Kurs:Analysis II/Kapitel IV: Partielle Differentiation für Funktionen mehrerer Veränderlicher/Partielle Ableitungen erster Ordnung (§1)

Definition 1

Seien die Dimensionen $n,m\in \mathbb{N}$ gewählt, $f=f(x):\mathrm{\Omega }\to {ℝ}^m$ sei eine auf der offenen Menge $\mathrm{\Omega }\subset {ℝ}^n$ erklärte Funktion und schließlich sei $x^0=(x_1^0,\dots ,x_n^0)\in \mathrm{\Omega }$ ein fester Punkt. Für hinreichend kleines $\epsilon >0$ betrachten wir die Funktion

${\mathrm{\Phi }}_j:(x_j^0-\epsilon ,x_j^0+\epsilon )\to {ℝ}^m$ vermöge ${\mathrm{\Phi }}_j(t):=f(x_1^0,\dots ,x_{j-1}^0,t,x_{j+1}^0,\dots ,x_n^0),t\in (x_j^0-\epsilon ,x_j^0+\epsilon )$.

Existiert die Ableitung der Funktion ${\mathrm{\Phi }}_j$ an der Stelle $t=x_j^0$, so heißt $\mathrm{\Phi }{\text{'}}_j(x_j^0)$ die partielle Ableitung von $f$ nach $x_j$ im Punkt $x^0$. Wir schreiben

$\mathrm{\Phi }{\text{'}}_j(x_j^0)=:f_{x_j}(x^0)=\frac{\partial }{\partial x_j}f(x^0)$ für ein $j\in \{1,\dots ,n\}$.

Definition 2

Sei $\mathrm{\Omega }\subset {ℝ}^n$ eine offene Menge. Existieren die partiellen Ableitungen $f_{x_j}(x)$ mit $j=1,\dots ,n$ für alle $x\in \mathrm{\Omega }$ und stellen sie in $\mathrm{\Omega }$ eine stetige Funktion dar, so gehört die Funktion $f$ zur Klasse $C^1(\mathrm{\Omega },{ℝ}^m)$ der einmal stetig differenzierbaren Funktionen – oder kurz $f\in C^1(\mathrm{\Omega },{ℝ}^m)$. Falls $m=1$ ist, schreiben wir $C^1(\mathrm{\Omega }):=C^1(\mathrm{\Omega },ℝ)$. Für $m=2$ identifizieren wir ${ℝ}^2=ℂ$ und setzen $C^1(\mathrm{\Omega },ℂ):=C^1(\mathrm{\Omega },{ℝ}^2)$. Falls der Bildbereich aus dem Zusammenhang hervorgeht, werden wir diesen nicht notwendig angeben.

Satz 1 (Kettenregel in mehreren Veränderlichen)

Voraussetzungen:

(1) Die Mengen $\mathrm{\Omega }\subset {ℝ}^n$ und $\mathrm{\Theta }\subset {ℝ}^m$ – mit $m,n\in \mathbb{N}$ – sind offen.

(2) Die Funktion $y=f(x)=(f_1(x_1,\dots ,x_n),\dots ,f_m(x_1,\dots ,x_n)):\mathrm{\Omega }\to \mathrm{\Theta }$ gehört zur Klasse $C^1(\mathrm{\Omega },{ℝ}^m)$.

(3) Weiter sei $f\in C^0(\mathrm{\Omega },{ℝ}^m)$ erfüllt.

(4) Es sei $z=g(y)=g(y_1,\dots ,y_m):\mathrm{\Theta }\to ℂ$ eine Funktion der Klasse $C^1(\mathrm{\Theta },ℂ)$.

Behauptung: Dann gehört die Funktion

$h=h(x)=g(f(x))=g(f_1(x_1,\dots ,x_n),\dots ,f_m(x_1,\dots ,x_n)):\mathrm{\Omega }\to ℂ$

zur Klasse $C^1(\mathrm{\Theta },ℂ)$ und es gilt

(5) $\frac{\partial }{\partial x_j}h(x)=\sum _{k=1}^m\frac{\partial }{\partial y_k}g(f(x))\frac{\partial f_k(x)}{\partial x_j},x\in \mathrm{\Omega }$

für $j=1,\dots ,n$.

Beweis

Offenbar genügt es, die Situation $n=1,\mathrm{\Omega }=(a,b)$ und $g\in C^1(\mathrm{\Theta },ℝ)$ zu betrachten. Zu zeigen ist die Differenzierbarkeit von $h$ und die Identität (5): Sei $x^0\in (a,b)$ und $x\in (a,b)$ mit $0<|x-x^0|<\epsilon$ gewählt. Dann gilt

$\begin{array}{ccc}h(x)-h(x^0)& =& g(f_1(x),\dots ,f_m(x))-g(f_1(x^0),\dots ,f_m(x^0))\\ & =& [g(f_1(x),\dots ,f_m(x))-g(f_1(x^0),\dots ,f_m(x))]\\ & +& [g(f_1(x^0),f_2(x)\dots ,f_m(x))-g(f_1(x^0),f_2(x^0),\dots ,f_m(x))]\\ & +& \cdots \\ & +& [g(f_1(x^0),\dots ,f_{m-1}(x^0),f_m(x))-g(f_1(x^0),\dots ,f_m(x^0))].\end{array}$

Wendet man auf die Ausdrücke in den eckigen Klammern den Mittelwertsatz der Differentialrechnung an, so folgt

$\begin{array}{ccc}h(x)-h(x^0)& =& g_{y_1}({\eta }_1,f_2(x),\dots ,f_m(x))(f_1(x)-f_1(x^0))\\ & +& g_{y_2}(f_1(x^0),{\eta }_2(x),\dots ,f_m(x))(f_2(x)-f_2(x^0))\\ & +& \cdots \\ & +& g_{y_m}(f_1(x^0),\dots ,f_{m-1}(x^0),{\eta }_m)(f_m(x)-f_m(x^0))\end{array}$

mit $|{\eta }_j-f_j(x^0)|\le |f_j(x)-f_j(x^0)|$ für $j=1,\dots ,m$. Für den Differenzenquotienten erhalten wir dann

$\begin{array}{ccc}\frac{h(x)-h(x^0)}{x-x^0}& =& g_{y_1}({\eta }_1,f_2(x),\dots ,f_m(x))\frac{f_1(x)-f_1(x^0)}{x-x^0}\\ & +& \cdots \\ & +& g_{y_m}(f_1(x^0),\dots ,f_{m-1}(x^0),{\eta }_m)\frac{f_m(x)-f_m(x^0)}{x-x^0}.\end{array}$

Mittels Grenzübergang $x\to x^0$ folgt in

$h^{\prime }(x_0)=g_{y_1}(f(x^0))\cdot {f_1}^{\prime }(x^0)+\dots +g_{y_m}(f(x^0))\cdot {f_m}^{\prime }(x^0)$

die Behauptung.

q.e.d.

Satz 2 (Mittelwertsatz in mehreren Veränderlichen)

Sei $f\in C^1(\mathrm{\Omega })$ eine reellwertige Funktion auf der offenen Menge $\mathrm{\Omega }\subset {ℝ}^n$. Weiter seien $x^{\prime },x^{″}\in \mathrm{\Omega }\subset {ℝ}^n$ zwei Punkte, so dass deren Verbindungsstrecke die folgende Inklusion erfüllt:

$\sigma (x^{\prime },x^{″}):=\{x\in {ℝ}^n:x=\lambda x^{\prime }+(1-\lambda )x^{″},0\le \lambda \le 1\}\subset \mathrm{\Omega }$.

Dann gibt es einen Punkt $z\in \stackrel{\circ }{\sigma }:=\sigma (x^{\prime },x^{″})\setminus \{x^{\prime },x^{″}\}$, so dass

$f(x^{\prime })-f(x^{″})=\sum _{k=1}^n{f}_{x_k}(z)({x_k}^{\prime }-{x_k}^{″})$

gilt.

Beweis

Wir wenden nun den Mittelwertsatz der Differentialrechnung aus Kapitel II §3 auf die Funktion

$g(\lambda ):=f(\lambda x^{\prime }+(1-\lambda )x^{″}),0\le \lambda \le 1$

an. Da $g$ differenzierbar in $\lambda$ ist, folgt $g\in C^1((0,1))\cap C^0([0,1])$. Dann erhalten wir die Identität

(6) $f(x^{\prime })-f(x^{″})=g(1)-g(0)=g^{\prime }(\tau )$

mit einem geeigneten $\tau \in (0,1)$. Wir berechnen

$\begin{array}{ccc}{g}^{\prime }(\lambda )& =& \frac{d}{d\lambda }f({x_1}^{\prime }+\lambda ({x_1}^{″}-{x_1}^{\prime }),\dots ,{x_n}^{\prime }+\lambda ({x_n}^{″}-{x_n}^{\prime }))\\ & =& f_{x_1}(x^{\prime }+\lambda (x^{″}-x^{\prime }))({x_1}^{″}-{x_1}^{\prime })+\dots +f_{x_n}(x^{\prime }+\lambda (x^{″}-x^{\prime }))({x_n}^{″}-{x_n}^{\prime }).\end{array}$

Mit Hilfe von (6) folgt die behauptete Gleichung

$f(x^{\prime })-f(x^{″})=\sum _{k=1}^n{f}_{x_k}(z)({x_k}^{\prime }-{x_k}^{″})$,

wobei $z:=x^{\prime }+\tau (x^{″}-x^{\prime })\in \stackrel{\circ }{\sigma }(x^{\prime },x^{″})$ erklärt ist.

q.e.d.

Definition 3

Sei $\mathrm{\Omega }\subset {ℝ}^n$ eine offene Menge und $f\in C^1(\mathrm{\Omega })$ eine reellwertige Funktion, so nennen wir

$\mathrm{\nabla }f(x)=(f_{x_1}(x),\dots ,f_{x_n}(x)),x\in \mathrm{\Omega }$

den Gradienten von $f$ an der Stelle $x$.

Definition 4

Mit $C^0(\mathrm{\Omega })$ bezeichnen wir den Vektorraum aller reellwertigen stetigen Funktionen auf der offenen Menge $\mathrm{\Omega }\subset {ℝ}^n$.

Satz 3

Jede Funktion $f=f(x)\in C^1(\mathrm{\Omega })$ ist in der offenen Menge $\mathrm{\Omega }\subset {ℝ}^n$ stetig, d. h. die Inklusion $C^1(\mathrm{\Omega })\subset C^0(\mathrm{\Omega })$ ist erfüllt.

Beweis

Diese Aussage ergibt sich als Folgerung aus Satz 2. Es gilt nämlich

$|f(x^{\prime })-f(x^{″})|=|\mathrm{\nabla }f(z)\cdot (x^{\prime }-x^{″})|\le |\mathrm{\nabla }f(z)|\cdot |x^{\prime }-x^{″}|$

für alle $x^{\prime },x^{″}\in \mathrm{\Omega }$ mit $z\in \sigma (x^{\prime },x^{″})\subset \mathrm{\Omega }$.

Definition 5

Sei $f\in C^1(\mathrm{\Omega })$ auf der offenen Menge $\mathrm{\Omega }\subset {ℝ}^n$ eine Funktion und $v\in {ℝ}^n$ mit $|v|=1$ ein Richtungsvektor. Dann nennen wir die Ableitung der Funktion

$\mathrm{\Phi }(t):=f(x+tv),t\in (-\epsilon ,\epsilon )$ mit einem $\epsilon >0$

an der Stelle $t=0$ die Richtungsableitung von an der Stelle $x\in \mathrm{\Omega }$ in Richtung $v$, also

(7) ${\mathrm{\Phi }}^{\prime }(0)=\mathrm{\nabla }f(x)\cdot v=:\frac{\partial }{\partial v}f(x)$.

Satz 4

Für eine Funktion $f\in C^1(\mathrm{\Omega })$ auf der offenen Menge $\mathrm{\Omega }\subset {ℝ}^n$ gilt die Abschätzung

(8) $-|\mathrm{\nabla }f(x)|\le \frac{\partial }{\partial v}f(x)\le +|\mathrm{\nabla }f(x)|$ für alle $v\in {ℝ}^n$ mit $|v|=1$

in jedem Punkt $x\in \mathrm{\Omega }$. Falls $|\mathrm{\nabla }f(x)|>0$ erfüllt ist, so tritt Gleichheit in (8) genau in den Fällen

$v=-|\mathrm{\nabla }f(x){|}^{-1}\mathrm{\nabla }f(x)$ bzw. $v=|\mathrm{\nabla }f(x){|}^{-1}\mathrm{\nabla }f(x)$

ein. Somit zeigt der Gradient in Richtung des höchsten Anstiegs von $f$.

Beweis

Die Identität (7) mit $\frac{\partial }{\partial v}f(x)=\mathrm{\nabla }f(x)\cdot v$ und $v\in {ℝ}^n$ sowie $|v|=1$ liefert die Ungleichung

$|\frac{\partial }{\partial v}f(x)|\le |\mathrm{\nabla }f(x)|$.

Die Diskussion des Gleichheitszeichens überlassen wir dem Leser.

q.e.d.

Definition 6

Für eine Abbildung

$y=f(x)=(f_1(x_1,\dots ,x_n),\dots ,f_m(x_1,\dots ,x_n)):\mathrm{\Omega }\to {ℝ}^m$ mit $f\in C^1(\mathrm{\Omega },{ℝ}^m)$

auf der offenen Menge $\mathrm{\Omega }\subset {ℝ}^n$ nennen wir

(9) $\partial f(x):={\left(\frac{\partial f_i(x)}{\partial x_j}\right)}_{\genfrac{}{}{0ex}{}{i=1,\dots ,m}{j=1,\dots ,n}}=\left(\begin{array}{ccc}{f}_{1,x_1}(x)& \dots & f_{1,x_n}(x)\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ f_{m,x_1}(x)& \dots & f_{m,x_n}(x)\end{array}\right)$

die Funktionalmatrix (oder Jacobimatrix) von $f$ an der Stelle $x$.

Satz 5

Sei die Gültigkeit von (1) und (2) aus Satz 1 vorausgesetzt und weiter gehöre die Funktion

(10) $z=g(y)=(g_1(y_1,\dots ,y_m),\dots ,g_l(y_1,\dots ,y_m)):\mathrm{\Theta }\to {ℝ}^l$

zur Klasse $C^1(\mathrm{\Theta },{ℝ}^l),l\in \mathbb{N}$. Dann liegt die Funktion

$h(x):=(h_1(x),\dots ,h_l(x))=g(f(x))=\left(\begin{array}{c}{g}_1(f_1(x),\dots ,f_m(x))\\ ⋮\\ g_l(f_1(x),\dots ,f_m(x))\end{array}\right):\mathrm{\Omega }\to {ℝ}^l$

in der Klasse $C^1(\mathrm{\Omega },{ℝ}^l)$ und es gilt

$\frac{\partial }{\partial x_j}{h}_i(x)=\sum _{k=1}^m\frac{\partial g_i}{\partial y_k}(f(x))\frac{\partial f_k(x)}{\partial x_j}$

mit $i=1,\dots ,l$ und $j=1,\dots ,n$ bzw.

(11) $\partial h(x)=\partial g(f(x))\circ \partial f(x),x\in \mathrm{\Omega }$.

Beweis

Dieser ergibt sich unmittelbar aus Satz 1 und Definition 6.

q.e.d.

Satz 6 (Differentialgleichungssystem von Cauchy und Riemann)

Sei die Funktion $w=f(z)=u(x,y)+iv(x,y):\mathrm{\Omega }\to ℂ$ auf der offenen Menge $\mathrm{\Omega }\subset ℂ$ holomorph. Dann folgt $f\in C^1(\mathrm{\Omega },ℂ)$ und $f$ erfüllt eine der folgenden beiden gleichwertigen Bedingungen:

(12) $f_x+i{f}_y=0$ in $\mathrm{\Omega }$

oder das Cauchy -Riemannsche Differentialgleichungssystem

(13) $u_x=v_y,u_y=-v_x$ in $\mathrm{\Omega }$.

Dabei erklären wir $u=Ref(z)$ und $v=Imf(z)$ als Real- bzw. Imaginärteil der Funktion $f$.

Beweis

Da $f(z)$ holomorph in $\mathrm{\Omega }$ ist, existiert

$f^{\prime }(z)=\underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{f(z+{\zeta }_k)-f(z)}{{\zeta }_k}$

für jede komplexe Nullfolge $\{{\zeta }_k{\}}_{k\in \mathbb{N}}\subset ℂ\setminus \{0\}$ mit ${\zeta }_k\to 0(k\to \mathrm{\infty })$. Somit ergibt sich

$f^{\prime }(z)=\underset{\epsilon \to \mathrm{\infty },\epsilon \ne 0}{lim}\frac{f(z+\epsilon )-f(z)}{\epsilon }=\underset{\epsilon \to \mathrm{\infty },\epsilon \ne 0}{lim}\frac{f(x+\epsilon ,y)-f(x,y)}{\epsilon }=f_x(x,y),$

$f^{\prime }(z)=\underset{\epsilon \to \mathrm{\infty },\epsilon \ne 0}{lim}\frac{f(z+i\epsilon )-f(z)}{i\epsilon }=\underset{\epsilon \to \mathrm{\infty },\epsilon \ne 0}{lim}\frac{f(x,y+\epsilon )-f(x,y)}{i\epsilon }=\frac{1}{i}{f}_y(x,y).$

Damit erhalten wir $f\in C^1(\mathrm{\Omega },ℂ)$ und folglich

$f_x=f^{\prime }(x)=\frac{1}{i}{f}_y$ oder $f_x-\frac{1}{i}{f}_y=f_x+i{f}_y=0$ in $\mathrm{\Omega }$.

Weiter gilt

$0=f_x-\frac{1}{i}{f}_y=(u(x,y)+iv(x,y){)}_x+i(u(x,y)+iv(x,y){)}_y=(u_x-v_y)+i(v_x+u_y)$

genau dann, wenn

$u_x=v_y,v_x=-u_y$ in $\mathrm{\Omega }$

erfüllt ist.

q.e.d.

Bemerkungen

1. Umgekehrt kann man von dem Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungssystem auf die Holomorphie der Funktion schließen.
2. Die Eigenschaft (12) holomorpher Funktionen beinhaltet die Winkeltreue der Abbildung $f:\mathrm{\Omega }\to ℂ$ in allen Punkten $z\in \mathrm{\Omega }$ mit $f^{\prime }(z)\ne 0$. Wegen $f_y=i{f}_x$ entsteht nämlich die Tangente an die Kurve $y\mapsto f(x,y)$ durch eine Drehung um $\frac{\pi }{2}$ aus der Tangente an die Kurve $x\mapsto f(x,y)$.
3. Die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen implizieren, dass die folgende Matrix

(14) $\frac{1}{\sqrt{u_x^2+u_y^2}}\cdot \left(\begin{array}{cc}{u}_x(x,y),& u_y(x,y)\\ v_x(x,y),& v_y(x,y)\end{array}\right),z=x+iy\in \mathrm{\Omega }$

orthogonal mit Determinante +1 ist – also eine Drehung darstellt. Somit sind holomorphe Funktionen mit nichtverschwindender Ableitung infinitesimal Drehungen in der $x,y$-Ebene.
4. Winkeltreue Abbildungen wurden von C. F. Gauß auch konform genannt; sie sind bei der Erstellung von Landkarten bedeutend.

Definition 7

Eine offene Menge $\mathrm{\Omega }\subset {ℝ}^n$ heißt Gebiet, wenn sie im folgenden Sinne zusammenhängend ist: Zu je zwei Punkten $x^{\prime },x^{″}\in \mathrm{\Omega }$ gibt es einen stetigen Weg

$\phi (t):[0,1]\to \mathrm{\Omega }\in C^0([0,1],{ℝ}^n)$ mit $\phi (0)=x^{\prime }$ und $\phi (1)=x^{″}$.

Dieser Weg verbindet $x^{\prime }$ und $x^{″}$ stetig in $\mathrm{\Omega }$.

Satz 7

Sei $\mathrm{\Omega }\subset {ℝ}^n$ ein Gebiet und $f\in C^1(\mathrm{\Omega })$ eine reellwertige Funktion mit $\mathrm{\nabla }f(x)\equiv 0$ in $\mathrm{\Omega }$. Dann ist $f(x)\equiv c$ für alle $x\in \mathrm{\Omega }$ erfüllt – mit einer Konstante $c\in ℝ$.

Beweis

Im ersten Teil wird die Eigenschaft 'die Funktion $f$ ist konstant' lokal geprüft, während im zweiten Teil die globale Aussage gezeigt wird.

1. Sei $x\in \mathrm{\Omega }$ ein beliebiger Punkt, so gibt es eine Kugel $K_{\epsilon }(x)\subset \mathrm{\Omega }$ mit einem hinreichend kleinen $\epsilon >0$. Zu $y\in K_{\epsilon }(x)$ gibt es nach dem Mittelwertsatz – in mehreren Veränderlichen – einen Punkt $z\in \stackrel{\circ }{\sigma }(x,y)$ mit der Eigenschaft

$f(y)-f(x)=\mathrm{\nabla }f(z)\cdot (y-x)=0$,

weil $\mathrm{\nabla }f$ nach Voraussetzung verschwindet. Somit folgt

$f(x)=f(y)$ für alle $y\in K_{\epsilon }(x)$

und $f$ ist lokal konstant.

2. Wie im Teil 3.) des Beweises von Satz 5 aus Kapitel II §5 zeigt man über die Gebietseigenschaft, dass $f$ global konstant ist.

q.e.d.

Satz 8 (Additionstheorem für die Arcusfunktionen)

Für alle $x,y\in ℝ$ mit $x\cdot y\ne 1$ und $|\arctan x+\arctan y|<\frac{\pi }{2}$ gilt

(15) $\arctan \frac{x+y}{1-xy}=\arctan x+\arctan y$.

Für alle $x,y\in ℝ$ mit $|x|\le 1$ und $y\le 1$ sowie $|\arcsin x+\arcsin y|\le 1$ gilt

(16) $\arcsin (x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-x^2})=\arcsin x+\arcsin y$.

Beweis

Zum Beweis von (15) betrachte man die Funktion

$f(x,y)=\arctan \left(\frac{x+y}{1-xy}\right)-\arctan x-\arctan y$

für alle $x,y$ mit $x\cdot y\ne 1$ und $|\arctan x+\arctan y|<\frac{\pi }{2}$. Man berechnet dann

$f_x(x,y)=0=f_y(x,y)$

und somit ist $f$ konstant. Da $f(0,0)=0$ richtig ist, folgt $f(x,y)\equiv 0$ und somit die Identität (15). Ebenso beweist man (16).

q.e.d.

Wir bezeichnen mit ${}^{\ast }$ die Transposition von Matrizen.

Satz 9

Auf der offenen Menge $\mathrm{\Omega }\subset {ℝ}^n$ sei die Funktion

$f=(f_1,\dots ,f_m{)}^{\ast }:\mathrm{\Omega }\to {ℝ}^m\in C^1(\mathrm{\Omega },{ℝ}^m)$

gegeben. Dann gilt in jedem Punkt $x\in \mathrm{\Omega }$ die linear approximative Darstellung

(17) $\begin{array}{c}f(x+h)=f(x)+\partial f(x)\circ h^{\ast }+F(x,h)\circ h^{\ast },\\ h=(h_1,\dots ,h_n)\in {ℝ}^n\setminus \{0\}mit0<|h|<\epsilon \end{array}$

für ein hinreichend kleines $\epsilon >0$. Hierbei liefert $h\mapsto \partial f(x)\circ h^{\ast }$ eine lineare Abbildung vom ${ℝ}^n$ in den ${ℝ}^m$ mit der Funktionalmatrix $\partial f(x)$. Ferner haben wir für die $m\times n$-Matrix $F(x,h)\in {ℝ}^{m\times n}$ die asymptotische Beziehung

$\underset{h\to 0,h\in {ℝ}^n\setminus \{0\}}{lim}F(x,h)=0$,

wobei wir ihre Konvergenz natürlich im ${ℝ}^{m\cdot n}$ verstehen.

Beweis

Für $j=1,\dots ,m$ wenden wir auf jede Komponentenfunktion $f_j$ den Mittelwertsatz an. Dann gibt es eine Zwischenstelle $z^{(j)}\in \stackrel{\circ }{\sigma }(x,x+h)$ mit der Eigenschaft

$f_j(x+h)-f_j(x)=f_j(x_1+h_1,\dots ,x_n+h_n)-f_j(x_1,\dots ,x_n)$

$=\mathrm{\nabla }{f}_j\left(z^{(j)}\right)\cdot h=\mathrm{\nabla }{f}_j(x)\cdot h+(\mathrm{\nabla }{f}_j\left(z^{(j)}\right)-\mathrm{\nabla }{f}_j(x))\cdot h$.

Mit der $m\times n$-Matrix-wertigen Funktion

(18) $F(x,h):=\left(\begin{array}{c}\mathrm{\nabla }{f}_1\left(z^{(1)}\right)-\mathrm{\nabla }{f}_1(x)\\ ⋮\\ \mathrm{\nabla }{f}_m\left(z^{(m)}\right)-\mathrm{\nabla }{f}_m(x)\end{array}\right)$

erhalten wir die angegebene Darstellung.

q.e.d.