Kurs:Analysis II/Kapitel V: Das Riemannsche Integral im R^n/Ergänzung und Approximation stetiger Funktionen (§7)

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Satz 1 (Tietzescher Ergänzungssatz)[Bearbeiten]

Sei eine kompakte Menge und eine auf stetige Funktion. Dann gibt es eine stetige Erweiterung von auf den ganzen , das heißt eine Funktion mit der Eigenschaft für alle .

Beweis[Bearbeiten]

1. Für alle erklären wir die Funktion , welche die Distanz eines Punktes zur Menge misst. Da kompakt ist, gibt es zu jedem ein mit der Eigenschaft . Sind nun beliebig gewählt, so folgt mit die Ungleichung

(1) .

Durch Vertauschen von und erhält man eine analoge Ungleichung und somit

für alle .

Insbesondere stellt eine stetige Funktion dar.

2. Für und betrachten wir die Funktion

(2) .

Für festes ist die Funktion auf der Menge nach obigen Betrachtungen stetig. Weiter haben wir die Aussagen

(3)

3. Sei nun eine in dichte Punktfolge. Da beschränkt ist, konvergieren die Funktionenreihen

(4) und

kompakt gleichmäßig in und stellen dort stetige Funktionen dar. Ferner erhalten wir

(5) für alle ,

denn zu jedem gibt es mindestens ein mit . Somit ist die Funktion

(6)

stetig. Hierbei haben wir die folgenden Koeffizientenfunktionen erklärt:

(7) mit .

4. Wir erklären nun die Funktion

und wir haben nur noch die Stetigkeit von auf zu zeigen. Für und gilt die Abschätzung

(8)

Da die Funktion gleichmäßig stetig ist, folgt

(9) für und .

Bemerkung[Bearbeiten]

Die in diesem Satz geforderte Kompaktheit der Teilmenge ist für die Aussage wesentlich. Die Funktion kann man nämlich nicht stetig in den Nullpunkt fortsetzen.

Satz 2 (Wärmeleitungskern)[Bearbeiten]

Zu jedem betrachten wir die Funktion
Dann besitzt die folgenden Eigenschaften:
  1. Es gilt für alle ;
  2. Wir haben ;
  3. Für jedes ist richtig.

Beweis[Bearbeiten]

1. Die Exponentialfunktion ist positiv, die Behauptung ist also klar.

2. Wir substituieren mit und erhalten

(10)

3. Wir verwenden die Substitution aus Teil 2 und erhalten

(11) für .

q.e.d.

Satz 3 (Polynomiale Approximation)[Bearbeiten]

Sei eine auf der kompakten Menge stetige Funktion. Dann gibt es zu jedem ein Polynom mit der Eigenschaft
für alle .

Beweis[Bearbeiten]

Zunächst ergänzen wir die Funktion zu einer stetigen Funktion gemäß Satz 1. Dann wählen wir einen Quader , so dass erfüllt ist und für die abgeschlossene Kugel um den Nullpunkt mit einem Radius gilt. Nun betrachten wir die Funktion

(12)

für beliebiges . Da gleichmäßig stetig ist und die Inklusion gilt, zeigen wir mit Hilfe von Satz 2 leicht die folgende Aussage: Die Konvergenz

findet gleichmäßig auf dem Kompaktum statt. Zu vorgegebenem wählen wir nun fest, so dass

(13)

erfüllt wird und betrachten die assoziierte Potenzreihe

.

Da diese auf jedem Kompaktum im gleichmäßig konvergiert, finden wir eine natürliche Zahl , so dass folgendes Polynom

die Ungleichung

(14)

erfüllt. Mit

(15)

erhalten wir ein Polynom in den Veränderlichen . Wegen (12), (14), (15) genügt dieses Polynom der Ungleichung

(16) für alle

mit der Konstante . Zusammen mit (13) erhalten wir die Abschätzung

(17) .

Da beliebig gewählt wurde, erhalten wir die Behauptung des Satzes.

q.e.d.