Kurs:Analysis II/Kapitel IV: Partielle Differentiation für Funktionen mehrerer Veränderlicher/Partielle Ableitungen höherer Ordnung (§2)

Definition 1

Sei $\Omega \subset {ℝ}^n$ eine offene Menge und $y=f(x):\Omega \to {ℝ}^m$ eine Funktion, deren partielle Ableitung

$\frac{\partial f}{\partial x_{i_1}}=f_{x_{i_1}}:\Omega \to {ℝ}^m$

existiere. Außerdem existieren sukzessiv

$\frac{\partial f}{\partial x_{i_1}}=f_{x_{i_1}}:\Omega \to {ℝ}^m$

überall in $\Omega$. Dann heißt

$\frac{\partial f_{x_{i_1}}}{\partial x_{i_2}}=f_{x_{i_1}{x}_{i_2}},\dots ,\frac{\partial f_{x_{i_1},\dots ,x_{i_{\alpha -1}}}}{\partial x_{i_{\alpha }}}=f_{x_{i_1},\dots ,x_{i_{\alpha }}}$

die partielle Ableitung von $f$ der Ordnung $\alpha$ nach den Variablen $x_{i_1},\dots ,x_{i_{\alpha }}$. Dabei sind $\alpha \in \mathbb{N}$ und $i_1,\dots ,i_{\alpha }\in \{1,\dots ,n\}$ gewählt worden.

Satz 1

Auf der offenen Menge $\Omega \subset {ℝ}^2$ sei die Funktion $f(x,y):\Omega \to ℝ$ erklärt. Weiter existieren die partiellen Ableitungen $f_x(x,y)$ und $f_{xy}(x,y)$ in $\Omega$. Außerdem sei $f_{xy}(x,y)$ an der Stelle $(x_0,y_0)\in \Omega$ stetig. Dann gilt

$f_{xy}(x_0,y_0)=\underset{\genfrac{}{}{0ex}{}{x\to x_0,y\to y_0}{x\ne x_0,y\ne y_0}}{lim}\Phi (x,y;x_0,y_0)$

mit der Hilfsfunktion

$\Phi (x,y;x_0,y_0):=\frac{f(x,y)-f(x_0,y)-f(x,y_0)+f(x_0,y_0)}{(x-x_0)(y-y_0)}$

für $(x,y)\in \Omega$ mit $x\ne x_0$ und $y\ne y_0$.

Beweis

Wegen ihrer Offenheit gibt es ein $\delta >0$, so dass die Kreisscheibe

$K_{\delta }(x_0,y_0):=\{(x,y)\in {ℝ}^2|(x-x_0{)}^2+(y-y_0{)}^2<{\delta }^2\}$

in $\Omega$ liegt. Sei nun $(x,y)$ ein beliebiger Punkt aus $K_{\delta }(x_0,y_0)$ mit $x\ne x_0$ und $y\ne y_0$. Dann können wir

$\Phi (x,y;x_0,y_0)=\frac{(f(x,y)-f(x,y_0))-(f(x_0,y)-f(x_0,y_0))}{(x-x_0)(y-y_0)}$

mit Hilfe der Funktion $\varphi (t):=f(t,y)-f(t,y_0)$ im Intervall

$I:=[min\{x_0,x\},max\{x_0,x\}]$

wie folgt darstellen:

(1) $\Phi (x,y;x_0,y_0)=\frac{\varphi (x)-\varphi (x_0)}{(x-x_0)(y-y_0)}$.

Da $f_x$ in $\Omega$ existiert, ist $\varphi (t)$ in $I$ stetig und im Innern von $I$ differenzierbar. Damit kann man den Mittelwertsatz der Differentialrechnung anwenden und erhält mit einem $\xi \in \stackrel{\circ }{I}$ (d. h. $|\xi -x_0|<|x-x_0|$) aus (1) die Beziehung

(2) $\Phi (x,y;x_0,y_0)=\frac{{\varphi }_x(\xi )}{y-y_0}=\frac{f_x(\xi ,y)-f_x(\xi ,y_0)}{y-y_0}$.

Eine nochmalige Anwendung des Mittelwertsatzes auf die im Intervall

$J:=[min\{y_0,y\},max\{y_0,y\}]$

stetige und in $\stackrel{\circ }{J}$ differenzierbare Funktion $\Psi (t):=f_x(\xi ,t)$ liefert

$\Phi (x,y;x_0,y_0)=\frac{\Psi (y)-\Psi (y_0)}{y-y_0}={\Psi }^{\prime }(\eta )=f_{xy}(\xi ,\eta )$

mit einem $\eta \in \stackrel{\circ }{J}$ (d. h. $|\eta -y_0|<|y-y_0|$). Da der Punkt $(x,y)$ beliebig gewählt war, gibt es also zu jedem $(x,y)\in K_{\delta }(x_0,y_0)$ mit $x\ne x_0$ und $y\ne y_0$ einen Punkt $(\xi ,\eta )$ mit $|\xi -x_0|<|x-x_0|$ und $|\eta -y_0|<|y-y_0|$, so dass

(3) $\Phi (x,y;x_0,y_0)=f_{xy}(\xi ,\eta )$

erfüllt ist. Wegen der vorausgesetzten Stetigkeit von $f_{xy}$ im Punkt $(x_0,y_0)$ folgt aus (3) die Relation

$f_{xy}(x_0,y_0)=\underset{\genfrac{}{}{0ex}{}{x\to x_0,x\ne x_0}{y\to y_0,y\ne y_0}}{lim}\Phi (x,y;x_0,y_0)$.

q.e.d.

Satz 2

Auf der offenen Menge $\Omega \subset {ℝ}^2$ sei die Funktion $f(x,y):\Omega \to ℝ$ erklärt. Weiter existieren die partiellen Ableitungen $f_x,f_y$ und $f_{xy}$ in $\Omega$, wobei $f_{xy}$ an der Stelle $(x_0,y_0)\in \Omega$ stetig ist. Dann existiert auch $f_{yx}$ im Punkt $(x_0,y_0)$ und es gilt

$f_{xy}(x_0,y_0)=f_{yx}(x_0,y_0)$.

Beweis

Da die Voraussetzungen des Satzes 1 erfüllt sind, sehen wir ein:

$f_{xy}(x_0,y_0)=\underset{\genfrac{}{}{0ex}{}{x\to x_0,x\ne x_0}{y\to y_0,y\ne y_0}}{lim}\Phi (x,y;x_0,y_0)=\underset{x\to x_0,x\ne x_0}{lim}(\underset{y\to y_0,y\ne y_0}{lim}\Phi (x,y;x_0,y_0))$

$=\underset{x\to x_0,x\ne x_0}{lim}\frac{f_y(x,y_0)-f_y(x_0,y_0)}{x-x_0}=f_{yx}(x_0,y_0)$.

q.e.d.

Beispiel 1

Für die Funktion

$f(x,y):=xy\cdot \frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}$ falls $(x,y)\ne (0,0)$ und $f(0,0):=0$

verwenden wir universelle Polarkoordinaten $x=r\cos \varphi ,y=r\sin \varphi$ mit $0<r<+\mathrm{\infty }$ und $-\mathrm{\infty }<\varphi <+\mathrm{\infty }$. Dann ergibt sich

$f(x,y)=xy\cdot \frac{r^2{\cos }^2\varphi -r^2{\sin }^2\varphi }{r^2}=xy\cdot \cos \{2\varphi (x,y)\}$ falls $(x,y)\ne (0,0)$.

Wir betrachten nun

$\mathrm{\nabla }\varphi (x,y)=\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}(-\sin \varphi (x,y),\cos \varphi (x,y))$

und berechnen in ${ℝ}^2\setminus \{(0,0)\}$ ihre ersten partiellen Ableitungen

$f_x(x,y)=y\cdot \cos \{2\varphi (x,y)\}+\frac{2xy}{\sqrt{x^2+y^2}}\cdot \sin \{2\varphi (x,y)\}\sin \varphi (x,y)$

sowie

$f_y(x,y)=x\cdot \cos \{2\varphi (x,y)\}-\frac{2xy}{\sqrt{x^2+y^2}}\cdot \sin \{2\varphi (x,y)\}\cos \varphi (x,y)$.

Hieraus ersehen wir $f\in C^1({ℝ}^2)$ mit $\mathrm{\nabla }f(0,0)=(0,0)$ und wir spezialisieren

$f_x(x,y)=y\cdot \cos \{2\varphi (x,y)\}=-y$ falls $y\ne 0$

sowie

$f_y(x,y)=x\cdot \cos \{2\varphi (x,y)\}=x$ falls $x\ne 0$.

Wir erhalten damit, dass die gemischten Ableitungen

$f_{xy}(0,0)=-1\ne 1=f_{yx}(0,0)$

nicht übereinstimmen. Folglich muss die gemischte Ableitung $f_{xy}$ im Nullpunkt stetig sein!

Satz 3 (Vertauschbarkeitslemma von H. A. Schwarz)

Seien $m\in \mathbb{N}$ und $f(x,y):\Omega \to {ℝ}^m$ eine Funktion auf der offenen Menge $\Omega \in {ℝ}^2$, deren partielle Ableitungen $f_x,f_y$ und $f_{xy}$ stetig in $\Omega$ sind. Dann existiert auch $f_{yz}$ in $\Omega$ und es gilt

$f_{xy}=f_{yz}$ für alle $(x,y)\in \Omega$.

Definition 2

Die Dimensionen $m,n\in \mathbb{N}$ und die offene Menge $\Omega \subset {ℝ}^n$ seien gewählt. Dann erklären wir die Menge aller Funktionen

$y=f(x)=(f_1(x_1,\dots ,x_n),\dots ,f_m(x_1,\dots ,x_n)):\Omega \to {ℝ}^m$,

deren partielle Ableitungen bis zur Ordnung $k\in \mathbb{N}$ einschließlich existieren und in $\Omega$ stetige Funktionen darstellen, als den Vektorraum der $k$-mal stetig differenzierbaren Funktionen $C^k(\Omega ,{ℝ}^m)$. Wir schreiben

$C^k(\Omega ):=C^k(\Omega ,ℝ)$ und $C^k(\Omega ,ℂ):=C^k(\Omega ,{ℝ}^2)$.

Wir nennen $f\in C^k(\Omega ,{ℝ}^m)$ eine $k$-mal stetig partiell differenzierbare Funktion in $\Omega$. Mit

$C^{\mathrm{\infty }}(\Omega ,{ℝ}^m):=\bigcap _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{C}^k(\Omega ,{ℝ}^m)$

bezeichnen wir den Vektorraum der beliebig oft stetig partiell differenzierbaren Funktionen auf $\Omega$.

Bemerkung

Seien $f,g\in C^k(\Omega ,{ℝ}^m)$ zu $k\in {\mathbb{N}}_0\cup \{\mathrm{\infty }\}$ zwei Funktionen und $a$ eine reelle Zahl. Mit den Verknüpfungen

$(f+g)(x):=f(x)+g(x),x\in \Omega$ und $(a\cdot f)(x):=a\cdot f(x),x\in \Omega$

wird $C^k(\Omega ,{ℝ}^m)$ zu einem Vektorraum.

Satz 4

Sei die Funktion $f=f(x_1,\dots ,x_n)\in C^{\alpha }(\Omega ,{ℝ}^m)$ mit $2\le \alpha \in \mathbb{N}$ gegeben. Weiter sei $(i_1,\dots ,i_{\alpha })$ ein System natürlicher Zahlen mit $1\le i_l\le n$ für $l=1,\dots ,\alpha$ und $(j_1,\dots ,j_{\alpha })$ eine Permutation von $(i_1,\dots ,i_{\alpha })$. Dann gilt

$\frac{{\partial }^{\alpha }f(x)}{\partial x_{i_{\alpha }}\dots \partial x_{i_1}}=\frac{{\partial }^{\alpha }f(x)}{\partial x_{j_{\alpha }}\dots \partial x_{j_1}}$ für alle $x\in \Omega$.

Beweis

Jede Permutation lässt sich durch endlich viele Vertauschungen benachbarter Paare darstellen. Damit wird der Beweis auf Satz 3 zurückgeführt.

q.e.d.

Definition 3

Für eine reellwertige Funktion $f\in C^1(\Omega )$ versteht man unter ihrem Differential $df=df(x^0,h)$ an der Stelle $x=x^0\in \Omega$ die Linearform

(4) $df(x^0,h):=\sum _{\alpha =1}^n{f}_{x_{\alpha }}(x^0)h_{\alpha },h=(h_1,\dots ,h_n)$.

Bemerkung

Der Mittelwertsatz aus §1, Satz 2 erscheint nun in der Form

$f(x^{\prime })-f(x^{″})=df(z,x^{\prime }-x^{″})$ mit $z\in \stackrel{\circ }{\sigma }(x^{\prime },x^{″})\subset \Omega$.

Definition 4

Auf der offenen Menge $\Omega \subset {ℝ}^n$ sei die Funktion $f\in C^k(\Omega )$ gegeben. Dann erklären wir das Differential der Ordnung $k$ von $f$ als folgende $k$-Form:

(5) $\begin{array}{c}{d}^{k}f(x,h):={\left(\sum _{\alpha =1}^n{h}_{\alpha }\frac{\partial }{\partial x_{\alpha }}\right)}^{k}f(x)\\ =\sum _{{\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_k=1}^n{h}_{\alpha }\frac{{\partial }^{k}f(x)}{\partial x_{{\alpha }_1}\cdot \dots \cdot \partial x_{{\alpha }_k}}{h}_{{\alpha }_1}\cdot \dots \cdot h_{{\alpha }_k},h=(h_1,\dots ,h_n)\in {ℝ}^n.\end{array}$

Beispiel 2

Seien $y=f(x_1,x_2)$ und $h=(h_1,h_2)\in {ℝ}^2$ gewählt, so gilt für das Differential erster Ordnung

$df(x,h)=f_{x_1}(x)h_1+f_{x_2}(x)h_2$

und für das Differential zweiter Ordnung

$d^{2}f(x,h)={(h_1\frac{\partial }{\partial x_1}+h_2\frac{\partial }{\partial x_2})}^{2}f(x,h)=f_{x_1{x}_1}(x)h_1^2+2f_{x_1{x}_2}(x)h_1{h}_2+f_{x_2{x}_2}(x)h_2^2$.

Definition 5

Seien $m,n\in \mathbb{N}$ sowie $k\in \mathbb{N}$ und die offene Menge $\Omega \subset {ℝ}^n$ gegeben. Dann gehört die Funktion $f\in C^k(\Omega ,{ℝ}^m)$ zur Klasse $f\in C^k(\bar{\Omega },{ℝ}^m)$, falls $f$ und alle partiellen Ableitungen bis zur Ordnung $k$ einschließlich zu stetigen Funktionen auf die Menge $\bar{\Omega }$ fortgesetzt werden können. So erhalten wir den Vektorraum $C^k(\bar{\Omega },{ℝ}^m)$ der $k$-mal stetig differenzierbaren Funktionen auf der abgeschlossenen Menge $\bar{\Omega }$. Ferner setzen wir

$C^{\mathrm{\infty }}(\bar{\Omega },{ℝ}^m):=\bigcap _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{C}^k(\bar{\Omega },{ℝ}^m)$

für den Vektorraum der unendlich oft differenzierbaren Funktionen auf $\bar{\Omega }$.