Kurs:Analysis II/Kapitel IV: Partielle Differentiation für Funktionen mehrerer Veränderlicher/Taylorsche Formel im R^n und Extremwertaufgaben (§3)

Satz 1 (Taylorsche Formel in mehreren Variablen)

Seien die Dimensionen $m,n\in \mathbb{N}$ und die offene Menge $\Omega$ im ${ℝ}^n$ gewählt. Es seien $x$ und $y$ zwei feste Punkte aus $\Omega$, so dass die Verbindungsgerade $\sigma (x,y)$ – auch Segment genannt – die Inklusion

$\sigma (x,y):=\{z=x+t(y-x)\in {ℝ}^n|0\le t\le 1\}\subset \Omega$

erfüllt.Weiter sei die reellwertige Funktion in der Klasse $f(x)\in C^m(\Omega )$ gegeben. Unter Verwendung der Differentiale aus §2 haben wir dann die Darstellung

(1) $f(y)-f(x)=\sum _{k=1}^{m-1}\frac{1}{k!}{d}^{k}f(x,y-x)+\frac{1}{m!}{d}^{m}f(z,y-x)$

mit einem Punkt $z\in \stackrel{\circ }{\sigma }:=\sigma (x,y)\setminus \{x,y\}$.

Beweis

Wir betrachten die Funktion $g(t):=f(x+t(y-x)),t\in [0,1]$ der Klasse $C^m([0,1])$. Mit Hilfe der Kettenregel erhält man

(2) $\begin{array}{c}{g}^{\prime }(t)=\sum _{\alpha =1}^n{f}_{x_{\alpha }}(x+t(y-x))\cdot (y_{\alpha }-x_{\alpha })\\ =(\sum _{\alpha =1}^n(y_{\alpha }-x_{\alpha })\frac{\partial }{\partial x_{\alpha }})f(x+t(y-x))\end{array}$,

woraus sich wegen Formel (4) aus §2

(3) $g^{\prime }(t)=df(x+t(y-x),y-x)$

ergibt. Durch wiederholte Differentiation findet man

(4) $g^{(k)}(t)={(\sum _{\alpha =1}^n(y_{\alpha }-x_{\alpha })\frac{\partial }{\partial x_{\alpha }})}^{k}f(x+t(y-x))=d^{k}f(x+t(y-x),y-x)$

für $k=1,2,\dots ,m$. Die eindimensionale Taylorsche Formel aus Satz 1 von §6 in Kapitel II liefert die Identität

(5) $\begin{array}{c}f(y)-f(x)=g(1)-g(0)=\sum _{k=1}^{m-1}\frac{1}{k!}{g}^{(k)}(0)+\frac{1}{m!}{g}^{(m)}(\theta )\\ =\sum _{k=1}^{m-1}\frac{1}{k!}{d}^{k}f(x,y-x)+\frac{1}{m!}{d}^{m}f(z,y-x).\end{array}$

Dabei wurde $\theta \in (0,1)$ gewählt und $z:=x+\theta (y-x)\in \stackrel{\circ }{\sigma }(x,y)$ gesetzt.

q.e.d.

Definition 1

Sei auf der offenen Menge $\Omega \subset {ℝ}^n$ die Funktion $f(x):\Omega \to ℝ$ erklärt. Dann hat $f$ ein absolutes oder auch globales Maximum bzw. Minimum im Punkt $x=a\in \Omega$, wenn die Ungleichung

$f(x)\le f(a)$ bzw. $f(x)\ge f(a)$ für alle $x\in \Omega$

gilt.

Die Funktion $f$ hat ein – schwaches – relatives oder auch lokales Maximum bzw. Minimum an der Stelle $x=a$, wenn es eine Kugel

$K_{\epsilon }(a):=\{x\in {ℝ}^n:|x-a|<\epsilon \}\subset \Omega$

vom hinreichend kleinen Radius $\epsilon >0$ so gibt, dass die Ungleichung

$f(x)\le f(a)$ bzw. $f(x)\ge f(a)$ für alle $x\in K_{\epsilon }(a)$

erfüllt ist.

Die Funktion $f$ hat ein striktes relatives oder auch lokales Maximum bzw. Minimum an der Stelle $x=a$, wenn es eine Kugel $K_{\epsilon }(a)\subset \Omega$ vom Radius $\epsilon >0$ so gibt, dass die Ungleichung

$f(x)<f(a)$ bzw. $f(x)>f(a)$ für alle $x\in K_{\epsilon }(a)$ mit $x\ne a$

richtig ist.

Wir sprechen von einem Extremum, wenn wir sowohl ein Maximum als auch ein Minimum zulassen.

Satz 2 (Notwendige Bedingung erster Ordnung)

Die stetige Funktion $f(x):\Omega \to ℝ$ auf der offenen Menge $\Omega \subset {ℝ}^n$ besitze an der Stelle $x=a\in \Omega$ ein relatives Maximum oder Minimum – also ein Extremum. Außerdem existieren die ersten partiellen Ableitungen $f_{x_i}(a)$ für $i=1,2,\dots ,n$. Dann gilt die Beziehung

(6) $f_{x_i}(a)=0$ für $i=1,2,\dots ,n$, das heißt $\mathrm{\nabla }f(a)=0$.

Beweis

Da die offene Menge $\Omega$ den Punkt $a$ enthält, gibt es eine Kugel $K_{\rho }(a)\subset \Omega$ von hinreichend großem Radius $\rho >0$. Wir betrachten nun die Funktion

$\phi (t):=f(a_1,\dots ,a_{i-1},t,a_{i+1},\dots ,a_n),t\in (a_i-\rho ,a_i+\rho )$,

die an der Stelle $t=a_i$ ein Extremum hat. Weiter existiert ${\phi }^{\prime }(a_i)$ und wie im Beweis des Rolleschen Satzes aus §3 in Kapitel II zeigen wir

$0={\phi }^{\prime }(a_i)=f_{x_i}(a)$ für $i=1,\dots ,n$.

q.e.d.

Definition 2

In der offenen Menge $\Omega \subset {ℝ}^n$ nennen wir $a\in \Omega$ einen kritischen Punkt der Funktion $f\in C^1(\Omega )$, falls $\mathrm{\nabla }f(a)=0$ erfüllt ist.

Satz 3 (Notwendige Bedingung zweiter Ordnung)

Die Funktion $f(x):\Omega \to ℝ$ auf der offenen Menge $\Omega \subset {ℝ}^n$ gehöre zur Klasse $C^2(\Omega )$ und besitze an der Stelle $x=a\in \Omega$ ein relatives Minimum. Dann gilt

$\sum _{i,j=1}^n{f}_{x_i{x}_j}(a){\xi }_i{\xi }_j\ge 0$ für alle $\xi =({\xi }_1,\dots ,{\xi }_n)\in {ℝ}^n$.

Beweis

Es sei $\xi \in {ℝ}^n$ beliebig gewählt. Dann liegt für ein hinreichend kleines $t>0$ die Strecke $\sigma (a,a+t\xi )$ in $\Omega$. Die Taylorsche Formel liefert

$f(a+t\xi )-f(a)=df(a,t\xi )+\frac{1}{2}{d}^{2}f(a+\tau \xi ,t\xi )$

mit einem geeigneten $\tau =\tau (\xi )\in (0,t)$. Da an der Stelle $x=a$ ein relatives Minimum vorliegt folgt $df(a,t\xi )=0$. Ferner ist für alle hinreichend kleinen $t>0$ die Ungleichung $f(a+t\xi )-f(a)\ge 0$ erfüllt. Damit folgt

$0\le \frac{1}{2}{d}^{2}f(a+\tau \xi ,t\xi )=\frac{t^2}{2}\sum _{i,j=1}^n{f}_{x_i{x}_j}(a+\tau \xi ){\xi }_i{\xi }_j$.

Für $t\to 0+$ folgt $\tau \to 0+$ und wegen $f\in C^2(\Omega )$ erhalten wir die Behauptung

$\sum _{i,j=1}^n{f}_{x_i{x}_j}(a){\xi }_i{\xi }_j\ge 0$ für alle $\xi \in {ℝ}^n$.

Satz 4 (Hinreichende Bedingung zweiter Ordnung)

Sei die Funktion $f=f(x):\Omega \to ℝ\in C^2(\Omega )$ auf der offenen Menge $\Omega \subset {ℝ}^n$ gegeben. Weiter sei $a\in \Omega$ ein Punkt, welcher $f_{x_i}(a)=0$ für $i=1,2,\dots ,n$ sowie

$\sum _{i,j=1}^n{f}_{x_i{x}_j}(a){\xi }_i{\xi }_j>0$ für alle $\xi =({\xi }_1,\dots ,{\xi }_n)\in {ℝ}^n\setminus \{0\}$

erfüllt. Dann besitzt $f$ an der Stelle $x=a$ ein striktes relatives Minimum.

Beweis

Nach Voraussetzung gilt

(7) $\sum _{i,j=1}^n{f}_{x_i{x}_j}(a){\xi }_i{\xi }_j>0$ für alle $\xi \in S$

auf der kompakten Einheitssphäre $S:=\{\xi \in {ℝ}^n:|\xi |=1\}$. Nun ist die quadratische Form aus (7) als Funktion von $\xi$ stetig auf $S$ und nach Satz 8 aus §1 in Kapitel II gibt es eine Zahl $\alpha >0$, so dass

(8) $\sum _{i,j=1}^n{f}_{x_i{x}_j}(a){\xi }_i{\xi }_j\ge \alpha$ für alle $\xi \in S$

ausfällt. Wegen $f\in C^2(\Omega )$ gibt es eine hinreichend kleine Zahl $\epsilon >0$, so dass die Ungleichung

(9) $\sum _{i,j=1}^n{f}_{x_i{x}_j}(x){\xi }_i{\xi }_j\ge \frac{\alpha }{2}>0$ für alle $\xi \in S$ und alle $x\in K_{\epsilon }(a)$

erfüllt ist. Somit folgt

(10) $\sum _{i,j=1}^n{f}_{x_i{x}_j}(x){\xi }_i{\xi }_j\ge \frac{\alpha }{2}|\xi {|}^2$ für alle $\xi \in {ℝ}^n$ und alle $x\in K_{\epsilon }(a)\subset \Omega$.

Die Taylorsche Formel liefert für beliebiges $y\in K_{\epsilon }(a)$ die Identität

$f(y)-f(a)=df(a,y-a)+\frac{1}{2}{d}^2(z,y-a)$,

wobei $z$ auf der Verbindungsstrecke $\stackrel{\circ }{\sigma }(a,y)\subset K_{\epsilon }(a)$ liegt. Beachten wir $df(a,y-a)=0$, so folgt mit (10) die Ungleichung

(11) $f(y)-f(a)=\frac{1}{2}{d}^2(z,y-a)=\frac{1}{2}\sum _{i,j=1}^n{f}_{x_i{x}_j}(z)(y_i-a_i)(y_j-a_j)\ge \frac{\alpha }{4}|y-a{|}^2$.

Wir erhalten

(12) $f(y)>f(a)$ für alle $y\ne a$ mit $|y-a|\le \epsilon$.

Somit nimmt $f$ im Punkt $a$ ein striktes relatives Minimum an.

q.e.d.

Definition 3

Sei $f=f(x):\Omega \to ℝ\in C^2(\Omega )$ eine Funktion auf der offenen Menge $\Omega \subset {ℝ}^n$ und sei ein Punkt $a\in \Omega$ gewählt. Dann nennen wir

$𝐇f(a):=(f_{x_i{x}_j}(a){)}_{i,j=1,\dots ,n}=\left(\begin{array}{ccc}{f}_{x_1{x}_1}(a)& \cdots & f_{x_1{x}_n}(a)\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ f_{x_n{x}_1}(a)& \cdots & f_{x_n{x}_n}(a)\end{array}\right)$

die Hessesche Matrix von $f$ an der Stelle $a$. Ihr ist die Hessesche quadratische Form

$q(\xi )=\sum _{i,j=1}^n{f}_{x_i{x}_j}(a){\xi }_i{\xi }_j,\xi =({\xi }_1,\dots ,{\xi }_n)\in {ℝ}^n$

zugeordnet.

Definition 4

Wir nennen die quadratische Form $q$ positiv-definit, falls $q(\xi )>0$ für alle $\xi \in {ℝ}^n\setminus \{0\}$ gilt – und positiv-semidefinit, falls $q(\xi )\ge 0$ für alle $\xi \in {ℝ}^n$ richtig ist.

Entsprechen heißt die quadratische Form $q$ negativ-definit, falls $q(\xi )<0$ für alle $\xi \in {ℝ}^n\setminus \{0\}$ gilt – und negativ-semidefinit, falls $q(\xi )\le 0$ für alle $\xi \in {ℝ}^n$ richtig ist.

Die quadratische Form $q$ wird indefinit genannt, falls es Punkte $\xi ,\eta \in {ℝ}^n$ gibt, für die $q(\xi )>0$ bzw. $q(\eta )<0$ richtig ist.

Bemerkungen

1. Als notwendige Bedingung für ein relatives Minimum im Punkt $a$ haben wir in Satz 3 hergeleitet, dass die Hessesche Form im kritischen Punkt $a$ positiv-semidefinit sein muss.
2. Im Satz 4 haben wir gezeigt, dass eine hinreichende Bedingung für ein relatives Minimum eine positiv-definite Hessesche Form im kritischen Punkt $a$ ist.
3. Durch den Übergang von $f$ zu $-f$ erhalten wir Kriterien für relative Maxima von Funktionen.
4. Die Hessesche Form erlaubt nur die Kontrolle relativer aber nicht absoluter Extrema.
5. Die Voraussetzung

$\sum _{i,j=1}^n{f}_{x_i{x}_j}(a){\xi }_i{\xi }_j>0$ für alle $\xi \in {ℝ}^n\setminus \{0\}$

in Satz 4 lässt sich nicht durch die schwächere Voraussetzung

$\sum _{i,j=1}^n{f}_{x_i{x}_j}(a){\xi }_i{\xi }_j\ge 0$ für alle $\xi \in {ℝ}^n$

ersetzen. Hierzu betrachten wir die Funktion $f(x)=x^3,x\in ℝ$, die eine solche schwächere Voraussetzung für $a=0$ erfüllt – dort jedoch kein relatives Minimum besitzt.
6. Andererseits ist die Behauptung in Satz 3 nicht durch die stärkere Aussage

$\sum _{i,j=1}^n{f}_{x_i{x}_j}(a){\xi }_i{\xi }_j>0$ für alle $\xi \in {ℝ}^n\setminus \{0\}$

ersetzbar, wie man mit Hilfe der Funktion $f(x)=x^4,x\in ℝ$ an der Stelle $a=0$ einsehen kann.

Satz 5

Auf der offenen Menge $\Omega \subset {ℝ}^n$ sei die Funktion $f\in C^2(\Omega )$ gegeben mit dem kritischen Punkt $a\in \Omega$. Weiter sei die Hessesche Matrix $𝐇f(a)$ mit der zugeordneten quadratischen Form $q(\xi )$ indefinit. Dann nimmt $f$ im Punkt $a$ weder ein lokales Maximum noch ein lokales Minimum an.

Beweis

Da $q$ indefinit ist, können wir mit den Überlegungen des Beweises von Satz 4 in jeder Umgebung von $a$ Punkte $x_{+}$ und $x_{-}$ mit der Eigenschaft $f(x_{-})<f(a)<f(x_{+})$ finden.

Bemerkungen

1. Die in Satz 5 betrachteten kritischen Punkte $a\in \Omega$ heißen Sattelpunkte.
2. Die Hessesche Matrix

$𝐇f(a)=(f_{x_i{x}_j}(a){)}_{i,j=1,\dots ,n}$

ist genau dann positiv-definit bzw. positiv-semidefinit, falls ihre Hauptminoren

${𝐒}_k=(f_{x_i{x}_j}(a){)}_{i,j=1,\dots ,k}$

für $k=1,\dots ,n$ die Bedingungen $det{𝐒}_k>0$ bzw. $det{𝐒}_k\ge 0$ erfüllen. Dieses Kriterium von A. Hurwitz können wir mit der Hauptachsentransformation symmetrischer, reeller Matrizen sofort einsehen.
3. Als Spezialfall ergibt sich: Die Hessesche Matrix

$𝐇f(a)=\left(\begin{array}{cc}{f}_{xx}(a)& f_{xy}(a)\\ f_{yx}(a)& f_{yy}(a)\end{array}\right)$

ist positiv-definit genau dann, wenn die Bedingung

(13) $f_{xx}(a)>0\wedge f_{xx}(a)\cdot f_{yy}(a)-f_{xy}^2(a)>0$

erfüllt ist.

Beispiel 1

Wir untersuchen nun Funktionen $f_j:{ℝ}^2\to$ für $j=1,\dots ,4$ mit ihren kritischen Punkten.

1. Die Funktion $f_1(x,y)=x^2+y^2$ hat als einzigen kritischen Punkt den Nullpunkt als ein lokales Minimum, da aus $(0,0)=\mathrm{\nabla }f(x,y)=(2x,2y)$ dann $(x,y)=(0,0)$ folgt und die Matrix

$𝐇f(0,0)=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 2\end{array}\right)$

positiv-definit ist.
2. Die Funktion $f_2(x,y)=-x^2-y^2$ hat im Nullpunkt als einzigen kritischen Punkt ein lokales Maximum. Aus $\mathrm{\nabla }f(x,y)=(0,0)$ folgt wegen $\mathrm{\nabla }f(x,y)=(-2x,-2y)$ die Bedingung $(x,y)=(0,0)$. Außerdem ist die Matrix

$𝐇f(0,0)=\left(\begin{array}{cc}-2& 0\\ 0& -2\end{array}\right)$

negativ-definit.
3. Die Funktion $f_3(x,y)=x^2-y^2$ besitzt als einzigen kritischen Punkt im Nullpunkt einen Sattelpunkt. Aus der notwendigen Bedingung $\mathrm{\nabla }f(x,y)=(0,0)$ folgt $(x,y)=(0,0)$ und die Matrix

$𝐇f(0,0)=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& -2\end{array}\right)$

ist indefinit.
4. Die Funktion $f_1(x,y)=x^2+y^4$ erfüllt im Nullpunkt $(x,y)=(0,0)$ die notwendige Bedingung $\mathrm{\nabla }f(x,y)=(0,0)$, jedoch ist die Hessesche Matrix

$𝐇f(0,0)=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 2\end{array}\right)$

positiv-semidefinit. Obwohl über die Hessesche Matrix keine generellen Aussagen möglich sind, hat die Funktion $f_4$ im Nullpunkt ein striktes lokales Minimum.

Definition 5

Sei $A=(a_{ij}{)}_{i,j=1,2,\dots ,n}$ eine reelle $n\times n$-Matrix und $\lambda$ eine reelle Zahl. Dann nennen wir $\lambda$ einen Eigenwert der Matrix $A$, wenn es einen Vektor $\xi \in {ℝ}^n\setminus \{0\}$ mit der Eigenschaft $A\circ \xi =\lambda \xi$ gibt. Der Vektor $\xi =({\xi }_1,\dots ,{\xi }_n{)}^{\ast }$ heißt Eigenvektor zum Eigenwert $\lambda$.

Das Extremalverhalten der Funktion $f\in C^2(\Omega )$ in kritischen Punkten wird besonders einfach überprüfbar, wenn man mittels Hauptachsentransformation dort die Hessesche quadratische Form in die Normalform

(14) $q(\xi )={\lambda }_1{\xi }_1^2+\dots +{\lambda }_n{\xi }_n^2,\xi =({\xi }_1,\dots ,{\xi }_n)\in {ℝ}^n$

überführt. Dabei sind ${\lambda }_j\in ℝ$ für $j=1,\dots ,n$ die Eigenwerte der Hesseschen Matrix. Den größten Eigenwert erhalten wir wie folgt durch ein Maximierungsverfahren:

Satz 6 (Existenz des größten Eigenwerts)

Jede reelle, symmetrische Matrix $A=(a_{ij}{)}_{i,j=1,2,\dots ,n}$ besitzt einen reellen Eigenwert $\lambda$, d. h. es gibt einen Vektor $x\in {ℝ}^n$ mit $A\circ x=\lambda x$ und $|x|=1$.

Beweis

Wir betrachten die Funktion

(15) $g(x):=\frac{\sum _{i,j=1}^n{a}_{ij}{x}_i{x}_j}{\sum _{i=1}^n{x}_i^2},x=(x_1,\dots ,x_n)\in K$

auf der kompakten Kugelschale $K:=\{x\in {ℝ}^n:\frac{1}{2}\le |x|\le 2\}$. Nun ist $g(x)$ stetig auf $K$ – und nimmt nach Satz 8 aus §1 in Kapitel II ihr Maximum in einem Punkt $\xi \in K$ an. Dabei kann $|\xi |=1$ gewählt werden, da die folgende Beziehung gilt:

$g(x)=g\left(\frac{x}{|x|}\right)$ für alle $x\in K$.

Nach obigem Satz 2 folgt

$g_{x_k}(\xi )=0$ für $k=1,2,\dots ,n$.

Wir berechnen zunächst

(16) $g(x):=\frac{\left(\sum _{i=1}^n{x}_i^2\right)\cdot {\left(\sum _{i,j=1}^n{a}_{ij}{x}_i{x}_j\right)}_{x_k}-{\left(\sum _{i=1}^n{x}_i^2\right)}_{x_k}\cdot \left(\sum _{i,j=1}^n{a}_{ij}{x}_i{x}_j\right)}{{\left(\sum _{i=1}^n{x}_i^2\right)}^2}$

für $k=1,\dots ,n$. Dann ermitteln wir

(17) ${\left(\sum _{i=1}^n{x}_i^2\right)}_{x_k}=2x_k$

sowie

(18) $\begin{array}{c}{\left(\sum _{i,j=1}^n{a}_{ij}{x}_i{x}_j\right)}_{x_k}=\sum _{i,j=1}^n{a}_{ij}{\delta }_{ik}{x}_j+\sum _{i,j=1}^n{a}_{ij}{x}_i{\delta }_{jk}\\ =\sum _{j=1}^n{a}_{kj}{x}_j+\sum _{i=1}^n{a}_{ik}{x}_i=2\cdot \sum _{j=1}^n{a}_{kj}{x}_j.\end{array}$

Dabei benutzen wir die Symmetriebedingung

$a_{ij}=a_{ji}$ für $i,j=1,\dots ,n$

und verstehen unter

(19) ${\delta }_{lm}=\{\begin{array}{c}1\text{ falls }l=m\\ 0\text{ falls }l\ne m\end{array}$ für $1\le m,l\le n$

das Kronecker-Symbol. Somit ergibt sich

$0=g_{x_k}(\xi )=\frac{2\cdot |\xi {|}^2\sum _{j=1}^n{a}_{kj}{\xi }_j-2{\xi }_k\sum _{i,j=1}^n{a}_{ij}{\xi }_i{\xi }_j}{|\xi {|}^4}$ für $k=1,\dots ,n$

Wegen $|\xi |=1$ folgt

(20) $\sum _{j=1}^n{a}_{kj}{\xi }_j=g(\xi )\cdot {\xi }_k$ für $k=1,2,\dots ,n$

und schließlich $A\circ \xi =\lambda \xi$ mit $|\xi |=1$ und dem größten Eigenwert

(21) $\lambda :=g(\xi )=max\{g(x):x\in {ℝ}^n\text{ mit }|x|=1\}$.

q.e.d.

Bemerkungen

1. Indem wir das obige Maximierungsproblem

(22) $g(x)\to \text{Maximum},x\in K^{\prime }:=\{x\in K|⟨x,\xi ⟩=0\}$

auf der Ebene senkrecht zum Eigenvektor $\xi$ lösen, erhalten wir den nächst kleineren Eigenwert; dabei bezeichnet $⟨-,-⟩$ das Skalarprodukt im ${ℝ}^n$. Wir erhalten so für die Matrix $A$ sukzessiv die Eigenwerte

(23) ${\lambda }_1\ge {\lambda }_2\ge \dots \ge {\lambda }_n$.

2. In der Linearen Algebra bestimmt man alle Eigenwerte einer Matrix $A$, wenn wir mit $E$ die Einheitsmatrix benennen, als Nullstellen des charakteristischen Polynoms

(24) $p(\lambda ):=det(A-\lambda E),\lambda \in ℂ$

über den Fundamentalsatz der Algebra. Letzteren hatten wir in §8 von Kapitel III mit einer Extremalmethode bewiesen.
3. Aus der Identität $A\circ \xi =\lambda \xi$ erhalten wir durch Skalarmultiplikation mit dem Einheitsvektor $\xi$ und wegen der Symmetrie der Matrix $A$ den reellen Charakter der Eigenwerte wie folgt:

(25) $\lambda =⟨A\circ \xi ,\xi ⟩=⟨\xi ,A\circ \xi ⟩\in ℝ$.