Kurs:Analysis II/Kapitel IV: Partielle Differentiation für Funktionen mehrerer Veränderlicher/Taylorsche Formel im R^n und Extremwertaufgaben (§3)

Satz 1 (Taylorsche Formel in mehreren Variablen)

Seien die Dimensionen $m,n\in \mathbb {N}$ und die offene Menge $\Omega$ im $\mathbb {R} ^{n}$ gewählt. Es seien $x$ und $y$ zwei feste Punkte aus $\Omega$, so dass die Verbindungsgerade $\sigma (x,y)$ – auch Segment genannt – die Inklusion

$\sigma (x,y):=\{z=x+t(y-x)\in \mathbb {R} ^{n}|0\leq t\leq 1\}\subset \Omega$

erfüllt.Weiter sei die reellwertige Funktion in der Klasse $f(x)\in C^{m}(\Omega )$ gegeben. Unter Verwendung der Differentiale aus §2 haben wir dann die Darstellung

(1) $f(y)-f(x)=\sum _{k=1}^{m-1}{\frac {1}{k!}}d^{k}f(x,y-x)+{\frac {1}{m!}}d^{m}f(z,y-x)$

mit einem Punkt $z\in {\stackrel {\circ }{\sigma }}:=\sigma (x,y)\setminus \{x,y\}$.

Beweis

Wir betrachten die Funktion $g(t):=f(x+t(y-x)),t\in [0,1]$ der Klasse $C^{m}([0,1])$. Mit Hilfe der Kettenregel erhält man

(2) ${\begin{matrix}g'(t)=\sum _{\alpha =1}^{n}f_{x_{\alpha }}(x+t(y-x))\cdot (y_{\alpha }-x_{\alpha })\\=\left(\sum _{\alpha =1}^{n}(y_{\alpha }-x_{\alpha }){\frac {\partial }{\partial x_{\alpha }}}\right)f(x+t(y-x))\end{matrix}}$,

woraus sich wegen Formel (4) aus §2

(3) $g'(t)=df(x+t(y-x),y-x)$

ergibt. Durch wiederholte Differentiation findet man

(4) $g^{(k)}(t)=\left(\sum _{\alpha =1}^{n}(y_{\alpha }-x_{\alpha }){\frac {\partial }{\partial x_{\alpha }}}\right)^{k}f(x+t(y-x))=d^{k}f(x+t(y-x),y-x)$

für $k=1,2,\ldots ,m$. Die eindimensionale Taylorsche Formel aus Satz 1 von §6 in Kapitel II liefert die Identität

(5) ${\begin{matrix}f(y)-f(x)=g(1)-g(0)=\sum _{k=1}^{m-1}{\frac {1}{k!}}g^{(k)}(0)+{\frac {1}{m!}}g^{(m)}(\theta )\\=\sum _{k=1}^{m-1}{\frac {1}{k!}}d^{k}f(x,y-x)+{\frac {1}{m!}}d^{m}f(z,y-x).\end{matrix}}$

Dabei wurde $\theta \in (0,1)$ gewählt und $z:=x+\theta (y-x)\in {\stackrel {\circ }{\sigma }}(x,y)$ gesetzt.

q.e.d.

Definition 1

Sei auf der offenen Menge $\Omega \subset \mathbb {R} ^{n}$ die Funktion $f(x):\Omega \to \mathbb {R}$ erklärt. Dann hat $f$ ein absolutes oder auch globales Maximum bzw. Minimum im Punkt $x=a\in \Omega$, wenn die Ungleichung

$f(x)\leq f(a)$ bzw. $f(x)\geq f(a)$ für alle $x\in \Omega$

gilt.

Die Funktion $f$ hat ein – schwaches – relatives oder auch lokales Maximum bzw. Minimum an der Stelle $x=a$, wenn es eine Kugel

$K_{\varepsilon }(a):=\{x\in \mathbb {R} ^{n}:|x-a|<\varepsilon \}\subset \Omega$

vom hinreichend kleinen Radius $\varepsilon >0$ so gibt, dass die Ungleichung

$f(x)\leq f(a)$ bzw. $f(x)\geq f(a)$ für alle $x\in K_{\varepsilon }(a)$

erfüllt ist.

Die Funktion $f$ hat ein striktes relatives oder auch lokales Maximum bzw. Minimum an der Stelle $x=a$, wenn es eine Kugel $K_{\varepsilon }(a)\subset \Omega$ vom Radius $\varepsilon >0$ so gibt, dass die Ungleichung

$f(x)<f(a)$ bzw. $f(x)>f(a)$ für alle $x\in K_{\varepsilon }(a)$ mit $x\neq a$

richtig ist.

Wir sprechen von einem Extremum, wenn wir sowohl ein Maximum als auch ein Minimum zulassen.

Satz 2 (Notwendige Bedingung erster Ordnung)

Die stetige Funktion $f(x):\Omega \to \mathbb {R}$ auf der offenen Menge $\Omega \subset \mathbb {R} ^{n}$ besitze an der Stelle $x=a\in \Omega$ ein relatives Maximum oder Minimum – also ein Extremum. Außerdem existieren die ersten partiellen Ableitungen $f_{x_{i}}(a)$ für $i=1,2,\ldots ,n$. Dann gilt die Beziehung

(6) $f_{x_{i}}(a)=0$ für $i=1,2,\ldots ,n$, das heißt $\nabla f(a)=0$.

Beweis

Da die offene Menge $\Omega$ den Punkt $a$ enthält, gibt es eine Kugel $K_{\rho }(a)\subset \Omega$ von hinreichend großem Radius $\rho >0$. Wir betrachten nun die Funktion

$\varphi (t):=f(a_{1},\ldots ,a_{i-1},t,a_{i+1},\ldots ,a_{n}),\quad t\in (a_{i}-\rho ,a_{i}+\rho )$,

die an der Stelle $t=a_{i}$ ein Extremum hat. Weiter existiert $\varphi '(a_{i})$ und wie im Beweis des Rolleschen Satzes aus §3 in Kapitel II zeigen wir

$0=\varphi '(a_{i})=f_{x_{i}}(a)$ für $i=1,\ldots ,n$.

q.e.d.

Definition 2

In der offenen Menge $\Omega \subset \mathbb {R} ^{n}$ nennen wir $a\in \Omega$ einen kritischen Punkt der Funktion $f\in C^{1}(\Omega )$, falls $\nabla f(a)=0$ erfüllt ist.

Satz 3 (Notwendige Bedingung zweiter Ordnung)

Die Funktion $f(x):\Omega \to \mathbb {R}$ auf der offenen Menge $\Omega \subset \mathbb {R} ^{n}$ gehöre zur Klasse $C^{2}(\Omega )$ und besitze an der Stelle $x=a\in \Omega$ ein relatives Minimum. Dann gilt

$\sum _{i,j=1}^{n}f_{x_{i}x_{j}}(a)\xi _{i}\xi _{j}\geq 0$ für alle $\xi =(\xi _{1},\ldots ,\xi _{n})\in \mathbb {R} ^{n}$.

Beweis

Es sei $\xi \in \mathbb {R} ^{n}$ beliebig gewählt. Dann liegt für ein hinreichend kleines $t>0$ die Strecke $\sigma (a,a+t\xi )$ in $\Omega$. Die Taylorsche Formel liefert

$f(a+t\xi )-f(a)=df(a,t\xi )+{\frac {1}{2}}d^{2}f(a+\tau \xi ,t\xi )$

mit einem geeigneten $\tau =\tau (\xi )\in (0,t)$. Da an der Stelle $x=a$ ein relatives Minimum vorliegt folgt $df(a,t\xi )=0$. Ferner ist für alle hinreichend kleinen $t>0$ die Ungleichung $f(a+t\xi )-f(a)\geq 0$ erfüllt. Damit folgt

$0\leq {\frac {1}{2}}d^{2}f(a+\tau \xi ,t\xi )={\frac {t^{2}}{2}}\sum _{i,j=1}^{n}f_{x_{i}x_{j}}(a+\tau \xi )\xi _{i}\xi _{j}$.

Für $t\to 0+$ folgt $\tau \to 0+$ und wegen $f\in C^{2}(\Omega )$ erhalten wir die Behauptung

$\sum _{i,j=1}^{n}f_{x_{i}x_{j}}(a)\xi _{i}\xi _{j}\geq 0$ für alle $\xi \in \mathbb {R} ^{n}$.

Satz 4 (Hinreichende Bedingung zweiter Ordnung)

Sei die Funktion $f=f(x):\Omega \to \mathbb {R} \in C^{2}(\Omega )$ auf der offenen Menge $\Omega \subset \mathbb {R} ^{n}$ gegeben. Weiter sei $a\in \Omega$ ein Punkt, welcher $f_{x_{i}}(a)=0$ für $i=1,2,\ldots ,n$ sowie

$\sum _{i,j=1}^{n}f_{x_{i}x_{j}}(a)\xi _{i}\xi _{j}>0$ für alle $\xi =(\xi _{1},\ldots ,\xi _{n})\in \mathbb {R} ^{n}\setminus \{0\}$

erfüllt. Dann besitzt $f$ an der Stelle $x=a$ ein striktes relatives Minimum.

Beweis

Nach Voraussetzung gilt

(7) $\sum _{i,j=1}^{n}f_{x_{i}x_{j}}(a)\xi _{i}\xi _{j}>0$ für alle $\xi \in S$

auf der kompakten Einheitssphäre $S:=\{\xi \in \mathbb {R} ^{n}:|\xi |=1\}$. Nun ist die quadratische Form aus (7) als Funktion von $\xi$ stetig auf $S$ und nach Satz 8 aus §1 in Kapitel II gibt es eine Zahl $\alpha >0$, so dass

(8) $\sum _{i,j=1}^{n}f_{x_{i}x_{j}}(a)\xi _{i}\xi _{j}\geq \alpha$ für alle $\xi \in S$

ausfällt. Wegen $f\in C^{2}(\Omega )$ gibt es eine hinreichend kleine Zahl $\varepsilon >0$, so dass die Ungleichung

(9) $\sum _{i,j=1}^{n}f_{x_{i}x_{j}}(x)\xi _{i}\xi _{j}\geq {\frac {\alpha }{2}}>0$ für alle $\xi \in S$ und alle $x\in K_{\varepsilon }(a)$

erfüllt ist. Somit folgt

(10) $\sum _{i,j=1}^{n}f_{x_{i}x_{j}}(x)\xi _{i}\xi _{j}\geq {\frac {\alpha }{2}}|\xi |^{2}$ für alle $\xi \in \mathbb {R} ^{n}$ und alle $x\in K_{\varepsilon }(a)\subset \Omega$.

Die Taylorsche Formel liefert für beliebiges $y\in K_{\varepsilon }(a)$ die Identität

$f(y)-f(a)=df(a,y-a)+{\frac {1}{2}}d^{2}(z,y-a)$,

wobei $z$ auf der Verbindungsstrecke ${\stackrel {\circ }{\sigma }}(a,y)\subset K_{\varepsilon }(a)$ liegt. Beachten wir $df(a,y-a)=0$, so folgt mit (10) die Ungleichung

(11) $f(y)-f(a)={\frac {1}{2}}d^{2}(z,y-a)={\frac {1}{2}}\sum _{i,j=1}^{n}f_{x_{i}x_{j}}(z)(y_{i}-a_{i})(y_{j}-a_{j})\geq {\frac {\alpha }{4}}|y-a|^{2}$.

Wir erhalten

(12) $f(y)>f(a)$ für alle $y\neq a$ mit $|y-a|\leq \varepsilon$.

Somit nimmt $f$ im Punkt $a$ ein striktes relatives Minimum an.

q.e.d.

Definition 3

Sei $f=f(x):\Omega \to \mathbb {R} \in C^{2}(\Omega )$ eine Funktion auf der offenen Menge $\Omega \subset \mathbb {R} ^{n}$ und sei ein Punkt $a\in \Omega$ gewählt. Dann nennen wir

$\mathbf {H} f(a):={\Bigl (}f_{x_{i}x_{j}}(a){\Bigr )}_{i,j=1,\ldots ,n}={\begin{pmatrix}f_{x_{1}x_{1}}(a)&\cdots &f_{x_{1}x_{n}}(a)\\\vdots &\ddots &\vdots \\f_{x_{n}x_{1}}(a)&\cdots &f_{x_{n}x_{n}}(a)\end{pmatrix}}$

die Hessesche Matrix von $f$ an der Stelle $a$. Ihr ist die Hessesche quadratische Form

$q(\xi )=\sum _{i,j=1}^{n}f_{x_{i}x_{j}}(a)\xi _{i}\xi _{j},\quad \xi =(\xi _{1},\ldots ,\xi _{n})\in \mathbb {R} ^{n}$

zugeordnet.

Definition 4

Wir nennen die quadratische Form $q$ positiv-definit, falls $q(\xi )>0$ für alle $\xi \in \mathbb {R} ^{n}\setminus \{0\}$ gilt – und positiv-semidefinit, falls $q(\xi )\geq 0$ für alle $\xi \in \mathbb {R} ^{n}$ richtig ist.

Entsprechen heißt die quadratische Form $q$ negativ-definit, falls $q(\xi )<0$ für alle $\xi \in \mathbb {R} ^{n}\setminus \{0\}$ gilt – und negativ-semidefinit, falls $q(\xi )\leq 0$ für alle $\xi \in \mathbb {R} ^{n}$ richtig ist.

Die quadratische Form $q$ wird indefinit genannt, falls es Punkte $\xi ,\eta \in \mathbb {R} ^{n}$ gibt, für die $q(\xi )>0$ bzw. $q(\eta )<0$ richtig ist.

Bemerkungen

1. Als notwendige Bedingung für ein relatives Minimum im Punkt $a$ haben wir in Satz 3 hergeleitet, dass die Hessesche Form im kritischen Punkt $a$ positiv-semidefinit sein muss.
2. Im Satz 4 haben wir gezeigt, dass eine hinreichende Bedingung für ein relatives Minimum eine positiv-definite Hessesche Form im kritischen Punkt $a$ ist.
3. Durch den Übergang von $f$ zu $-f$ erhalten wir Kriterien für relative Maxima von Funktionen.
4. Die Hessesche Form erlaubt nur die Kontrolle relativer aber nicht absoluter Extrema.
5. Die Voraussetzung

$\sum _{i,j=1}^{n}f_{x_{i}x_{j}}(a)\xi _{i}\xi _{j}>0$ für alle $\xi \in \mathbb {R} ^{n}\setminus \{0\}$

in Satz 4 lässt sich nicht durch die schwächere Voraussetzung

$\sum _{i,j=1}^{n}f_{x_{i}x_{j}}(a)\xi _{i}\xi _{j}\geq 0$ für alle $\xi \in \mathbb {R} ^{n}$

ersetzen. Hierzu betrachten wir die Funktion $f(x)=x^{3},x\in \mathbb {R}$, die eine solche schwächere Voraussetzung für $a=0$ erfüllt – dort jedoch kein relatives Minimum besitzt.
6. Andererseits ist die Behauptung in Satz 3 nicht durch die stärkere Aussage

$\sum _{i,j=1}^{n}f_{x_{i}x_{j}}(a)\xi _{i}\xi _{j}>0$ für alle $\xi \in \mathbb {R} ^{n}\setminus \{0\}$

ersetzbar, wie man mit Hilfe der Funktion $f(x)=x^{4},x\in \mathbb {R}$ an der Stelle $a=0$ einsehen kann.

Satz 5

Auf der offenen Menge $\Omega \subset \mathbb {R} ^{n}$ sei die Funktion $f\in C^{2}(\Omega )$ gegeben mit dem kritischen Punkt $a\in \Omega$. Weiter sei die Hessesche Matrix $\mathbf {H} f(a)$ mit der zugeordneten quadratischen Form $q(\xi )$ indefinit. Dann nimmt $f$ im Punkt $a$ weder ein lokales Maximum noch ein lokales Minimum an.

Beweis

Da $q$ indefinit ist, können wir mit den Überlegungen des Beweises von Satz 4 in jeder Umgebung von $a$ Punkte $x_{+}$ und $x_{-}$ mit der Eigenschaft $f(x_{-})<f(a)<f(x_{+})$ finden.

Bemerkungen

1. Die in Satz 5 betrachteten kritischen Punkte $a\in \Omega$ heißen Sattelpunkte.
2. Die Hessesche Matrix

$\mathbf {H} f(a)={\Bigl (}f_{x_{i}x_{j}}(a){\Bigr )}_{i,j=1,\ldots ,n}$

ist genau dann positiv-definit bzw. positiv-semidefinit, falls ihre Hauptminoren

$\mathbf {S} _{k}={\Bigl (}f_{x_{i}x_{j}}(a){\Bigr )}_{i,j=1,\ldots ,k}$

für $k=1,\ldots ,n$ die Bedingungen $\det \mathbf {S} _{k}>0$ bzw. $\det \mathbf {S} _{k}\geq 0$ erfüllen. Dieses Kriterium von A. Hurwitz können wir mit der Hauptachsentransformation symmetrischer, reeller Matrizen sofort einsehen.
3. Als Spezialfall ergibt sich: Die Hessesche Matrix

$\mathbf {H} f(a)={\begin{pmatrix}f_{xx}(a)&f_{xy}(a)\\f_{yx}(a)&f_{yy}(a)\end{pmatrix}}$

ist positiv-definit genau dann, wenn die Bedingung

(13) $f_{xx}(a)>0\quad \wedge \quad f_{xx}(a)\cdot f_{yy}(a)-f_{xy}^{2}(a)>0$

erfüllt ist.

Beispiel 1

Wir untersuchen nun Funktionen $f_{j}:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {}$ für $j=1,\ldots ,4$ mit ihren kritischen Punkten.

1. Die Funktion $f_{1}(x,y)=x^{2}+y^{2}$ hat als einzigen kritischen Punkt den Nullpunkt als ein lokales Minimum, da aus $(0,0)=\nabla f(x,y)=(2x,2y)$ dann $(x,y)=(0,0)$ folgt und die Matrix

$\mathbf {H} f(0,0)={\begin{pmatrix}2&0\\0&2\end{pmatrix}}$

positiv-definit ist.
2. Die Funktion $f_{2}(x,y)=-x^{2}-y^{2}$ hat im Nullpunkt als einzigen kritischen Punkt ein lokales Maximum. Aus $\nabla f(x,y)=(0,0)$ folgt wegen $\nabla f(x,y)=(-2x,-2y)$ die Bedingung $(x,y)=(0,0)$. Außerdem ist die Matrix

$\mathbf {H} f(0,0)={\begin{pmatrix}-2&0\\0&-2\end{pmatrix}}$

negativ-definit.
3. Die Funktion $f_{3}(x,y)=x^{2}-y^{2}$ besitzt als einzigen kritischen Punkt im Nullpunkt einen Sattelpunkt. Aus der notwendigen Bedingung $\nabla f(x,y)=(0,0)$ folgt $(x,y)=(0,0)$ und die Matrix

$\mathbf {H} f(0,0)={\begin{pmatrix}2&0\\0&-2\end{pmatrix}}$

ist indefinit.
4. Die Funktion $f_{1}(x,y)=x^{2}+y^{4}$ erfüllt im Nullpunkt $(x,y)=(0,0)$ die notwendige Bedingung $\nabla f(x,y)=(0,0)$, jedoch ist die Hessesche Matrix

$\mathbf {H} f(0,0)={\begin{pmatrix}2&0\\0&2\end{pmatrix}}$

positiv-semidefinit. Obwohl über die Hessesche Matrix keine generellen Aussagen möglich sind, hat die Funktion $f_{4}$ im Nullpunkt ein striktes lokales Minimum.

Definition 5

Sei $A=(a_{ij})_{i,j=1,2,\ldots ,n}$ eine reelle $n\times n$-Matrix und $\lambda$ eine reelle Zahl. Dann nennen wir $\lambda$ einen Eigenwert der Matrix $A$, wenn es einen Vektor $\xi \in \mathbb {R} ^{n}\setminus \{0\}$ mit der Eigenschaft $A\circ \xi =\lambda \xi$ gibt. Der Vektor $\xi =(\xi _{1},\ldots ,\xi _{n})^{*}$ heißt Eigenvektor zum Eigenwert $\lambda$.

Das Extremalverhalten der Funktion $f\in C^{2}(\Omega )$ in kritischen Punkten wird besonders einfach überprüfbar, wenn man mittels Hauptachsentransformation dort die Hessesche quadratische Form in die Normalform

(14) $q(\xi )=\lambda _{1}\xi _{1}^{2}+\ldots +\lambda _{n}\xi _{n}^{2},\quad \xi =(\xi _{1},\ldots ,\xi _{n})\in \mathbb {R} ^{n}$

überführt. Dabei sind $\lambda _{j}\in \mathbb {R}$ für $j=1,\ldots ,n$ die Eigenwerte der Hesseschen Matrix. Den größten Eigenwert erhalten wir wie folgt durch ein Maximierungsverfahren:

Satz 6 (Existenz des größten Eigenwerts)

Jede reelle, symmetrische Matrix $A=(a_{ij})_{i,j=1,2,\ldots ,n}$ besitzt einen reellen Eigenwert $\lambda$, d. h. es gibt einen Vektor $x\in \mathbb {R} ^{n}$ mit $A\circ x=\lambda x$ und $|x|=1$.

Beweis

Wir betrachten die Funktion

(15) $g(x):={\frac {\sum \limits _{i,j=1}^{n}a_{ij}x_{i}x_{j}}{\sum \limits _{i=1}^{n}x_{i}^{2}}},\quad x=(x_{1},\ldots ,x_{n})\in K$

auf der kompakten Kugelschale $K:=\{x\in \mathbb {R} ^{n}:{\frac {1}{2}}\leq |x|\leq 2\}$. Nun ist $g(x)$ stetig auf $K$ – und nimmt nach Satz 8 aus §1 in Kapitel II ihr Maximum in einem Punkt $\xi \in K$ an. Dabei kann $|\xi |=1$ gewählt werden, da die folgende Beziehung gilt:

$g(x)=g\left({\frac {x}{|x|}}\right)$ für alle $x\in K$.

Nach obigem Satz 2 folgt

$g_{x_{k}}(\xi )=0$ für $k=1,2,\ldots ,n$.

Wir berechnen zunächst

(16) $g(x):={\frac {\left(\sum \limits _{i=1}^{n}x_{i}^{2}\right)\cdot \left(\sum \limits _{i,j=1}^{n}a_{ij}x_{i}x_{j}\right)_{x_{k}}-\left(\sum \limits _{i=1}^{n}x_{i}^{2}\right)_{x_{k}}\cdot \left(\sum \limits _{i,j=1}^{n}a_{ij}x_{i}x_{j}\right)}{\left(\sum \limits _{i=1}^{n}x_{i}^{2}\right)^{2}}}$

für $k=1,\ldots ,n$. Dann ermitteln wir

(17) $\left(\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}\right)_{x_{k}}=2x_{k}$

sowie

(18) ${\begin{matrix}\left(\sum \limits _{i,j=1}^{n}a_{ij}x_{i}x_{j}\right)_{x_{k}}=\sum \limits _{i,j=1}^{n}a_{ij}\delta _{ik}x_{j}+\sum \limits _{i,j=1}^{n}a_{ij}x_{i}\delta _{jk}\\=\sum \limits _{j=1}^{n}a_{kj}x_{j}+\sum \limits _{i=1}^{n}a_{ik}x_{i}=2\cdot \sum \limits _{j=1}^{n}a_{kj}x_{j}.\end{matrix}}$

Dabei benutzen wir die Symmetriebedingung

$a_{ij}=a_{ji}$ für $i,j=1,\ldots ,n$

und verstehen unter

(19) $\delta _{lm}=\left\{{\begin{matrix}1{\text{ falls }}l=m\\0{\text{ falls }}l\neq m\end{matrix}}\right.$ für $1\leq m,l\leq n$

das Kronecker-Symbol. Somit ergibt sich

$0=g_{x_{k}}(\xi )={\frac {2\cdot |\xi |^{2}\sum \limits _{j=1}^{n}a_{kj}\xi _{j}-2\xi _{k}\sum \limits _{i,j=1}^{n}a_{ij}\xi _{i}\xi _{j}}{|\xi |^{4}}}$ für $k=1,\ldots ,n$

Wegen $|\xi |=1$ folgt

(20) $\sum _{j=1}^{n}a_{kj}\xi _{j}=g(\xi )\cdot \xi _{k}$ für $k=1,2,\ldots ,n$

und schließlich $A\circ \xi =\lambda \xi$ mit $|\xi |=1$ und dem größten Eigenwert

(21) $\lambda :=g(\xi )=\max\{g(x):x\in \mathbb {R} ^{n}{\text{ mit }}|x|=1\}$.

q.e.d.

Bemerkungen

1. Indem wir das obige Maximierungsproblem

(22) $g(x)\to {\text{Maximum}},x\in K':=\{x\in K{\Bigl |}\langle x,\xi \rangle =0\}$

auf der Ebene senkrecht zum Eigenvektor $\xi$ lösen, erhalten wir den nächst kleineren Eigenwert; dabei bezeichnet $\langle -,-\rangle$ das Skalarprodukt im $\mathbb {R} ^{n}$. Wir erhalten so für die Matrix $A$ sukzessiv die Eigenwerte

(23) $\lambda _{1}\geq \lambda _{2}\geq \ldots \geq \lambda _{n}$.

2. In der Linearen Algebra bestimmt man alle Eigenwerte einer Matrix $A$, wenn wir mit $E$ die Einheitsmatrix benennen, als Nullstellen des charakteristischen Polynoms

(24) $p(\lambda ):=\det {\Bigl (}A-\lambda E{\Bigr )},\quad \lambda \in \mathbb {C}$

über den Fundamentalsatz der Algebra. Letzteren hatten wir in §8 von Kapitel III mit einer Extremalmethode bewiesen.
3. Aus der Identität $A\circ \xi =\lambda \xi$ erhalten wir durch Skalarmultiplikation mit dem Einheitsvektor $\xi$ und wegen der Symmetrie der Matrix $A$ den reellen Charakter der Eigenwerte wie folgt:

(25) $\lambda =\langle A\circ \xi ,\xi \rangle =\langle \xi ,A\circ \xi \rangle \in \mathbb {R}$.