Sei
eine beschränkte, offene Menge mit dem topologischen Rand
. Zu jedem
gebe es eine Punktfolge

für die
für
richtig ist, d. h. jeder Randpunkt ist 'von außen erreichbar'.
Seien als Parameterbereiche die
beschränkten Gebiete
gewählt. Es gebe
reguläre Hyperflächen im

wobei
injektiv sei und für alle
und alle
der Rang der Funktionalmatrix
erfülle. Weiter gelte für die Flächeninhalte

Für
setzen wir

Der Rand von
sei Vereinigung dieser endlich vielen Hyperflächenstücke
, d. h.

Weiter gelte

für alle

mit

;
zwei verschiedene Flächen haben also höchstens Randpunkte gemeinsam.
- Die Menge
genüge den Voraussetzungen (A) und (B). Wir setzen dann

- als regulären Rand von
. Weiter sei
eine stetige, beschränkte Funktion auf
. Wir erklären durch

- das Oberflächenintegral von
über den regulären Rand
.
Die Funktion
gehöre zur Regularitätsklasse
und es gelte

Die Menge
habe den
-dimensionalen Hausdorffschen Inhalt Null bzw. sie sei eine
-dimensionale Hausdorffsche Nullmenge. Genauer gibt es zu jedem
endlich viele Hyperkugeln

mit
und
, so dass folgendes gilt:
(Überdeckungseigenschaft)
(Kleinheit der Gesamtoberfläche).
Satz 1 (Gaußscher Integralsatz)[Bearbeiten]
- Sei
eine beschränkte, offene Menge, die den Voraussetzungen (A), (B) und (D) genügt. Weiter erfülle die Vektorfunktion
die Voraussetzung (C). Dann gilt die Identität

1. Wir fassen
als
-dimensionale Mannigfaltigkeit im
auf mit dem Atlas
. Nun gibt es für jeden Punkt

einen Quader
, so dass gilt

Auf dem Halbwürfel

mit der oberen begrenzenden Seite in
-Richtung

betrachten wir die Transformation


mit
. Wählen wir die Vorzeichen
geeignet, so erreichen wir

und

für die Funktionaldeterminante von
. Somit ist
verträglich mit der obigen Karte
und wir statten
mit dem induzierten Atlas aus. Wegen
zeigt die durch
orientierte Normale
an ein Flächenstück in Richtung der äußeren Normalen
an
.
Wir betrachten nun die
-Form

Wegen obiger Überlegungen sehen wir

ein.
2. Wegen Voraussetzung (D) gibt es zu jedem
endlich viele Kugeln

mit

und

.
Wir zeigen nun, dass die Kapazität des singulären Randes Null ist. Hierzu konstruieren wir zunächst eine Funktion
mit

und

Für
betrachten wir die Funktion

mit
und

.
Ist
das Volumen der
-dimensionalen Einheitskugel, so berechnen wir



mit
. Wir erhalten eine Funktion

mit


Somit hat
die Kapazität Null.
3. Der Stokessche Integralsatz für Mannigfaltigkeiten liefert schließlich

was der Behauptung entspricht.
q.e.d.
Satz 2 (Greensche Formel)[Bearbeiten]
- Sei
eine offene, beschränkte Menge im
, die den Voraussetzungen (A), (B) und (D) genügt. Weiter seien die Funktionen
und
der Klasse
mit

- gegeben, wobei
den Laplace-Operator gemäß

- bedeutet. Dann gilt

- mit den Bezeichnungen

Wir wenden den Gaußschen Integralsatz auf das Vektorfeld

an. Es folgt

und wir erhalten schließlich


woraus die Behauptung folgt.
q.e.d.
Satz 3 (Oszillationslemma von Courant-Lebesgue)[Bearbeiten]
- Sei

- die offene Einheitskreisscheibe. Weiter sei

- eine vektorwertige Funktion mit endlichem Dirichletschen Integral
, d. h. es gilt

- Dann gibt es zu jedem Punkt
und jedem
eine Zahl
, so dass die Ungleichung

- für die Länge
der Kurve
erfüllt ist.
Wir führen um den Punkt
Polarkoordinaten ein, d. h.

Weiter definieren wir die Funktion

und berechnen

sowie

Unter Verwendung des Mittelwertsatzes der Integralrechnung erhalten wir




für ein
. Schließlich folgt mit

die Behauptung.
q.e.d.
Satz 4 (Der klassische Stokessche Integralsatz mit singulärem Rand)[Bearbeiten]
- 1. Auf dem Rand der abgeschlossenen Einheitskreisscheibe
seien
Punkte
mit
gegeben. Nehmen wir die Punkte
aus den Mengen
und
heraus, erhalten wir die Mengen
bzw.
.
- 2. Weiter sei die injektive Abbildung

- mit
für alle
und endlichem Dirichletintegral
gegeben. Bezeichnen wir mit

- die Einschränkung von
auf
, so erhalten wir das Linienelement

- Wir fordern, dass die Kurve
endliche Länge hat, d. h. es gelte

- wobei
gesetzt wurde.
- 3. Wir bezeichnen mit

- den Einheitsnormalenvektor und mit

- das Oberflächenelement der Fläche
. Für den Tangentialvektor an die Randkurve schreiben wir

- 4. Sei
eine offene Menge im
und sei das Vektorfeld

- mit

- gegeben.
- Dann gilt die Stokessche Identität

1. Wir wollen den Stokesschen Integralsatz für Mannigfaltigkeiten anwenden. Die Menge
ist eine beschränkte, orientierte, 2-dimensionale
-Mannigfaltigkeit im
mit der Karte
. Der reguläre Rand
erhält durch die Abbildung
eine Orientierung und hat wegen
endliche Länge. Wir zeigen zunächst, dass der singuläre Rand
die Kapazität Null hat.
2. Sei
ein singulärer Punkt der Fläche, so führen wir in der Umgebung von
Polarkoordinaten ein:

Zu vorgegebenem
gibt es nach dem Courant-Lebesgueschen Oszillationslemma ein
mit folgender Eigenschaft: Sei
, So gilt für mindestens ein
die Ungleichung

Folglich gibt es Zahlen
mit der Eigenschaft

für alle
![{\displaystyle \varrho \in [\varrho _{1},\varrho _{2}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d383b862bb4e16065cab744162f56d9b8ee33e04)
.
Wir betrachten nun die schwach monoton steigende Glättungsfunktion
![{\displaystyle \Psi (\varrho ):[0,\varrho ^{*}]\to [0,1]\in C^{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4dfe8387aabeedadee09d840fbeec0360f7c99e)
mit

.
In einer Umgebung der Fläche
konstruieren wir nun eine Funktion

mit

Es folgt



Wir schließen




für alle
. Wir sehen so, dass der Randpunkt
die Kapazität Null hat. Folglich haben die endlich vielen Randpunkte
die Kapazität Null.
3. Wir betrachten nun die Pfaffsche Form

welche

erfüllt. Satz 1 aus §4 liefert mit


die Behauptung.
q.e.d.