Satz 1 (Tietzescher Ergänzungssatz)[Bearbeiten]
- Sei
eine kompakte Menge und
eine auf
stetige Funktion. Dann gibt es eine stetige Erweiterung von
auf den ganzen
, das heißt eine Funktion
mit der Eigenschaft
für alle
.
1. Für alle
erklären wir die Funktion
, welche die Distanz eines Punktes
zur Menge
misst. Da
kompakt ist, gibt es zu jedem
ein
mit der Eigenschaft
. Sind nun
beliebig gewählt, so folgt
mit
die Ungleichung
(1)

.
Durch Vertauschen von
und
erhält man eine analoge Ungleichung und somit

für alle

.
Insbesondere stellt
eine stetige Funktion dar.
2. Für
und
betrachten wir die Funktion
(2)

.
Für festes
ist die Funktion
auf der Menge
nach obigen Betrachtungen stetig. Weiter haben wir die Aussagen
(3)

3. Sei nun
eine in
dichte Punktfolge. Da
beschränkt ist, konvergieren die Funktionenreihen
(4)

und

kompakt gleichmäßig in
und stellen dort stetige Funktionen dar. Ferner erhalten wir
(5)

für alle

,
denn zu jedem
gibt es mindestens ein
mit
. Somit ist die Funktion
(6)

stetig. Hierbei haben wir die folgenden Koeffizientenfunktionen erklärt:
(7)

mit

.
4. Wir erklären nun die Funktion

und wir haben nur noch die Stetigkeit von
auf
zu zeigen. Für
und
gilt die Abschätzung
(8)

Da die Funktion
gleichmäßig stetig ist, folgt
(9)

für

und

.
Die in diesem Satz geforderte Kompaktheit der Teilmenge
ist für die Aussage wesentlich. Die Funktion
kann man nämlich nicht stetig in den Nullpunkt fortsetzen.
Satz 2 (Wärmeleitungskern)[Bearbeiten]
- Zu jedem
betrachten wir die Funktion

- Dann besitzt
die folgenden Eigenschaften:
- Es gilt
für alle
;
- Wir haben
;
- Für jedes
ist
richtig.
1. Die Exponentialfunktion ist positiv, die Behauptung ist also klar.
2. Wir substituieren
mit
und erhalten
(10)

3. Wir verwenden die Substitution aus Teil 2 und erhalten
(11)

für

.
q.e.d.
Satz 3 (Polynomiale Approximation)[Bearbeiten]
- Sei
eine auf der kompakten Menge
stetige Funktion. Dann gibt es zu jedem
ein Polynom
mit der Eigenschaft

für alle

.
Zunächst ergänzen wir die Funktion
zu einer stetigen Funktion
gemäß Satz 1. Dann wählen wir einen Quader
, so dass
erfüllt ist und
für die abgeschlossene Kugel
um den Nullpunkt mit einem Radius
gilt. Nun betrachten wir die Funktion
(12)

für beliebiges
. Da
gleichmäßig stetig ist und die Inklusion
gilt, zeigen wir mit Hilfe von Satz 2 leicht die folgende Aussage: Die Konvergenz

findet gleichmäßig auf dem Kompaktum
statt. Zu vorgegebenem
wählen wir nun
fest, so dass
(13)

erfüllt wird und betrachten die assoziierte Potenzreihe

.
Da diese auf jedem Kompaktum im
gleichmäßig konvergiert, finden wir eine natürliche Zahl
, so dass folgendes Polynom

die Ungleichung
(14)

erfüllt. Mit
(15)

erhalten wir ein Polynom in den Veränderlichen
. Wegen (12), (14), (15) genügt dieses Polynom der Ungleichung
(16)

für alle

mit der Konstante
. Zusammen mit (13) erhalten wir die Abschätzung
(17)

.
Da
beliebig gewählt wurde, erhalten wir die Behauptung des Satzes.
q.e.d.