Kurs:Analysis III/Kapitel I: Differentiation und Integration auf Mannigfaltigkeiten/§4 Der Stokessche Integralsatz für Mannigfaltigkeiten

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Definition 1[Bearbeiten]

Seien und die Menge gegeben. Wir nennen eine -dimensionale -Mannigfaltigkeit, falls es zu jedem ein und offene Umgebungen von und von sowie eine reguläre eingebettete Fläche
gibt, so dass
und
richtig ist; dabei ist gewählt worden. Wir nennen eine Karte der Mannigfaltigkeit. Die Gesamtheit aller Karten
bildet einen Atlas der Mannigfaltigkeit. Sind zwei Karten von , so dass
richtig ist, dann betrachten wir die Parametertransformation . Falls für solche beliebige Karten aus dem Atlas jeweils für die Funktionaldeterminante auf gilt, so ist die Mannigfaltigkeit durch den Atlas orientiert.

Definition 2[Bearbeiten]

Sei eine beschränkte -dimensionale, orientierte -Mannigfaltigkeit im mit . Den topologischen Abschluss der Punktmenge bezeichnen wir mit und die Menge der Randpunkte mit . Wir nennen einen regulären Punkt der Mannigfaltigkeit , wenn folgendes gilt:
Es gibt einen Halbwürfel im mit und , eine reguläre eingebettete Fläche
,
so dass zum orientierten Atlas von gehört und eine offene Umgebung von mit den folgenden Eigenschaften:
Die Menge der regulären Randpunkte bezeichnen wir mit .

Definition 3[Bearbeiten]

Für die beschränkte Mannigfaltigkeit aus Definition 2 erklären wir die Menge der singulären Randpunkte gemäß
Im Falle erhalten wir eine kompakte Mannigfaltigkeit mit regulärem Rand. Falls zusätzlich gilt, sprechen wir von einer geschlossenen Mannigfaltigkeit.

Definition 4[Bearbeiten]

Der singuläre Rand der Mannigfaltigkeit hat die Kapazität Null, falls es zu jedem und jeder kompakten Menge eine Funktion gibt mit den folgenden Eigenschaften:
  1. Für alle gilt .
  2. Es gilt
Dabei bezeichnet das -dimensionale Oberflächenelement auf und wir setzen
.

Satz 1 (Stokesscher Integralsatz für Mannigfaltigkeiten)[Bearbeiten]

Voraussetzungen:

1. Sei eine beschränkte, orientierte, -dimensionale -Mannigfaltigkeit im mit dem Atlas . Durch den induzierten Atlas wird der reguläre Rand zu einer beschränkten, orientierten, -dimensionalen -Mannigfaltigkeit. Wir fordern, dass der reguläre Rand endlichen Flächeninhalt hat, d. h. es gelte
Weiter habe der singuläre Rand die Kapazität Null.
2. Sei
eine -dimensionale Differentialform der Klasse , so dass absolut integrierbar ist, d. h.

Behauptung:

Dann gilt die Identität

Beweis[Bearbeiten]

1. Sei zunächst erfüllt. Wie oben wählen wir eine Zerlegung der Eins auf , die dem überdeckenden Kartensystem untergeordnet ist. Nun folgt

2. Sei nun beliebig. Wir wählen dann eine Folge , welche die Mannigfaltigkeit ausschöpft und die Eignschaft

für

besitzt. Wir erhalten für gemäß Teil 1

(1)

Zunächst gilt

für .

Weiter gilt

für .

Es folgt also

Wegen folgt

Insgesamt erhalten wir durch Grenzübergang in (1) die Gleichung

was der Behauptung entspricht.

q.e.d.