Kurs:Analysis III/Kapitel I: Differentiation und Integration auf Mannigfaltigkeiten/§2 Parameterinvariante Integrale und Differentialformen

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Satz 1 (Transformationsformel für mehrfache Integrale)[Bearbeiten]

Es seien offene Mengen und bezeichne eine bijektive Abbildung der Klasse , für die gelte
für alle .
Die Funktion sei vorgelegt und es sei
für das uneigentliche Riemannsche Integral von erfüllt. Dann gilt die Transformationsformel

Definition 1[Bearbeiten]

Sei die offene Menge mit als Parameterbereich gegeben. Weiter sei
mit und eine Abbildung, deren Funktionalmatrix
für alle den Rang hat. Dann nennen wir eine parametrisierte, reguläre Fläche mit der Parameterdarstellung .
Sind und zwei Parameterdarstellungen, so nennen wir diese äquivalent, wenn es eine topologische Abbildung
gibt mit den folgenden Eigenschaften:
  1. für alle ;
  2. für alle .
Man sagt, entstehe aus durch orientierungstreues Umparametrisieren. Die Äquivalenzklasse aller zu äquivalenten Parameterdarstellungen nennen wir eine offene, orientierte, -dimensionale, reguläre Fläche der Klasse im . Wir nennen eine Fläche eingebettet in den , falls zusätzlich injektiv ist.

Definition 2[Bearbeiten]

Unter dem Flächeninhalt einer offenen, orientierten, -dimensionalen, regulären -Fläche im mit einer Parameterdarstellung verstehen wir das uneigentliche Riemannsche Integral
wobei offen und erfüllt ist. Falls ausfällt, hat die Fläche einen endlichen Flächeninhalt.

Definition 3[Bearbeiten]

Auf der offenen Menge seien die Funktionen mit gegeben. Wir erklären die Menge
ist reguläre, orientierte, -dimensionale Fläche mit endlichem Flächeninhalt und .
Unter einer Differentialform vom Grade der Klasse
oder kurz einer -Form der Klasse verstehen wir die Funktion erklärt durch
.

Definition 4[Bearbeiten]

Eine 0-Form der Klasse ist eine Funktion , d. h.
.
Zu nennen wir
eine Basis--Form.

Definition 5[Bearbeiten]

Seien -Formen der Klasse und sei . Dann erklären wir die Differentialformen und durch
für alle
bzw.
für alle .

Definition 6 (Äußeres Produkt von Differentialformen)[Bearbeiten]

Seien die Differentialformen
vom Grade sowie
vom Grade der Klasse gegeben. Dann erklären wir das äußere Produkt von und als die -Form
der Klasse .

Definition 7[Bearbeiten]

Sei
eine stetige Differentialform auf der offenen Menge . Dann erklären wir das uneigentliche Riemannsche Integral der Differentialform über die Fläche
falls absolut integrierbar ist über , also
erfüllt ist.