Kurs:Analysis III/Kapitel I: Differentiation und Integration auf Mannigfaltigkeiten/§8 Die Coableitung und der Laplace-Beltrami-Operator

Definition 1

Für $k\in K:=\{0,1,n-1,n\}$ ordnen wir jeder $k$-Form $\alpha$ ihre duale $(n-k)$-Form $*\alpha$ wie folgt zu:

1. Seien $k=0,\alpha =a(x)$. Dann setzen wir

$*\alpha :=a(x)\omega ,$

wobei

$\omega ={\sqrt {g(x)}}\,dx_{1}\wedge \ldots \wedge dx_{n}$

die Volumenform bedeutet.

2. Seien $k=1$ und

$\alpha =\sum _{i=1}^{n}a_{i}(x)\,dx_{i}.$

Dann setzen wir

$*\alpha :={\sqrt {g(x)}}\sum _{i=1}^{n}\left(\sum _{j=1}^{n}g^{ij}(x)a_{j}(x)\right)\theta _{i}.$

3. Seien $k=n-1$ und

$\alpha =\sum _{i=1}^{n}a_{i}(x)\theta _{i}.$

Dann setzen wir

$*\alpha :={\frac {(-1)^{n-1}}{\sqrt {g(x)}}}\sum _{i=1}^{n}\left(\sum _{j=1}^{n}g_{ij}(x)a_{j}(x)\right)\,dx_{i}.$

4. Seien $k=n,\alpha =a(x)\omega$. Dann ist

$*\alpha =a(x).$

Definition 2

Für eine 1-Form

$\alpha =\sum _{i=1}^{n}a_{i}(x)\,dx_{i},\quad x\in \Omega$

der Klasse $C^{1}(\Omega )$ erklären wir die Coableitung $\delta \alpha$ gemäß

$\delta \alpha :=*d*\alpha .$

Satz 1 (Partielle Integration in beliebigen Parametern)

Sei $\Omega \subset \mathbb {R} ^{n}$ ein Gebiet, das die Voraussetzungen (A), (B) und (D) des Gaußschen Integralsatzes erfüllt. Die Parametertransformation

${\overline {x}}=\Phi (x):\Omega \to \Theta \in C^{1}({\overline {\Omega }})$

sei bijektiv und erfülle die Bedingung

$J_{\Phi }(x)\geq \eta >0$ für alle $x\in {\overline {\Omega }}$.

Weiter seien eine 1-Form

$\alpha =\sum _{i=1}^{n}a_{i}(x)\,dx_{i},\quad x\in {\overline {\Omega }}$

und eine 0-Form $\beta =b(x),x\in {\overline {\Omega }}$ der Klasse $C^{1}({\overline {\Omega }})$ gegeben. Dann gilt

$\int \limits _{\Omega }(\alpha ,d\beta )_{1}\omega +\int \limits _{\Omega }(\delta \alpha ,\beta )_{0}\omega =\int \limits _{\partial \Omega }(*\alpha )\wedge \beta .$

Dabei trägt $\partial \Omega$ die induzierte kanonische Orientierung des $\mathbb {R} ^{n}$.

Beweis

Insbesondere wegen der Voraussetzungen an die Parametertransformation $\Phi$ sind alle auftretenden Funktionen in der Klasse $C^{1}({\overline {\Omega }})$. Wir wenden den Stokesschen Integralsatz an und erhalten

$\int \limits _{\Omega }(\alpha ,d\beta )_{1}\omega =\int \limits _{\Omega }\alpha \wedge (*d\beta )=(-1)^{n-1}\int \limits _{\Omega }(*\alpha )\wedge d\beta$

$=\int \limits _{\Omega }d{\Bigl (}(*\alpha )\wedge \beta {\Bigr )}-\int \limits _{\Omega }(d*\alpha )\wedge \beta$

$=\int \limits _{\partial \Omega }(*\alpha )\wedge \beta -\int \limits _{\Omega }(d*\alpha )\wedge (**\beta )$

$=\int \limits _{\partial \Omega }(*\alpha )\wedge \beta -\int \limits _{\Omega }(d*\alpha ,*\beta )_{n}\omega$

$=\int \limits _{\partial \Omega }(*\alpha )\wedge \beta -\int \limits _{\Omega }(*d*\alpha ,\beta )_{0}\omega$

$=\int \limits _{\partial \Omega }(*\alpha )\wedge \beta -\int \limits _{\Omega }(\delta \alpha ,\beta )_{0}\omega .$

Umstellen liefert die Behauptung.

q.e.d.

Definition 3

Für zwei Funktionen $\psi (x)$ und $\chi (x)$ der Klasse $C^{1}(\Omega )$ mit den zugehörigen Differentialen

$d\psi =\sum _{i=1}^{n}\psi _{x_{i}}\,dx_{i},\quad d\chi =\sum _{i=1}^{n}\chi _{x_{i}}\,dx_{i}$

erklären wir den Beltramioperator erster Ordnung gemäß

$\nabla (\psi ,\chi ):=(d\psi ,d\chi )_{1}(x)=\sum _{i,j=1}^{n}g^{ij}(x)\psi _{x_{i}}(x)\chi _{x_{j}}(x).$

Definition 4

Für eine Funktion $\psi (x)\in C^{2}(\Omega )$ erklären wir den Laplace-Beltrami-Operator

$\Delta \psi (x):=\delta d\psi (x),\quad x\in \Omega .$