Satz 1 (Fortsetzungssatz)[Bearbeiten]
- Seien und ein lineares Funktional mit folgender Eigenschaft: Es gibt eine Konstante , so dass
für alle
- gilt. Dann gibt es genau ein beschränktes lineares Funktional mit
und für alle .
- Somit ist das Funktional von auf eindeutig fortsetzbar.
ist ein beschränktes, lineares Funktional auf und somit stetig. Nun gibt es zu jedem eine Folge mit
für
.
Wir setzen dann
Man prüft leicht nach, dass unabhängig von der gewählten Folge erklärt ist und dass linear ist. Weiter gilt
Sind und zwei Fortsetzungen von auf , so folgt auf . Da und stetig sind und dicht in ist, erhalten wir auf .
q.e.d.
Satz 2 (Regularitätssatz im )[Bearbeiten]
- Seien und . Weiter gebe es eine Konstante , so dass
(1)
für alle
- gilt. Dann folgen und .
1. Zunächst folgern wir aus (1) die Ungleichung
(2)
für alle
messbar, beschränkt.
Nun existiert nämlich zu einer beschränkten, messbaren Funktion eine Funktionenfolge mit
f. ü. in
und
Mit dem Lebesgueschen Konvergenzsatz folgt
2. Sei zunächst . Wir betrachten die Funktionen
Die Funktionen
sind dann messbar und beschränkt. Somit können wir in (2) einsetzen und erhalten
nach (2) also
Wir haben also für die Abschätzung
Der Fatousche Satz liefert
sowie
, also
.
3. Sei . Zu betrachten wir die Menge
Wir setzen in (2) ein und erhalten
und damit für alle sowie schließlich .
q.e.d.
- Ein Daniellsches Integral
- das die Bedingungen (M1) bis (M3) und (D1) bis (D3) aus §7 erfüllt und auf fortsetzbar ist, nennen wir absolut stetig bezüglich , falls folgendes gilt:
- (D4) Jede -Nullmenge ist eine -Nullmenge.
Satz 4 (Radon-Nikodym)[Bearbeiten]
- Sei das Daniellsche Integral absolut stetig bezüglich . Dann gibt es eine eindeutig bestimmte Funktion , so dass
für alle
- gilt.
1. Sei gegeben, so gibt es eine Nullmenge und eine Konstante , so dass
für alle
erfüllt ist. Wegen (D4) ist auch eine -Nullmenge und es folgt . Für eine Folge mit f. ü. auf folgt
J-f. ü. auf
für
aus (D4). Nach dem Satz von Levi auf dem Raum gilt dann
Also ist ein Daniellsches Integral. Wir betrachten nun das Daniellsche Integral
(3)
Dieses setzen wir wie in §2 auf den Raum fort; hierzu reichen die f. ü.-Eigenschaften aus. Wir beachten für alle .
2. Für und mit gilt
ist somit ein lineares Funktional auf dem Raum für beliebiges . Für den Hilbertraum können wir den Darstellungssatz von Frechet-Riesz anwenden und erhalten
für alle
mit einem . Nun können wir Satz 2 mit anwenden und wir sehen . Da nicht negativ ist, folgt K-f. ü. auf . Da ferner wegen (3) und Voraussetzung (D4) die -Nullmengen mit den -Nullmengen übereinstimmen, erhalten wir
f. ü. in
.
3. Für können wir somit (4) und (3) iterieren
und erhalten
(5)
.
Seien
und . Durch Approximation sieht man leicht ein, dass dieses in (5) eingesetzt werden kann. Wir erhalten
für alle
bzw. . Somit folgen f. ü. in und
(6)
f. ü. in
für
.
Durch den Grenzübergang in (5) erhalten wir mit dem Satz von Levi
für alle
,
wenn wir noch beachten. Speziell für in folgt, dass
erfüllt ist.
q.e.d.
Satz 4 (Zerlegungssatz von Jordan-Hahn)[Bearbeiten]
- Sei ein beschränktes lineares Funktional auf dem linearen normierten Raum , wobei gelte. Dann gibt es zwei nicht negative beschränkte lineare Funktionale mit , d. h. es gilt
für alle
- mit
für alle mit .
- Ferner sind
- erfüllt. Dabei gelten
1. Für mit setzen wir
Offenbar ist für und für alle und gilt
Seien nun mit , so folgt
Zu gegebenem mit setzen wir
und
.
Dann gelten sowie . Damit erhält man sofort
und schließlich
Weiter gilt für alle mit
2. Wir erweitern nun wie folgt:
mit
und setzen
Somit wird eine lineare Abbildung, die beschränkt ist. Es gilt nämlich für alle
also .
3. Wir setzen nun
für alle
.
Offenbar ist ein beschränktes lineares Funktional, denn es gilt
also . Schließlich ist für alle mit
erfüllt.
q.e.d.
Satz 5 (Rieszscher Darstellungssatz)[Bearbeiten]
- Sei . Zu jedem beschränkten linearen Funktional gibt es genau ein mit der Eigenschaft
für alle .
- Dabei ist für den konjugierten Exponenten erfüllt.
Wir führen den Beweis in zwei Schritten.
1. Eindeutigkeit: Seien Funktionen mit
für alle
gegeben, so folgt
für alle
.
Wir erhalten , woraus in folgt.
2. Existenz: Für das Funktional gilt
(8)
für alle
mit einem . Nach dem Zerlegungssatz von Jordan-Hahn gibt es nicht negative, beschränkte lineare Funktionale mit
und
,
wobei mit der -Norm ausgestattet ist. Insbesondere gilt für . Eine Folge mit in konvergiert nach dem Dinischen Satz kompakt gleichmäßig gegen 0. Wir erhalten dann
für
.
Wir haben also mit zwei Daniellsche Integrale, die absolut stetig bezüglich sind. Ist nämlich eine -Nullmenge, so gilt
und somit ist auch eine Nullmenge für die Daniellschen Integrale . Nach dem Satz von Radon-Nikodym gibt es , so dass
für alle
richtig ist. Somit folgt
für alle
,
wobei . Wegen (8) liefert der Regularitätssatz . Setzen wir noch das Funktional stetig auf fort, so erhalten wir
für alle
mit einer Funktion .
q.e.d.
- Eine Folge in einem Banachraum heißt schwach konvergent gegen ein Element , in Zeichen , wenn für jedes stetige lineare Funktional die Relation
- richtig ist.
Satz 6 (Schwache Konvergenz)[Bearbeiten]
- Seien und eine beschränkte Folge mit
für ein und alle .
- Dann gibt es eine Teilfolge und ein , so dass in gilt.
1. Nach dem Rieszschen Darstellungssatz gilt genau dann, wenn für alle richtig ist; dabei ist wieder . Nach §7, Satz 5 ist der Raum separabel, es gibt also eine Folge , die in dicht liegt. Aus der beschränkten Folge mit für alle wählen wir nun sukzessive Teilfolgen
aus, so dass
gilt. Wir wenden nun das Cantorsche Diagonalverfahren an und gehen zur Diagonalfolge über. Es gilt dann
2. Sei mit
der lineare Raum der endlichen Linearkombinationen von bezeichnet. Offenbar existiert
für alle
.
ist ein lineares beschränktes Funktional auf dem in dichten Raum mit
für alle
.
Wie in Satz 1 setzen wir von auf den Raum fort und erhalten mit dem Darstellungssatz von Riesz ein mit
für alle
.
3. Wir zeigen nun, dass in gilt. Zu jedem finden wir eine Folge mit
Wir erhalten
für hinreichend großes, aber festes und .
q.e.d.