- Sei
eine natürliche Zahl. Das kartesische Produkt

- bezeichnen wir als
-dimensionalen reellen Zahlenraum. Ein Punkt
ist ein geordnetes
-Tupel reeller Zahlen. Das ausgezeichnete Element
heißt Nullelement bzw. Nullvektor. Seien weiter
und
, so erklären wir durch
(1)

- eine Addition und durch
(2)

- eine skalare Multiplikation.
1. Für zwei Punkte
gilt:

für

.
2. Für beliebige
sind
und
. Somit wird aufgrund der Eigenschaften von
als Körper der Raum
zusammen mit den Verknüpfungen (1) und (2) zu einem
-dimensionalen Vektorraum über
.
- Seien
zwei Vektoren, so erklären wir deren Skalarprodukt (auch inneres Produkt genannt) durch
(3)

- und den Betrag bzw. die Norm (euklidische Norm oder 2-Norm) des Vektors
durch
(4)

.
Es gilt
.
(Eigenschaften der Norm ||•|| in einem Vektorraum V über einem Körper K sind Nichtnegativität, Definitheit, absolute Homogenität, Subadditivität)
- Zwei Vektoren
heißen zueinander orthogonal (symbolisch:
), falls
gilt.
- Für alle
gelten die folgenden Ungleichungen
(5)

,
(6)
(Dreiecksungleichung),
(7)

.
Seien
. Mit Hilfe der Ungleichung von Cauchy-Schwarz erhalten wir:

.
Durch Wurzelziehen erhalten wir die Behauptung.
Wir berechnen


und Radizieren liefert die Behauptung.
Es gilt einerseits

also
. Andererseits haben wir

also
. Es folgt schließlich (7)
q.e.d.
Unter einer Punktfolge im
verstehen wir – wie üblich – die Abbildung
, welche wir zu
abkürzen. Eine Teilfolge dieser Punktfolge

wird gegeben durch die aufsteigende Auswahl der Indices

.
Wir sprechen von einer beschränkten Punktfolge, wenn es eine Schranke
so gibt, dass
für alle
erfüllt ist.
- Eine Punktfolge
heißt konvergent genau dann, wenn es ein
gibt, so dass
(8)

- gilt. Der Punkt
heißt Grenzpunkt der Folge und ist eindeutig bestimmt. Wir schreiben
oder
.
- Sei
mit
, eine Punktfolge und
ein Punkt. Dann gilt
genau dann, wenn
für
richtig ist.
„
“:
Gilt
, so folgt wegen

für

und alle

die Relation
für
.
„
“:
Gilt
für
, so haben wir

.
Wegen der Ungleichung


für alle

folgt schließlich
.
q.e.d.
- Eine Punktfolge
heißt Cauchy-Folge (oder auch in sich konvergente Folge) genau dann, wenn die folgende Aussage richtig ist: Zu jedem
gibt es eine natürliche Zahl
, so dass
für alle
erfüllt ist.
Es ist
eine Cauchy-Folge genau dann, wenn
eine Cauchy-Folge ist für
.
Satz 2 (Cauchysches Konvergenzkriterium im
)
[Bearbeiten]
- Eine Punktfolge ist genau dann konvergent, wenn sie eine Cauchy-Folge ist.
Mit den Hilfssätzen 2 und 3 können wir das Cauchysche Konvergenzkriterium in
(Satz 3 aus §3) auf den
übertragen:

ist Cauchy-Folge

ist Cauchy-Folge für


ist konvergent in

für


ist konvergent in

Satz 3 (Weierstraßscher Häufungsstellensatz im
)
[Bearbeiten]
- Sei
mit
,
, eine beschränkte Folge, d. h. es gibt eine reelle Zahl
, so dass
für alle
richtig ist. Dann gibt es eine Teilfolge
und ein
, so dass
gilt.
Für
haben wir den Weierstraßschen Häufungsstellensatz in
(Satz 4 aus §3) bereits gezeigt.
Sei nun
beliebig und

gesetzt, so erhalten wir

.
Dabei ist
eine Punktfolge im
. Wir haben dann die Abschätzung

und somit

sowie

für alle

.
Es sind also
und
beschränkte Punktfolgen. Gelte nun die Aussage von Satz 3 bereits für
. Dann können wir eine Teilfolge
und ein
so finden, dass
bzw.

für

richtig ist. Wegen
für alle
haben wir
für alle
und nach dem Weierstraßschen Häufungsstellensatz in
finden wir wiederum eine Teilfolge

und ein
, so dass

erfüllt ist. Wegen

für

folgt

für

.
Es gilt also

und wir haben die Aussage für
bewiesen.
q.e.d.
- Seien
und
beliebig gewählt, so wird durch
(9)

- die offene Kugel (Offene Menge) im
vom Radius
um den Mittelpunkt
definiert. Wählen wir den Radius
(im allgemeinen hinreichend klein), so sprechen wir auch kurz von der
-Umgebung des Punktes
.
Wegen der englischen Bezeichnung Ball für eine Kugel verwendet man oft auch die Abkürzung
. Wenn keine Verwechslungen zu befürchten sind, lässt man ggf. bei den Kugeln den Mittelpunkt 0 und den Radius
als normal weg, also ergibt sich
sowie
für die offene Einheitskugel um den Nullpunkt. Die Dimension
des umgebenden Raumes ist aus dem Zusammenhang ersichtlich.
- Sei
. Dann nennen wir die Menge

- das Komplement der Menge
.
- Sei
eine Punktmenge.
- (a) Ein Punkt
heißt Häufungspunkt von
, wenn es zu jedem
einen Punkt
gibt, der auch
erfüllt.
- (b) Ein Punkt
heißt Randpunkt von
, wenn es zu jedem
Punkte
gibt, so dass
und
richtig sind.
- (c) Ein Punkt
heißt isolierter Punkt von
, wenn
kein Häufungspunkt von
ist.
- (d) Ein Punkt
heißt innerer Punkt von
, wenn es ein
mit der Eigenschaft
gibt.
- (e) Eine Menge
heißt offen, falls jeder ihrer Punkte ein innerer Punkt ist.
- (f) Eine Menge
heißt abgeschlossen, wenn für jeden Häufungspunkt
von
gilt, das
ist.
- (g) Eine Menge
heißt beschränkt, falls eine reelle Zahl
existiert, so dass
für alle
richtig ist.
- Sei die Menge
gegeben.
- (h) Die Menge

- nennen wir den offenen Kern oder auch das Innere der Menge
.
- (i) Die Menge

- heißt abgeschlossene Hülle bzw. Abschluss von
.
- (j) Die Menge

- nennen wir den topologischen Rand von
.
- Sei
. Ein Punkt
ist genau dann Häufungspunkt von
, wenn es eine Folge
gibt mit
.
„
“:
Sei
Häufungspunkt von
. Dann gibt es für jedes
einen Punkt
mit
. Wir erhalten also eine Folge
mit
für alle
und damit
.
„
“:
Sei
eine Folge mit
, so existiert zu jedem
ein
, so dass
. Wir finden also einen Punkt
mit
. Somit ist
ein Häufungspunkt von
.
- Eine Menge
ist genau dann abgeschlossen, wenn für jede konvergente Folge
die Aussage
richtig ist.
- Sei die Menge
gegeben. Dann gilt:
- (a)
ist abgeschlossen
ist offen.
- (b)
ist offen
ist abgeschlossen.
Es genügt jeweils nur die Richtung „
“ zu zeigen, denn wegen
folgt auch „
“.
(a) Sei
abgeschlossen. Wäre nun
nicht offen, dann gäbe es einen Punkt
mit der Eigenschaft, dass für jedes
gilt:
. Also gibt es ein
mit
bzw.
. Damit ist
Häufungspunkt von
. Da
abgeschlossen ist, muss
sein, im Widerspruch zu
.
(b) Sei
offen. Wir betrachten eine beliebige konvergente Punktfolge

mit

.
Es muss dann
sein, denn wäre
, dann gäbe es ein
mit
und damit
für alle
, im Widerspruch zu
. Folglich ist
abgeschlossen.
q.e.d.
Satz 4 (Vereinigung und durchschnitt von Teilmengen des
)
[Bearbeiten]
- (a) Die Vereinigung beliebig vieler offener Mengen ist offen.
- (b) Der Durchschnitt endlich vieler offener Mengen ist offen.
- (c) Die Vereinigung endlich vieler abgeschlossener Mengen ist abgeschlossen.
- (d) Der Durchschnitt beliebig vieler abgeschlossener Mengen ist abgeschlossen.
(a) Es seien
eine beliebige Indexmenge und
offen für alle
. Sei weiter
. Dann gibt es einen Index
mit
. Da
offen ist, gilt
für ein
und damit
. Also ist
offen.
(b) Seien
eine endliche Indexmenge und
offen für alle
. Sei weiter
, so haben wir
für alle
. Ferner gibt es zu jedem
ein
, so dass
gilt. Mit

erhalten wir
für alle
und damit
. Es ist also
offen.
(c) Seien
und
abgeschlossen für alle
. Wir betrachten eine konvergente Folge
mit
. Da
endlich ist, gibt es ein
und eine Teilfolge
mit
für alle
. Wegen
gilt auch
. Nun ist
abgeschlossen, also ist
, folglich gilt
und damit ist
abgeschlossen.
(d) Seien nun
eine beliebige Indexmenge und
abgeschlossen für alle
. Sei weiter
eine konvergente Folge mit
. Dann gilt
für alle
. Weil
abgeschlossen ist, gilt
für alle
, also
. Es ist
demnach abgeschlossen.
Auf die Endlichkeit der Indexmengen in den Aussagen (b) und (c) können wir nicht verzichten, wie bereits im Beweis ersichtlich wird. So muss ein unendlicher Durchschnitt von offenen Mengen durchaus nicht mehr offen sein. Für
gilt zum Beispiel
![{\displaystyle \bigcap _{i\in \mathbb {N} }\left(-{\frac {1}{i}},1+{\frac {1}{i}}\right)=[0,1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/61d48088b3df477e2e500b286530d5c99a5e9031)
.
Analog ist eine unendliche Vereinigung abgeschlossener Mengen im allgemeinen nicht mehr abgeschlossen, wie das folgende Beispiel für
zeigt:
![{\displaystyle \bigcup _{i\in \mathbb {N} }\left[-1+{\frac {1}{i}},1-{\frac {1}{i}}\right]=(-1,1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dee5313c4786194068204067e07ddbd1c4387909)
.
- Sei
eine beliebige Menge und
deren Potenzmenge. Ein System von Teilmengen
heißt Topologie auf
, wenn es folgende Bedingungen erfüllt:
- (i) Es gelten
und
;
- (ii) Mit
ist auch
;
- (iii) Für eine beliebige Indexmenge
ist mit
für alle
auch
erfüllt.
- Das geordnete Paar
heißt topologischer Raum mit den offenen Mengen
.
- Mit
wird
zu einem topologischen Raum.
Satz 6 (Cantorscher Durchschnittssatz)
[Bearbeiten]
- Sei
eine Folge von nicht leeren, abgeschlossenen Teilmengen des
. Sei weiter die Menge
beschränkt und
für alle
erfüllt. Dann ist
.
Zu jedem
wählen wir einen Punkt
und erhalten eine Folge
. Diese ist beschränkt, weil
beschränkt ist. Nach dem Weierstraßschen Häufungsstellensatz im
gibt es eine Teilfolge
und ein
, so dass
gilt. Nach Voraussetzung ist nun zu beliebig vorgegebenem
die Inklusion
für alle
richtig und damit folgt
für alle
. Wir bestimmen einen Index
, so dass
und damit
für alle
erfüllt ist. Wegen der Konvergenz
und der Abgeschlossenheit von
folgt
für alle
. Somit ist
gezeigt.
q.e.d.
- Auf die Beschränktheit können wir nicht verzichten, denn wählen wir für
beispielsweise
, so erhalten wir
.
- Ebenso wird obige Aussage für nicht abgeschlossene Mengen im allgemeinen falsch: Die Mengen
haben den leeren Durchschnitt
.
- Seien
zwei Punkte mit der Eigenschaft
für
.
- Dann nennen wir die abgeschlossene Punktmenge
(10)
![{\displaystyle Q:=\{x\in \mathbb {R} ^{n}:a_{i}\leq x_{i}\leq b_{i},i=1,\ldots ,n\}=[a_{1},b_{1}]\times \ldots \times [a_{n},b_{n}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7b53672a8f4e3fe787eb1fbad254f23e97e41a5)
- einen Quader im
. Gilt speziell
mit einem
, dann sprechen wir auch von einem Würfel der Kantenlänge
.
- Sei
. Wir nennen
![{\displaystyle diam(M)=\delta (M):=\sup\{|x-y|:x,y\in M\}\in [0,+\infty ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/490347ae02f414c5d798b1c643156a60a1d0465b)
- den Durchmesser – im Englischen 'diameter' – der Menge
.
Der Durchmesser eines Quaders ist gerade die Länge seiner Diagonale
(11)

.
Wir wollen nun die Methode der Quaderzerlegung kennenlernen: Wir gehen aus von einem Quader gemäß Definition 12, nämlich

mit den konstituierenden Intervallen
für
. Diese Intervalle halbieren wir und erhalten zwei Teilintervalle
(12)
![{\displaystyle I_{i}^{(1)}:=\left[a_{i},{\frac {1}{2}}(a_{i}+b_{i})\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ff9cf21c5fa23f63cd9ea8f21e5d3a22d26a582)
und
![{\displaystyle I_{i}^{(2)}:=\left[{\frac {1}{2}}(a_{i}+b_{i}),b_{i}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d26159414f684964b04790348c3ed4bf1371eb7)
,
so dass
(13)

und

für
gilt. Dann wählen wir
Indices
bzw. den Multiindex
und erhalten in
(14)

jeweils einen der
gleich großen Teilquader von
. Es gelten die Identitäten
(15)

und

für

mit

.
Außerdem berechnen wir für
die Durchmesser der Teilquader
(16)
![{\displaystyle \delta (Q^{p})={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}\left[{\frac {1}{2}}(b_{i}-a_{i})\right]^{2}}}={\frac {1}{2}}{\sqrt {\sum _{i=1}^{n}(b_{i}-a_{i})^{2}}}={\frac {1}{2}}\delta (Q)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/12e864c16a7d0656f5d3c7b57943bd2655f8b2b1)
.
- Seien eine Punktmenge
und eine Indexmenge
gegeben. Weiter sei einem jeden Index
eine offene Menge
zugeordnet, so dass die Inklusion
erfüllt ist. Dann nennen wir das System
ein offenes Überdeckungssystem von
.
Sei jedem Punkt
eine offene Kugel
vom Radius
um den Mittelpunkt
zugeordnet. Dann folgt
und wir erhalten mit
ein offenes Überdeckungssystem von
.
Satz 7 (Überdeckungssatz von E. Heine und E. Borel)
[Bearbeiten]
- Sei
eine beschränkte, abgeschlossene Menge. Sei weiter
ein offenes Überdeckungssystem von
mit der Indexmenge
. Dann existiert eine endliche Indexmenge
mit
, so dass auch
ein offenes Überdeckungssystem von
ist.
1. Da die Menge
beschränkt ist, existiert eine reelle Zahl
hinreichend groß, so dass der zugehörige Würfel
der Kantenlänge
um den Nullpunkt die Inklusion
![{\displaystyle M\subset [-c,+c]\times \ldots \times [-c,+c]=:W\subset \mathbb {R} ^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a65bac53f551ea780f103eb3cf2676799136f06)
erfüllt.
Wir nehmen nun an, die Aussage des Satzes wäre falsch: Also ist für jede endliche Indexmenge
die Aussage
richtig, d. h. endlich viele Mengen des Überdeckungssystems reichen nicht zur Überdeckung von
aus.
2. Zunächst setzen wir
. Dann konstruieren wir eine Folge
von Würfeln, so dass für alle
die Bedingungen
(17)

sowie

und
(18)

für jede endliche Indexmenge

erfüllt sind.
Sei für ein beliebiges
bereits der Würfel
mit den o. a. Eigenschaften gefunden. Diesen zerlegen wir wie oben beschrieben in
gleich große Teilwürfel
. Dann sehen wir:
(19)

Nun muss es ein
geben, so dass auch
die Bedingung erfüllt:
ist für jede endliche Indexmenge richtig bzw. endlich viele Mengen des Überdeckungssystems reichen zur Überdeckung von
nicht aus.
Wäre dies nämlich nicht so, dann könnten wir alle Teilmengen

durch endlich viele Mengen aus dem Überdeckungssystem überdecken und somit auch die endliche Vereinigung (19) – im Widerspruch zu (18).
Wir wählen dieses
und setzen

.
Mit Hilfe von (17) ermitteln wir

.
3. Mit der in Teil 2.) konstruierten Würfelfolge
bilden wir die Folge
abgeschlossener Mengen

.
Wegen (17) folgt
für alle
. Da
beschränkt ist, gibt es nach dem Cantorschen Durchschnittssatz einen Punkt
. Da weiter
ein Überdeckungssystem von
ist, gibt es einen Index
mit
. Die Menge
ist offen, also existiert ein
, so dass
gilt. Mit (17) erhalten wir

.
Wir können also ein
finden, so dass
richtig wird. Wegen
folgt mit der endlichen Menge
, dass die Inklusion

gilt – im Widerspruch zu (18). Unsere Annahme ist also falsch und somit ist die Behauptung des Satzes richtig.
q.e.d.
1. Wir können obigen Satz auch folgendermaßen formulieren:
- Sei
eine beschränkte, abgeschlossene Menge und sei jedem Punkt
eine offene Menge
mit
zugeordnet. Dann gibt es endlich viele Punkte
, so dass
gilt.
2. Aus einer gegebenen unendlichen offenen Überdeckung einer offenen Menge können wir nicht immer eine endliche Teilüberdeckung auswählen, wie für
das folgende Beispiel zeigt:
Seien die offene Menge
und die offenen Intervalle

definiert. Dann ist die Überdeckung
erfüllt, aber für jede endliche Teilmenge
sehen wir die Aussage
leicht ein.
3. Eine beschränkte, abgeschlossene Menge
erfüllt nach dem Heine-Borelschen Satz die folgende Überdeckungseigenschaft: Ein beliebig vorgegebenes Überdeckungssystem von
enthält eine endliche Teilüberdeckung. Diese Eigenschaft nennt man in der Topologie Kompaktheit.
- Eine beschränkte, abgeschlossene Menge
im
heißt kompakt.