Kurs:Analysis III/Kapitel II: Grundlagen der Funktionalanalysis/§2 Fortsetzung des Daniell-Integrals zum Lebesgue-Integral

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Definition 1[Bearbeiten]

Es sei die Menge aller Funktionen , die schwach monoton steigend aus approximiert werden können, d. h. zu gibt es eine Folge aus mit der Eigenschaft
für und für alle .
Für setzen wir dann
womit gilt.

Definition 2[Bearbeiten]

Wir setzen
und definieren
für alle .

Definition 3[Bearbeiten]

Für eine beliebige Funktion setzen wir
Wir nennen das obere und das untere Daniellsche Integral von .

Definition 4[Bearbeiten]

Eine Funktion gehört zur Klasse genau dann, wenn
gilt. Wir setzen dann
und sagen, ist Lebesgue-integrierbar (bezüglich ).

Satz 1 (Rechenregeln für Lebesgue-integrierbare Funktionen)[Bearbeiten]

Für die Menge der Lebesgue-integrierbaren Funktionen gelten folgende Aussagen:
a) Es ist
für jedes mit
richtig und die in den Definitionen 1 und 4 erklärten Integrale stimmen überein. Somit ist auf fortgesetzt. Weiter gilt
für alle mit .
b) Der Raum ist linear, d. h. es gilt
für alle und .
Ferner ist ein lineares Funktional. Es ist also
für alle
erfüllt.
c) Mit ist auch und es gilt .

Beweis[Bearbeiten]

a) Sei mit . Dann gibt es eine Folge mit . Setzen wir und für alle , so gelten mit sowie . Es gilt somit und nach Definition 4 gilt

Ist , so ist mit offensichtlich erfüllt.

b) Wir zeigen zunächst: Ist , so gelten sowie .

Sei , so gibt es zu jedem Funktionen und mit und . Daraus lassen sich sowie ablesen und mit bzw. erhalten wir

für alle ,

somit also und .

Wir zeigen nun: Mit und gelten sowie .

Seien also , so gibt es zu jedem Funktionen und mit und , woraus und schließlich auch

folgen. Es gelten also sowie .

Schließlich zeigen wir noch: Aus folgen und .

Für gibt es zu jedem Funktionen und mit und . Daraus folgen sofort und

Also ist und es gilt .

Insgesamt erhalten wir also, dass ein lineares Funktional auf dem linearen Raum ist.

c) Sei , so gibt es zu jedem Funktionen und mit sowie und somit . Weiter gibt es Folgen und in , woraus wir und erhalten. Somit sind und . Wegen folgt und es gilt

Wir haben also und . Nun gehören mit auch und zu und mit und folgen bzw. .

q.e.d.

Satz 2 (Satz über monotone Konvergenz von B. Levi)[Bearbeiten]

Sei eine Folge mit
für alle und alle .
Weiter seien
und
mit einem richtig. Dann gelten und

Beweis[Bearbeiten]

Wegen ist das Assoziativgesetz für die Addition gültig. Setzen wir

so folgen und

Nun ergibt sich

für alle .

Dann folgt

sowie

Somit folgt und es gilt

q.e.d.

Satz 3 (Konvergenzsatz von Fatou)[Bearbeiten]

Sei eine Folge von Funktionen mit
für alle und alle .
Ferner sei
Dann gehört die Funktion zu und es gilt

Beweis[Bearbeiten]

Wir beachten

mit

Definieren wir

so gelten sowie für . Weiter erhalten wir wegen . Nach Satz 2 folgen und somit auch für alle . Weiter gilt für alle und deshalb ist

für alle richtig. Wegen und mit Hilfe von Satz 2 erhalten wir sowie

Satz 4 (Satz über majorisierte Konvergenz von H. Lebesgue)[Bearbeiten]

Sei eine Folge mit
für .
Weiter gelten
wobei richtig ist. Dann folgen sowie

Beweis[Bearbeiten]

Wegen

folgt

Es gelten sowie

Somit existiert der Grenzwert

und es gilt

q.e.d.