Kurs:Analysis II/Kapitel V: Das Riemannsche Integral im R^n/Ergänzung und Approximation stetiger Funktionen (§7)

Satz 1 (Tietzescher Ergänzungssatz)

Sei $K\subset \mathbb {R} ^{n}$ eine kompakte Menge und $f(x)\in C^{0}(K,\mathbb {C} )$ eine auf $K$ stetige Funktion. Dann gibt es eine stetige Erweiterung von $f$ auf den ganzen $\mathbb {R} ^{n}$, das heißt eine Funktion $g(x)\in C^{0}(\mathbb {R} ^{n},\mathbb {C} )$ mit der Eigenschaft $f(x)=g(x)$ für alle $x\in K$.

Beweis

1. Für alle $x\in \mathbb {R} ^{n}$ erklären wir die Funktion $d(x):=\min _{y\in K}|y-x|$, welche die Distanz eines Punktes $x$ zur Menge $K$ misst. Da $K$ kompakt ist, gibt es zu jedem $x\in \mathbb {R} ^{n}$ ein ${\overline {y}}\in K$ mit der Eigenschaft $|{\overline {y}}-x|=d(x)$. Sind nun $x_{1},x_{2}\in \mathbb {R} ^{n}$ beliebig gewählt, so folgt ${\overline {y}}_{2}\in K$ mit $|{\overline {y}}_{2}-x_{2}|=d(x_{2})$ die Ungleichung

(1) $d(x_{1})-d(x_{2})=\inf _{y\in K}{\Bigl (}|x_{1}-y|-|x_{2}-{\overline {y}}_{2}|{\Bigr )}\leq |x_{1}-{\overline {y}}_{2}|-|x_{2}-{\overline {y}}_{2}|\leq |x_{1}-x_{2}|$.

Durch Vertauschen von $x_{1}$ und $x_{2}$ erhält man eine analoge Ungleichung und somit

$|d(x_{1})-d(x_{2})|\leq |x_{1}-x_{2}|$ für alle $x_{1},x_{2}\in \mathbb {R} ^{n}$.

Insbesondere stellt $d:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ eine stetige Funktion dar.

2. Für $x\notin K$ und $a\in \mathbb {R} ^{n}$ betrachten wir die Funktion

(2) $\varrho (x,a):=\max \left\{2-{\frac {|x-a|}{d(x)}},0\right\}$.

Für festes $a$ ist die Funktion $\varrho (x,a)$ auf der Menge $\mathbb {R} ^{n}\setminus K$ nach obigen Betrachtungen stetig. Weiter haben wir die Aussagen

(3) ${\begin{matrix}0\leq \varrho (x,a)\leq 2,\\\\\varrho (x,a)=0\ \mathrm {f{\ddot {u}}r\ alle} \ |a-x|\geq 2d(x),\\\\\varrho (x,a)\geq {\frac {1}{2}}\ \mathrm {f{\ddot {u}}r\ alle} \ |a-x|\leq {\frac {3}{2}}d(x).\end{matrix}}$

3. Sei nun $\left\{a^{(k)}\right\}\subset K$ eine in $K$ dichte Punktfolge. Da $f(x):K\to \mathbb {C}$ beschränkt ist, konvergieren die Funktionenreihen

(4) $\sum _{k=1}^{\infty }2^{-k}\varrho \left(x,a^{(k)}\right)f\left(a^{(k)}\right)$ und $\sum _{k=1}^{\infty }2^{-k}\varrho \left(x,a^{(k)}\right),\quad x\in \mathbb {R} ^{n}\setminus K$

kompakt gleichmäßig in $\mathbb {R} ^{n}\setminus K$ und stellen dort stetige Funktionen dar. Ferner erhalten wir

(5) $\sum _{k=1}^{\infty }2^{-k}\varrho \left(x,a^{(k)}\right)>0$ für alle $x\in \mathbb {R} ^{n}\setminus K$,

denn zu jedem $x\in \mathbb {R} ^{n}\setminus K$ gibt es mindestens ein $k$ mit $\varrho \left(x,a^{(k)}\right)>0$. Somit ist die Funktion

(6) $h(x):={\frac {\sum \limits _{k=1}^{\infty }2^{-k}\varrho \left(x,a^{(k)}\right)f\left(a^{(k)}\right)}{\sum \limits _{k=1}^{\infty }2^{-k}\varrho \left(x,a^{(k)}\right)}}=\sum _{k=1}^{\infty }\varrho _{k}(x)f\left(a^{(k)}\right),\quad x\in \mathbb {R} ^{n}\setminus K$

stetig. Hierbei haben wir die folgenden Koeffizientenfunktionen erklärt:

(7) $\varrho _{k}(x):={\frac {2^{-k}\varrho \left(x,a^{(k)}\right)}{\sum \limits _{k=1}^{\infty }2^{-k}\varrho \left(x,a^{(k)}\right)}}\ (k=1,2,\ldots )$ mit $\sum _{k=1}^{\infty }\varrho _{k}(x)\equiv 1,x\in \mathbb {R} ^{n}\setminus K$.

4. Wir erklären nun die Funktion

$g(x):=\left\{{\begin{matrix}f(x),x\in K\\\\h(x),x\in \mathbb {R} ^{n}\setminus K\end{matrix}}\right.$

und wir haben nur noch die Stetigkeit von $g$ auf $\partial K$ zu zeigen. Für $z\in K$ und $x\notin K$ gilt die Abschätzung

(8) ${\begin{matrix}|h(x)-f(z)|=\left|\sum \limits _{k=1}^{\infty }\varrho _{k}(x)\left\{f\left(a^{(k)}\right)-f(z)\right\}\right|\\\\\leq \sum \limits _{k:|a^{(k)}-x|\leq 2d(x)}\varrho _{k}(x)\left|f\left(a^{(k)}\right)-f(z)\right|\leq \sup \limits _{a\in K:|a-x|\leq 2d(x)}|f(a)-f(z)|\\\\\leq \sup \limits _{a\in K:|a-z|\leq 2d(x)+|x-z|}|f(a)-f(z)|\leq \sup \limits _{a\in K:|a-z|\leq 3|x-z|}|f(a)-f(z)|.\end{matrix}}$

Da die Funktion $f:K\to \mathbb {C}$ gleichmäßig stetig ist, folgt

(9) $\lim _{x\to z,x\notin K}h(x)=f(z)$ für $z\in \partial K$ und $x\notin K$.

Bemerkung

Die in diesem Satz geforderte Kompaktheit der Teilmenge $K$ ist für die Aussage wesentlich. Die Funktion $f(x):=\sin(1/x),x\in (0,1]$ kann man nämlich nicht stetig in den Nullpunkt fortsetzen.

Satz 2 (Wärmeleitungskern)

Zu jedem $\varepsilon >0$ betrachten wir die Funktion

$\Theta _{\varepsilon }(z):={\frac {1}{{\sqrt {\pi \varepsilon }}^{n}}}\exp \left(-{\frac {|z|^{2}}{\varepsilon }}\right)={\frac {1}{{\sqrt {\pi \varepsilon }}^{n}}}\exp \left(-{\frac {1}{\varepsilon }}(z_{1}^{2}+\ldots +z_{n}^{2})\right),\quad z\in \mathbb {R} ^{n}$

Dann besitzt $\Theta _{\varepsilon }=\Theta _{\varepsilon }(z)$ die folgenden Eigenschaften:

1. Es gilt $\Theta _{\varepsilon }(z)>0$ für alle $z\in \mathbb {R} ^{n}$;
2. Wir haben $\int \limits _{\mathbb {R} ^{n}}\Theta _{\varepsilon }(z)\,dz=1$;
3. Für jedes $\delta >0$ ist $\lim _{\varepsilon \to 0+}\int \limits _{|z|\geq \delta }K_{\varepsilon }(z)\,dz=0$ richtig.

Beweis

1. Die Exponentialfunktion ist positiv, die Behauptung ist also klar.

2. Wir substituieren $z={\sqrt {\varepsilon }}x$ mit $dz={\sqrt {\varepsilon }}^{n}dx$ und erhalten

(10) ${\begin{matrix}\int \limits _{\mathbb {R} ^{n}}\Theta _{\varepsilon }(z)\,dz={\frac {1}{{\sqrt {\pi \varepsilon }}^{n}}}\int \limits _{\mathbb {R} ^{n}}\exp \left(-{\frac {|z|^{2}}{\varepsilon }}\right)\,dz={\frac {1}{{\sqrt {\pi }}^{n}}}\int \limits _{\mathbb {R} ^{n}}\exp \left(-|x|^{2}\right)\,dx\\\\=\left({\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\int \limits _{-\infty }^{+\infty }\exp \left(-t^{2}\right)\,dt\right)^{n}=1.\end{matrix}}$

3. Wir verwenden die Substitution aus Teil 2 und erhalten

(11) $\int \limits _{|z|\geq \delta }\Theta _{\varepsilon }(z)\,dz={\frac {1}{{\sqrt {\pi }}^{n}}}\int \limits _{|x|\geq \delta /{\sqrt {\varepsilon }}}\exp \left(-|x|^{2}\right)\,dx\to 0$ für $\varepsilon \to 0+$.

q.e.d.

Satz 3 (Polynomiale Approximation)

Sei $f(x)\in C^{0}(K,\mathbb {C} )$ eine auf der kompakten Menge $K\subset \mathbb {R} ^{n}$ stetige Funktion. Dann gibt es zu jedem $\rho >0$ ein Polynom $p(x)=p_{\rho }(x)$ mit der Eigenschaft

$|p(x)-f(x)|\leq \rho$ für alle $x\in K$.

Beweis

Zunächst ergänzen wir die Funktion $f$ zu einer stetigen Funktion $g:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {C}$ gemäß Satz 1. Dann wählen wir einen Quader $Q\subset \mathbb {R} ^{n}$, so dass $K\subset {\stackrel {\circ }{Q}}$ erfüllt ist und $Q\subset B_{R}$ für die abgeschlossene Kugel $B_{R}$ um den Nullpunkt mit einem Radius $R>0$ gilt. Nun betrachten wir die Funktion

(12) $g_{\varepsilon }(x):=\int \limits _{Q}\Theta _{\varepsilon }(y-x)\cdot g(y)\,dy,\quad x\in \mathbb {R} ^{n}$

für beliebiges $\varepsilon >0$. Da $g:Q\to \mathbb {C}$ gleichmäßig stetig ist und die Inklusion $K\subset {\stackrel {\circ }{Q}}$ gilt, zeigen wir mit Hilfe von Satz 2 leicht die folgende Aussage: Die Konvergenz

$g_{\varepsilon }(x)\to g(x),\quad x\in K\quad (\varepsilon \to 0+)$

findet gleichmäßig auf dem Kompaktum $K$ statt. Zu vorgegebenem $\rho >0$ wählen wir nun $\varepsilon >0$ fest, so dass

(13) $|g_{\varepsilon }(x)-f(x)|\leq \rho ,\quad x\in K$

erfüllt wird und betrachten die assoziierte Potenzreihe

$\Theta _{\varepsilon }(z)={\frac {1}{{\sqrt {\pi \varepsilon }}^{n}}}\exp \left(-{\frac {|z|^{2}}{\varepsilon }}\right)={\frac {1}{{\sqrt {\pi \varepsilon }}^{n}}}\sum _{j=0}^{\infty }{\frac {1}{j!}}\left(-{\frac {|z|^{2}}{\varepsilon }}\right)^{j},\quad z\in \mathbb {R} ^{n}$.

Da diese auf jedem Kompaktum im $\mathbb {R} ^{n}$ gleichmäßig konvergiert, finden wir eine natürliche Zahl $N_{0}(\rho )\in \mathbb {N}$, so dass folgendes Polynom

$P_{\rho }(z):={\frac {1}{{\sqrt {\pi \varepsilon }}^{n}}}\sum _{j=0}^{N_{0}(\rho )}{\frac {1}{j!}}\left(-{\frac {z_{1}^{2}+\ldots z_{n}^{2}}{\varepsilon }}\right)^{j}$

die Ungleichung

(14) $\sup _{|z|\leq 2R}|\Theta _{\varepsilon }(z)-P_{\rho }(z)|\leq \rho$

erfüllt. Mit

(15) ${\tilde {g}}_{\rho }(x):=\int \limits _{Q}P_{\rho }(y-x)\cdot g(y)\,dy$

erhalten wir ein Polynom in den Veränderlichen $x_{1},\ldots ,x_{n}$. Wegen (12), (14), (15) genügt dieses Polynom der Ungleichung

(16) $|{\tilde {g}}_{\rho }(x)-g_{\varepsilon }(x)|\leq \rho \cdot |Q|\cdot c$ für alle $x\in Q$

mit der Konstante $c:=\sup\{|g(x)|:x\in Q\}\in [0,+\infty )$. Zusammen mit (13) erhalten wir die Abschätzung

(17) $|{\tilde {g}}_{\rho }(x)-f(x)|\leq |{\tilde {g}}_{\rho }(x)-g_{\varepsilon }(x)|+|g_{\varepsilon }(x)-f(x)|\leq \rho \cdot (|Q|\cdot c+1),\quad x\in K$.

Da $\rho >0$ beliebig gewählt wurde, erhalten wir die Behauptung des Satzes.

q.e.d.