufungspunkt von , wenn es eine Folge gibt mit .

Beweis[Bearbeiten]

“: Sei Häufungspunkt von . Dann gibt es für jedes einen Punkt mit . Wir erhalten also eine Folge mit für alle und damit .

“: Sei eine Folge mit , so existiert zu jedem ein , so dass . Wir finden also einen Punkt mit . Somit ist ein Häufungspunkt von .

Hilfssatz 4[Bearbeiten]

Eine Menge ist genau dann abgeschlossen, wenn für jede konvergente Folge die Aussage richtig ist.

Hilfssatz 5[Bearbeiten]

Sei die Menge gegeben. Dann gilt:
(a) ist abgeschlossen ist offen.
(b) ist offen ist abgeschlossen.

Beweis[Bearbeiten]

Es genügt jeweils nur die Richtung „“ zu zeigen, denn wegen folgt auch „“.

(a) Sei abgeschlossen. Wäre nun nicht offen, dann gäbe es einen Punkt mit der Eigenschaft, dass für jedes gilt: . Also gibt es ein mit bzw. . Damit ist Häufungspunkt von . Da abgeschlossen ist, muss sein, im Widerspruch zu .

(b) Sei offen. Wir betrachten eine beliebige konvergente Punktfolge

mit .

Es muss dann sein, denn wäre , dann gäbe es ein mit und damit für alle , im Widerspruch zu . Folglich ist abgeschlossen.

q.e.d.

Satz 4 (Vereinigung und durchschnitt von Teilmengen des )[Bearbeiten]

(a) Die Vereinigung beliebig vieler offener Mengen ist offen.
(b) Der Durchschnitt endlich vieler offener Mengen ist offen.
(c) Die Vereinigung endlich vieler abgeschlossener Mengen ist abgeschlossen.
(d) Der Durchschnitt beliebig vieler abgeschlossener Mengen ist abgeschlossen.

Beweis[Bearbeiten]

(a) Es seien eine beliebige Indexmenge und offen für alle . Sei weiter . Dann gibt es einen Index mit . Da offen ist, gilt für ein und damit . Also ist offen.

(b) Seien eine endliche Indexmenge und offen für alle . Sei weiter , so haben wir für alle . Ferner gibt es zu jedem ein , so dass gilt. Mit

erhalten wir für alle und damit . Es ist also offen.

(c) Seien und abgeschlossen für alle . Wir betrachten eine konvergente Folge mit . Da endlich ist, gibt es ein und eine Teilfolge mit für alle . Wegen gilt auch . Nun ist abgeschlossen, also ist , folglich gilt und damit ist abgeschlossen.

(d) Seien nun eine beliebige Indexmenge und abgeschlossen für alle . Sei weiter eine konvergente Folge mit . Dann gilt für alle . Weil abgeschlossen ist, gilt für alle , also . Es ist demnach abgeschlossen.

Bemerkungen[Bearbeiten]

Auf die Endlichkeit der Indexmengen in den Aussagen (b) und (c) können wir nicht verzichten, wie bereits im Beweis ersichtlich wird. So muss ein unendlicher Durchschnitt von offenen Mengen durchaus nicht mehr offen sein. Für gilt zum Beispiel

.

Analog ist eine unendliche Vereinigung abgeschlossener Mengen im allgemeinen nicht mehr abgeschlossen, wie das folgende Beispiel für zeigt:

.

Definition 11[Bearbeiten]

Sei eine beliebige Menge und deren Potenzmenge. Ein System von Teilmengen heißt Topologie auf , wenn es folgende Bedingungen erfüllt:
(i) Es gelten und ;
(ii) Mit ist auch ;
(iii) Für eine beliebige Indexmenge ist mit für alle auch erfüllt.
Das geordnete Paar heißt topologischer Raum mit den offenen Mengen .

Satz 5[Bearbeiten]

Mit wird zu einem topologischen Raum.

Satz 6 (Cantorscher Durchschnittssatz)[Bearbeiten]

Sei eine Folge von nicht leeren, abgeschlossenen Teilmengen des . Sei weiter die Menge beschränkt und für alle erfüllt. Dann ist .

Beweis[Bearbeiten]

Zu jedem wählen wir einen Punkt und erhalten eine Folge . Diese ist beschränkt, weil beschränkt ist. Nach dem Weierstraßschen Häufungsstellensatz im gibt es eine Teilfolge und ein , so dass gilt. Nach Voraussetzung ist nun zu beliebig vorgegebenem die Inklusion für alle richtig und damit folgt für alle . Wir bestimmen einen Index , so dass und damit für alle erfüllt ist. Wegen der Konvergenz und der Abgeschlossenheit von folgt für alle . Somit ist gezeigt.

q.e.d.

Bemerkungen[Bearbeiten]

  1. Auf die Beschränktheit können wir nicht verzichten, denn wählen wir für beispielsweise , so erhalten wir .
  2. Ebenso wird obige Aussage für nicht abgeschlossene Mengen im allgemeinen falsch: Die Mengen haben den leeren Durchschnitt .

Definition 12[Bearbeiten]

Seien zwei Punkte mit der Eigenschaft
für .
Dann nennen wir die abgeschlossene Punktmenge
(10)
einen Quader im . Gilt speziell mit einem , dann sprechen wir auch von einem Würfel der Kantenlänge .

Definition 13[Bearbeiten]

Sei . Wir nennen
den Durchmesser – im Englischen 'diameter' – der Menge .

Der Durchmesser eines Quaders ist gerade die Länge seiner Diagonale

(11) .

Wir wollen nun die Methode der Quaderzerlegung kennenlernen: Wir gehen aus von einem Quader gemäß Definition 12, nämlich

mit den konstituierenden Intervallen für . Diese Intervalle halbieren wir und erhalten zwei Teilintervalle

(12) und ,

so dass

(13) und

für gilt. Dann wählen wir Indices bzw. den Multiindex und erhalten in

(14)

jeweils einen der gleich großen Teilquader von . Es gelten die Identitäten

(15) und für mit .

Außerdem berechnen wir für die Durchmesser der Teilquader

(16) .

Definition 14[Bearbeiten]

Seien eine Punktmenge und eine Indexmenge gegeben. Weiter sei einem jeden Index eine offene Menge zugeordnet, so dass die Inklusion erfüllt ist. Dann nennen wir das System ein offenes Überdeckungssystem von .

Beispiel[Bearbeiten]

Sei jedem Punkt eine offene Kugel vom Radius um den Mittelpunkt zugeordnet. Dann folgt und wir erhalten mit ein offenes Überdeckungssystem von .

Satz 7 (Überdeckungssatz von E. Heine und E. Borel)[Bearbeiten]

Sei eine beschränkte, abgeschlossene Menge. Sei weiter ein offenes Überdeckungssystem von mit der Indexmenge . Dann existiert eine endliche Indexmenge mit , so dass auch ein offenes Überdeckungssystem von ist.

Beweis[Bearbeiten]

1. Da die Menge beschränkt ist, existiert eine reelle Zahl hinreichend groß, so dass der zugehörige Würfel der Kantenlänge um den Nullpunkt die Inklusion

erfüllt.
Wir nehmen nun an, die Aussage des Satzes wäre falsch: Also ist für jede endliche Indexmenge die Aussage richtig, d. h. endlich viele Mengen des Überdeckungssystems reichen nicht zur Überdeckung von aus.

2. Zunächst setzen wir . Dann konstruieren wir eine Folge von Würfeln, so dass für alle die Bedingungen

(17) sowie

und

(18) für jede endliche Indexmenge

erfüllt sind.
Sei für ein beliebiges bereits der Würfel mit den o. a. Eigenschaften gefunden. Diesen zerlegen wir wie oben beschrieben in gleich große Teilwürfel . Dann sehen wir:

(19)

Nun muss es ein geben, so dass auch die Bedingung erfüllt: ist für jede endliche Indexmenge richtig bzw. endlich viele Mengen des Überdeckungssystems reichen zur Überdeckung von nicht aus.
Wäre dies nämlich nicht so, dann könnten wir alle Teilmengen

durch endlich viele Mengen aus dem Überdeckungssystem überdecken und somit auch die endliche Vereinigung (19) – im Widerspruch zu (18).
Wir wählen dieses und setzen

.

Mit Hilfe von (17) ermitteln wir

.

3. Mit der in Teil 2.) konstruierten Würfelfolge bilden wir die Folge abgeschlossener Mengen

.

Wegen (17) folgt für alle . Da beschränkt ist, gibt es nach dem Cantorschen Durchschnittssatz einen Punkt . Da weiter ein Überdeckungssystem von ist, gibt es einen Index mit . Die Menge ist offen, also existiert ein , so dass gilt. Mit (17) erhalten wir

.

Wir können also ein finden, so dass richtig wird. Wegen folgt mit der endlichen Menge , dass die Inklusion

gilt – im Widerspruch zu (18). Unsere Annahme ist also falsch und somit ist die Behauptung des Satzes richtig.

q.e.d.

Bemerkungen[Bearbeiten]

1. Wir können obigen Satz auch folgendermaßen formulieren:

Sei eine beschränkte, abgeschlossene Menge und sei jedem Punkt eine offene Menge mit zugeordnet. Dann gibt es endlich viele Punkte , so dass gilt.

2. Aus einer gegebenen unendlichen offenen Überdeckung einer offenen Menge können wir nicht immer eine endliche Teilüberdeckung auswählen, wie für das folgende Beispiel zeigt:
Seien die offene Menge und die offenen Intervalle

definiert. Dann ist die Überdeckung erfüllt, aber für jede endliche Teilmenge sehen wir die Aussage leicht ein.
3. Eine beschränkte, abgeschlossene Menge erfüllt nach dem Heine-Borelschen Satz die folgende Überdeckungseigenschaft: Ein beliebig vorgegebenes Überdeckungssystem von enthält eine endliche Teilüberdeckung. Diese Eigenschaft nennt man in der Topologie Kompaktheit.

Definition 15[Bearbeiten]

Eine beschränkte, abgeschlossene Menge im heißt kompakt.