Kurs:Analysis II/Kapitel V: Das Riemannsche Integral im R^n/Der Stokessche Integralsatz für glatt berandete C^2-Mannigfaltigkeiten

§9 Der Stokessche Integralsatz für glatt berandete $C^{2}$-Mannigfaltigkeiten

Wir wählen $m\in \mathbb {N}$ und betrachten die $m$- dimensionale Ebene

(1) $\mathbb {E} ^{m}:={\Bigl \{}(0,y_{1},\ldots ,y_{m})\in \mathbb {R} ^{m+1}:(y_{1},\ldots ,y_{m})\in \mathbb {R} ^{m}{\Bigr \}}.$

Ähnlich wie im Beispiel aus §8 erklären wir zu vorgegebenem $\eta \in \mathbb {R} ^{m+1}$ und $r>0$ den Halbwürfel

$H_{r}(\eta ):={\Bigl \{}y\in \mathbb {R} ^{m+1}:y_{1}\in (\eta _{1}-r,\eta _{1}),y_{j}\in (\eta _{j}-r,\eta _{j}+r)\mathrm {\ f{\ddot {u}}r\ } j=2,\ldots ,m+1{\Bigr \}}$

der Kantenlänge $2r$. Dieser hat die obere begrenzende Seite

$S_{r}(\eta ):={\Bigl \{}y\in \mathbb {R} ^{m+1}:y_{1}=\eta _{1},y_{j}\in (\eta _{j}-r,\eta _{j}+r)\mathrm {\ f{\ddot {u}}r\ } j=2,\ldots ,m+1{\Bigr \}}$

Die Symbole $H_{r}(\eta )$ und $S_{r}(\eta )$ fassen wir als Flächen im $\mathbb {R} ^{m+1}$ wie folgt auf:

(2) $H_{r}(\eta ):Y(t_{1},\ldots ,t_{m+1})=(\eta _{1}+t_{1},\ldots ,\eta _{m+1}+t_{m+1})$ mit $-r<t_{1}<0,|t_{j}|<r$ für $j=2,\ldots ,m+1$

sowie

(3) $S_{r}(\eta ):Y(t_{1},\ldots ,t_{m})=(\eta _{1},\eta _{2}+t_{1},\ldots ,\eta _{m+1}+t_{m})$ mit $|t_{j}|<r$ für $j=1,\ldots ,m$.

Seien nun $\eta \in \mathbb {E} ^{m}$ und $r>0$ fest gewählt, so setzen wir $H:=H_{r}(\eta )$ bzw. $S:=S_{r}(\eta )$. Mit der Bedingung $n>m$ stelle

(4) $\Phi =\Phi (y_{1},\ldots ,y_{m+1}):{\overline {H}}\to \mathbb {R} ^{n}\in C^{2}({\overline {H}},\mathbb {R} ^{n})$

eine Fläche dar, welche auf eine ${\overline {H}}$ enthaltende offene Menge im $\mathbb {R} ^{m+1}$ als reguläre $C^{2}$-Fläche fortsetzbar ist. Definieren wir

(5) $X(y_{1},\ldots ,y_{m+1}):=\Phi (y_{1},\ldots ,y_{m+1}),\quad (y_{1},\ldots ,y_{m+1})\in {\overline {H}},$

so erhalten wir die folgende $(m+1)$-dimensionale Fläche im $\mathbb {R} ^{n}$

${\mathcal {F}}:={\Bigl \{}X(t)\in \mathbb {R} ^{n}:t\in H{\Bigr \}},$

deren Rand die $m$-dimensionale Fläche

${\mathcal {S}}:={\Bigl \{}X(t)\in \mathbb {R} ^{n}:t\in S{\Bigr \}}$

enthält. Sei nun eine $m$-Form

(6) $\omega =\sum _{i_{1},\ldots ,i_{m}=1}^{n}a_{i_{1}\ldots i_{m}}(x)\,dx_{i_{1}}\wedge \ldots \wedge dx_{i_{m}},\quad x\in {\overline {\mathcal {F}}}$

der Regularitätsklasse $\omega \in C_{0}^{1}({\mathcal {F}}\cup {\mathcal {S}})$. Dieses bedeutet, dass auf einer offenen Menge ${\mathcal {F}}\cup {\mathcal {S}}\subset {\mathcal {O}}\subset \mathbb {R} ^{n}$ die Regularitätsforderung $\omega \in C_{0}^{1}({\mathcal {O}})$ erfüllt ist.

Hilfssatz 1

Seien die Fläche ${\mathcal {F}}$ mit dem Randstück ${\mathcal {S}}$ sowie eine $m$-dimensionale Differentialform $\omega$ wie oben gegeben. Dann gilt

$\int \limits _{\mathcal {F}}d\omega =\int \limits _{\mathcal {S}}\omega .$

Beweis

Unter Verwendung der Sätze sowie dem Beispiel aus §8 erhalten wir

$\int \limits _{\mathcal {F}}d\omega =\int \limits _{X}d\omega =\int \limits _{H}(d\omega )_{\Phi }=\int \limits _{H}d(\omega _{\Phi })=\int \limits _{S}\omega _{\Phi }=\int \limits _{\mathcal {S}}\omega .$

q.e.d.

Definition 1

Seien $1\leq m\leq n$ sowie die Menge ${\mathcal {M}}\subset \mathbb {R} ^{n}$ gegeben. Wir nennen ${\mathcal {M}}$ eine $m$-dimensionale $C^{k}$-Mannigfaltigkeit, falls es zu jedem $\xi \in {\mathcal {M}}$ ein $\eta \in \mathbb {R} ^{n}$ sowie offene Umgebungen $U\subset \mathbb {R} ^{n}$ von $\xi \in U$ und $V\subset \mathbb {R} ^{n}$ von $\eta \in V$ sowie eine reguläre, eingebettete Fläche

$x=\Phi (y):V\to U\in C^{k}(V,\mathbb {R} ^{n})$

gibt, so dass

$\xi =\Phi (\eta )$ und $\Phi (V)={\mathcal {M}}\cap U$

richtig ist; dabei ist $k\in \mathbb {N}$ gewählt worden. Hier nennen wir $(\Phi ,V)$ eine Karte der Mannigfaltigkeit. Die Gesamtheit aller Karten

${\mathcal {A}}:={\Bigl \{}(\Phi _{\iota },V_{\iota }):\iota \in J{\Bigr \}}$

bildet einen Atlas der Mannigfaltigkeit. Sind $\Phi _{j}:V_{j}\to U_{j}\cap {\mathcal {M}}$ mit $j=1,2$ zwei Karten von ${\mathcal {A}}$, so dass $W_{1,2}:={\mathcal {M}}\cap U_{1}\cap U_{2}\neq \emptyset$ richtig ist, dann betrachten wir die Parametertransformation $\Phi _{2,1}:=\Phi _{2}^{-1}\circ \Phi _{1}$. Falls für solche beliebige Karten aus dem Atlas jeweils deren Funktionaldeterminante die Bedingung

$J_{\Phi _{2,1}}(x)>0,\quad x\in \Phi _{1}^{-1}(W_{1,2})$

erfüllt, so wird die Mannigfaltigkeit durch den Atlas orientiert.

Definition 2

Sei ${\mathcal {M}}$ eine beschränkte, $(m+1)$-dimensionale, orientierte $C^{k}$-Mannigfaltigkeit im $\mathbb {R} ^{n}$ der Dimensionen $n>m$ vom Differentiationsgrad $k\in \mathbb {N}$. Den topologischen Abschluss der Punktmenge ${\mathcal {M}}$ bezeichnen wir mit ${\overline {\mathcal {M}}}$ und die Menge der Randpunkte mit $\partial {\mathcal {M}}:={\overline {\mathcal {M}}}\setminus {\mathcal {M}}$. Wir sprechen von einer glatt berandeten $C^{k}$-Mannigfaltigkeit, wenn für jeden Randpunkt $\xi \in \partial {\mathcal {M}}$ folgendes gilt:

Es gibt einen Halbwürfel $H_{r}(\eta )$ im $\mathbb {R} ^{m+1}$ mit $\eta \in \mathbb {E} ^{m}$ zu einem $r>0$ sowie eine reguläre eingebettete Fläche

$\Phi (y):{\overline {H_{r}(\eta )}}\to \mathbb {R} ^{n}\in C^{k}({\overline {H_{r}(\eta )}}),$

so dass $\Phi {\bigr |}_{H_{r}(\eta )}$ zum orientierten Atlas ${\mathcal {A}}$ von ${\mathcal {M}}$ gehört und eine offene Umgebung $U\subset \mathbb {R} ^{n}$ von $\xi \in U$ mit den folgenden Eigenschaften:

$\Phi (\eta )=\xi ,\quad \Phi {\Bigl (}S_{r}(\eta ){\Bigr )}=\partial {\mathcal {M}}\cap U,\quad \Phi {\Bigl (}H_{r}(\eta ){\Bigr )}={\mathcal {M}}\cap U.$

Bemerkungen

1. Wir lassen auch den Fall $\partial {\mathcal {M}}=\emptyset$ zu und sprechen dann von einer geschlossenen $C^{k}$-Mannigfaltigkeit.

2. Seien ${\mathcal {M}}$ und $\partial {\mathcal {M}}$ aus Definition 2 mit den Karten $\Phi :{\overline {H_{r}(\eta )}}\to \mathbb {R} ^{n}$ gegeben. Dann bildet

(8) $\partial {\mathcal {A}}:={\Bigl \{}\Phi {\bigl |}_{S_{r}(\eta )}:\Phi {\bigl |}_{H_{r}(\eta )}$ gehört zum orientierten Atlas ${\mathcal {A}}$ von ${\mathcal {M}}{\Bigr \}}$

einen orientierten Atlas von dem glatten Rand $\partial {\mathcal {M}}$. Also wird $\partial {\mathcal {M}}$ zu einer orientierten, $m$-dimensionalen, geschlossenen $C^{2}$-Mannigfaltigkeit.

Sei ${\mathcal {M}}\subset \mathbb {R} ^{n}$ eine $(m+1)$-dimensionale, beschränkte, orientierte, glatt berandete $C^{2}$-Mannigfaltigkeit mit dem glatten Rand $\partial {\mathcal {M}}$. Sei weiter

(9) $\lambda =\sum _{1\leq i_{1}<\ldots <i_{m+1}\leq n}b_{i_{1}\ldots i_{m+1}}(x)\,dx_{i_{1}}\wedge \ldots \wedge dx_{i_{m+1}},\quad x\in {\mathcal {M}}$

eine auf dem Abschluss ${\overline {\mathcal {M}}}$ stetige Differentialform. Wir wollen nun das Integral $\int \limits _{\mathcal {M}}\lambda$ der Differentialform $\lambda$ über die Mannigfaltigkeit ${\mathcal {M}}$ erklären. Wir betrachten den kompakten Träger von $\lambda$, nämlich

(10) $\operatorname {supp} \,\lambda :={\overline {\{x\in {\mathcal {M}}:\lambda (x)\neq 0\}}}\subset {\mathcal {M}}\cup \partial {\mathcal {M}}={\overline {\mathcal {M}}}.$

Dann existieren offene Mengen $V_{\iota }\subset \mathbb {R} ^{m+1}$ und $U_{\iota }\subset \mathbb {R} ^{n}$ mit $\iota \in J$ sowie Karten $\Phi _{\iota }:V_{\iota }\to U_{\iota }\cap {\mathcal {M}}$, so dass die offenen Mengen $\{U_{\iota }\}_{\iota \in J}$ die kompakte Menge $\operatorname {supp} \,\lambda$ überdecken. Wir wählen nun im $\mathbb {R} ^{n}$ eine dem Mengensystem $\{U_{\iota }\}_{\iota \in J}$ untergeordnete Zerlegung der Eins und erhalten das Funktionensystem

(11) ${\begin{matrix}\alpha _{k}(x):{\overline {\mathcal {M}}}\to [0,1]\in C^{1}({\overline {\mathcal {M}}}){\text{ mit }}\operatorname {supp} \,\alpha _{k}\subset U_{\iota _{k}}\cap {\overline {\mathcal {M}}}\\\mathrm {f{\ddot {u}}r\ } k=1,\ldots ,k_{0}{\text{ und }}\sum \limits _{k=1}^{k_{0}}\alpha _{k}(x)=1\mathrm {\ f{\ddot {u}}r\ alle\ } x\in \operatorname {supp} \,\lambda .\end{matrix}}$

Definition 3

Das Integral der Differentialform $\lambda$ über die Mannigfaltigkeit ${\mathcal {M}}$ erklären wir durch

(12) $\int \limits _{\mathcal {M}}\lambda :=\sum _{k=1}^{k_{0}}\int \limits _{\mathcal {M}}\alpha _{k}\lambda =\sum _{k=1}^{k_{0}}\int \limits _{V_{k}}(\alpha _{k}\lambda )_{\Phi _{k}}.$

Wir wollen nun zeigen, dass in Gleichung (12) das Integral unabhängig von der Überdeckung des Trägers von $\lambda$ und von der verwendeten Zerlegung der Eins ist: Stellt nämlich

${\tilde {\Phi }}_{\iota }:{\tilde {V}}_{\iota }\to {\tilde {U}}_{\iota }\cap {\mathcal {M}}$ mit $\iota \in {\tilde {J}}$

ein weiteres $\operatorname {supp} \,\lambda$ überdeckendes System von Karten dar, so wählen wir wiederum eine dem System $\{{\tilde {U}}_{\iota }\}_{\iota }$ untergeordnete Teilung der Eins von $\operatorname {supp} \,\lambda$. Wir erhalten

(13) ${\begin{matrix}{\tilde {\alpha }}_{l}:{\overline {\mathcal {M}}}\to [0,1]\in C^{1}({\overline {\mathcal {M}}}){\text{ mit }}\operatorname {supp} \,{\tilde {\alpha }}_{l}\subset {\tilde {U}}_{\iota _{l}}\cap {\overline {\mathcal {M}}}\\\mathrm {f{\ddot {u}}r\ } l=1,\ldots ,l_{0}{\text{ sowie }}\sum \limits _{l=1}^{l_{0}}\alpha _{l}(x)=1\mathrm {\ f{\ddot {u}}r\ alle\ } x\in \operatorname {supp} \,\lambda .\end{matrix}}$

Wir beachten die Inklusionen

(14) $\operatorname {supp} \,(\alpha _{k}{\tilde {\alpha }}_{l})\subset U_{k}\cap U_{l}\cap {\overline {\mathcal {M}}}$ für $k=1,\ldots ,k_{0}$ und $l=1,\ldots ,l_{0}$.

Unter der positiv-orientierten Abbildung $\Phi _{k}^{-1}\circ {\tilde {\Phi }}_{l}$ transformieren sich die Integrale gemäß

(15) $\int \limits _{V_{k}}(\alpha _{k}{\tilde {\alpha }}_{l}\lambda )_{\Phi _{k}}=\int \limits _{V_{l}}(\alpha _{k}{\tilde {\alpha }}_{l}\lambda )_{\Phi _{l}}$

für $k=1,\ldots ,k_{0}$ und $l=1,\ldots ,l_{0}$. Ihre Summation ergibt

(16) $\sum _{k=1}^{k_{0}}\int \limits _{V_{k}}(\alpha _{k}\lambda )_{\Phi _{k}}=\sum _{k=1}^{k_{0}}\sum _{l=1}^{l_{0}}\int \limits _{V_{k}}(\alpha _{k}{\tilde {\alpha }}_{l}\lambda )_{\Phi _{k}}=\sum _{k=1}^{k_{0}}\sum _{l=1}^{l_{0}}\int \limits _{V_{l}}(\alpha _{k}{\tilde {\alpha }}_{l}\lambda )_{\Phi _{l}}=\sum _{l=1}^{l_{0}}\int \limits _{V_{l}}({\tilde {\alpha }}_{l}\lambda )_{\Phi _{l}}.$

Somit ist das in (12) aufgeschriebene Integral unabhängig von der Auswahl der Karten und der Zerlegung der Eins. Entsprechend erklären wir Integrale über die geschlossene Mannigfaltigkeit $\partial {\mathcal {M}}$.

Satz 1 (Stokesscher Integralsatz für glatt berandete $C^{2}$-Mannigfaltigkeiten)

Voraussetzungen:

1. Sei ${\mathcal {M}}$ eine beschränkte, orientierte, $(m+1)$-dimensionale $C^{2}$-Mannigfaltigkeit im $\mathbb {R} ^{n}$ der Dimensionen $n>m$ mit dem Atlas ${\mathcal {A}}$. Durch den induzierten Atlas $\partial {\mathcal {A}}$ wird der glatte Rand $\partial {\mathcal {M}}$ zu einer beschränkten, orientierten, $m$-dimensionalen, geschlossenen $C^{2}$-Mannigfaltigkeit im $\mathbb {R} ^{n}$.

2. Weiter sei

$\omega =\sum _{1\leq i_{1}<\ldots <i_{m}\leq n}a_{i_{1}\ldots i_{m}}(x)dx_{i_{1}}\wedge \ldots \wedge dx_{i_{m}},\quad x\in {\overline {\mathcal {M}}}$

eine $m$-dimensionale Differentialform der Klasse $C^{1}({\mathcal {O}})$ auf einer offenen Menge ${\overline {\mathcal {M}}}\subset {\mathcal {O}}\subset \mathbb {R} ^{n}$.

Behauptung:

Dann gilt die Identität

$\int \limits _{\mathcal {M}}d\omega =\int \limits _{\partial {\mathcal {M}}}\omega$

Beweis

Wie oben wählen wir eine Zerlegung der Eins $\{\alpha _{k}\}$ mit $k=1,\ldots ,k_{0}$ auf $\operatorname {supp} \,\omega \subset {\mathcal {M}}\cup \partial {\mathcal {M}}$, welche dem überdeckenden Kartensystem untergeordnet ist. nun folgt unter Verwendung von Hilfssatz 1 die Identität

(17) $\int \limits _{\partial {\mathcal {M}}}\omega =\sum _{k=1}^{k_{0}}\int \limits _{\partial {\mathcal {M}}}\alpha _{k}\omega =\sum _{k=1}^{k_{0}}\int \limits _{\mathcal {M}}d(\alpha _{k}\omega )=\int \limits _{\mathcal {M}}d\omega .$

Bemerkungen

1. Mit dem Weierstraßschen Approximationssatz kann man die Regularitätsforderung bei ${\mathcal {M}}$ und $\partial {\mathcal {M}}$ von $C^{2}$ auf $C^{1}$ herabsetzen.
2. Bei der Differentialform $\omega$ brauchen wir nur die absolute Integrabilität von $d\omega$ auf ${\overline {\mathcal {M}}}$ zu verlangen und man kann dabei auf die Stetigkeit der Ableitungen bis zum Rand verzichten.
3. Die Mannigfaltigkeit darf auch einen singulären Rand der Kapazität Null enthalten.
4. All diese Verallgemeinerungen werden bei der Anwendung in der Theorie partieller Differentialgleichungen benötigt. Darum werden wir in Kapitel I, §5 im Kurs Analysis III einen entsprechend allgemeineren Stokesschen Integralsatz für Mannigfaltigkeiten mit singulärem Rand bereitstellen.