Kurs:Bündel, Garben und Kohomologie (Osnabrück 2019-2020)/Arbeitsblatt 10/latex
\setcounter{section}{10}
\inputaufgabe
{}
{
Man gebe ein Beispiel eines \definitionsverweis {quasiaffinen}{}{,} aber nicht \definitionsverweis {affinen Schemas}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Man gebe ein Beispiel eines \definitionsverweis {quasiaffinen}{}{,} aber nicht \definitionsverweis {quasikompakten}{}{} \definitionsverweis {Schemas}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei ${ \left( X, {\mathcal O}_{ X } \right) }$ ein
\definitionsverweis {lokal beringter Raum}{}{.}
Zeige, dass jedes Funktionstupel
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f_1 , \ldots , f_n
}
{ \in }{ \Gamma ( X , {\mathcal O}_X )
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
einen eindeutig bestimmten
\definitionsverweis {Morphismus lokal beringter Räume}{}{}
\maabb {} { X } { { {\mathbb A}_{ \Z }^{ n } }
} {}
definiert, wobei die Variable $T_i$
\zusatzklammer {des affinen Raumes} {} {}
auf $f_i$ abgebildet wird.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathl{(X, {\mathcal O}_{ X })}{} ein
\definitionsverweis {Schema}{}{.}
Zeige, dass $X$ genau dann ein
\definitionsverweis {affines Schema}{}{}
ist, wenn der kanonische Morphismus
\maabbdisp {} { X } { \operatorname{Spek} { \left( \Gamma ( X , {\mathcal O}_X ) \right) }
} {}
ein
\definitionsverweis {Isomorphismus}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $X$ eine \definitionsverweis {differenzierbare Mannigfaltigkeit}{}{.} Zeige, dass der kanonische \definitionsverweis {Morphismus}{}{} \maabbdisp {} { X } { \operatorname{Spek} { \left( C^1(X, \R) \right) } } {} injektiv ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{}
und
\mathl{A,B}{} seien kommutative
$R$-\definitionsverweis {Algebren}{}{.}
Zeige, dass ein
$R$-\definitionsverweis {Algebrahomomorphismus}{}{}
\maabb {\varphi} { A } { B
} {}
dasselbe ist wie ein
\definitionsverweis {Schemamorphismus}{}{}
\maabb {\psi} { \operatorname{Spek} { \left( B \right) } } { \operatorname{Spek} { \left( A \right) }
} {}
über
\mathl{\operatorname{Spek} { \left( R \right) }}{.}
}
{} {}