Kurs:Analysis III/Kapitel I: Differentiation und Integration auf Mannigfaltigkeiten/§2 Parameterinvariante Integrale und Differentialformen
Satz 1 (Transformationsformel für mehrfache Integrale)[Bearbeiten]
- Es seien offene Mengen und bezeichne eine bijektive Abbildung der Klasse , für die gelte
für alle .
- Die Funktion sei vorgelegt und es sei
- für das uneigentliche Riemannsche Integral von erfüllt. Dann gilt die Transformationsformel
Definition 1[Bearbeiten]
- Sei die offene Menge mit als Parameterbereich gegeben. Weiter sei
- mit und eine Abbildung, deren Funktionalmatrix
- für alle den Rang hat. Dann nennen wir eine parametrisierte, reguläre Fläche mit der Parameterdarstellung .
- Sind und zwei Parameterdarstellungen, so nennen wir diese äquivalent, wenn es eine topologische Abbildung
- gibt mit den folgenden Eigenschaften:
- für alle ;
- für alle .
- Man sagt, entstehe aus durch orientierungstreues Umparametrisieren. Die Äquivalenzklasse aller zu äquivalenten Parameterdarstellungen nennen wir eine offene, orientierte, -dimensionale, reguläre Fläche der Klasse im . Wir nennen eine Fläche eingebettet in den , falls zusätzlich injektiv ist.
Definition 2[Bearbeiten]
- Unter dem Flächeninhalt einer offenen, orientierten, -dimensionalen, regulären -Fläche im mit einer Parameterdarstellung verstehen wir das uneigentliche Riemannsche Integral
- wobei offen und erfüllt ist. Falls ausfällt, hat die Fläche einen endlichen Flächeninhalt.
Definition 3[Bearbeiten]
- Auf der offenen Menge seien die Funktionen mit gegeben. Wir erklären die Menge
ist reguläre, orientierte, -dimensionale Fläche mit endlichem Flächeninhalt und .
- Unter einer Differentialform vom Grade der Klasse
- oder kurz einer -Form der Klasse verstehen wir die Funktion erklärt durch
.
Definition 4[Bearbeiten]
- Eine 0-Form der Klasse ist eine Funktion , d. h.
.
- Zu nennen wir
- eine Basis--Form.
Definition 5[Bearbeiten]
- Seien -Formen der Klasse und sei . Dann erklären wir die Differentialformen und durch
für alle
- bzw.
für alle .
Definition 6 (Äußeres Produkt von Differentialformen)[Bearbeiten]
- Seien die Differentialformen
- vom Grade sowie
- vom Grade der Klasse gegeben. Dann erklären wir das äußere Produkt von und als die -Form
- der Klasse .
Definition 7[Bearbeiten]
- Sei
- eine stetige Differentialform auf der offenen Menge . Dann erklären wir das uneigentliche Riemannsche Integral der Differentialform über die Fläche
- falls absolut integrierbar ist über , also
- erfüllt ist.