Kurs:Analysis I/Kapitel III: Die elementaren Funktionen/§6 Die n-ten Wurzeln und die komplexe Logarithmusfunktion

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Wir setzen nun unsere Überlegungen aus §5 fort und übernehmen auch die dort eingeführten Bezeichnungen. Wir betrachten zu festem die -te Potenzfunktion
(1) .

Wir verwenden die Polarkoordinaten

(2) mit und

und erhalten

(3) mit und .

Offenbar ist für diese Funktion nicht injektiv und verbietet eine Umkehrfunktion! Darum liften wir sie auf die -fache Überlagerungsfläche zur Funktion

(4) vermöge , falls und mit richtig ist.

Nun ist die funktion bijektiv und stetig. Sie besitzt eine stetige Umkehrfunktion , denn für jedes ist die Funktion auf dem kompakten Kreisring

stetig umkehrbar (siehe Satz 6 in §1 von Kapitel II). Identifizieren wir nun noch mit , so erhalten wir

Definition 1[Bearbeiten]

Die oben konstruierte Funktion als Umkehrfunktion zu nennen wir die -te Wurzelfunktion .

Definition 2[Bearbeiten]

Die geliftete Exponentialfunktion wird gegeben durch die Setzung
mit Hilfe der -Funktion.

Bemerkungen[Bearbeiten]

1. Diese geliftete Exponentialabbildung ist nach Konstruktion bijektiv und stetig.

2. Für zwei komplexe Zahlen berechnen wir mittels Definition 2 aus §5 das Produkt in der universellen Überlagerungsfläche

(5)

Hierbei verwenden wir die Zahl , für welche die Bedingung garantiert ist.

3. Ein beliebiges kompaktes Rechteck wird durch eineindeutig abgebildet auf den folgenden abgeschlossenen, beschränkten Sektor:

.

Definition 3[Bearbeiten]

Die Umkehrfunktion zur gelifteten Exponentialfunktion nennen wir die universelle Logarithmusfunktion
vermöge
Sie erfüllt die beiden Gleichungen
für alle
und
für alle .

Satz 1[Bearbeiten]

Die geliftete Exponentialfunktion genügt der Funktionalgleichung
für alle .
Die universelle Logarithmusfunktion erfüllt die Funktionalgleichung
für alle Punkte .

Beweis[Bearbeiten]

Die Funktionalgleichung der gelifteten Exponentialfunktion haben wir bereits in Formel () gezeigt. Da die universelle Logarithmusfunktion die Umkehrfunktion der gelifteten Exponentialfunktion it, leitet man wie im Beweis – Teil 3. – zu Satz 8 in §1 (für den natürlichen Logarithmus) die zweite Funktionalgleichung aus der ersten her.

q.e.d.

Mit Hilfe von Definition 6 in §5 zeigen wir nun die Holomorphie der Funktionen und . Zunächst beachten wir die Identität

(9) für alle .

Diese impliziert die Holomorphie der gelifteten Exponentialfunktion.

Satz 2[Bearbeiten]

Für die universelle Logarithmusfunktion betrachten wir in jedem Punkt die Liftung
auf die maximale Kreisscheibe in der Überlagerungsfläche. Dann betrachten wir lokal die Logarithmusfunktion
(10) .
Diese ist komplex differenzierbar in und es gilt für ihre Ableitung
(11)
Also ist eine holomorphe Funktion auf der universellen Überlagerungsfläche.

Beweis[Bearbeiten]

Da nun lokal die Logarithmusfunktion als Umkehrfunktion der holomorphen Exponentialfunktion erscheint, können wir den Beweis – Teil 1. – von Satz 8 aus §1 anwenden. Dabei benötigen wir Satz 14 aus §3 in Kapitel II über die holomorphe Umkehrfunktion.

q.e.d.

Satz 3 (Logarithmusreihe)[Bearbeiten]

Für alle Punkte gilt die Darstellung
(12)
durch die konvergente Potenzreihe mit und .

Beweis[Bearbeiten]

Da und richtig ist, entwickeln wir die nachfolgende Funktion in eine geometrische Reihe um den Punkt :

(13)
.

Dann berechnen wir mittels Satz 9 aus §5 in Kapitel II die komplexen Stammfunktionen durch gliedweise Integration der Potenzreihe

(14)

mit der Integrationskonstante . Schließlich liefert die komplexe Integration der Identität (11) die gewünschte Darstellung

(15) .

Hierbei verwenden wir den Satz 6 aus §5 in Kapitel II.

q.e.d.

Satz 4[Bearbeiten]

Für die universelle Logarithmusfunktion gilt die Darstellung
(16) .

Beweis[Bearbeiten]

Wir verwenden die universellen Polarkoordinaten des Punktes . Dann beachten wir

und

und berechnen

(17)
.

Hierbei haben wir gewählt, so dass erfüllt ist. Die obige Identität (17) liefert die Behauptung.

q.e.d.

Bemerkungen[Bearbeiten]

Projektion der universellen Logarithmusfunktion in die punktierte komplexe Ebene:

Man wählt für ein und setzt mit den Startwert für den Logarithmus wie folgt fest:

(18)

Dann verwendet man einen stetigen Weg in der Überlagerungsfläche mit dem Anfangswert und dem Endpunkt . Wir setzen dann die Logarithmusfunktion in der punktierten komplexen Ebene längs des projizierten Weges

(19)

fort, indem wir

(20)

erklären. Auf diese Weise werden einer komplexen Zahl verschiedene Werte des Logarithmus zugeordnet – wir erhalten also eine mehrdeutige Funktion auf .

Satz 5[Bearbeiten]

Für die längs des Weges in der universellen Überlagerungsfläche wie oben fortgesetzte mehrdeutige Logarithmusfunktion gilt die Identität:
mit .

Nun identifizieren wir das Innere des 0-ten Blattes mit der geschlitzten komplexen Ebene

.

Dort können wir eindeutig die Logarithmusfunktion erklären:

Definition 4[Bearbeiten]

Wir definieren die komplexe Logarithmusfunktion
vermöge .

Satz 6[Bearbeiten]

Für alle komplexen Zahlen mit in der rechten Halbebene gilt die folgende Identität:
(24) .

Beweis[Bearbeiten]

Wir spezialisieren den obigen Satz 4 auf das Blatt . Wegen

ist richtig

und es bleibt zu zeigen. Mit Hilfe von folgt

und Satz 1 aus §5 liefert die Identität

(25)

bzw.

(26) und .

Wir erhalten

(27)

und somit

.

q.e.d.

Satz 7[Bearbeiten]

Für alle komplexen Zahlen mit in der oberen Halbebene erhalten wir die reellen Stammfunktionen
(28)
mit der komplexen Integrationskonstante .

Beweis[Bearbeiten]

Da für in der rechten Halbebene liegt, berechnen wir

(29)

mit einer Integrationskonstante .

q.e.d.