Kurs:Analysis I/Kapitel III: Die elementaren Funktionen/§6 Die n-ten Wurzeln und die komplexe Logarithmusfunktion

Wir setzen nun unsere Überlegungen aus §5 fort und übernehmen auch die dort eingeführten Bezeichnungen. Wir betrachten zu festem $n\in \mathbb {N}$ die ${\begin{matrix}n\end{matrix}}$-te Potenzfunktion

(1) $F(z):=z^{n},\quad z=x+iy\in \mathbb {C} \setminus \{0\}$.

Wir verwenden die Polarkoordinaten

(2) $z=r\cdot \exp(i\varphi )$ mit $r\in (0,+\infty )$ und $\varphi \in \left(-{\frac {\pi }{n}},-{\frac {\pi }{n}}+2\pi \right]$

und erhalten

(3) $F(z)=r^{n}\cdot \exp(in\varphi )$ mit $r\in (0,+\infty )$ und $\varphi \in \left(-{\frac {\pi }{n}},-{\frac {\pi }{n}}+2\pi \right]$.

Offenbar ist für $n>1$ diese Funktion $F:\mathbb {C} \setminus \{0\}\to \mathbb {C} \setminus \{0\}$ nicht injektiv und verbietet eine Umkehrfunktion! Darum liften wir sie auf die $n$-fache Überlagerungsfläche zur Funktion

(4) $\mathbb {F} :\mathbb {C} \setminus \{0\}\to \mathbb {U} [n]$ vermöge $\mathbb {F} {\Bigl (}r\cdot \exp(i\varphi ){\Bigr )}:={\Bigl (}r^{n}\cdot \exp(in\varphi ),k{\Bigr )}$, falls $r\in (0,+\infty )$ und $\varphi \in \left(-{\frac {\pi }{n}}+k{\frac {2\pi }{n}},-{\frac {\pi }{n}}+(k+1){\frac {2\pi }{n}}\right]$ mit $k\in \{0,1,2,\ldots ,n-1\}$ richtig ist.

Nun ist die funktion $\mathbb {F} :\mathbb {C} \setminus \{0\}\to \mathbb {U} [n]$ bijektiv und stetig. Sie besitzt eine stetige Umkehrfunktion $\mathbb {G} :\mathbb {U} [n]\to \mathbb {C} \setminus \{0\}$, denn für jedes $\varepsilon >0$ ist die Funktion $\mathbb {F} :R_{\varepsilon }\to \mathbb {U} [n]$ auf dem kompakten Kreisring

$R_{\varepsilon }:=\{z\in \mathbb {C} :\varepsilon <|z|<\varepsilon ^{-1}\}$

stetig umkehrbar (siehe Satz 6 in §1 von Kapitel II). Identifizieren wir nun noch $\mathbb {C} \setminus \{0\}$ mit $\mathbb {U} [1]$, so erhalten wir

Definition 1

Die oben konstruierte Funktion $\mathbb {G} :\mathbb {U} [n]\to \mathbb {U} [1]$ als Umkehrfunktion zu $\mathbb {F} :\mathbb {U} [1]\to \mathbb {U} [n]$ nennen wir die ${\begin{matrix}n\end{matrix}}$-te Wurzelfunktion $z\mapsto {\sqrt[{n}]{z}}$.

Definition 2

Die geliftete Exponentialfunktion $Exp:\mathbb {C} \to \mathbb {U}$ wird gegeben durch die Setzung

$\mathbb {C} \ni z=x+iy\mapsto {\Bigl (}\exp z,[[y]]{\Bigr )}\in \mathbb {U}$

mit Hilfe der $\mathbb {Z}$-Funktion.

Bemerkungen

1. Diese geliftete Exponentialabbildung $Exp:\mathbb {C} \to \mathbb {U}$ ist nach Konstruktion bijektiv und stetig.

2. Für zwei komplexe Zahlen $z_{j}=x_{j}+iy_{j}\in \mathbb {C} -j=1,2-{}$ berechnen wir mittels Definition 2 aus §5 das Produkt in der universellen Überlagerungsfläche

(5) $Exp\left(z_{1})*Exp(z_{2}\right)={\Bigl (}\exp(x_{1}+iy_{1}),[[y_{1}]]{\Bigr )}*{\Bigl (}\exp(x_{2}+iy_{2}),[[y_{2}]]{\Bigr )}$

$=\mathbf {w} {\Bigl (}e^{x_{1}},y_{1}{\Bigr )}*\mathbf {w} {\Bigl (}e^{x_{2}},y_{2}{\Bigr )}=\mathbf {w} {\Bigl (}e^{x_{1}}\cdot e^{x_{2}},y_{1}+y_{2}{\Bigr )}=\mathbf {w} {\Bigl (}e^{x_{1}+x_{2}},y_{1}+y_{2}{\Bigr )}$

$={\Bigl (}e^{x_{1}+x_{2}}\exp i(y_{1}+y_{2}-2\pi k),[[y_{1}+y_{2}]]{\Bigr )}={\Bigl (}e^{x_{1}+x_{2}}\exp i(y_{1}+y_{2}),[[y_{1}+y_{2}]]{\Bigr )}$

$=Exp{\Bigl (}(x_{1}+x_{2})+i(y_{1}+y_{2}){\Bigr )}=Exp(z_{1}+z_{2})$

Hierbei verwenden wir die Zahl $k:=[[y_{1}+y_{2}]]\in \mathbb {Z}$, für welche die Bedingung $y_{1}+y_{2}-2\pi k\in (-\pi ,+\pi ]$ garantiert ist.

3. Ein beliebiges kompaktes Rechteck $[x_{-},x_{+}]\times [y_{-},y_{+}]\subset \mathbb {C}$ wird durch $Exp$ eineindeutig abgebildet auf den folgenden abgeschlossenen, beschränkten Sektor:

$Exp{\Bigl (}[x_{-},x_{+}]\times [y_{-},y_{+}]{\Bigr )}$

$={\Bigl \{}Exp(x+iy)\in \mathbb {U} :x_{-}\leq x\leq x_{+},y_{-}\leq y\leq y_{+}{\Bigr \}}$

$={\Bigl \{}{\Bigl (}e^{x}\cdot (\cos y+i\sin y),[[y]]{\Bigr )}:x_{-}\leq x\leq x_{+},y_{-}\leq y\leq y_{+}{\Bigr \}}$

$=\mathbb {P} {\Bigl (}\exp(x_{-}),\exp(x_{+});y_{-},y_{+}{\Bigr )}$.

Definition 3

Die Umkehrfunktion zur gelifteten Exponentialfunktion $Exp:\mathbb {C} \to \mathbb {U}$ nennen wir die universelle Logarithmusfunktion

$Log:\mathbb {U} \to \mathbb {C}$ vermöge $Log(\mathbf {w} )=z\Longleftrightarrow \mathbf {w} =Exp(z)$

Sie erfüllt die beiden Gleichungen

$Exp\circ Log(\mathbf {w} )=\mathbf {w}$ für alle $\mathbf {w} \in \mathbb {U}$

und

$Log\circ Exp(z)=z$ für alle $z\in \mathbb {C}$.

Satz 1

Die geliftete Exponentialfunktion genügt der Funktionalgleichung

$Exp\left(z_{1}+z_{2}\right)=Exp(z_{1})*Exp(z_{2})$ für alle $z_{1},z_{2}\in \mathbb {C}$.

Die universelle Logarithmusfunktion erfüllt die Funktionalgleichung

$Log(\mathbf {w} _{1}*\mathbf {w} _{2})=Log(\mathbf {w} _{1})+Log(\mathbf {w} _{2})$ für alle Punkte $\mathbf {w} _{1},\mathbf {w} _{2}\in \mathbb {U}$.

Beweis

Die Funktionalgleichung der gelifteten Exponentialfunktion haben wir bereits in Formel () gezeigt. Da die universelle Logarithmusfunktion die Umkehrfunktion der gelifteten Exponentialfunktion it, leitet man wie im Beweis – Teil 3. – zu Satz 8 in §1 (für den natürlichen Logarithmus) die zweite Funktionalgleichung aus der ersten her.

q.e.d.

Mit Hilfe von Definition 6 in §5 zeigen wir nun die Holomorphie der Funktionen $Exp$ und $Log$. Zunächst beachten wir die Identität

(9) $\sigma \circ Exp(z)=\exp z$ für alle $z\in \mathbb {C}$.

Diese impliziert die Holomorphie der gelifteten Exponentialfunktion.

Satz 2

Für die universelle Logarithmusfunktion betrachten wir in jedem Punkt $\mathbf {w} _{0}\in \mathbb {U}$ die Liftung

$\tau _{\mathbf {w} _{0}}:K(w_{0})\to \mathbb {K} (\mathbf {w} _{0})$

auf die maximale Kreisscheibe in der Überlagerungsfläche. Dann betrachten wir lokal die Logarithmusfunktion

(10) $\log(w)=\log _{\mathbf {w} _{0}}(w):=Log\circ \tau _{\mathbf {w} _{0}}(w),\quad w\in K(w_{0})$.

Diese ist komplex differenzierbar in $K\left(w_{0}\right)$ und es gilt für ihre Ableitung

(11) ${\frac {d}{dw}}\log(w)={\frac {1}{w}},\quad w\in K(w_{0})$

Also ist $Log:\mathbb {U} \to \mathbb {C}$ eine holomorphe Funktion auf der universellen Überlagerungsfläche.

Beweis

Da nun lokal die Logarithmusfunktion als Umkehrfunktion der holomorphen Exponentialfunktion erscheint, können wir den Beweis – Teil 1. – von Satz 8 aus §1 anwenden. Dabei benötigen wir Satz 14 aus §3 in Kapitel II über die holomorphe Umkehrfunktion.

q.e.d.

Satz 3 (Logarithmusreihe)

Für alle Punkte $\mathbf {w} \in \mathbb {K} (\mathbf {w} _{0})$ gilt die Darstellung

(12) $Log(\mathbf {w} )=Log(\mathbf {w} _{0})+\sum _{l=0}^{\infty }(-1)^{l}\cdot w_{0}^{-l-1}\cdot {\frac {1}{l+1}}\cdot (w-w_{0})^{l+1}$

durch die konvergente Potenzreihe mit $w_{0}=\sigma (\mathbf {w} _{0})$ und $w=\sigma (\mathbf {w} )$.

Beweis

Da $w_{0}\neq 0$ und $|w-w_{0}|<|w_{0}|$ richtig ist, entwickeln wir die nachfolgende Funktion in eine geometrische Reihe um den Punkt $w_{0}$:

(13) ${\frac {1}{w}}={\frac {1}{w_{0}+(w-w_{0})}}={\frac {\frac {1}{w}}{1-\left(-{\frac {w-w_{0}}{w_{0}}}\right)}}$

$={\frac {1}{w_{0}}}\cdot \sum _{l=0}^{\infty }(-1)^{l}\cdot \left({\frac {w-w_{0}}{w_{0}}}\right)^{l}=\sum _{l=0}^{\infty }(-1)^{l}\cdot w_{0}^{-l-1}\cdot (w-w_{0})^{l}$.

Dann berechnen wir mittels Satz 9 aus §5 in Kapitel II die komplexen Stammfunktionen durch gliedweise Integration der Potenzreihe

(14) $\int {\frac {1}{w}}\,dw=\sum _{l=0}^{\infty }(-1)^{l}\cdot w_{0}^{-l-1}\cdot {\frac {1}{l+1}}\cdot (w-w_{0})^{l+1}+c$

mit der Integrationskonstante $c\in \mathbb {C}$. Schließlich liefert die komplexe Integration der Identität (11) die gewünschte Darstellung

(15) $Log(\mathbf {w} )-Log(\mathbf {w} _{0})=\sum _{l=0}^{\infty }(-1)^{l}\cdot w_{0}^{-l-1}\cdot {\frac {1}{l+1}}\cdot (w-w_{0})^{l+1}+c$.

Hierbei verwenden wir den Satz 6 aus §5 in Kapitel II.

q.e.d.

Satz 4

Für die universelle Logarithmusfunktion gilt die Darstellung

(16) $Log(\mathbf {w} )=\ln |\sigma (\mathbf {w} )|+iArg\,\mathbf {w} ,\quad \mathbf {w} \in \mathbb {U}$.

Beweis

Wir verwenden die universellen Polarkoordinaten $R=R(\mathbf {w} ),\Phi =\Phi (\mathbf {w} )$ des Punktes $\mathbf {w} =\mathbf {w} (R,\Phi )\in \mathbb {U}$. Dann beachten wir

$R(\mathbf {w} )=|\sigma (\mathbf {w} )|$ und $\Phi (\mathbf {w} )=Arg\,\mathbf {w}$

und berechnen

(17) $Exp{\Bigl (}\ln |\sigma (\mathbf {w} )|+iArg\,\mathbf {w} {\Bigr )}=Exp{\Bigl (}\ln R(\mathbf {w} )+i\Phi (\mathbf {w} ){\Bigr )}$

$={\Bigl (}\exp {\bigl (}\ln R(\mathbf {w} )+i\Phi (\mathbf {w} ){\bigr )},[[\Phi (\mathbf {w} )]]{\Bigr )}={\Bigl (}R(\mathbf {w} )\cdot \exp {\bigl (}i\Phi (\mathbf {w} ){\bigr )},[[\Phi (\mathbf {w} )]]{\Bigr )}$

$={\Bigl (}R(\mathbf {w} )\cdot \exp {\bigl (}i\Phi (\mathbf {w} )-2\pi k{\bigr )},[[\Phi (\mathbf {w} )]]{\Bigr )}=\mathbf {w} (R,\Phi )$.

Hierbei haben wir $k:=[[\Phi (\mathbf {w} )]]\in \mathbb {Z}$ gewählt, so dass $\Phi (\mathbf {w} )-2\pi k\in (-\pi ,+\pi ]$ erfüllt ist. Die obige Identität (17) liefert die Behauptung.

q.e.d.

Bemerkungen

Projektion der universellen Logarithmusfunktion in die punktierte komplexe Ebene:

Man wählt für $w_{0}\in \mathbb {C} \setminus \{0\}$ ein $k_{0}\in \mathbb {Z}$ und setzt mit $\mathbf {w} _{0}=(w_{0},k_{0})\in \mathbb {U}$ den Startwert für den Logarithmus wie folgt fest:

(18) $\log w_{0}:=Log\,\mathbf {w} _{0}$

Dann verwendet man einen stetigen Weg $\gamma =\gamma (t):[0,1]\to \mathbb {U}$ in der Überlagerungsfläche mit dem Anfangswert $\gamma (0)=\mathbf {w} _{0}$ und dem Endpunkt $\gamma (1)=\mathbf {w} =(w,k)\in \mathbb {U}$. Wir setzen dann die Logarithmusfunktion in der punktierten komplexen Ebene längs des projizierten Weges

(19) $\zeta (t):=\sigma \circ \gamma (t):[0,1]\to \mathbb {C} \setminus \{0\}$

fort, indem wir

(20) $\log w:=Log\,\mathbf {w}$

erklären. Auf diese Weise werden einer komplexen Zahl $\mathbf {w}$ verschiedene Werte des Logarithmus zugeordnet – wir erhalten also eine mehrdeutige Funktion auf $\mathbb {C} \setminus \{0\}$.

Satz 5

Für die längs des Weges $\gamma \left(t\right)$ in der universellen Überlagerungsfläche wie oben fortgesetzte mehrdeutige Logarithmusfunktion $\log \left(w\right)$ gilt die Identität:

$\log(w)-\log(w_{0})=\int _{0}^{1}{\frac {1}{\zeta (t)}}\zeta '(t)\,dt$ mit $w\in \mathbb {C} \setminus \{0\}$.

Nun identifizieren wir das Innere des 0-ten Blattes $\mathbb {U} _{0}\setminus \mathbb {S} _{0}$ mit der geschlitzten komplexen Ebene

$\mathbb {C} ':=\mathbb {C} \setminus (-\infty ,0]$.

Dort können wir eindeutig die Logarithmusfunktion erklären:

Definition 4

Wir definieren die komplexe Logarithmusfunktion

$\log :\mathbb {C} '\to \mathbb {C}$ vermöge $\log w:=Log(w,0),\quad w\in \mathbb {C} '$.

Satz 6

Für alle komplexen Zahlen $w=u+iv\in \mathbb {C}$ mit $u>0$ in der rechten Halbebene gilt die folgende Identität:

(24) $\log w=\log |w|+i\cdot \arg w={\frac {1}{2}}\ln(u^{2}+v^{2})+i\cdot \arctan \left({\frac {v}{u}}\right)$.

Beweis

Wir spezialisieren den obigen Satz 4 auf das Blatt $\mathbb {U} _{0}$. Wegen

$\left|w\right|^{2}=u^{2}+v^{2}$ ist $\ln w={\frac {1}{2}}\ln(u^{2}+v^{2})$ richtig

und es bleibt $\arg(u+iv)=\arctan \left({\frac {v}{u}}\right)$ zu zeigen. Mit Hilfe von $u>0$ folgt

$\varphi :=\arg w\in \left(-{\frac {\pi }{2}},+{\frac {\pi }{2}}\right)$

und Satz 1 aus §5 liefert die Identität

(25) $u+iv=w=|w|\cdot (\cos \varphi +i\cdot \sin \varphi )=|w|\cdot \cos \varphi +i\cdot |w|\cdot \sin \varphi$

bzw.

(26) $u=|w|\cdot \cos \varphi$ und $v=|w|\cdot \sin \varphi$.

Wir erhalten

(27) ${\frac {v}{u}}={\frac {\sin \varphi }{\cos \varphi }}=\tan \varphi$

und somit

$\arctan \left({\frac {v}{u}}\right)=\varphi =\arg w$.

q.e.d.

Satz 7

Für alle komplexen Zahlen $w_{0}=u_{0}+iv_{0}\in \mathbb {C}$ mit $v_{0}>0$ in der oberen Halbebene erhalten wir die reellen Stammfunktionen

(28) $\int {\frac {1}{u-w_{0}}}\,du={\frac {1}{2}}\ln {\Bigl (}(u-u_{0})^{2}+v_{0}^{2}{\Bigr )}+i\cdot \arctan {\frac {u-u_{0}}{v_{0}}}+c,\quad u\in \mathbb {R}$

mit der komplexen Integrationskonstante $c\in \mathbb {C}$.

Beweis

Da $i\left(u-w_{0}\right)$ für $u\in \mathbb {R}$ in der rechten Halbebene liegt, berechnen wir

(29) $\int {\frac {1}{u-w_{0}}}\,du=\int {\frac {i}{i(u-w_{0})}}\,du=\log {\bigl (}i(u-w_{0}){\bigr )}+c$

$=\log {\bigl (}v_{0}+i(u-u_{0}){\bigr )}+c$

$={\frac {1}{2}}\ln {\Bigl (}(u-u_{0})^{2}+v_{0}^{2}{\Bigr )}+i\cdot \arctan {\frac {u-u_{0}}{v_{0}}}+c,\quad u\in \mathbb {R}$

mit einer Integrationskonstante $c\in \mathbb {C}$.

q.e.d.