Kurs:Analysis III/Kapitel I: Differentiation und Integration auf Mannigfaltigkeiten/§3 Die äußere Ableitung von Differentialformen

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Definition 1[Bearbeiten]

Für eine 0-Form der Klasse erklären wir ihre äußere Ableitung als das Differential
Ist
eine -Form der Klasse , so erklären wir ihre äußere Ableitung als die -Form

Definition 2[Bearbeiten]

Wir nennen
die Rotation des Vektorfeldes .

Definition 3[Bearbeiten]

Für ein Vektorfeld auf der offenen Menge erklären wir dessen Divergenz (Quelldichte) als

Definition 4 (Transformierte Differentialform)[Bearbeiten]

Sei
eine stetige -Form in einer offenen Menge . Sei weiter eine offene Menge und die Abbildung
der Klasse gegeben. Mit
und
erhalten wir die unter der Abbildung transformierte -Form .

Satz 1 (Zurückziehen der Differentialform)[Bearbeiten]

Sei eine stetige -Form in der offenen Menge . Weiter sei auf der offenen Menge eine Fläche durch die Parameterdarstellung
mit gegeben. Schließlich erklären wir die Fläche
und beachten
.
Dann gilt die folgende Identität:

Beweis[Bearbeiten]

Wir berechnen

sowie

Es folgt somit

und der Satz ist bewiesen.

q.e.d.

Satz 2 (Kettenregel für Differentialformen)[Bearbeiten]

Sei eine stetige -Form in einer offenen Menge . Auf den offenen Mengen und mit seien die -Funktionen gemäß
mit
gegeben. Dann gilt

Beweis[Bearbeiten]

Wir berechnen

also

wobei über und summiert wird.

q.e.d.