- Sei
eine offene Menge und
eine Funktion, deren partielle Ableitung

- existiere. Außerdem existieren sukzessiv

- überall in
. Dann heißt

- die partielle Ableitung von
der Ordnung
nach den Variablen
. Dabei sind
und
gewählt worden.
- Auf der offenen Menge
sei die Funktion
erklärt. Weiter existieren die partiellen Ableitungen
und
in
. Außerdem sei
an der Stelle
stetig. Dann gilt

- mit der Hilfsfunktion

- für
mit
und
.
Wegen ihrer Offenheit gibt es ein
, so dass die Kreisscheibe

in
liegt. Sei nun
ein beliebiger Punkt aus
mit
und
. Dann können wir

mit Hilfe der Funktion
im Intervall
![{\displaystyle I:=[\min\{x_{0},x\},\max\{x_{0},x\}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3bda37f828c887a0d3419fb2b2f6b9df1df6a4ee)
wie folgt darstellen:
(1)

.
Da
in
existiert, ist
in
stetig und im Innern von
differenzierbar. Damit kann man den Mittelwertsatz der Differentialrechnung anwenden und erhält mit einem
(d. h.
) aus (1) die Beziehung
(2)

.
Eine nochmalige Anwendung des Mittelwertsatzes auf die im Intervall
![{\displaystyle J:=[\min\{y_{0},y\},\max\{y_{0},y\}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/34a3c586f45d95a56351c025f8947e9e64958ae9)
stetige und in
differenzierbare Funktion
liefert

mit einem
(d. h.
). Da der Punkt
beliebig gewählt war, gibt es also zu jedem
mit
und
einen Punkt
mit
und
, so dass
(3)

erfüllt ist. Wegen der vorausgesetzten Stetigkeit von
im Punkt
folgt aus (3) die Relation

.
q.e.d.
- Auf der offenen Menge
sei die Funktion
erklärt. Weiter existieren die partiellen Ableitungen
und
in
, wobei
an der Stelle
stetig ist. Dann existiert auch
im Punkt
und es gilt

.
Da die Voraussetzungen des Satzes 1 erfüllt sind, sehen wir ein:


.
q.e.d.
Für die Funktion

falls

und

verwenden wir universelle Polarkoordinaten
mit
und
. Dann ergibt sich

falls

.
Wir betrachten nun

und berechnen in
ihre ersten partiellen Ableitungen

sowie

.
Hieraus ersehen wir
mit
und wir spezialisieren

falls

sowie

falls

.
Wir erhalten damit, dass die gemischten Ableitungen

nicht übereinstimmen. Folglich muss die gemischte Ableitung
im Nullpunkt stetig sein!
Satz 3 (Vertauschbarkeitslemma von H. A. Schwarz)
[Bearbeiten]
- Seien
und
eine Funktion auf der offenen Menge
, deren partielle Ableitungen
und
stetig in
sind. Dann existiert auch
in
und es gilt
für alle
.
- Die Dimensionen
und die offene Menge
seien gewählt. Dann erklären wir die Menge aller Funktionen

,
- deren partielle Ableitungen bis zur Ordnung
einschließlich existieren und in
stetige Funktionen darstellen, als den Vektorraum der
-mal stetig differenzierbaren Funktionen
. Wir schreiben
und
.
- Wir nennen
eine
-mal stetig partiell differenzierbare Funktion in
. Mit

- bezeichnen wir den Vektorraum der beliebig oft stetig partiell differenzierbaren Funktionen auf
.
Seien
zu
zwei Funktionen und
eine reelle Zahl. Mit den Verknüpfungen

und

wird
zu einem Vektorraum.
- Sei die Funktion
mit
gegeben. Weiter sei
ein System natürlicher Zahlen mit
für
und
eine Permutation von
. Dann gilt
für alle
.
Jede Permutation lässt sich durch endlich viele Vertauschungen benachbarter Paare darstellen. Damit wird der Beweis auf Satz 3 zurückgeführt.
q.e.d.
- Für eine reellwertige Funktion
versteht man unter ihrem Differential
an der Stelle
die Linearform
(4)

.
Der Mittelwertsatz aus §1, Satz 2 erscheint nun in der Form

mit

.
- Auf der offenen Menge
sei die Funktion
gegeben. Dann erklären wir das Differential der Ordnung
von
als folgende
-Form:
(5)

Seien
und
gewählt, so gilt für das Differential erster Ordnung

und für das Differential zweiter Ordnung

.
- Seien
sowie
und die offene Menge
gegeben. Dann gehört die Funktion
zur Klasse
, falls
und alle partiellen Ableitungen bis zur Ordnung
einschließlich zu stetigen Funktionen auf die Menge
fortgesetzt werden können. So erhalten wir den Vektorraum
der
-mal stetig differenzierbaren Funktionen auf der abgeschlossenen Menge
. Ferner setzen wir

- für den Vektorraum der unendlich oft differenzierbaren Funktionen auf
.