Kurs:Analysis III/Kapitel I: Differentiation und Integration auf Mannigfaltigkeiten/§5 Der Gaußsche und der Stokessche Integralsatz

Voraussetzung (A):

Sei $\Omega \subset \mathbb {R} ^{n}$ eine beschränkte, offene Menge mit dem topologischen Rand ${\dot {\Omega }}={\overline {\Omega }}\setminus \Omega$. Zu jedem $x\in {\dot {\Omega }}$ gebe es eine Punktfolge

$\left\{x^{(p)}\right\}\subset \mathbb {R} ^{n}\setminus {\overline {\Omega }},\quad p=1,2,\ldots ,$

für die $x^{(p)}\to x$ für $p\to \infty$ richtig ist, d. h. jeder Randpunkt ist 'von außen erreichbar'.

Voraussetzung (B):

Seien als Parameterbereiche die $N\in \mathbb {N}$ beschränkten Gebiete $T_{i}\subset \mathbb {R} ^{n-1},i=1,2,\ldots ,N$ gewählt. Es gebe $N$ reguläre Hyperflächen im $\mathbb {R} ^{n}$

${\mathcal {F}}_{i}:X^{(i)}(t)=\left(x_{1}^{(i)}(t_{1},\ldots ,t_{n-1}),\ldots x_{n}^{(i)}(t_{1},\ldots ,t_{n-1})\right):{\overline {T}}_{i}\to \mathbb {R} ^{n},$

wobei $X^{(i)}\in C^{1}(T_{i})\cap C^{0}({\overline {T}}_{i})$ injektiv sei und für alle $t\in T_{i}$ und alle $i=1,2,\ldots ,N$ der Rang der Funktionalmatrix $\operatorname {rg} \,\partial X^{(i)}(t)=n-1$ erfülle. Weiter gelte für die Flächeninhalte

$A({\mathcal {F}}_{i}):=\int \limits _{T_{i}}d^{n-1}\sigma ^{(i)}(t)<+\infty ,\quad i=1,\ldots ,N.$

Für $i=1,\ldots ,N$ setzen wir

$F_{i}:=X^{(i)}(T_{i}),\quad {\overline {F}}_{i}:=X^{(i)}({\overline {T}}_{i}),\quad {\dot {F}}_{i}:=X^{(i)}({\dot {T}}_{i}).$

Der Rand von $\Omega$ sei Vereinigung dieser endlich vielen Hyperflächenstücke $F_{i}$, d. h.

${\dot {\Omega }}={\overline {F}}_{1}\cup \ldots \cup {\overline {F}}_{N}.$

Weiter gelte

${\overline {F}}_{i}\cap {\overline {F}}_{j}={\dot {F}}_{i}\cap {\dot {F}}_{j}$ für alle $i,j\in \{1,\ldots ,N\}$ mit $i\neq j$;

zwei verschiedene Flächen haben also höchstens Randpunkte gemeinsam.

Definition 1

Die Menge $\Omega \subset \mathbb {R} ^{n}$ genüge den Voraussetzungen (A) und (B). Wir setzen dann

$\partial \Omega :=\bigcup _{j=1}^{N}F_{j}$

als regulären Rand von $\Omega$. Weiter sei $g(x):\partial \Omega \to \mathbb {R}$ eine stetige, beschränkte Funktion auf $\partial \Omega$. Wir erklären durch

$\int \limits _{\partial \Omega }g(x)\,d^{n-1}\sigma :=\sum _{j=1}^{N}\int \limits _{F_{j}}g(x)\,d^{n-1}\sigma _{j}$

das Oberflächenintegral von $g$ über den regulären Rand $\partial \Omega$.

Voraussetzung (C):

Die Funktion $f(x)=(f_{1}(x),\ldots ,f_{n}(x)),x\in {\overline {\Omega }}$ gehöre zur Regularitätsklasse $C^{1}(\Omega ,\mathbb {R} ^{n})\cap C^{0}({\overline {\Omega }},\mathbb {R} ^{n})$ und es gelte

$\int \limits _{\Omega }|\operatorname {div} \,f(x)|\,dx<+\infty .$

Voraussetzung (D):

Die Menge ${\dot {F}}_{1}\cup \ldots \cup {\dot {F}}_{N}$ habe den $(n-1)$-dimensionalen Hausdorffschen Inhalt Null bzw. sie sei eine $(n-1)$-dimensionale Hausdorffsche Nullmenge. Genauer gibt es zu jedem $\varepsilon >0$ endlich viele Hyperkugeln

$K_{j}:={\Bigl \{}x\in \mathbb {R} ^{n}:|x-x^{(j)}|\leq \varrho _{j}{\Bigr \}},\quad j=1,\ldots ,J$

mit $x^{(j)}\in \mathbb {R} ^{n}$ und $\varrho _{j}>0$, so dass folgendes gilt:

1. ${\dot {F}}_{1}\cup \ldots \cup {\dot {F}}_{N}\subset \bigcup _{j=1}^{J}K_{j}$ (Überdeckungseigenschaft)
2. $\sum _{j=1}^{J}\varrho _{j}^{n-1}\leq \varepsilon$ (Kleinheit der Gesamtoberfläche).

Satz 1 (Gaußscher Integralsatz)

Sei $\Omega \subset \mathbb {R} ^{n}$ eine beschränkte, offene Menge, die den Voraussetzungen (A), (B) und (D) genügt. Weiter erfülle die Vektorfunktion $f(x)$ die Voraussetzung (C). Dann gilt die Identität

$\int \limits _{\Omega }\operatorname {div} \,f(x)\,dx=\int \limits _{\partial \Omega }f(x)\cdot \xi (x)\,d\sigma .$

Beweis

1. Wir fassen ${\mathcal {M}}=\Omega \subset \mathbb {R} ^{n}$ als $n$-dimensionale Mannigfaltigkeit im $\mathbb {R} ^{n}$ auf mit dem Atlas ${\mathcal {A}}:X(t)=t,t\in \Omega$. Nun gibt es für jeden Punkt

$x^{0}\in \bigcup _{l=1}^{N}F_{l}\subset {\dot {\Omega }}$

einen Quader $Q(x^{0},\varrho ,\sigma )$, so dass gilt

$\Omega \cap Q={\Bigl \{}x\in \mathbb {R} ^{n}:|x_{i}-x_{i}^{0}|<\varrho \ (i\neq k),x_{k}\lessgtr \Phi (x_{1},\ldots ,x_{k-1},x_{k+1},\ldots ,x_{n}),|x_{k}-x_{k}^{0}|<\sigma {\Bigr \}}.$

Auf dem Halbwürfel

$H:={\Bigl \{}t\in \mathbb {R} ^{n}:t_{1}\in (-\varrho ,0),|t_{i}|<\varrho ,i=2,\ldots ,n{\Bigr \}}$

mit der oberen begrenzenden Seite in $e_{1}$-Richtung

$S:={\Bigl \{}t\in \mathbb {R} ^{n}:t_{1}=0,|t_{i}|<\varrho ,i=2,\ldots ,n{\Bigr \}}$

betrachten wir die Transformation

$Y(t)={\Bigl (}x_{1}^{0}+\varepsilon _{2}t_{2},\ldots ,x_{k-1}^{0}+\varepsilon _{k}t_{k},\Phi (x_{1}^{0}+\varepsilon _{2}t_{2},\ldots ,x_{k+1}^{0}+\varepsilon _{k}t_{k},$

$x_{k+1}^{0}+\varepsilon _{k+1}t_{k+1},\ldots ,x_{n}^{0}+\varepsilon _{n}t_{n})+\varepsilon _{1}t_{1},x_{k+1}^{0}+\varepsilon _{k+1}t_{k+1},\ldots ,x_{n}^{0}+\varepsilon _{n}t_{n}{\Bigr )}$

mit $\varepsilon _{k}\in \{\pm 1\},k=1,\ldots ,n$. Wählen wir die Vorzeichen $\varepsilon _{1},\ldots ,\varepsilon _{n}$ geeignet, so erreichen wir

$Y(H)\subset \Omega \cap Q,\quad Y(S)={\dot {\Omega }}\cap Q$ und $J_{Y}(0)=+1$

für die Funktionaldeterminante von $Y$. Somit ist $Y$ verträglich mit der obigen Karte $X$ und wir statten $\partial {\mathcal {M}}=\partial \Omega$ mit dem induzierten Atlas aus. Wegen $J_{Y}(0)>0$ zeigt die durch $\partial \Omega$ orientierte Normale $\nu (t)$ an ein Flächenstück in Richtung der äußeren Normalen $\xi$ an $\partial \Omega$.

Wir betrachten nun die $(n-1)$-Form

$\omega =\sum _{i=1}^{n}(-1)^{i+1}f_{i}(x)dx_{1}\wedge \ldots \wedge dx_{i-1}\wedge dx_{i+1}\wedge \ldots \wedge dx_{n}\in C^{1}({\mathcal {M}})\cap C^{0}({\overline {\mathcal {M}}}).$

Wegen obiger Überlegungen sehen wir

$\int \limits _{\partial \Omega }\omega =\int \limits _{\partial \Omega }f(x)\cdot \xi (x)\,d\sigma$

ein.

2. Wegen Voraussetzung (D) gibt es zu jedem $\varepsilon >0$ endlich viele Kugeln

$K_{j}:={\Bigl \{}x\in \mathbb {R} ^{n}:|x-x^{(j)}|\leq \varrho _{j}{\Bigr \}},\quad j=1,\ldots ,J$

mit

${\dot {F}}_{1}\cup \ldots \cup {\dot {F}}_{N}\subset \bigcup _{j=1}^{J}K_{j}$ und $\sum _{j=1}^{J}\varrho _{j}^{n-1}\leq \varepsilon$.

Wir zeigen nun, dass die Kapazität des singulären Randes Null ist. Hierzu konstruieren wir zunächst eine Funktion $\Psi (r):[0,+\infty )\to [0,1]\in C^{1}$ mit

$\Psi (r)=\left\{{\begin{matrix}0,&0\leq r\leq 2\\1,&3\leq r\end{matrix}}\right.$ und $M:=\sup _{r\geq 0}|\Psi '(r)|<+\infty .$

Für $j=1,\ldots ,J$ betrachten wir die Funktion

$\chi _{j}(x):=\Psi \left(|x-x^{(j)}|/\varrho _{j}\right),\quad x\in \mathbb {R} ^{n}$

mit $\chi _{j}\in C^{1}(\mathbb {R} ^{n})$ und

$\chi _{j}(x)=\left\{{\begin{matrix}1,|x-x^{(j)}|\geq 3\varrho _{j}\\0,1,|x-x^{(j)}|\leq 2\varrho _{j}\end{matrix}}\right.$.

Ist $E_{n}$ das Volumen der $n$-dimensionalen Einheitskugel, so berechnen wir

$\int \limits _{\mathbb {R} ^{n}}|\nabla \chi _{j}(x)|\,dx=\int \limits _{2\varrho _{j}\leq |x-x^{(j)}|\leq 3\varrho _{j}}\left|\Psi '\left({\frac {1}{\varrho _{j}}}|x-x^{(j)}|\right)\right|{\frac {1}{\varrho _{j}}}\,dx$

$\leq {\frac {M}{\varrho _{j}}}E_{n}(3^{n}\varrho _{j}^{n}-2^{n}\varrho _{j}^{n})$

$=ME_{n}(3^{n}-2^{n})\varrho _{j}^{n-1}$

mit $j=1,\ldots ,J$. Wir erhalten eine Funktion

$\chi (x):=\chi _{1}\cdot \ldots \cdot \chi _{J}\in C_{0}^{1}{\Bigl (}{\overline {\Omega }}\setminus ({\dot {F}}_{1}\cup \ldots \cup {\dot {F}}_{N}){\Bigr )}$

mit

$\int \limits _{\Omega }|\nabla \chi _{j}(x)|\,dx\leq \sum _{j=1}^{J}\int \limits _{\mathbb {R} ^{n}}|\nabla \chi _{j}(x)|\,dx\leq ME_{n}(3^{n}-2^{n})\sum _{j=1}^{J}\varrho _{j}^{n-1}$

$\leq ME_{n}(3^{n}-2^{n})\varepsilon .$

Somit hat ${\dot {F}}_{1}\cup \ldots \cup {\dot {F}}_{N}\subset {\dot {\Omega }}$ die Kapazität Null.

3. Der Stokessche Integralsatz für Mannigfaltigkeiten liefert schließlich

$\int \limits _{\partial \Omega }f(x)\cdot \xi (x)\,d\sigma =\int \limits _{\partial {\mathcal {M}}}\omega =\int \limits _{\mathcal {M}}d\omega =\int \limits _{\Omega }\operatorname {div} \,f(x)\,dx,$

was der Behauptung entspricht.

q.e.d.

Satz 2 (Greensche Formel)

Sei $\Omega \subset \mathbb {R} ^{n}$ eine offene, beschränkte Menge im $\mathbb {R} ^{n}$, die den Voraussetzungen (A), (B) und (D) genügt. Weiter seien die Funktionen $f(x)$ und $g(x)$ der Klasse $C^{1}({\overline {\Omega }})\cap C^{2}(\Omega )$ mit

$\int \limits _{\Omega }{\Bigl (}|\Delta f(x)|+|\Delta g(x)|{\Bigr )}\,dx<+\infty$

gegeben, wobei $\Delta$ den Laplace-Operator gemäß

$\Delta f(x):=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{i}\partial x_{i}}}(x)$

bedeutet. Dann gilt

$\int \limits _{\Omega }{\Bigl (}f\Delta g-g\Delta f{\Bigr )}\,dx=\int \limits _{\partial \Omega }\left(f{\frac {\partial g}{\partial \xi }}-g{\frac {\partial f}{\partial \xi }}\right)\,d\sigma$

mit den Bezeichnungen

${\frac {\partial f}{\partial \xi }}:=\Delta f(x)\cdot \xi (x),\quad {\frac {\partial g}{\partial \xi }}:=\Delta g(x)\cdot \xi (x),\quad x\in \partial \Omega .$

Beweis

Wir wenden den Gaußschen Integralsatz auf das Vektorfeld

$h(x):=f(x)\nabla g(x)-g(x)\nabla f(x)$

an. Es folgt

$\operatorname {div} \,h(x)=\nabla h(x)=f(x)\Delta g(x)-g(x)\Delta f(x)$

und wir erhalten schließlich

$\int \limits _{\Omega }{\Bigl (}f(x)\Delta g(x)-g(x)\Delta f(x){\Bigr )}\,dx=\int \limits _{\partial \Omega }h(x)\cdot \xi (x)\,d\sigma$

$=\int \limits _{\partial \Omega }\left(f(x){\frac {\partial g}{\partial \xi }}(x)-f(x){\frac {\partial g}{\partial \xi }}(x)\right)\,d\sigma ,$

woraus die Behauptung folgt.

q.e.d.

Satz 3 (Oszillationslemma von Courant-Lebesgue)

Sei

$B:={\Bigl \{}w=u+iv=(u,v)\in \mathbb {C} \cong \mathbb {R} ^{2}:|w|<1{\Bigr \}}$

die offene Einheitskreisscheibe. Weiter sei

$X(u,v)={\Bigl (}x_{1}(u,v),\ldots ,x_{n}(u,v){\Bigr )}:B\to \mathbb {R} ^{n}\in C^{1}(B)$

eine vektorwertige Funktion mit endlichem Dirichletschen Integral $D(X)$, d. h. es gilt

$D(X):=\iint \limits _{B}{\Bigl (}|X_{u}(u,v)|^{2}+|X_{v}(u,v)|^{2}{\Bigr )}\,dudv\leq N<+\infty .$

Dann gibt es zu jedem Punkt $w_{0}=u_{0}+iv_{0}\in {\overline {B}}$ und jedem $\delta \in (0,1)$ eine Zahl $\delta ^{*}\in [\delta ,{\sqrt {\delta }}]$, so dass die Ungleichung

$L:=\int \limits _{|w-w_{0}|=\delta ^{*} \atop w\in B}d\sigma (w)\leq 2{\sqrt {\frac {\pi N}{\log {\frac {1}{\delta }}}}}$

für die Länge $L$ der Kurve $X(w),|w-w_{0}|=\delta ^{*},w\in B$ erfüllt ist.

Beweis

Wir führen um den Punkt $w_{0}=u_{0}+iv_{0}$ Polarkoordinaten ein, d. h.

$u=u_{0}+\varrho \cos \varphi ,\quad v=v_{0}+\varrho \sin \varphi ,\quad 0\leq \varrho \leq {\sqrt {\delta }},\quad \varphi _{1}(\varrho )\leq \varphi \leq \varphi _{2}(\varrho )$

Weiter definieren wir die Funktion

$\Psi (\varrho ,\varphi ):=X(u_{0}+\varrho \cos \varphi ,v_{0}+\varrho \sin \varphi )$

und berechnen

$\Psi _{\varrho }=X_{u}\cos \varphi +X_{v}\sin \varphi ,\quad \Psi _{\varphi }=-X_{u}\varrho \sin \varphi +X_{v}\varrho \cos \varphi$

sowie

$|\Psi _{\varrho }|^{2}+{\frac {1}{\varrho ^{2}}}|\Psi _{\varphi }|^{2}=|X_{u}|^{2}+|X_{v}|^{2}.$

Unter Verwendung des Mittelwertsatzes der Integralrechnung erhalten wir

$N\geq D(X)=\iint \limits _{B}{\Bigl (}|X_{u}|^{2}+|X_{v}|^{2}{\Bigr )}\,dudv\geq \int \limits _{\delta }^{\sqrt {\delta }}\int \limits _{\varphi _{1}(\varrho )}^{\varphi _{2}(\varrho )}\left(|\Psi _{\varrho }|^{2}+{\frac {1}{\varrho ^{2}}}|\Psi _{\varphi }|^{2}\right)\varrho \,d\varrho d\varphi$

$\geq \int \limits _{\delta }^{\sqrt {\delta }}{\frac {1}{\varrho }}\left(\int \limits _{\varphi _{1}(\varrho )}^{\varphi _{2}(\varrho )}|\Psi _{\varphi }|^{2}\,d\varphi \right)\,d\varrho =\left(\int \limits _{\varphi _{1}(\delta ^{*})}^{\varphi _{2}(\delta ^{*})}|\Psi _{\varphi }(\delta ^{*},\varphi )|^{2}\,d\varphi \right)\int \limits _{\delta }^{\sqrt {\delta }}{\frac {d\varrho }{\varrho }}$

$\geq {\frac {1}{2}}\left(\log {\frac {1}{\delta }}\right){\frac {1}{\varphi _{2}(\delta ^{*})-\varphi _{1}(\delta ^{*})}}\left(\int \limits _{\varphi _{1}(\delta ^{*})}^{\varphi _{2}(\delta ^{*})}|\Psi _{\varphi }(\delta ^{*},\varphi )|\,d\varphi \right)^{2}$

$\geq {\frac {1}{4\pi }}\log \left({\frac {1}{\delta }}\right)\left(\int \limits _{\varphi _{1}(\delta ^{*})}^{\varphi _{2}(\delta ^{*})}|\Psi _{\varphi }(\delta ^{*},\varphi )|\,d\varphi \right)^{2}$

für ein $\delta ^{*}\in [\delta ,{\sqrt {\delta }}]$. Schließlich folgt mit

$L=\int \limits _{\varphi _{1}(\delta ^{*})}^{\varphi _{2}(\delta ^{*})}|\Psi _{\varphi }(\delta ^{*},\varphi )|\,d\varphi \leq {\sqrt {\frac {4\pi N}{\log {\frac {1}{\delta }}}}}=2{\sqrt {\frac {\pi N}{\log {\frac {1}{\delta }}}}}$

die Behauptung.

q.e.d.

Satz 4 (Der klassische Stokessche Integralsatz mit singulärem Rand)

1. Auf dem Rand der abgeschlossenen Einheitskreisscheibe ${\overline {B}}$ seien $k_{0}\in \mathbb {N} \cup \{0\}$ Punkte $w_{k}=\exp(i\varphi _{k}),k=1,\ldots ,k_{0}$ mit $0\leq \varphi _{1}<\ldots <\varphi _{k_{0}}<2\pi$ gegeben. Nehmen wir die Punkte $w_{k},k=1,\ldots ,k_{0}$ aus den Mengen ${\overline {B}}$ und $\partial B$ heraus, erhalten wir die Mengen ${\overline {B}}'$ bzw. $\partial B'$.

2. Weiter sei die injektive Abbildung

$X(u,v)={\Bigl (}x_{1}(u,v),x_{2}(u,v),x_{3}(u,v){\Bigr )}:{\overline {B}}\to \mathbb {R} ^{3}\in C^{1}({\overline {B}}')\cap C^{0}({\overline {B}})$

mit $X_{u}\wedge X_{v}\neq 0$ für alle $(u,v)\in {\overline {B}}'$ und endlichem Dirichletintegral $D(X)<+\infty$ gegeben. Bezeichnen wir mit

${\overline {X}}(\varphi ):=X{\Bigl (}e^{i\varphi }{\Bigr )},\quad 0\leq \varphi \leq 2\pi$

die Einschränkung von $X$ auf $\partial B$, so erhalten wir das Linienelement

$d^{1}\sigma (\varphi )=|{\overline {X}}'(\varphi )|\,d\varphi ,\quad 0\leq \varphi \leq 2\pi ,\quad \varphi \notin \{\varphi _{1},\ldots ,\varphi _{k_{0}}\}.$

Wir fordern, dass die Kurve ${\overline {X}}(\varphi )$ endliche Länge hat, d. h. es gelte

$L({\overline {X}})=\sum _{k=0}^{k_{0}-1}\int \limits _{\varphi _{k}}^{\varphi _{k+1}}d^{1}\sigma (\varphi )<+\infty ,$

wobei $\varphi _{0}:=\varphi _{k_{0}}-2\pi$ gesetzt wurde.

3. Wir bezeichnen mit

$\nu (u,v):=|X_{u}\wedge X_{v}|^{-1}X_{u}\wedge X_{v},\quad (u,v)\in {\overline {B}}',$

den Einheitsnormalenvektor und mit

$d^{2}\sigma (u,v):=|X_{u}\wedge X_{v}|\,dudv$

das Oberflächenelement der Fläche $X(u,v)$. Für den Tangentialvektor an die Randkurve schreiben wir

$T(\varphi ):={\frac {{\overline {X}}'(\varphi )}{|{\overline {X}}'(\varphi )|}}.$

4. Sei ${\mathcal {O}}\supset X(B)=:{\mathcal {M}}$ eine offene Menge im $\mathbb {R} ^{3}$ und sei das Vektorfeld

$a(x)={\Bigl (}a_{1}(x_{1},x_{2},x_{3}),a_{2}(x_{1},x_{2},x_{3}),a_{3}(x_{1},x_{2},x_{3}){\Bigr )}\in C^{1}({\mathcal {O}})\cap C^{0}({\overline {\mathcal {M}}})$

mit

$\iint \limits _{B}|\operatorname {rot} \,a(X(u,v))|\,d^{2}\sigma (u,v)<+\infty$

gegeben.

Dann gilt die Stokessche Identität

$\iint \limits _{B}{\Bigl \{}\operatorname {rot} \,a{\Bigl (}X(u,v){\Bigr )}\cdot \nu (u,v){\Bigr \}}\,d^{2}\sigma (u,v)=\int \limits _{0}^{2\pi }{\Bigl \{}a{\Bigl (}{\overline {X}}(\varphi ){\Bigr )}\cdot T(\varphi ){\Bigr \}}\,d^{1}\sigma (\varphi ).$

Beweis

1. Wir wollen den Stokesschen Integralsatz für Mannigfaltigkeiten anwenden. Die Menge ${\mathcal {M}}:=X(B)$ ist eine beschränkte, orientierte, 2-dimensionale $C^{1}$-Mannigfaltigkeit im $\mathbb {R} ^{3}$ mit der Karte $X(u,v):B\to {\mathcal {M}}$. Der reguläre Rand $\partial {\mathcal {M}}:=X(\partial B')$ erhält durch die Abbildung ${\overline {X}}(\varphi ),0\leq \varphi \leq 2\pi$ eine Orientierung und hat wegen $L({\overline {X}})<+\infty$ endliche Länge. Wir zeigen zunächst, dass der singuläre Rand $\Delta {\mathcal {M}}:=X(\{w_{1},\ldots ,w_{k_{0}}\})\subset {\dot {\mathcal {M}}}\subset \mathbb {R} ^{3}$ die Kapazität Null hat.

2. Sei $w^{*}\in \partial B$ ein singulärer Punkt der Fläche, so führen wir in der Umgebung von $w^{*}$ Polarkoordinaten ein:

$w=w^{*}+\varrho e^{i\varphi },\quad 0<\varrho <\varrho ^{*},\quad \varphi _{1}(\varrho )<\varphi <\varphi _{2}(\varrho ).$

Zu vorgegebenem $\eta >0$ gibt es nach dem Courant-Lebesgueschen Oszillationslemma ein $\delta \in (0,\varrho ^{*})$ mit folgender Eigenschaft: Sei $Y(\varrho ,\varphi ):=X(w^{*}+\varrho e^{i\varphi }),0<\varrho <\varrho ^{*},\varphi _{1}(\varrho )<\varphi <\varphi _{2}(\varrho )$, So gilt für mindestens ein $\delta ^{*}\in [\delta ,{\sqrt {\delta }}]$ die Ungleichung

$\int \limits _{\varphi _{1}(\delta ^{*})}^{\varphi _{2}(\delta ^{*})}|Y_{\varphi }(\delta ^{*},\varphi )|\,d\varphi \leq 2{\sqrt {\frac {\pi D(X)}{\log {\frac {1}{\delta }}}}}\leq \eta .$

Folglich gibt es Zahlen $0<\varrho _{1}<\delta ^{*}<\varrho _{2}<\varrho ^{*}$ mit der Eigenschaft

$\int \limits _{\varphi _{1}(\varrho )}^{\varphi _{2}(\varrho )}|Y_{\varphi }(\varrho ,\varphi )|\,d\varphi \leq 2\eta$ für alle $\varrho \in [\varrho _{1},\varrho _{2}]$.

Wir betrachten nun die schwach monoton steigende Glättungsfunktion

$\Psi (\varrho ):[0,\varrho ^{*}]\to [0,1]\in C^{1}$

mit

$\Psi (\varrho )=\left\{{\begin{matrix}0,&0\leq \varrho \leq \varrho _{1}\\1,&\varrho _{2}\leq \varrho \leq \varrho ^{*}\end{matrix}}\right.$.

In einer Umgebung der Fläche ${\mathcal {M}}$ konstruieren wir nun eine Funktion

$\chi =\chi (x_{1},x_{2},x_{3})\in C^{1}({\mathcal {M}})$

mit

$\Psi (\varrho )=\chi \circ Y(\varrho ,\varphi ),\quad 0<\varrho <\varrho ^{*},\quad \varphi _{1}(\varrho )<\varphi <\varphi _{2}(\varrho ).$

Es folgt

$\Psi '(\varrho )=\nabla \chi |_{Y(\varrho ,\varphi )}\cdot Y_{\varrho }(\varrho ,\varphi )$

$=|\nabla \chi (Y(\varrho ,\varphi ))||Y_{\varrho }(\varrho ,\varphi )|\cos \angle (\nabla \chi (Y(\varrho ,\varphi )),Y_{\varrho }(\varrho ,\varphi ))$

$=|\nabla \chi (Y(\varrho ,\varphi ))||Y_{\varrho }(\varrho ,\varphi )|\sin \angle (Y_{\varphi }(\varrho ,\varphi ),Y_{\varrho }(\varrho ,\varphi )).$

Wir schließen

$\iint \limits _{w\in B\cap B_{\varrho ^{*}}(w^{*})}|\nabla \chi |\,d^{2}\sigma (u,v)$

$\leq \int \limits _{0}^{\varrho ^{*}}\left(\int \limits _{\varphi _{1}(\varrho )}^{\varphi _{2}(\varrho )}|\nabla \chi (Y(\varrho ,\varphi ))||Y_{\varrho }||Y_{\varphi }|\sin \angle (Y_{\varphi },Y_{\varrho })\,d\varphi \right)\,d\varrho$

$=\int \limits _{0}^{\varrho ^{*}}\Psi '(\varrho )\left(\int \limits _{\varphi _{1}(\varrho )}^{\varphi _{2}(\varrho )}|Y_{\varphi }(\varrho ,\varphi )|\,d\varphi \right)\,d\varrho$

$=\int \limits _{\varrho _{1}}^{\varrho _{2}}\Psi '(\varrho )\left(\int \limits _{\varphi _{1}(\varrho )}^{\varphi _{2}(\varrho )}|Y_{\varphi }(\varrho ,\varphi )|\,d\varphi \right)\,d\varrho \leq 2\eta \int \limits _{\varrho _{1}}^{\varrho _{2}}\Psi '(\varrho )\,d\varrho =2\eta$

für alle $\eta >0$. Wir sehen so, dass der Randpunkt $X(w^{*})\in {\dot {\mathcal {M}}}$die Kapazität Null hat. Folglich haben die endlich vielen Randpunkte $X(\{w_{1},\ldots ,w_{k_{0}}\})$ die Kapazität Null.

3. Wir betrachten nun die Pfaffsche Form

$\omega =a_{1}(x)\,dx_{1}+a_{2}(x)\,dx_{2}+a_{3}(x)\,dx_{3}\in C^{1}({\mathcal {M}})\cap C^{0}({\overline {\mathcal {M}}}),$

welche

$\int \limits _{\mathcal {M}}|d\omega |\leq \iint \limits _{B}{\Bigl |}\operatorname {rot} \,a{\Bigl (}X(u,v){\Bigr )}{\Bigr |}\,d^{2}\sigma (u,v)<+\infty$

erfüllt. Satz 1 aus §4 liefert mit

$\iint \limits _{B}{\Bigl \{}\operatorname {rot} \,a{\Bigl (}X(u,v){\Bigr )}\cdot \nu {\Bigr \}}\,d^{2}\sigma =\int \limits _{\mathcal {M}}d\omega$

$=\int \limits _{\partial {\mathcal {M}}}\omega =\int \limits _{0}^{2\pi }{\Bigl \{}a{\Bigl (}{\overline {X}}(\varphi ){\Bigr )}\cdot T(\varphi ){\Bigr \}}\,d^{1}\sigma (\varphi )$

die Behauptung.

q.e.d.