Kurs:Analysis II/Kapitel V: Das Riemannsche Integral im R^n/Existenz des Riemannschen Integrals (§2)

Definition 1

Es seien die Vektoren

$a=(a_{1},\ldots ,a_{n})\in \mathbb {R} ^{n}$ und $b=(b_{1},\ldots ,b_{n})\in \mathbb {R} ^{n}$

mit $a_{k}<b_{k}$ für $k=1,2,\ldots ,n$ gegeben. Dann erklären wir mit der Menge

(1) $Q:=[a,b]=\{x\in \mathbb {R} ^{n}:a_{k}\leq x_{k}\leq b_{k}\ f{\ddot {u}}r\ 1\leq k\leq n\}$

einen Quader oder ein Parallelepiped im $\mathbb {R} ^{n}$. Mit den Intervallen

(2) $I_{k}:=[a_{k},b_{k}]=\{x_{k}\in \mathbb {R} :a_{k}\leq x_{k}\leq b_{k}\},\quad k=1,2,\ldots ,n$

wird der elementargeometrische Inhalt von $Q$ gegeben durch

(3) $|Q|:=\prod _{k=1}^{n}(b_{k}-a_{k})=\prod _{k=1}^{n}|I_{k}|$.

Weiter erklären wir als Durchmesser oder auch Diameter von $Q$ die Größe

(4) $diam(Q):={\sqrt {\prod _{k=1}^{n}(b_{k}-a_{k})^{2}}}={\sqrt {\prod _{k=1}^{n}|I_{k}|^{2}}}$.

Definition 2

Gemäß (1) und (2) stelle $Q=I_{1}\times \ldots \times I_{n}$ einen Quader im $\mathbb {R} ^{n}$ dar. Seien die Intervalle $I_{k}$ jeweils in $p_{k}$ Teilintervalle

$I_{k}^{(i_{k})}:=\left[x_{k}^{(i_{k}-1)},x_{k}^{(i_{k})}\right]$

mit $1\leq i_{k}\leq p_{k}$ und $p:=(p_{1},\ldots ,p_{n})\in \mathbb {N} ^{n}$ aufgeteilt, wobei die Anordnung

(5) $a_{k}:=x_{k}^{(0)}<x_{k}^{(1)}<\ldots <x_{k}^{(p_{k}-1)}<x_{k}^{(p_{k})}=:b_{k}$

für $k=1,\ldots ,n$ gelte. Wir verwenden im folgenden die Indexmenge

${\mathfrak {N}}:=\{i\in \mathbb {N} ^{n}:1\leq i_{k}\leq p_{k}\ f{\ddot {u}}r\ 1\leq k\leq n\}\subset \mathbb {N} ^{n}$.

Dann erklären wir eine Zerlegung ${\mathcal {Z}}$ von $Q$ durch die Teilquader

(6) $Q_{i}:=\left\{x\in \mathbb {R} ^{n}:x_{k}^{(i_{k}-1)}\leq x_{k}\leq x_{k}^{(i_{k})},1\leq k\leq n\right\}$ mit $i:=(i_{1},\ldots ,i_{n})\in {\mathfrak {N}}$.

Gemäß (4) definieren wir das Feinheitsmaß der Zerlegung ${\mathcal {Z}}$ als

(7) $\|{\mathcal {Z}}\|:=\max\{diam(Q_{i}):i\in {\mathfrak {N}}\}$.

Die Anzahl der Zerlegungsquader $Q_{i}=I_{1}^{(i_{1})}\times \ldots \times I_{n}^{(i_{n})}$ ist durch die natürliche Zahl $\prod _{k=1}^{n}p_{k}$ gegeben.

Hilfssatz 1

Es sei ${\mathcal {Z}}$ eine beliebige Zerlegung von $Q$ gemäß Definition 2. Dann gelten für alle $i,j\in {\mathfrak {N}}$ mit $i\neq j$ stets ${\stackrel {\circ }{Q}}_{i}\cap {\stackrel {\circ }{Q}}_{j}=\emptyset$ und $|Q|=\sum _{i\in {\mathfrak {N}}}|Q_{i}|$.

Beweis

1. Wir zeigen zunächst, dass zwei Teilquader $Q_{i},Q_{j}\subset Q$ mit $i\neq j$ höchstens Randpunkte gemeinsam haben. Wegen

$i=(i_{1},\ldots ,i_{n})\neq j=(j_{1},\ldots ,j_{n})$

gibt es eine Komponente $1\leq \nu \leq n$, so dass $i_{\nu }\neq j_{\nu }$ erfüllt ist. Somit folgt nach Konstruktion

(8) $I_{\nu }^{(i_{\nu })}\neq I_{\nu }^{(j_{\nu })}$ bzw. ${\stackrel {\circ }{I}}_{\nu }^{(i_{\nu })}\cap {\stackrel {\circ }{I}}_{\nu }^{(j_{\nu })}=\emptyset$.

Für einen inneren Punkt $x=(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\in {\stackrel {\circ }{Q}}_{i}$ von $Q_{i}$ gilt $x_{k}\in {\stackrel {\circ }{I}}_{k}^{(i_{k})}$ für $k=1,\ldots ,n$ und insbesondere $x_{\nu }\in {\stackrel {\circ }{I}}_{\nu }^{(i_{\nu })}$. Wegen (8) kann $x_{\nu }$ kein innerer Punkt von $I_{\nu }^{(j_{\nu })}$ sein und somit folgt $x\notin {\stackrel {\circ }{Q}}_{j}$. Schließlich erhalten wir ${\stackrel {\circ }{Q}}_{i}\cap {\stackrel {\circ }{Q}}_{j}=\emptyset$.

2. Nach (3) erhalten wir

$|Q|=\prod _{k=1}^{n}|I_{k}|=\prod _{k=1}^{n}\left(\sum _{1\leq i_{k}\leq p_{k}}\left|I_{k}^{(i_{k})}\right|\right)=\sum _{1\leq i_{k}\leq p_{k}}\left(\prod _{k=1}^{n}\left|I_{k}^{(i_{k})}\right|\right)=\sum _{i\in {\mathfrak {N}}}|Q_{i}|$,

wobei über den Multiindex $i\in {\mathfrak {N}}=\{i\in \mathbb {N} ^{n}:1\leq i_{k}\leq p_{k},1\leq k\leq n\}$ summiert wird.

Definition 3

Auf dem Quader $Q\subset \mathbb {R} ^{n}$ aus (1) sei die beschränkte Funktion $f:Q\to \mathbb {R}$ mit $|f(x)|\leq K$ für alle $x\in Q$ und einem $K\in (0,+\infty )$ sowie eine Zerlegung ${\mathcal {Z}}$ von $Q=\bigcup _{i\in {\mathfrak {N}}}Q_{i}$ gemäß (5) und (6) gegeben. Dann erklären wir

(9) $m_{i}:=\inf\{f(x):x\in Q_{i}\}$ und $M_{i}:=\sup\{f(x):x\in Q_{i}\}$

für jedes $i\in {\mathfrak {N}}$ und wir setzen

(10) $s(f,{\mathcal {Z}}):=\sum _{i\in {\mathfrak {N}}}m_{i}\cdot |Q_{i}|$

als Untersumme von $f$ bez. ${\mathcal {Z}}$ bzw.

(11) $S(f,{\mathcal {Z}}):=\sum _{i\in {\mathfrak {N}}}M_{i}\cdot |Q_{i}|$

als Obersumme von $f$ bez. ${\mathcal {Z}}$.

Bemerkungen

1. Wir setzen

(12) $m:=\inf\{f(x):x\in Q\}$ sowie $M:=\sup\{f(x):x\in Q\}$

und erhalten die Abschätzung

$m\leq m_{i}\leq M_{i}\leq M$ für alle $i\in {\mathfrak {N}}$.

Gemäß Hilfssatz 1 folgt dann

$m\cdot |Q|=m\cdot \sum _{i\in {\mathfrak {N}}}|Q_{i}|\leq \sum _{i\in {\mathfrak {N}}}m_{i}\cdot |Q_{i}|=s(f,{\mathcal {Z}})$ bzw. $S(f,{\mathcal {Z}})=\sum _{i\in {\mathfrak {N}}}M_{i}\cdot |Q_{i}|\leq M\cdot \sum _{i\in {\mathfrak {N}}}|Q_{i}|=M\cdot |Q|$.

Für eine beliebige Zerlegung ${\mathcal {Z}}$ von $Q$ erhalten wir die Ungleichung

$m\cdot |Q|\leq s(f,{\mathcal {Z}})\leq S(f,{\mathcal {Z}})\leq M\cdot |Q|$.

2. Weiter ist für eine beliebige Zerlegung ${\mathcal {Z}}$ von $Q$ die folgende Identität erfüllt:

$s(-f,{\mathcal {Z}})=\sum _{i\in {\mathfrak {N}}}\inf\{f(x):x\in Q_{i}\}\cdot |Q_{i}|$

$=-\sum _{i\in {\mathfrak {N}}}\sup\{f(x):x\in Q_{i}\}\cdot |Q_{i}|=-S(f,{\mathcal {Z}})$.

Definition 4

Unter Beachtung der Definitionen 2 und 3 setzen wir

(13) $s(f):=\sup _{\mathcal {Z}}s(f,{\mathcal {Z}})$ und $S(f):=\inf _{\mathcal {Z}}S(f,{\mathcal {Z}})$

als unteres bzw. oberes Riemannsches Integral von $f:Q\to \mathbb {R}$.

Bemerkung

Aus der obigen Bemerkung 2.) folgt

$s(-f)=\sup _{\mathcal {Z}}s(-f,{\mathcal {Z}})=\sup _{\mathcal {Z}}[-S(f,{\mathcal {Z}})]=-\inf _{\mathcal {Z}}S(f,{\mathcal {Z}})=-S(f)$.

Bei den weiteren Betrachtungen können wir uns also auf die Untersuchung von Obersummen (11) und den oberen Integralen in (13) beschränken.

Auf dem obigen Quader $Q\subset \mathbb {R} ^{n}$ seien eine beschränkte Funktion $f:Q\to \mathbb {R}$ sowie zwei Zerlegungen ${\mathcal {Z}}$ und ${\mathcal {Z}}^{*}$ von $Q$ in Teilquader $Q_{i},\ i\in {\mathfrak {N}}$ bzw. $Q_{k}^{*},\ k\in {\mathfrak {N}}^{*}$ gemäß Definition 2 gegeben. Wir erklären die Größen

(14) $M_{i}:=\sup\{f(x):x\in Q_{i}\}$ bez. ${\mathcal {Z}}$ und $M_{k}^{*}:=\sup\{f(x):x\in Q_{k}^{*}\}$ bez. ${\mathcal {Z}}^{*}$.

Dann haben wir (11) als Obersumme von $f$ bez. ${\mathcal {Z}}$ und setzen

(15) $S(f,{\mathcal {Z}}^{*}):=\sum _{k\in {\mathfrak {N}}^{*}}M_{k}^{*}\cdot |Q_{k}^{*}|$

als Obersumme von $f$ bez. ${\mathcal {Z}}^{*}$. Wir nennen die Zerlegung ${\mathcal {Z}}^{*}$ feiner als die Zerlegung ${\mathcal {Z}}$, wenn es für alle $k\in {\mathfrak {N}}^{*}$ ein $i=i(k)\in {\mathfrak {N}}$ derart gibt, dass $Q_{k}^{*}\subset Q_{i}$ gilt. Dann folgt aus

$M_{k}^{*}\leq M_{i(k)}$ für alle $k\in {\mathfrak {N}}^{*}$

die Ungleichung

(16) $S(f,{\mathcal {Z}}^{*})\leq S(f,{\mathcal {Z}})$.

Hilfssatz 2

Wir betrachten auf dem Quader $Q\subset \mathbb {R} ^{n}$ eine beschränkte Funktion $f:Q\to \mathbb {R}$ mit (12) und zwei Zerlegungen ${\mathcal {Z}}$ sowie ${\mathcal {Z}}^{*}$ von $Q$. Dann gibt es eine nur von der Zerlegung ${\mathcal {Z}}$ von $Q$ abhängige Zahl $\Theta =\Theta ({\mathcal {Z}})\in (0,+\infty )$, so dass für jede Zerlegung ${\mathcal {Z}}^{*}$ von $Q$ die Ungleichung

(17) $S(f,{\mathcal {Z}}^{*})\leq S(f,{\mathcal {Z}})+\Theta ({\mathcal {Z}})\cdot (M-m)\cdot \|{\mathcal {Z}}^{*}\|$

gilt mit dem Feinheitsmaß $\|{\mathcal {Z}}^{*}\|=\max\{diam(Q_{k}^{*}):k\in {\mathfrak {N}}^{*}\}$ und der Indexmenge ${\mathfrak {N}}^{*}:=\{k\in \mathbb {N} ^{n}:1\leq k_{\nu }\leq q_{\nu }\ f{\ddot {u}}r\ 1\leq \nu \leq n\}$ mit dem Multiindex $q=(q_{1},q_{2},\ldots ,q_{n})\in \mathbb {N} ^{n}$.

Beweis

1.) Wir können durch den Übergang von $f$ zur Funktion

$g(x):=f(x)-m,\quad x\in Q$

ohne Einschränkung $m=0$ annehmen. Seien nun ${\mathcal {Z}}$ und ${\mathcal {Z}}^{*}$ zwei beliebige Zerlegungen von $Q$ gemäß Definition 2 mit den Zerlegungsquadern

$Q_{k}^{*}=\left\{x\in \mathbb {R} ^{n}:{\stackrel {*}{x}}_{\nu }^{(k_{\nu }-1)}\leq x_{\nu }\leq {\stackrel {*}{x}}_{\nu }^{(k_{\nu })},1\leq \nu \leq n\right\},k=(k_{1},k_{2},\ldots ,k_{n})\in {\mathfrak {N}}^{*}$.

Somit sind die Identitäten

$Q=\bigcup _{i\in {\mathfrak {N}}}Q_{i}=\bigcup _{k\in {\mathfrak {N}}^{*}}Q_{k}$

und

$Q_{i}=I_{1}^{(i_{1})}\times \ldots \times I_{n}^{(i_{n})}$ bzw. $Q_{k}^{*}={\stackrel {*}{I}}_{1}^{(k_{1})}\times \ldots \times {\stackrel {*}{I}}_{n}^{(k_{n})}$

sowie (9), (11), (14), (15) erfüllt.

2.) Dann können genau zwei Fälle bez. der Teilquader $Q_{k}^{*}$ eintreten:
Fall $(a)$: $Q_{k}^{*}\in {\mathfrak {A}}$ gilt, falls es einen Quader $Q_{i}$ der Zerlegung ${\mathcal {Z}}$ mit $Q_{k}^{*}\subset Q_{i}$ gibt – d. h. ${\stackrel {*}{I}}_{\nu }^{(k_{\nu })}\subset I_{\nu }^{(i_{\nu })}$ für $\nu =1,2,\ldots ,n$ ist erfüllt.
Fall $(b)$: $Q_{k}^{*}\in {\mathfrak {B}}$ gilt, falls eine Komponente $\nu \in \{1,2,\ldots ,n\}$ und ein zugehöriges $k_{\nu }\in \{1,2,\ldots ,q_{\nu }\}$ derart existieren, dass das Intervall ${\stackrel {*}{I}}_{\nu }^{(k_{\nu })}$ einen der Punkte $x_{\nu }^{(1)},x_{\nu }^{(2)},\ldots ,x_{\nu }^{(p_{\nu }-1)}$ der Teilung des Intervalls $I_{\nu }=[a_{\nu },b_{\nu }]$ von ${\mathcal {Z}}$ im Inneren enthält.
Es sei $K_{\nu }$ die Menge aller natürlichen Zahlen $k_{\nu }$ mit $1\leq k_{\nu }\leq q_{\nu }$ und obiger Eigenschaft. Dann besitzt die Menge $K_{\nu }$ höchstens $p_{\nu }-1$ Elemente.
Für die Klasse ${\mathfrak {B}}$ folgt die Inklusion

$\bigcup _{Q_{k}^{*}\in {\mathfrak {B}}}Q_{k}^{*}\subset \bigcup _{\nu =1}^{n}\left\{\bigcup _{k_{\nu }\in K_{\nu },\mu \neq \nu :1\leq k_{\mu }\leq q_{\mu }}\left[{\stackrel {*}{I}}_{1}^{(k_{1})}\times \ldots \times {\stackrel {*}{I}}_{\nu }^{(k_{\nu })}\times \ldots \times {\stackrel {*}{I}}_{n}^{(k_{n})}\right]\right\}$.

Wir schätzen mit obigen Vorüberlegungen für die Klasse ${\mathfrak {B}}$ wie folgt ab:

$\sum _{Q_{k}^{*}\in {\mathfrak {B}}}|Q_{k}^{*}|\leq \sum _{\nu =1}^{n}\left\{\sum _{k_{\nu }\in K_{\nu },\mu \neq \nu :1\leq k_{\mu }\leq q_{\mu }}\left|{\stackrel {*}{I}}_{1}^{(k_{1})}\right|\cdot \ldots \cdot \left|{\stackrel {*}{I}}_{\nu }^{(k_{\nu })}\right|\cdot \ldots \cdot \left|{\stackrel {*}{I}}_{n}^{(k_{n})}\right|\right\}$

$=\sum _{\nu =1}^{n}\left\{(b_{1}-a_{1})\cdot \ldots \cdot \left(\sum _{k_{\nu }\in K_{\nu }}\left|{\stackrel {*}{I}}_{\nu }^{(k_{\nu })}\right|\right)\cdot \ldots \cdot (b_{n}-a_{n})\right\}$

$\leq \sum _{\nu =1}^{n}{\frac {|Q|}{|b_{\nu }-a_{\nu }|}}\cdot (p_{\nu }-1)\cdot \cdot \|{\mathcal {Z}}^{*}\|=:\Theta ({\mathcal {Z}})\cdot \|{\mathcal {Z}}^{*}\|$.

3.) Wir beachten die folgenden Abschätzungen

$M_{k}^{*}=\sup\{f(x):x\in Q_{k}^{*}\}\leq \sup\{f(x):x\in Q_{i}\}=M_{i}$ für $Q_{k}^{*}\subset Q_{i}$

und

$M_{k}^{*}=\sup\{f(x):x\in Q_{k}^{*}\}\leq M$ für alle $k\in {\mathfrak {N}}^{*}$.

Nun können wir die Ungleichung (17) für $m=0$ wie folgt herleiten:

$S(f,{\mathcal {Z}}^{*}){\stackrel {(15)}{=}}\sum _{k\in {\mathfrak {N}}^{*}}M_{k}^{*}\cdot |Q_{k}^{*}|=\sum _{Q_{k}^{*}\in {\mathfrak {A}}}M_{k}^{*}\cdot |Q_{k}^{*}|+\sum _{Q_{k}^{*}\in {\mathfrak {B}}}M_{k}^{*}\cdot |Q_{k}^{*}|$

$\leq \sum _{i\in {\mathfrak {N}}}M_{i}\cdot |Q_{i}|+M\cdot \sum _{Q_{k}^{*}\in {\mathfrak {B}}}|Q_{k}^{*}|{\stackrel {(9)}{\leq }}S(f,{\mathcal {Z}}^{*})+M\cdot \Theta ({\mathcal {Z}})\cdot \|{\mathcal {Z}}^{*}\|$.

q.e.d.

Definition 5

Eine Folge $\{{\mathcal {Z}}_{j}\}_{j\in \mathbb {N} }$ von Zerlegungen eines Quaders $Q$ mit dem Feinheitsmaß $\lim _{j\to \infty }\|{\mathcal {Z}}_{j}\|=0$ nennen wir ausgezeichnet.

Satz 1

Auf dem Quader $Q\subset \mathbb {R} ^{n}$ sei eine beschränkte Funktion $f:Q\to \mathbb {R}$ gegeben und ferner bilde $\{{\mathcal {Z}}_{j}\}_{j\in \mathbb {N} }$ eine ausgezeichnete Zerlegungsfolge von $Q$. Dann folgt $S(f)=\lim _{j\to \infty }S(f,{\mathcal {Z}}_{j})$ und $s(f)=\lim _{j\to \infty }s(f,{\mathcal {Z}}_{j})$.

Beweis

Es genügt, die Gleichheit für das obere Integral von $f$ zu beweisen. Wegen (13) gibt es eine Folge von Zerlegungen $\{{\mathcal {Z}}_{l}^{*}\}_{l\in \mathbb {N} }$ von $Q$ mit $\lim _{l\to \infty }S(f,{\mathcal {Z}}_{l}^{*})=S(f)$. Sei nun $\{{\mathcal {Z}}_{j}\}_{j\in \mathbb {N} }$ eine ausgezeichnete Zerlegungsfolge von $Q$, so liefert Hilfssatz 2 die Abschätzung

$S(f){\stackrel {(13)}{\leq }}S(f,{\mathcal {Z}}_{j}){\stackrel {(17)}{\leq }}S(f,{\mathcal {Z}}_{l}^{*})+\Theta ({\mathcal {Z}}_{l}^{*})\cdot (M-m)\cdot \|{\mathcal {Z}}_{j}\|.$

Lassen wir bei festgehaltenem $l$ zuerst $j\to \infty$ gehen, so erhalten wir

$S(f)\leq \liminf _{j\to \infty }S(f,{\mathcal {Z}}_{j})\leq \liminf _{j\to \infty }S(f,{\mathcal {Z}}_{j})\leq S(f,{\mathcal {Z}}_{l}^{*})$ für alle $l\in \mathbb {N}$.

Beim Grenzübergang $l\to \infty$ ergibt sich

$S(f)\leq \liminf _{j\to \infty }S(f,{\mathcal {Z}}_{j})\leq \liminf _{j\to \infty }S(f,{\mathcal {Z}}_{j})\leq \lim _{l\to \infty }S(f,{\mathcal {Z}}_{l}^{*})=S(f)$

und damit $S(f)=\lim _{j\to \infty }S(f,{\mathcal {Z}}_{j})$.

q.e.d.

Satz 2

Auf dem Quader $Q\subset \mathbb {R} ^{n}$ sei eine beschränkte Funktion $f:Q\to \mathbb {R}$ gegeben. Dann gilt für jede Zerlegung ${\mathcal {Z}}$ von $Q$ die Ungleichung

$s(f,{\mathcal {Z}})\leq s(f)\leq S(f)\leq S(f,{\mathcal {Z}})$.

Beweis

Wegen (13) brauchen wir nur die Ungleichung $s(f)\leq S(f)$ zu beweisen. Für eine ausgezeichnete Zerlegungsfolge $\{{\mathcal {Z}}_{j}\}_{j\in \mathbb {N} }$ von $Q$ liefert Satz 1 die Identitäten

$s(f)=\lim _{j\to \infty }s(f,{\mathcal {Z}}_{j})$ und $S(f)=\lim _{j\to \infty }S(f,{\mathcal {Z}}_{j})$.

Weiter gilt

$s(f,{\mathcal {Z}}_{j})\leq S(f,{\mathcal {Z}}_{j})$ für $j=1,2,\ldots$

gemäß obiger Bemerkung 1.). Der Grenzübergang $j\to \infty$ ergibt dann die mittlere behauptete Ungleichung.

q.e.d.

Definition 6

Auf dem Quader $Q\subset \mathbb {R} ^{n}$ betrachten wir eine beschränkte Funktion $f:Q\to \mathbb {R}$. Dann setzen wir

(18) $s(f)=\sup _{\mathcal {Z}}s(f,{\mathcal {Z}})=:\int \limits _{\overline {\ Q\ }}f(x)\,dx$

für das untere Integral von $f$ über $Q$ und

(19) $S(f)=\inf _{\mathcal {Z}}S(f,{\mathcal {Z}})=:\int \limits _{Q}^{\underline {\ \ \ }}f(x)\,dx$

für das obere Integral von $f$ über $Q$.

Definition 7

Eine beschränkte Funktion $f:Q\to \mathbb {R}$ heißt über den Quader $Q\subset \mathbb {R} ^{n}$ Riemann-integrierbar genau dann, wenn

(20) $\int \limits _{\overline {\ Q\ }}f(x)\,dx=\int \limits _{Q}^{\underline {\ \ \ }}f(x)\,dx=:\int \limits _{Q}f(x)\,dx$

gilt. In diesem Fall nennen wir (20) das Riemannsche Integral von $f$ über $Q$.

Satz 3

Auf dem Quader $Q\subset \mathbb {R} ^{n}$ ist eine beschränkte Funktion $f:Q\to \mathbb {R}$ genau dann Riemann-integrierbar, wenn es zu jedem $\varepsilon >0$ eine Zerlegung ${\mathcal {Z}}_{\varepsilon }$ von $Q$ derart gibt, dass $S(f,{\mathcal {Z}}_{\varepsilon })-s(f,{\mathcal {Z}}_{\varepsilon })<\varepsilon$ gilt.

Beweis

„$\Rightarrow$“ Es sei $f$ über $Q$ Riemann-integrierbar. Für eine ausgezeichnete Zerlegungsfolge $\{{\mathcal {Z}}_{j}\}_{j\in \mathbb {N} }$ von $Q$ liefert Satz 1, kombiniert mit den Definitionen 6 und 7, die Identitäten

$\int \limits _{Q}f(x)\,dx{\stackrel {(20)}{=}}\int \limits _{\overline {\ Q\ }}f(x)\,dx{\stackrel {(18)}{=}}s(f)=\lim _{j\to \infty }s(f,{\mathcal {Z}}_{j})$ bzw. $\int \limits _{Q}f(x)\,dx{\stackrel {(20)}{=}}\int \limits _{Q}^{\underline {\ \ \ }}f(x)\,dx{\stackrel {(19)}{=}}S(f)=\lim _{j\to \infty }S(f,{\mathcal {Z}}_{j})$.

Wir erhalten somit $\lim _{j\to \infty }\{S(f,{\mathcal {Z}}_{j})-s(f,{\mathcal {Z}}_{j})\}=0$. Also gibt es zu jedem $\varepsilon >0$ ein hinreichend großes $j=j(\varepsilon )\in \mathbb {N}$ mit der Eigenschaft

$S(f,{\mathcal {Z}}_{j(\varepsilon )})-s(f,{\mathcal {Z}}_{j(\varepsilon )})<\varepsilon$.

„$\Leftarrow$“ Zu gegebenem $\varepsilon >0$ existiert eine Zerlegung ${\mathcal {Z}}_{\varepsilon }$ von $Q$ mit der Eigenschaft $S(f,{\mathcal {Z}}_{\varepsilon })-s(f,{\mathcal {Z}}_{\varepsilon })<\varepsilon$. Insbesondere gilt nach Satz 2

$s(f,{\mathcal {Z}}_{\varepsilon })\leq s(f)\leq S(f)\leq S(f,{\mathcal {Z}}_{\varepsilon })$.

Daraus folgt gemäß Definition 6 für jedes $\varepsilon >0$ die Abschätzung

$S(f)-s(f)=\int \limits _{Q}^{\underline {\ \ \ }}f(x)\,dx-\int \limits _{\overline {\ Q\ }}f(x)\,dx\leq S(f,{\mathcal {Z}}_{\varepsilon })-s(f,{\mathcal {Z}}_{\varepsilon })<\varepsilon$.

Dieses impliziert die Identität

$\int \limits _{Q}^{\underline {\ \ \ }}f(x)\,dx=\int \limits _{\overline {\ Q\ }}f(x)\,dx$

und $f$ ist über $Q$ Riemann-integrierbar.

q.e.d.

Definition 8

Auf einem Quader $Q\subset \mathbb {R} ^{n}$ sei eine beschränkte Funktion $f:Q\to \mathbb {R}$ gegeben. Weiter seien eine Zerlegung ${\mathcal {Z}}$ von $Q=\bigcup _{i\in {\mathfrak {N}}}Q_{i}$ und die Zwischenpunkte $\xi _{i}\in Q_{i},\ i\in {\mathfrak {N}}$ gewählt. Dann nennen wir

$\Sigma (f,{\mathcal {Z}},\xi ):=\sum _{i\in {\mathfrak {N}}}f(\xi _{i})\cdot |Q_{i}|$

die Riemannsche Zwischensumme von $f$ zur Zerlegung ${\mathcal {Z}}$ und zu den Zwischenpunkten $\xi :=\{\xi _{i}:i\in {\mathfrak {N}}\}$.

Satz 4

Sei $Q\subset \mathbb {R} ^{n}$ ein Quader. Eine beschränkte Funktion $f:Q\to \mathbb {R}$ ist über $Q$ genau dann Riemann-integrierbar, wenn für jede ausgezeichnete Zerlegungsfolge $\{{\mathcal {Z}}_{j}\}_{j\in \mathbb {N} }$ von $Q$ und jede Wahl der Zwischenwerte

$\xi ^{(j)}:=\{\xi _{i}^{(j)}\in Q_{i}^{(j)}:i\in {\mathfrak {N}}_{j}\}$

die Folge der Riemannschen Zwischensummen

$\Sigma (f,{\mathcal {Z}}_{j},\xi ^{(j)}):=\sum _{i\in {\mathfrak {N}}_{j}}f(\xi _{i}^{(j)})\cdot \left|Q_{i}^{(j)}\right|$

von $f$ konvergiert. In diesem Fall gilt

$\Sigma (f,{\mathcal {Z}}_{j},\xi ^{(j)})=\int \limits _{Q}f(x)\,dx$.

Beweis

„$\Rightarrow$“ Es sei $f$ über $Q$ Riemann-integrierbar. Dann haben wir für jedes $j\in \mathbb {N}$ die Ungleichungen

$\sum _{i\in {\mathfrak {N}}_{j}}m_{i}^{(j)}\cdot \left|Q_{i}^{(j)}\right|\leq \sum _{i\in {\mathfrak {N}}_{j}}f(\xi _{i}^{(j)})\cdot \left|Q_{i}^{(j)}\right|\leq \sum _{i\in {\mathfrak {N}}_{j}}M_{i}^{(j)}\cdot \left|Q_{i}^{(j)}\right|$ bzw. $s(f,{\mathcal {Z}}_{j})\leq \sum _{i\in {\mathfrak {N}}_{j}}f(\xi _{i}^{(j)})\cdot \left|Q_{i}^{(j)}\right|\leq S(f,{\mathcal {Z}}_{j})$.

Der Grenzübergang $j\to \infty$ liefert

$\int \limits _{Q}f(x)\,dx=\int \limits _{\overline {\ Q\ }}f(x)\,dx=\lim _{j\to \infty }s(f,{\mathcal {Z}}_{j})\leq \lim _{j\to \infty }\sum _{i\in {\mathfrak {N}}_{j}}f(\xi _{i}^{(j)})\cdot \left|Q_{i}^{(j)}\right|$

$\leq \lim _{j\to \infty }S(f,{\mathcal {Z}}_{j})=\int \limits _{Q}^{\underline {\ \ \ }}f(x)\,dx=\int \limits _{Q}f(x)\,dx$,

also die Konvergenz der Riemannschen Zwischensummen gegen das Integral.
„$\Leftarrow$“ Sei nun $\{{\mathcal {Z}}_{j}\}_{j\in \mathbb {N} }$ eine ausgezeichnete Zerlegungsfolge von $Q$. Mit Hilfe der Definitionen von Supremum bzw. Infimum können wir für $j=1,2,\ldots$ geeignete Zwischenpunkte

$\xi ^{(j)}:=\{\xi _{i}^{(j)}\in Q_{i}^{(j)}:i\in {\mathfrak {N}}_{j}\}$ und $\eta ^{(j)}:=\{\eta _{i}^{(j)}\in Q_{i}^{(j)}:i\in {\mathfrak {N}}_{j}\}$

mit den Indexmengen ${\mathfrak {N}}_{j}\subset \mathbb {N} ^{n}$ derart wählen, dass die Zwischensummen

$\Sigma (f,{\mathcal {Z}}_{j},\xi ^{(j)}):=\sum _{i\in {\mathfrak {N}}_{j}}f(\xi _{i}^{(j)})\cdot \left|Q_{i}^{(j)}\right|$ und $\Sigma (f,{\mathcal {Z}}_{j},\eta ^{(j)}):=\sum _{i\in {\mathfrak {N}}_{j}}f(\eta _{i}^{(j)})\cdot \left|Q_{i}^{(j)}\right|$

die Ungleichungen

$\left|\Sigma (f,{\mathcal {Z}}_{j},\xi ^{(j)})-S(f,{\mathcal {Z}}_{j})\right|<{\frac {1}{j}}$ bzw. $\left|\Sigma (f,{\mathcal {Z}}_{j},\eta ^{(j)})-s(f,{\mathcal {Z}}_{j})\right|<{\frac {1}{j}}$

erfüllen. Somit folgt

$\lim _{j\to \infty }\Sigma (f,{\mathcal {Z}}_{j},\xi ^{(j)})=\int \limits _{Q}^{\underline {\ \ \ }}f(x)\,dx$ und $\lim _{j\to \infty }\Sigma (f,{\mathcal {Z}}_{j},\eta ^{(j)})=\int \limits _{\overline {\ Q\ }}f(x)\,dx$.

Da nach Voraussetzung auch die gemischte Zahlenfolge

$\Sigma (f,{\mathcal {Z}}_{1},\xi ^{(1)}),\Sigma (f,{\mathcal {Z}}_{1},\eta ^{(1)}),\Sigma (f,{\mathcal {Z}}_{2},\xi ^{(2)}),\Sigma (f,{\mathcal {Z}}_{2},\eta ^{(2)}),\ldots$

konvergiert, erhalten wir

$\int \limits _{Q}^{\underline {\ \ \ }}f(x)\,dx=\int \limits _{\overline {\ Q\ }}f(x)\,dx$.

Also ist $f$ über $Q$ Riemann-integrierbar.

q.e.d.