Kurs:Analysis III/Kapitel I: Differentiation und Integration auf Mannigfaltigkeiten/§8 Die Coableitung und der Laplace-Beltrami-Operator

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Definition 1[Bearbeiten]

Für ordnen wir jeder -Form ihre duale -Form wie folgt zu:
1. Seien . Dann setzen wir
wobei
die Volumenform bedeutet.
2. Seien und
Dann setzen wir
3. Seien und
Dann setzen wir
4. Seien . Dann ist

Definition 2[Bearbeiten]

Für eine 1-Form
der Klasse erklären wir die Coableitung gemäß

Satz 1 (Partielle Integration in beliebigen Parametern)[Bearbeiten]

Sei ein Gebiet, das die Voraussetzungen (A), (B) und (D) des Gaußschen Integralsatzes erfüllt. Die Parametertransformation
sei bijektiv und erfülle die Bedingung
für alle .
Weiter seien eine 1-Form
und eine 0-Form der Klasse gegeben. Dann gilt
Dabei trägt die induzierte kanonische Orientierung des .

Beweis[Bearbeiten]

Insbesondere wegen der Voraussetzungen an die Parametertransformation sind alle auftretenden Funktionen in der Klasse . Wir wenden den Stokesschen Integralsatz an und erhalten

Umstellen liefert die Behauptung.

q.e.d.

Definition 3[Bearbeiten]

Für zwei Funktionen und der Klasse mit den zugehörigen Differentialen
erklären wir den Beltramioperator erster Ordnung gemäß

Definition 4[Bearbeiten]

Für eine Funktion erklären wir den Laplace-Beltrami-Operator