Kurs:Aufbau des Zahlensystems/Vorlesung 7

Kommutative Ringe

Wir erfassen die in der letzten Vorlesung etablierten algebraischen Eigenschaften der ganzen Zahlen mit einem neuen Begriff.

Definition

Eine Menge ${}R$ heißt ein Ring, wenn es zwei Verknüpfungen (genannt Addition und Multiplikation)

$+:R\times R\longrightarrow R{\text{ und }}\cdot :R\times R\longrightarrow R$

und (nicht notwendigerweise verschiedene) Elemente ${}0,1\in R$ gibt, die die folgenden Eigenschaften erfüllen.

1. Axiome der Addition
   1. Assoziativgesetz: Für alle ${}a,b,c\in R$ gilt ${}(a+b)+c=a+(b+c)$.
   2. Kommutativgesetz: Für alle ${}a,b\in R$ gilt ${}a+b=b+a$.
   3. ${}0$ ist das neutrale Element der Addition, d.h. für alle ${}a\in R$ ist ${}a+0=a$.
   4. Existenz des Negativen: Zu jedem ${}a\in R$ gibt es ein Element ${}b\in R$ mit ${}a+b=0$.
2. Axiome der Multiplikation
   1. Assoziativgesetz: Für alle ${}a,b,c\in R$ gilt ${}(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$.
   2. ${}1$ ist das neutrale Element der Multiplikation, d.h. für alle ${}a\in R$ ist ${}a\cdot 1=1\cdot a=a$.
3. Distributivgesetz: Für alle ${}a,b,c\in R$ gilt ${}a\cdot (b+c)=(a\cdot b)+(a\cdot c)$ und ${}(b+c)\cdot a=(b\cdot a)+(c\cdot a)$.

Definition

Ein Ring ${}R$ heißt kommutativ, wenn die Multiplikation kommutativ ist.

Ein kommutativer Ring ist insbesondere ein kommutativer Halbring, alle für Halbringe geltenden Eigenschaften wie beispielsweise die allgemeine binomische Formel gelten insbesondere auch für kommutative Ringe. Der wesentliche Unterschied liegt in der zusätzlichen Bedingung (1.4), der Existenz des Negativen. Dieses Negative ist eindeutig bestimmt: Wenn nämlich sowohl ${}b$ als auch ${}c$ die Eigenschaft haben, dass ihre Addition zu ${}a$ den Wert ${}0$ ergibt, so erhält man direkt

${}b=b+0=b+(a+c)=(b+a)+c=0+c=c\,.$

Für das zu jedem ${}a\in R$ eindeutig bestimmte Negative schreiben wir ${}-a$. Wegen

${}a+(-a)=0\,$

ist ${}a$ auch das Negative zu ${}-a$, also ${}-(-a)=a$. Bei ${}R=\mathbb {Z}$ stimmt diese Definition mit der in der letzten Vorlesung gemachten Definition 6.6 überein, wie der Beweis der Existenz des Negativen in Lemma 6.10 zeigt.

Mit diesem neuen Begriff können wir festhalten.

Satz

Die ganzen Zahlen ${}(\mathbb {Z} ,0,1,+,\cdot )$

bilden einen kommutativen Ring.

Beweis

Dies folgt unmittelbar aus Lemma 6.10 und Lemma 6.13.

$\Box$

In einem kommutativen Ring ${}R$ und Elemente ${}a,b\in R$ verwendet man

${}a-b=a+(-b)\,$

als abkürzende Schreibweise. Man spricht von der Subtraktion bzw. der Differenz. Die Subtraktion ${}a-b$ ist also die Addition von ${}a$ mit dem Negativen (also ${}-b$) von ${}b$. Bei natürlichen Zahlen ${}a,b$ mit ${}b\leq a$ stimmt die innerhalb der natürlichen Zahlen genommenen Differenz (siehe die zehnte Vorlesung) mit der hier in ${}\mathbb {Z}$ über das Negative genommenen Differenz überein. Dies beruht darauf, dass es sich jeweils um eine Lösung der Gleichung

${}b+x=a\,$

handelt und diese Gleichung eine eindeutige Lösung besitzt.

Lemma

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und seien ${}a,b,c$ Elemente aus ${}R$.

Dann gelten folgende Aussagen.

1. ${}0a=0\,$

   (Annullationsregel),

2. ${}a(-b)=-(ab)=(-a)b\,,$

3. ${}(-a)(-b)=ab\,$

   (Vorzeichenregel),

4. ${}a(b-c)=ab-ac\,.$

Beweis

1. Es ist ${}a0=a(0+0)=a0+a0$. Durch beidseitiges Abziehen (also Addition mit $-a0$) von ${}a0$ ergibt sich die Behauptung.

2. ${}(-a)b+ab=(-a+a)b=0b=0\,$

   nach Teil (1). Daher ist ${}(-a)b$ das (eindeutig bestimmte) Negative von ${}ab$.

3. Nach (2) ist ${}(-a)(-b)=(-(-a))b$ und wegen ${}-(-a)=a$ folgt die Behauptung.
4. Dies folgt auch aus dem bisher Bewiesenen.

$\Box$

Wie in jedem kommutativen Halbring kann man in jedem kommutativen Ring ${}R$ Ausdrücke der Form ${}nx$ mit ${}n\in \mathbb {N}$ und ${}x\in R$ sinnvoll interpretieren, und zwar ist ${}nx$ die ${}n$-fache Summe von ${}x$ mit sich selbst. Auch die Potenzschreibweise ${}x^{n}$ wird wieder verwendet und es gelten insbesondere die in Lemma 5.8 formulierten Potenzgesetze. Darüber hinaus kann man auch für negative Zahlen ${}-n$ den Ausdruck ${}(-n)x$ interpretieren, nämlich als

${}(-n)x=n(-x)=\underbrace {(-x)+\cdots +(-x)} _{n{\text{-mal}}}\,.$

Insbesondere ist

${}-n=(-n)\cdot 1=n\cdot (-1)=\underbrace {(-1)+\cdots +(-1)} _{n{\text{-mal}}}\,$

in jedem kommutativen Ring sinnvoll interpretierbar. Dabei gelten naheliegende Rechengesetze, siehe Aufgabe 7.10.

Gruppen

Wir schauen uns kurz die Addition in einem kommutativen Ring genauer an. Hier begegnen wir einer Struktur, die später bei Körpern wieder auftaucht. Mit dieser Struktur kann man viele strukturelle Gemeinsamkeiten zwischen der Addition (in ${}\mathbb {Z}$) und der Multiplikation (beispielsweise in ${}\mathbb {Q} \setminus \{0\}$ oder in ${}\mathbb {R} \setminus \{0\}$) erfassen.

Definition

Eine Menge ${}G$ mit einem ausgezeichneten Element ${}e\in G$ und mit einer Verknüpfung

$G\times G\longrightarrow G,\,(g,h)\longmapsto g\circ h,$

heißt Gruppe, wenn folgende Eigenschaften erfüllt sind.

1. Die Verknüpfung ist assoziativ, d.h. für alle ${}f,g,h\in G$ gilt

   ${}(f\circ g)\circ h=f\circ (g\circ h)\,.$

2. Das Element ${}e$ ist ein neutrales Element, d.h. für alle ${}g\in G$ gilt

   ${}g\circ e=g=e\circ g\,.$

3. Zu jedem ${}g\in G$ gibt es ein inverses Element, d.h. es gibt ein ${}h\in G$ mit

   ${}h\circ g=g\circ h=e\,.$

Definition

Eine Gruppe ${}(G,e,\circ )$ heißt kommutativ (oder abelsch), wenn die Verknüpfung kommutativ ist, wenn also ${}x\circ y=y\circ x$ für alle ${}x,y\in G$ gilt.

Lemma

Es sei ${}(G,e,\circ )$ eine Gruppe.

Dann ist zu jedem ${}x\in G$ das Element ${}y\in G$ mit

${}x\circ y=y\circ x=e\,$

eindeutig bestimmt.

Beweis

Es sei

${}x\circ y=y\circ x=e\,$

und

${}x\circ z=z\circ x=e\,.$

Dann ist

${}y=y\circ e=y\circ (x\circ z)=(y\circ x)\circ z=e\circ z=z\,.$

$\Box$

Ein kommutativer Ring ${}R$ ist bezüglich der Addition insbesondere eine kommutative Gruppe. Insbesondere bilden die ganzen Zahlen ${}(\mathbb {Z} ,0,+)$ eine kommutative Gruppe, das inverse Element zu ${}x$ ist das negative Element ${}-x$. Allgemein gilt in Gruppen die eindeutige Lösbarkeit von mit der Verknüpfung formulierten Gleichungen.

Lemma

Es sei ${}(G,e,\circ )$ eine Gruppe.

Dann besitzen zu je zwei Gruppenelementen ${}a,b\in G$ die beiden Gleichungen

$a\circ x=b{\text{ und }}y\circ a=b$

eindeutige Lösungen ${}x,y\in G$.

Beweis

Wir betrachten die linke Gleichung. Aus beidseitiger Multiplikation mit ${}a^{-1}$ (bzw. mit ${}a$) von links folgt, dass nur

${}x=a^{-1}\circ b\,$

als Lösung in Frage kommt. Wenn man dies einsetzt, so sieht man, dass es sich in der Tat um eine Lösung handelt.

$\Box$

Die Ordnung auf den ganzen Zahlen

Wir erweitern die Größergleichrelation auf den natürlichen Zahlen zu einer Ordnung auf den ganzen Zahlen.

Definition

Auf den ganzen Zahlen definieren wir folgendermaßen die Größergleichrelation ${}\geq$. Wir sagen

${}a\geq b\,,$

wenn es eine natürliche Zahl ${}n$ mit

${}a=b+n\,$

gibt.

Damit gilt bei der Interpretation an der Zahlengeraden wieder, dass

${}a\geq b\,$

bedeutet, dass ${}a$ rechts von ${}b$ liegt.

Bemerkung  

1. Wenn ${}a,b\in \mathbb {N}$ ist, so ist

   ${}a\geq b\,$

   einfach die Ordnung auf ${}\mathbb {N}$, wie unmittelbar aus Lemma 4.5 folgt.

2. Wenn ${}a\in \mathbb {N}$ ist und ${}b$ negativ, so ist

   ${}a\geq b\,,$

   da ja dann

   ${}a=b+(a-b)\,$

   mit ${}a-b\in \mathbb {N}$ ist, da ja sowohl ${}a$ als auch ${}-b$ natürliche Zahlen sind.

3. Wenn ${}a$ und ${}b$ beide negativ sind, so ist

   ${}a\geq b\,$

   genau dann, wenn (innerhalb der natürlichen Zahlen)

   ${}-b\geq -a\,$

   gilt. Die Beziehung ${}a=b+n$ mit einer natürlichen Zahl ${}n$ ist ja zu ${}-a=-b-n$ äquivalent, was man als ${}-b=-a+n$ schreiben kann.

Lemma

Die Größergleichrelation ${}\geq$ auf den ganzen Zahlen erfüllt die folgenden Eigenschaften.

1. Es liegt eine totale Ordnung vor.
2. Aus ${}a\geq b$ folgt ${}a+c\geq b+c$ für beliebige ${}a,b,c\in \mathbb {Z}$,
3. Aus ${}a\geq 0$ und ${}b\geq 0$ folgt ${}ab\geq 0$ für beliebige ${}a,b\in \mathbb {Z}$.

Beweis

1. Siehe Aufgabe 7.17.
2. Die Beziehung ${}a\geq b$ bedeutet, dass es eine natürliche Zahl ${}n$ mit ${}a=b+n$ gibt. Durch beidseitige Addition von ${}c$ ergibt sich ${}a+c=b+c+n$, was ${}a+c\geq b+c$ bedeutet.
3. Die Voraussetzung bedeutet, dass ${}a,b\in \mathbb {N}$ sind. Somit ist auch ${}ab\in \mathbb {N}$, also ${}ab\geq 0$.

$\Box$

Damit bilden die ganzen Zahlen ${}(\mathbb {Z} ,\geq )$ einen angeordneten Ring im Sinne der folgenden Definition.

Definition

Ein kommutativer Ring heißt angeordnet, wenn es eine totale Ordnung ${}\geq$ auf ${}R$ gibt, die die beiden Eigenschaften

1. Aus ${}a\geq b$ folgt ${}a+c\geq b+c$ für beliebige ${}a,b,c\in R$,
2. Aus ${}a\geq 0$ und ${}b\geq 0$ folgt ${}ab\geq 0$ für beliebige ${}a,b\in R$,

erfüllt.

Die erste Eigenschaft nennt man Verträglichkeit mit der Addition, die zweite Verträglichkeit mit der Multiplikation. Neben den ganzen Zahlen werden wir später zwei weitere angeordnete Ringe kennenlernen, nämlich den Körper der rationalen Zahlen und den Körper der reellen Zahlen. Für all diese Ringe bzw. Körper gelten die folgenden Eigenschaften. Man überlege sich für den Fall der ganzen Zahlen, ob und inwiefern sich die Beweise der folgenden Aussagen vereinfachen.

Lemma

In einem angeordneten Ring gelten die folgenden Eigenschaften.

1. ${}1\geq 0$.
2. Es ist ${}a\geq 0$ genau dann, wenn ${}-a\leq 0$ ist.
3. Es ist ${}a\geq b$ genau dann, wenn ${}a-b\geq 0$ ist.
4. Es ist ${}a\geq b$ genau dann, wenn ${}-a\leq -b$ ist.
5. Aus ${}a\geq b$ und ${}c\geq d$ folgt ${}a+c\geq b+d$.
6. Aus ${}a\geq b$ und ${}c\geq 0$ folgt ${}ac\geq bc$.
7. Aus ${}a\geq b$ und ${}c\leq 0$ folgt ${}ac\leq bc$.
8. Aus ${}a\geq b\geq 0$ und ${}c\geq d\geq 0$ folgt ${}ac\geq bd$.
9. Aus ${}a\geq 0$ und ${}b\leq 0$ folgt ${}ab\leq 0$.
10. Aus ${}a\leq 0$ und ${}b\leq 0$ folgt ${}ab\geq 0$.

Beweis

1. Nehmen wir an, dass ${}1\geq 0$ nicht gilt. Da eine totale Ordnung vorliegt, muss

   ${}1<0\,$

   gelten, Dies müssen wir zum Widerspruch führen. Nehmen wir ${}1<0$ an. Aufgrund der Verträglichkeit mit der Addition kann man beidseitig ${}-1$ addieren und erhält

   ${}0<-1\,.$

   Aufgrund der Verträglichkeit mit der Multiplikation mit positiven Elementen kann man diese Abschätzung quadrieren und erhält

   ${}0\leq (-1)(-1)=1\,,$

   also ist zugleich ${}1\geq 0$, ein Widerspruch.

2. Folgt unmittelbar aus der Verträglichkeit mit der Addition.
3. Folgt unmittelbar aus der Verträglichkeit mit der Addition.
4. Folgt unmittelbar aus der Verträglichkeit mit der Addition.
5. Zweimalige Anwendung der Verträglichkeit mit der Addition liefert

   ${}a+c\geq a+d\geq b+d\,.$

6. Aus ${}a\geq b$ ergibt sich ${}a-b\geq 0$ nach (3). Aus der Verträglichkeit mit der Multiplikation ergibt sich

   ${}ca-cb=c(a-b)\geq 0\,.$

   Addition mit ${}cb$ ergibt ${}ca\geq cb$.

7. Siehe Aufgabe 7.19.
8. Zweimalige Anwendung von (6) liefert

   ${}ac\geq bc\geq bd\,.$

9. Nach (2) ist ${}-b\geq 0$, also

   ${}a(-b)\geq 0\,,$

   was wiederum ${}ab\leq 0$ bedeutet.

10. Folgt aus (2) und aus ${}(-a)(-b)=ab$.

$\Box$

Die Eigenschaft (2) kann man so verstehen, dass das Negative eines positiven Elementes negativ ist. Allerdings tritt dabei negativ in zwei verschiedenen Bedeutungen auf!

Körper

Definition

Ein kommutativer Ring ${}R$ heißt Körper, wenn ${}R\neq 0$ ist und wenn jedes von ${}0$ verschiedene Element ein multiplikatives Inverses besitzt.

Ein Körper ist also insbesondere ein kommutativer Ring. Jede Eigenschaft, die in einem kommutativen Ring gilt, gilt auch in einem Körper (aber nicht umgekehrt).

Die beiden wichtigsten Körper sind für uns der Körper der rationalen Zahlen und der Körper der reellen Zahlen, der Körper mit zwei Elementen wurde in Beispiel 5.4 besprochen. Zu einem Element ${}x\in K$ bezeichnet man, wie in jedem kommutativen Ring, dasjenige Element, das mit ${}x$ addiert die ${}0$ ergibt, als das Negative von ${}x$, geschrieben ${}-x$. Zu einem Element ${}x\in K$, ${}x\neq 0$, bezeichnet man dasjenige Element, das mit ${}x$ multipliziert die ${}1$ ergibt, als das Inverse von ${}x$ (oder den Kehrwert von ${}x$ oder die zu ${}x$ reziproke Zahl ), geschrieben ${}x^{-1}$. Auch dieses ist eindeutig bestimmt.

Bemerkung  

In einem Körper ${}K$ wird für beliebige Elemente ${}x,y\in K$ mit ${}y\neq 0$, die Bruchschreibweise

${}{\frac {x}{y}}:=x\cdot y^{-1}\,$

verwendet. Es handelt sich also um eine Abkürzung für das Produkt von ${}x$ mit dem inversen Element von ${}y$. Die Zahl ${}{\frac {x}{y}}$ ist das eindeutig bestimmte Element, das mit ${}y$ multipliziert das Element ${}x$ ergibt. Diese Schreibweise passt mit der Bruchschreibweise für rationale Zahlen zusammen, da ja

${}{\frac {a}{b}}\cdot b={\frac {a}{b}}\cdot {\frac {b}{1}}={\frac {ab}{b}}=a\,$

ist.

Die Berechnung von

${}{\frac {x}{y}}=x:y\,$

nennt man Division, wobei ${}x$ der Dividend und ${}y$ der Divisor der Division heißt, das Ergebnis heißt Quotient.

Bemerkung  

In einem Körper ${}K$ ist wie in jedem kommutativen Ring die additive Struktur ${}(K,0,+)$ eine kommutative Gruppe. Insbesondere besitzt in jedem Körper eine Gleichung der Form

${}a+x=b\,$

mit ${}a,b\in K$ eine eindeutige Lösung, nämlich

${}b-a=b+(-a)\,,$

wie sich direkt aus Lemma 7.8 ergibt. Darüber hinaus ist zu jedem Körper ${}K$ die multiplikative Struktur, wenn man die ${}0$ herausnimmt, also ${}(K\setminus \{0\},\cdot ,1)$ eine kommutative Gruppe. Dies bedeutet wiederum, dass eine Gleichung der Form

${}c\cdot x=d\,$

mit ${}c,d\neq 0$ eine eindeutige Lösung in ${}K$ besitzt, nämlich

${}dc^{-1}={\frac {d}{c}}\,.$

Die folgende Eigenschaft heißt die Nichtnullteilereigenschaft eines Körpers. Sie gilt auch für ${}\mathbb {Z}$, im Allgemeinen aber nicht für jeden kommutativen Ring, siehe Aufgabe 7.5.

Lemma

Es sei ${}K$ ein Körper. Aus ${}a\cdot b=0$

folgt ${}a=0$ oder ${}b=0$.

Beweis

Siehe Aufgabe 7.36.

$\Box$

In einem Körper ${}K$ kann man die Potenzschreibweise erweitern. Zu ${}x\in K$, ${}x\neq 0$, und einer natürlichen Zahl ${}n\in \mathbb {N}$ versteht man, wie in jedem kommutativen Ring, unter ${}x^{n}$ das ${}n$-fache Produkt von ${}x$ mit sich selbst (${}n$ Faktoren). Für negatives ${}n\in \mathbb {Z} _{-}$ schreibt man ${}n=-k$ mit ${}k\in \mathbb {N} _{+}$ und setzt

${}x^{n}:={\left(x^{-1}\right)}^{k}={\left(x^{-1}\right)}^{-n}={\left(x^{-n}\right)}^{-1}\,.$

Für diese Potenzen gelten die folgenden Potenzgesetze , die die Potenzgesetze für positive Exponenten (siehe Lemma 5.8), die in jedem kommutativen Halbring gelten, wesentlich erweitern.

Lemma

Es sei ${}K$ ein Körper und seien ${}a,b\neq 0$ Elemente aus ${}K$. Dann gelten die folgenden Potenzgesetze für ${}m,n\in \mathbb {Z}$.

1. Es ist

   ${}{\left(a^{-1}\right)}^{-1}=a\,.$

2. Es ist ${}a^{-n}={\left(a^{-1}\right)}^{n}$ das inverse Element zu ${}a^{n}$.

3. ${}a^{m+n}=a^{m}\cdot a^{n}\,.$

4. ${}(a^{m})^{n}=a^{mn}\,.$

5. ${}(a\cdot b)^{n}=a^{n}\cdot b^{n}\,.$

Beweis

(1) folgt aus Aufgabe 7.13, da ${}K\setminus \{0\}$ eine Gruppe ist. (2). Bei ${}n\in \mathbb {N}$ ist die linke Gleichheit eine Definition und die Behauptung folgt aus

${}{\left(a^{-1}\right)}^{n}\cdot a^{n}={\left(a^{-1}a\right)}^{n}=1\,.$

Daraus folgt auch die Aussage für negatives ${}n$. Für (3), (4), (5) siehe Aufgabe 7.37.

$\Box$

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