Kurs:Analysis II/Kapitel V: Das Riemannsche Integral im R^n/Existenz des Riemannschen Integrals (§2)

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Definition 1[Bearbeiten]

Es seien die Vektoren
und
mit für gegeben. Dann erklären wir mit der Menge
(1)
einen Quader oder ein Parallelepiped im . Mit den Intervallen
(2)
wird der elementargeometrische Inhalt von gegeben durch
(3) .
Weiter erklären wir als Durchmesser oder auch Diameter von die Größe
(4) .

Definition 2[Bearbeiten]

Gemäß (1) und (2) stelle einen Quader im dar. Seien die Intervalle jeweils in Teilintervalle
mit und aufgeteilt, wobei die Anordnung
(5)
für gelte. Wir verwenden im folgenden die Indexmenge
.
Dann erklären wir eine Zerlegung von durch die Teilquader
(6) mit .
Gemäß (4) definieren wir das Feinheitsmaß der Zerlegung als
(7) .
Die Anzahl der Zerlegungsquader ist durch die natürliche Zahl gegeben.

Hilfssatz 1[Bearbeiten]

Es sei eine beliebige Zerlegung von gemäß Definition 2. Dann gelten für alle mit stets und .

Beweis[Bearbeiten]

1. Wir zeigen zunächst, dass zwei Teilquader mit höchstens Randpunkte gemeinsam haben. Wegen

gibt es eine Komponente , so dass erfüllt ist. Somit folgt nach Konstruktion

(8) bzw. .

Für einen inneren Punkt von gilt für und insbesondere . Wegen (8) kann kein innerer Punkt von sein und somit folgt . Schließlich erhalten wir .

2. Nach (3) erhalten wir

,

wobei über den Multiindex summiert wird.

Definition 3[Bearbeiten]

Auf dem Quader aus (1) sei die beschränkte Funktion mit für alle und einem sowie eine Zerlegung von gemäß (5) und (6) gegeben. Dann erklären wir
(9) und
für jedes und wir setzen
(10)
als Untersumme von bez. bzw.
(11)
als Obersumme von bez. .

Bemerkungen[Bearbeiten]

1. Wir setzen

(12) sowie

und erhalten die Abschätzung

für alle .

Gemäß Hilfssatz 1 folgt dann

bzw. .

Für eine beliebige Zerlegung von erhalten wir die Ungleichung

.

2. Weiter ist für eine beliebige Zerlegung von die folgende Identität erfüllt:

.

Definition 4[Bearbeiten]

Unter Beachtung der Definitionen 2 und 3 setzen wir
(13) und
als unteres bzw. oberes Riemannsches Integral von .

Bemerkung[Bearbeiten]

Aus der obigen Bemerkung 2.) folgt

.

Bei den weiteren Betrachtungen können wir uns also auf die Untersuchung von Obersummen (11) und den oberen Integralen in (13) beschränken.

Auf dem obigen Quader seien eine beschränkte Funktion sowie zwei Zerlegungen und von in Teilquader bzw. gemäß Definition 2 gegeben. Wir erklären die Größen

(14) bez. und bez. .

Dann haben wir (11) als Obersumme von bez. und setzen

(15)

als Obersumme von bez. . Wir nennen die Zerlegung feiner als die Zerlegung , wenn es für alle ein derart gibt, dass gilt. Dann folgt aus

für alle

die Ungleichung

(16) .

Hilfssatz 2[Bearbeiten]

Wir betrachten auf dem Quader eine beschränkte Funktion mit (12) und zwei Zerlegungen sowie von . Dann gibt es eine nur von der Zerlegung von abhängige Zahl , so dass für jede Zerlegung von die Ungleichung
(17)
gilt mit dem Feinheitsmaß und der Indexmenge mit dem Multiindex .

Beweis[Bearbeiten]

1.) Wir können durch den Übergang von zur Funktion

ohne Einschränkung annehmen. Seien nun und zwei beliebige Zerlegungen von gemäß Definition 2 mit den Zerlegungsquadern

.

Somit sind die Identitäten

und

bzw.

sowie (9), (11), (14), (15) erfüllt.

2.) Dann können genau zwei Fälle bez. der Teilquader eintreten:
Fall : gilt, falls es einen Quader der Zerlegung mit gibt – d. h. für ist erfüllt.
Fall : gilt, falls eine Komponente und ein zugehöriges derart existieren, dass das Intervall einen der Punkte der Teilung des Intervalls von im Inneren enthält.
Es sei die Menge aller natürlichen Zahlen mit und obiger Eigenschaft. Dann besitzt die Menge höchstens Elemente.
Für die Klasse folgt die Inklusion

.

Wir schätzen mit obigen Vorüberlegungen für die Klasse wie folgt ab:

.

3.) Wir beachten die folgenden Abschätzungen

für

und

für alle .

Nun können wir die Ungleichung (17) für wie folgt herleiten:

.

q.e.d.

Definition 5[Bearbeiten]

Eine Folge von Zerlegungen eines Quaders mit dem Feinheitsmaß nennen wir ausgezeichnet.

Satz 1[Bearbeiten]

Auf dem Quader sei eine beschränkte Funktion gegeben und ferner bilde eine ausgezeichnete Zerlegungsfolge von . Dann folgt und .

Beweis[Bearbeiten]

Es genügt, die Gleichheit für das obere Integral von zu beweisen. Wegen (13) gibt es eine Folge von Zerlegungen von mit . Sei nun eine ausgezeichnete Zerlegungsfolge von , so liefert Hilfssatz 2 die Abschätzung

Lassen wir bei festgehaltenem zuerst gehen, so erhalten wir

für alle .

Beim Grenzübergang ergibt sich

und damit .

q.e.d.

Satz 2[Bearbeiten]

Auf dem Quader sei eine beschränkte Funktion gegeben. Dann gilt für jede Zerlegung von die Ungleichung
.

Beweis[Bearbeiten]

Wegen (13) brauchen wir nur die Ungleichung zu beweisen. Für eine ausgezeichnete Zerlegungsfolge von liefert Satz 1 die Identitäten

und .

Weiter gilt

für

gemäß obiger Bemerkung 1.). Der Grenzübergang ergibt dann die mittlere behauptete Ungleichung.

q.e.d.

Definition 6[Bearbeiten]

Auf dem Quader betrachten wir eine beschränkte Funktion . Dann setzen wir
(18)
für das untere Integral von über und
(19)
für das obere Integral von über .

Definition 7[Bearbeiten]

Eine beschränkte Funktion heißt über den Quader Riemann-integrierbar genau dann, wenn
(20)
gilt. In diesem Fall nennen wir (20) das Riemannsche Integral von über .

Satz 3[Bearbeiten]

Auf dem Quader ist eine beschränkte Funktion genau dann Riemann-integrierbar, wenn es zu jedem eine Zerlegung von derart gibt, dass gilt.

Beweis[Bearbeiten]

“ Es sei über Riemann-integrierbar. Für eine ausgezeichnete Zerlegungsfolge von liefert Satz 1, kombiniert mit den Definitionen 6 und 7, die Identitäten

bzw. .

Wir erhalten somit . Also gibt es zu jedem ein hinreichend großes mit der Eigenschaft

.

“ Zu gegebenem existiert eine Zerlegung von mit der Eigenschaft . Insbesondere gilt nach Satz 2

.

Daraus folgt gemäß Definition 6 für jedes die Abschätzung

.

Dieses impliziert die Identität

und ist über Riemann-integrierbar.

q.e.d.

Definition 8[Bearbeiten]

Auf einem Quader sei eine beschränkte Funktion gegeben. Weiter seien eine Zerlegung von und die Zwischenpunkte gewählt. Dann nennen wir
die Riemannsche Zwischensumme von zur Zerlegung und zu den Zwischenpunkten .

Satz 4[Bearbeiten]

Sei ein Quader. Eine beschränkte Funktion ist über genau dann Riemann-integrierbar, wenn für jede ausgezeichnete Zerlegungsfolge von und jede Wahl der Zwischenwerte
die Folge der Riemannschen Zwischensummen
von konvergiert. In diesem Fall gilt
.

Beweis[Bearbeiten]

“ Es sei über Riemann-integrierbar. Dann haben wir für jedes die Ungleichungen

bzw. .

Der Grenzübergang liefert

,

also die Konvergenz der Riemannschen Zwischensummen gegen das Integral.
“ Sei nun eine ausgezeichnete Zerlegungsfolge von . Mit Hilfe der Definitionen von Supremum bzw. Infimum können wir für geeignete Zwischenpunkte

und

mit den Indexmengen derart wählen, dass die Zwischensummen

und

die Ungleichungen

bzw.

erfüllen. Somit folgt

und .

Da nach Voraussetzung auch die gemischte Zahlenfolge

konvergiert, erhalten wir

.

Also ist über Riemann-integrierbar.

q.e.d.