Kurs:Analysis II/Kapitel IV: Partielle Differentiation für Funktionen mehrerer Veränderlicher/Impliziert definierte Funktionen und restringierte Extremwertaufgaben (§5)

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Beispiel 1[Bearbeiten]

Auf der offenen Menge sei die Funktion

gegeben. Wir betrachten nun die Nullstellenmenge dieser Funktion
.

Uns interessiert die Frage, ob es eine Funktion auf einem Intervall so gibt, dass folgendes gilt:

(1) für alle .

Im Falle der Existenz von erhält man durch Differentiation aus (1)

in

und somit

(2) für alle .

Die Auflösbarkeit der impliziten Gleichung in die explizite Funktion erfordert also für alle als Bedingung.

Beispiel 2[Bearbeiten]

Auf der offenen Menge

seien die Komponentenfunktionen von gegeben durch

für .

Dann stellt die Menge

eine Kurve im dar. Sie entsteht als Durchschnitt der Flächen

für

mit den Normalenvektoren , die senkrecht auf den Flächen stehen. Der Tangentialvektor an die Kurve ist orthogonal zu allen Flächennormalen. Somit hat die Tangente die Richtung des Kreuzproduktvektors im , nämlich . Wollen wir nun die Kurve in der Form

darstellen, so darf die Komponente von in -Richtung nicht verschwinden. Es muss also die Bedingung

(3)

gelten, wobei wir noch folgendes beachten

.

Beispiel 3[Bearbeiten]

Bezeichne eine -Matrix und eine -Matrix, so betrachten wir die lineare Abbildung

.

Wir beachten

(4) genau dann wenn .

Die Auflösung setzt also die folgende Bedingung voraus:

.

Allgemein wollen wir jetzt das folgende implizite Gleichungssystem

(5)

auflösen. Wir fassen dieses mit Hilfe der Setzungen

(6)

zur Gleichung

(7)

zusammen, welche zum System (5) äquivalent ist. Die Auflösung des Systems (7) bedeutet eine Abbildung so zu finden, dass gilt. Wie die obigen Beispiele zeigen, ist eine Auflösung im nichtlinearen Fall nur lokal möglich!

Satz 1 (Implizierte Funktionen)[Bearbeiten]

Voraussetzungen: Seien die natürlichen Zahlen gewählt. Auf der offenen Menge sei die Funktion
gegeben. Ferner sei ein fester Punkt mit
und .
Behauptung: Dann gibt es eine offene Umgebung von im und eine eindeutig bestimmte Abbildung mit den folgenden Eigenschaften:
  1. Es sind die Bedingungen und erfüllt.
  2. Für alle gilt die Identität .

Beweis[Bearbeiten]

1. Teil:
Wir erweitern die Abbildung zu einer Abbildung vermöge

für . Nach Voraussetzung gehört der Klasse an. Wir berechnen nun

.

Für die Funktionaldeterminante von erhält man

(8) in .

Für und gilt also

.

2. Teil:
Wir setzen nun sowie mit und . Nach dem Fundamentalsatz über die inverse Abbildung gibt es eine Umgebung des Punktes und eine Abbildung

mit der Eigenschaft

für alle .

Setzen wir nun vermöge

,

so gilt

und für alle .

Wir erklären eine – im offene – Umgebung von durch

und eine Abbildung

vermöge .

Nun folgt und

für alle .

Die Eindeutigkeit der Abbildung ist aus der Konstruktion klar.

q.e.d.

Bemerkung[Bearbeiten]

Wir differenzieren das implizite Gleichungssystem

(9)

nach den Variablen für . Dann erhalten wir

(10) für .

Wir definieren die Funktionalmatrizen

(11)

Wir erhalten nun den folgenden Ausdruck für die Funktionalmatrix der inversen Abbildung

bzw.

(12) .

Wir betrachten jetzt restringierte Extremwertaufgaben, die J. L. Lagrange in der Analytischen Mechanik ursprünglich behandelt hat.

Satz 2 (Extrema mit Nebenbedingungen)[Bearbeiten]

Voraussetzungen: Sei eine offene Menge mit ihren Punkten , wobei gewählt sind. Weiter seien die Funktionen
und
für
gegeben. Außerdem sei ein regulärer Punkt der Mannigfaltigkeit
,
d. h. ihre Funktionalmatrix habe maximalen Rang gemäß
.
Die Funktion nehme im Punkt ein Extremum unter den Nebenbedingungen mit an: Es gilt also
oder für alle ,
wobei mit einem hinreichend kleinen erklärt ist.
Behauptung: Dann folgt , wobei der von den Vektoren aufgespannte -dimensionale Untervektorraum des Vektorraums ist.

Beweis[Bearbeiten]

Da ein regulärer Punkt von ist, können wir ohne Einschränkung folgendes annehmen:

.

Nun setzen wir

mit und . Wir wenden den Satz über implizite Funktionen auf

an. Erklären wir , dann gibt es eine Umgebung von und eine Funktion

mit für alle . Somit nimmt die Funktion

(13)

mit ein freies Extremum im Punkt an. Damit verschwindet an diesem Punkt der Gradient von und wir erhalten aus (13) durch Differentiation die Identitäten

(14) für .

Wir führen nun die Tangentialvektoren mittels

für

ein. Wegen (14) folgt

(15) für .

Somit steht orthogonal zu den Vektoren . Ebenso erhalten wir aus den Nebenbedingungen

(16) für

durch Differentiation nach die Gleichungen

(17) für und .

Somit spannen die linear unabhängigen Vektoren den -dimensionalen Orthogonalraum zu den linear unabhängigen Vektoren im auf. Damit ist die Basisdarstellung

mit geeigneten Skalaren möglich.

q.e.d.

Bemerkungen[Bearbeiten]

Da die Vektoren mit eine Basis des Untervektorraums bilden, kann man als deren Linearkombination mittels reeller Skalare darstellen, so dass folgendes gilt:

(18) .

Zur Lösung des Extremwertproblems unter Nebenbedingungen betrachten wir also die Funktion

.

Es sind nun die kritischen Punkte mit zu bestimmen, wobei zunächst freie, später zu bestimmende Parameter sind. Diese nennt man Lagrangesche Multiplikatoren.