Kurs:Analysis II/Kapitel V: Das Riemannsche Integral im R^n/Integration über Jordan-Bereiche (§4)

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Wir betrachten wieder achsenparallele Quader und Zerlegungen von in Teilquader gemäß den Definitionen 1 und 2 aus §2. Für eine beliebige Menge verstehen wir unter und wie üblich den offenen Kern, die abgeschlossene Hülle und den topologisches Rand von .

Definition 1[Bearbeiten]

Eine Punktmenge heißt Jordansche Nullmenge genau dann, wenn es zu jedem eine endliche Anzahl von (achsenparallelen) Quadern derart gibt, dass die Überdeckungseigenschaft
(1)
und die Abschätzung des Gesamtinhalts
(2)
gültig sind.

Bemerkungen[Bearbeiten]

  1. Wenn eine Nullmenge ist und gilt, dann ist auch eine Nullmenge.
  2. Wenn nun Jordansche Nullmengen sind, dann bildet auch deren Vereinigung eine Jordansche Nullmenge. Diese Eigenschaft bezeichnen wir als endliche Vereinigungs-Stabilität Jordanscher Nullmengen.
  3. Die Menge ist keine Jordansche Nullmenge. Diese bildet jedoch eine Lebesguesche Nullmenge, welche wir erst später untersuchen.

Satz 1[Bearbeiten]

Wenn die Funktion beschränkt und bis auf eine Jordansche Nullmenge stetig ist, dann ist über Riemann-integrierbar.

Satz 2[Bearbeiten]

Wenn eine beschränkte Funktion ist, die auf dem Komplement einer Jordanschen Nullmenge verschwindet, dann ist über Riemann-integrierbar und es gilt .

Definition 2[Bearbeiten]

Eine kompakte Punktmenge heißt Jordan-Bereich im , wenn die Menge ihrer Randpunkte eine Jordansche Nullmenge bildet.

Definition 3[Bearbeiten]

Es sei eine auf dem Jordan-Bereich stetige Funktion. Ferner sei ein Quader und wir setzen
(14) .
Wir erklären durch die Gleichung
(15)
das Riemann-Integral von über den Jordan-Bereich .

Satz 3[Bearbeiten]

Es seien nun Jordan-Bereiche im mit der Eigenschaft
für alle mit .
Weiter erklären wir deren Vereinigung . Wenn eine stetige Funktion darstellt, dann gilt die Identität
(16) .

Definition 4[Bearbeiten]

Für einen Jordan-Bereich heißt
(19)
der Jordansche Inhalt von .

Definition 5[Bearbeiten]

Es sei ein Jordan-Bereich. Gegeben seien zwei stetige Funktionen
mit für alle .
Dann erklären wir einen Normalbereich über dem Jordanbereich durch
(22) .

Satz 4 (Iterierte Integration über Normalbereiche)[Bearbeiten]

Der Normalbereich über dem Jordanbereich aus Definition 5 bildet einen Jordanbereich im . Wenn die Funktion stetig ist, dann gilt die Identität der iterierten Integration
(23) .

Beweis[Bearbeiten]

1.) Zunächst bildet eine Jordansche Nullmenge im , welche von einem Quader gemäß umfasst werde. Wie im Beweis von Satz 1 konstruieren wir zu vorgegebenem eine – von der Menge unabhängige – Zerlegung von . Diese besitze das Feinheitsmaß , wobei das gemeinsame Stetigkeitsmodul

(24) für alle mit

der Grenzfunktionen angibt. Letztere Funktionen sind nämlich auf der kompakten Menge stetig – und somit dort auch gleichmäßig stetig. Wir setzen noch

(25)

und wählen das Intervall . Dann erklären wir die -dimensionalen Quader

(26) , falls gilt.

Weiter definieren wir wir die folgenden -dimensionalen Quader

(27)

Nach Konstruktion gilt die Überdeckungseigenschaft

(28)

Weiter schätzen wir den -dimensionalen Gesamtinhalt mittels (25) – (27) wie folgt ab:

(29)

Da beliebig gewählt war, bildet wegen (28) und (29) eine Jordansche Nullmenge.

2.) Wir betrachten jetzt den Quader mit der Eigenschaft und erklären die Funktion

.

Nach Teil 1.) ist die Funktion über integrierbar und Satz 11 in §3 über die iterierte Integration liefert

(30)

q.e.d.