- Für eine 0-Form der Klasse erklären wir ihre äußere Ableitung als das Differential
- Ist
- eine -Form der Klasse , so erklären wir ihre äußere Ableitung als die -Form
- Wir nennen
- die Rotation des Vektorfeldes .
- Für ein Vektorfeld auf der offenen Menge erklären wir dessen Divergenz (Quelldichte) als
Definition 4 (Transformierte Differentialform)[Bearbeiten]
- Sei
- eine stetige -Form in einer offenen Menge . Sei weiter eine offene Menge und die Abbildung
- der Klasse gegeben. Mit
- und
- erhalten wir die unter der Abbildung transformierte -Form .
Satz 1 (Zurückziehen der Differentialform)[Bearbeiten]
- Sei eine stetige -Form in der offenen Menge . Weiter sei auf der offenen Menge eine Fläche durch die Parameterdarstellung
- mit gegeben. Schließlich erklären wir die Fläche
- und beachten
.
- Dann gilt die folgende Identität:
Wir berechnen
sowie
Es folgt somit
und der Satz ist bewiesen.
q.e.d.
Satz 2 (Kettenregel für Differentialformen)[Bearbeiten]
- Sei eine stetige -Form in einer offenen Menge . Auf den offenen Mengen und mit seien die -Funktionen gemäß
mit
- gegeben. Dann gilt
Wir berechnen
also
wobei über und summiert wird.
q.e.d.