Kurs:Analysis II/Kapitel V: Das Riemannsche Integral im R^n/Integration über Jordan-Bereiche (§4)

Wir betrachten wieder achsenparallele Quader $Q$ und Zerlegungen von $Q$ in Teilquader gemäß den Definitionen 1 und 2 aus §2. Für eine beliebige Menge $E\subset \mathbb {R} ^{n}$ verstehen wir unter ${\stackrel {\circ }{E}},{\overline {E}}$ und $\partial E$ wie üblich den offenen Kern, die abgeschlossene Hülle und den topologisches Rand von $E$.

Definition 1

Eine Punktmenge $E\subset \mathbb {R} ^{n}$ heißt Jordansche Nullmenge genau dann, wenn es zu jedem $\varepsilon >0$ eine endliche Anzahl $N=N(\varepsilon )\in \mathbb {N}$ von (achsenparallelen) Quadern $Q_{1},Q_{2},...,Q_{N}$ derart gibt, dass die Überdeckungseigenschaft

(1) $E\subset \bigcup _{k=1}^{N}Q_{k}$

und die Abschätzung des Gesamtinhalts

(2) $\sum _{k=1}^{N}|Q_{k}|<\varepsilon$

gültig sind.

Bemerkungen

1. Wenn $E\subset \mathbb {R} ^{n}$ eine Nullmenge ist und $F\subset E$ gilt, dann ist auch $F$ eine Nullmenge.
2. Wenn $E_{1},E_{2},...,E_{p}\subset \mathbb {R} ^{n}$ nun $p\in \mathbb {N}$ Jordansche Nullmengen sind, dann bildet auch deren Vereinigung $\bigcup _{k=1}^{p}E_{k}$ eine Jordansche Nullmenge. Diese Eigenschaft bezeichnen wir als endliche Vereinigungs-Stabilität Jordanscher Nullmengen.
3. Die Menge $[0,1]\cap \mathbb {Q}$ ist keine Jordansche Nullmenge. Diese bildet jedoch eine Lebesguesche Nullmenge, welche wir erst später untersuchen.

Satz 1

Wenn die Funktion $f:Q\to \mathbb {C}$ beschränkt und bis auf eine Jordansche Nullmenge stetig ist, dann ist $f$ über $Q$ Riemann-integrierbar.

Satz 2

Wenn $f:Q\to \mathbb {C}$ eine beschränkte Funktion ist, die auf dem Komplement einer Jordanschen Nullmenge $E\subset Q$ verschwindet, dann ist $f$ über $Q$ Riemann-integrierbar und es gilt $\int \limits _{Q}f(x)\,dx=0$.

Definition 2

Eine kompakte Punktmenge $J\subset \mathbb {R} ^{n}$ heißt Jordan-Bereich im $\mathbb {R} ^{n}$, wenn die Menge ihrer Randpunkte $\partial J=\left\{x\in {\overline {J}}:x\notin {\stackrel {\circ }{J}}\right\}$ eine Jordansche Nullmenge bildet.

Definition 3

Es sei $f:J\to \mathbb {C}$ eine auf dem Jordan-Bereich $J\subset \mathbb {R} ^{n}$ stetige Funktion. Ferner sei $Q\subset \mathbb {R} ^{n}$ ein Quader $J\subset {\stackrel {\circ }{Q}}$ und wir setzen

(14) $f_{J}(x):=\left\{{\begin{matrix}f(x)\ falls\ x\in J\\\\0\ falls\ x\in Q\setminus J\end{matrix}}\right.$.

Wir erklären durch die Gleichung

(15) $\int \limits _{J}f(x)\,dx:=\int \limits _{Q}f_{J}(x)\,dx$

das Riemann-Integral von $f$ über den Jordan-Bereich $J$.

Satz 3

Es seien $J_{1},J_{2},...,J_{p}$ nun $p\in \mathbb {N}$ Jordan-Bereiche im $\mathbb {R} ^{n}$ mit der Eigenschaft

${\stackrel {\circ }{J}}_{j}\cap {\stackrel {\circ }{J}}_{k}=\emptyset$ für alle $j,k\in \{1,...,p\}$ mit $j\neq k$.

Weiter erklären wir deren Vereinigung $J:=\bigcup _{k=1}^{p}J_{k}$. Wenn $f:J\to \mathbb {C}$ eine stetige Funktion darstellt, dann gilt die Identität

(16) $\int \limits _{J}f(x)\,dx=\sum _{k=1}^{p}\int \limits _{J_{k}}f(x)\,dx$.

Definition 4

Für einen Jordan-Bereich $J\subset \mathbb {R} ^{n}$ heißt

(19) $|J|:=\int \limits _{J}1\,dx$

der Jordansche Inhalt von $J$.

Definition 5

Es sei $J\subset \mathbb {R} ^{n}$ ein Jordan-Bereich. Gegeben seien zwei stetige Funktionen

$\varphi _{j}:J\to \mathbb {R} \ (j=1,2)$ mit $\varphi _{1}(x)\leq \varphi _{2}(x)$ für alle $x\in J$.

Dann erklären wir einen Normalbereich $K$ über dem Jordanbereich $J$ durch

(22) $K:=\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{n+1}:x\in J,\varphi _{1}(x)\leq y\leq \varphi _{2}(x)\}$.

Satz 4 (Iterierte Integration über Normalbereiche)

Der Normalbereich $K$ über dem Jordanbereich $J\subset \mathbb {R} ^{n}$ aus Definition 5 bildet einen Jordanbereich im $\mathbb {R} ^{n+1}$. Wenn die Funktion $f=f(x,y):K\to \mathbb {R}$ stetig ist, dann gilt die Identität der iterierten Integration

(23) $\int \limits _{K}f(x,y)\,dx\,dy=\int \limits _{J}\left[\int _{\varphi _{1}(x)}^{\varphi _{2}(x)}f(x,y)\,dy\right]\,dx$.

Beweis

1.) Zunächst bildet $E:=\partial J$ eine Jordansche Nullmenge im $\mathbb {R} ^{n}$, welche von einem Quader gemäß $J\subset {\stackrel {\circ }{Q}}\subset \mathbb {R} ^{n}$ umfasst werde. Wie im Beweis von Satz 1 konstruieren wir zu vorgegebenem $\varepsilon >0$ eine – von der Menge $E$ unabhängige – Zerlegung ${\mathcal {Z}}:Q=\bigcup _{i\in {\mathfrak {N}}}Q_{i}$ von $Q$. Diese besitze das Feinheitsmaß $\|Z\|<\omega (\varepsilon )$, wobei $\omega =\omega (\varepsilon )>0$ das gemeinsame Stetigkeitsmodul

(24) $|\varphi _{j}(x')-\varphi _{j}(x'')|<\varepsilon$ für alle $x',x''\in J$ mit $|x'-x''|<\omega \ (j=1,2)$

der Grenzfunktionen $\varphi _{j},\ j=1,2$ angibt. Letztere Funktionen sind nämlich auf der kompakten Menge $J$ stetig – und somit dort auch gleichmäßig stetig. Wir setzen noch

(25) $L:=\sup\{|\varphi _{1}(x)|+|\varphi _{2}(x)|+1:x\in J\}<+\infty$

und wählen das Intervall $I:=[-L,+L]$. Dann erklären wir die $(n+1)$-dimensionalen Quader

(26) $T_{k}:=Q_{k}\times I$, falls $Q_{k}\subset M$ gilt.

Weiter definieren wir wir die folgenden $(n+1)$-dimensionalen Quader

(27) ${\begin{matrix}T_{k}:=Q_{k}\times I_{k}{\text{ mit dem Doppelintervall }}\\\\I_{k}:=[\varphi _{1}(\xi _{k})-\varepsilon ,\varphi _{1}(\xi _{k})+\varepsilon ]\cup [\varphi _{2}(\xi _{k})-\varepsilon ,\varphi _{2}(\xi _{k})+\varepsilon ]\\\\{\text{und einem Zwischenpunkt }}\xi _{k}\in Q_{k},{\text{ falls }}Q_{k}\subset {\overline {J\setminus M}}{\text{ gilt}}.\end{matrix}}$

Nach Konstruktion gilt die Überdeckungseigenschaft

(28) $\partial K\subset \bigcup _{k\in {\mathfrak {N}}:Q_{k}\subset J\cup M}T_{k}.$

Weiter schätzen wir den $(n+1)$-dimensionalen Gesamtinhalt mittels (25) – (27) wie folgt ab:

(29) ${\begin{matrix}\sum _{k\in {\mathfrak {N}}:Q_{k}\subset J\cup M}|T_{k}|=\sum _{k\in {\mathfrak {N}}:Q_{k}\subset M}|T_{k}|+\sum _{k\in {\mathfrak {N}}:Q_{k}\subset {\overline {J\setminus M}}}|T_{k}|\\\\\sum _{k\in {\mathfrak {N}}:Q_{k}\subset M}|Q_{k}\times I|+\sum _{k\in {\mathfrak {N}}:Q_{k}\subset {\overline {J\setminus M}}}|Q_{k}\times I_{k}|\\\\\leq |I|\cdot \sum _{k\in {\mathfrak {N}}:Q_{k}\subset M}|Q_{k}|+\sum _{k\in {\mathfrak {N}}:Q_{k}\subset {\overline {J\setminus M}}}|I_{k}|\cdot |Q_{k}|\\\\\leq 2L\cdot 2\varepsilon +4\varepsilon \cdot |J|=4\varepsilon \cdot (L+|J|).\end{matrix}}$

Da $\varepsilon >0$ beliebig gewählt war, bildet $\partial K$ wegen (28) und (29) eine Jordansche Nullmenge.

2.) Wir betrachten jetzt den Quader $Q\times I=T\subset \mathbb {R} ^{n+1}$ mit der Eigenschaft $K\subset {\stackrel {\circ }{T}}$ und erklären die Funktion

$F(x,y):=\left\{{\begin{matrix}f(x,y){\text{ falls }}(x,y)\in K\\\\0{\text{ falls }}(x,y)\in T\setminus K\end{matrix}}\right.$.

Nach Teil 1.) ist die Funktion $F$ über $T$ integrierbar und Satz 11 in §3 über die iterierte Integration liefert

(30) ${\begin{matrix}\int \limits _{K}f(x,y)\,dx\,dy=\int \limits _{T}F(x,y)\,dx\,dy\\\\=\int \limits _{Q}\left[\int \limits _{I}F(x,y)\,dy\right]\,dx=\int \limits _{J}\left[\int _{\varphi _{1}(x)}^{\varphi _{2}(x)}f(x,y)\,dy\right]\,dx.\end{matrix}}$

q.e.d.