- Für
ordnen wir jeder
-Form
ihre duale
-Form
wie folgt zu:
- 1. Seien
. Dann setzen wir

- wobei

- die Volumenform bedeutet.
- 2. Seien
und

- Dann setzen wir

- 3. Seien
und

- Dann setzen wir

- 4. Seien
. Dann ist

- Für eine 1-Form

- der Klasse
erklären wir die Coableitung
gemäß

Satz 1 (Partielle Integration in beliebigen Parametern)[Bearbeiten]
- Sei
ein Gebiet, das die Voraussetzungen (A), (B) und (D) des Gaußschen Integralsatzes erfüllt. Die Parametertransformation

- sei bijektiv und erfülle die Bedingung
für alle
.
- Weiter seien eine 1-Form

- und eine 0-Form
der Klasse
gegeben. Dann gilt

- Dabei trägt
die induzierte kanonische Orientierung des
.
Insbesondere wegen der Voraussetzungen an die Parametertransformation
sind alle auftretenden Funktionen in der Klasse
. Wir wenden den Stokesschen Integralsatz an und erhalten






Umstellen liefert die Behauptung.
q.e.d.
- Für zwei Funktionen
und
der Klasse
mit den zugehörigen Differentialen

- erklären wir den Beltramioperator erster Ordnung gemäß

- Für eine Funktion
erklären wir den Laplace-Beltrami-Operator
