Kurs:Analysis II/Kapitel VI: Gewöhnliche Differentialgleichungen/Lineare Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten (§10)

Wir wollen zum Abschluss dieses Kapitels lineare Differentialgleichungen $m$-ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten behandeln. Seien hierzu die Koeffizienten $p_{k}\in \mathbb {R}$ für $k=0,1,\ldots ,m$ mit $p_{m}\neq 0$ sowie $m\in \mathbb {N}$ gewählt und der lineare Differentialoperator wie folgt gegeben:

(1) ${\begin{matrix}{\mathcal {L}}:C^{m}(\mathbb {R} ,\mathbb {C} )\to C^{0}(\mathbb {R} ,\mathbb {C} )\mathrm {\ verm{\ddot {o}}ge} \\{\mathcal {L}}(y){\bigl |}_{x}:=p_{m}y^{(m)}(x)+p_{m-1}y^{(m-1)}(x)+\ldots +p_{1}y'(x)+p_{0}y(x),\quad x\in \mathbb {R} .\end{matrix}}$

Definition 1

Wir nennen

$p(\zeta ):=p_{m}\zeta ^{m}+p_{m-1}\zeta ^{m-1}+\ldots +p_{1}\zeta +p_{0},\quad \zeta \in \mathbb {C}$

das zu ${\mathcal {L}}$ gehörige charakteristische Polynom.

Offenbar gilt die Aussage

(2) ${\mathcal {L}}\left(e^{\zeta x}\right)=p(\zeta )e^{\zeta x},\quad x\in \mathbb {R}$ und $\lambda \in \mathbb {C}$.

Sind also $\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n}\in \mathbb {C}$ die $1\leq n\leq m$ paarweise verschiedenen Nullstellen des Polynoms $p(\zeta )$, so erhalten wir mit den Funktionen

$e^{\lambda _{1}x},\ldots ,e^{\lambda _{n}x}$

dann $n$ verschiedene Lösungen der Differentialgleichung ${\mathcal {L}}(y)=0$. Nun seien $k_{1},\ldots ,k_{n}\in \mathbb {N}$ die Vielfachheiten der Nullstellen $\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n}$ mit $k_{1}+\ldots +k_{n}=m$, also gelte

(3) $p(\zeta )=p_{m}(\zeta -\lambda _{1})^{k_{1}}\cdot \ldots \cdot (\zeta -\lambda _{n})^{k_{n}},\quad \zeta \in \mathbb {C}$.

Für $\zeta \in \mathbb {C}$ und $q=0,1,2,\ldots$ berechnen wir für alle $x\in \mathbb {R}$ die Gleichung

(4) ${\begin{matrix}{\mathcal {L}}\left(x^{q}e^{\zeta x}\right)={\mathcal {L}}\left(\left({\frac {\partial }{\partial \zeta }}\right)^{q}e^{\zeta x}\right)=\sum \limits _{j=0}^{m}p_{j}\left({\frac {\partial }{\partial x}}\right)^{j}\left(\left({\frac {\partial }{\partial \zeta }}\right)^{q}e^{\zeta x}\right)\\=\left({\frac {\partial }{\partial \zeta }}\right)^{q}\sum \limits _{j=0}^{m}p_{j}\left({\frac {\partial }{\partial x}}\right)^{j}e^{\zeta x}=\left({\frac {\partial }{\partial \zeta }}\right)^{q}{\mathcal {L}}\left(e^{\zeta x}\right)=\left({\frac {\partial }{\partial \zeta }}\right)^{q}\left\{p(\zeta )e^{\zeta x}\right\}.\end{matrix}}$

Für $j=1,\ldots ,n$ enthält $p(\zeta )e^{\zeta x}$ den Faktor $(\zeta -\lambda _{j})^{k_{j}}$ und die Produktregel liefert

(5) ${\mathcal {L}}\left(x^{q}e^{\lambda _{j}x}\right)=\left({\frac {\partial }{\partial \zeta }}\right)^{q}\left\{p(\zeta )e^{\zeta x}\right\}{\Bigr |}_{\zeta =\lambda _{j}}=0$ für $q=0,1,\ldots ,k_{j}-1$.

Mit den Funktionen

(6) ${\begin{matrix}y_{11}(x)=e^{\lambda _{1}x},&y_{12}(x)=xe^{\lambda _{1}x},&\ldots ,&y_{1k_{1}}(x)=x^{k_{1}-1}e^{\lambda _{1}x},&x\in \mathbb {R} \\\vdots &\vdots &&\vdots &\\y_{n1}(x)=e^{\lambda _{n}x},&y_{n2}(x)=xe^{\lambda _{n}x},&\ldots ,&y_{nk_{n}}(x)=x^{k_{n}-1}e^{\lambda _{n}x},&x\in \mathbb {R} \end{matrix}}$

erhalten wir $m$ Lösungen der homogenen Differentialgleichung ${\mathcal {L}}(y)=0$.

Satz 1 (Komplexes Fundamentalsystem)

Die in (6) erklärten Lösungen $\{y_{11},\ldots ,y_{1k_{1}},\ldots ,y_{n1},\ldots ,y_{nk_{n}}\}$ der Differentialgleichung ${\mathcal {L}}(y)=0$ sind komplex linear unabhängig.

Beweis

1.) Wir zeigen zunächst, dass es zu den paarweise verschiedenen Zahlen $\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n}\in \mathbb {C}$ einen Index $k\in \{1,\ldots ,n\}$ und eine Zahl $\xi \in \mathbb {C} \setminus \{0\}$ gibt, so dass $\operatorname {Re} \,[(\lambda _{j}-\lambda _{k})\xi ]>0$ für alle $j\neq k$ erfüllt ist. Hierzu betrachten wir die ebene, konvexe Menge

$K:=\left\{z\in \mathbb {C} :z=\sum _{k=1}^{n}\mu _{k}\lambda _{k}{\text{ mit }}\mu _{k}\in [0,1]{\text{ und }}\sum _{k=1}^{n}\mu _{k}=1\right\}$.

Offenbar gibt es ein $k\in \{1,\ldots ,n\}$ und eine Halbebene

$H:=\{z\in \mathbb {C} :\operatorname {Re} \,[(z-\lambda _{k})\xi ]>0\}$

oberhalb einer Gerade durch den Punkt $\lambda _{k}$ senkrecht zum Vektor ${\overline {\xi }}\in \mathbb {R} ^{2}\setminus \{0\}$, so dass $K\cap \{\mathbb {C} \setminus H\}=\{\lambda _{k}\}$ erfüllt ist. Somit folgt $\lambda _{j}\in H$ für alle $j\neq k$ und schließlich $\operatorname {Re} \,[(\lambda _{j}-\lambda _{k})\xi ]>0$ für $j=1,\ldots ,k-1,k+1,\ldots ,n$.

2.) Wir zeigen nun indirekt, dass die Funktionen $\{y_{11},\ldots ,y_{nk_{n}}\}$ linear unabhängig sind. Wären sie nämlich linear abhängig, so gäbe es Polynome $P_{1}(x),\ldots ,P_{n}(x)$, die nicht alle identisch verschwinden und

$P_{1}(x)e^{\lambda _{1}x}+\ldots +P_{n}(x)e^{\lambda _{n}x}=0$ für alle $x\in \mathbb {R}$

erfüllen. Wir können o. B. d. A. davon ausgehen, dass alle Polynome nicht identisch verschwinden und beachten

(7) $P_{1}(z)e^{\lambda _{1}z}+\ldots +P_{n}(z)e^{\lambda _{n}z}\equiv 0$ für alle $z\in \mathbb {C}$.

Wählen wir nun gemäß dem Teil 1.) einen Index $k\in \{1,\ldots ,n\}$ und eine Zahl $\xi \in \mathbb {C} \setminus \{0\}$, so betrachten wir die Identität

(8) $P_{1}(\xi t)e^{(\lambda _{1}-\lambda _{k})\xi t}+\ldots +P_{k}(\xi t)+\ldots +P_{n}(\xi t)e^{(\lambda _{n}-\lambda _{k})\xi t},t\in \mathbb {R}$.

Wegen $\operatorname {Re} \,[(\lambda _{j}-\lambda _{k})\xi ]>0$ für $j=1,\ldots ,k-1,k+1,\ldots ,n$ erhalten wir aus (8) für $t\to -\infty$ die Beziehung $\lim _{t\to -\infty }P_{k}(\xi t)=0$. Somit folgt die Aussage $P_{k}\equiv 0$ – im Widerspruch zur obigen Annahme.

q.e.d.

Bemerkungen

1. Als Realteile von den komplexen Linearkombinationen der Funktionen (6) erhalten wir ein Fundamentalsystem der homogenen Gleichung ${\mathcal {L}}(y)=0$.
2. Betrachten wir zur konstanten Matrix $P$ aus (3) in §9 die Fundamentallösung $Y(x):=\operatorname {Exp} \,(Px),x\in \mathbb {R}$ des homogenen Systems

$Y'(x)=P\circ Y(x),\quad x\in \mathbb {R}$,

so werden wir zum Funktionensystem (6) über die Jordansche Normalform wie in §7 hingeführt die sich in den ersten Halbjahr des Jahres.
3. Nachdem wir ein Fundamentalsystem für die lineare Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten gefunden haben, können wir gemäß Satz 4 in §9 mittels Variation der Konstanten eine Lösung der inhomogenen Gleichung ermitteln.
4. Wenn die rechte Seite der Gleichung eine spezielle Form hat, kann man mit einem Ansatz vom Typ der rechten Seite eine partikuläre Lösung der inhomogenen Differentialgleichung finden.

Satz 2 (Ansatz vom Typ der rechten Seite)

Sei wie oben ein linearer Differentialoperator $m$-ter Ordnung ${\mathcal {L}}$ mit konstanten Koeffizienten gegeben. Weiter habe die rechte Seite die Form $f(x)=\varphi (x)e^{\mu x}$. Dabei ist $\varphi$ ein Polynom vom Grade $M\in \mathbb {N} \cup \{0\}$ und $\mu \in \mathbb {C}$ eine Nullstelle der Ordnung $k\in \mathbb {N} \cup \{0\}$ des charakteristischen Polynoms $p(\zeta )$. Dann besitzt die inhomogene Differentialgleichung ${\mathcal {L}}(y)=f(x)$ eine spezielle Lösung der Gestalt

$y(x)=x^{k}(a_{0}+a_{1}x+\ldots +a_{M}x^{M})e^{\mu x},\quad x\in \mathbb {R}$

mit geeigneten Koeffizienten $a_{0},a_{1},\ldots ,a_{M}\in \mathbb {C}$.

Beweis

Mit Hilfe von Formel (5) berechnen wir für $q=k,\ldots ,M+k$:

${\mathcal {L}}(x^{q}e^{\mu x})=\left({\frac {\partial }{\partial \zeta }}\right)^{q}\left\{p(\zeta )e^{\zeta x}\right\}{\Bigl |}_{\zeta =\mu }=\sum _{l=0}^{q}{\begin{pmatrix}q\\l\end{pmatrix}}p^{(l)}(\mu )e^{\mu x}x^{q-l}$

$=\sum _{l=k}^{q}{\begin{pmatrix}q\\l\end{pmatrix}}p^{(l)}(\mu )e^{\mu x}x^{q-l}={\begin{pmatrix}q\\k\end{pmatrix}}p^{(k)}(\mu )e^{\mu x}x^{q-k}+\ldots$.

Da $p^{(k)}(\mu )\neq 0$ erfüllt ist, können wir Koeffizienten $a_{0},a_{1},\ldots ,a_{M}\in \mathbb {C}$ so finden, dass

${\mathcal {L}}{\Bigl (}x^{k}(a_{0}+a_{1}x+\ldots +a_{M}x^{M})e^{\mu x}{\Bigr )}=\varphi (x)e^{\mu x},\quad x\in \mathbb {R}$

erfüllt ist.

q.e.d.

Bemerkungen

1. Die Koeffizienten $a_{0},a_{1},\ldots ,a_{M}\in \mathbb {C}$ werden durch Einsetzen in die inhomogene Differentialgleichung und Koeffizientenvergleich bestimmt.
2. Für die lineare Differentialgleichung ${\mathcal {L}}(y)=f$ mit einer reellen rechten Seite ist mit einer Lösung $y(x)$ auch ${\overline {y(x)}}$ eine Lösung dieser Differentialgleichung. Somit lösen auch die Funktionen $\operatorname {Re} \,y(x)$ und $\operatorname {Im} \,y(x)$ die Differentialgleichung. Mit der komplexwertigen Lösung erhalten wir also zwei reellwertige Lösungen $\operatorname {Re} \,y(x)$ und $\operatorname {Im} \,y(x)$.