Kurs:Bündel, Garben und Kohomologie (Osnabrück 2019-2020)/Arbeitsblatt 14/latex
\setcounter{section}{14}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a}
}
{ \subseteq }{ R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Ideal}{}{}
in einem
\definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{}
$R$ und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{X
}
{ = }{ \operatorname{Spek} { \left( R \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \widetilde { {\mathfrak a} } {{|}}_{D( {\mathfrak a})}
}
{ \cong} { {\mathcal O}_{ X } {{|}}_{D( {\mathfrak a})}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $M$ ein
$R$-\definitionsverweis {Modul}{}{}
über einem
\definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{}
$R$ und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f
}
{ \in }{ R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \widetilde { M } {{|}}_{D(f )}
}
{ \cong} { \widetilde { M_f }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
wobei rechts die Modulgarbe zum $R_f$-Modul $M_f$ steht.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{}
und $M$ ein
\definitionsverweis {endlich erzeugter}{}{}
$R$-\definitionsverweis {Modul}{}{.}
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak p}
}
{ \in }{ \operatorname{Spek} { \left( R \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Primideal}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M_{\mathfrak p}
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass es ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f
}
{ \notin }{ {\mathfrak p}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M_f
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{}
und sei
\maabb {\varphi} { M } { N
} {}
ein
$R$-\definitionsverweis {Modulhomomorphismus}{}{}
zwischen
\definitionsverweis {endlich erzeugten}{}{}
$R$-\definitionsverweis {Moduln}{}{.}
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak p}
}
{ \in }{ \operatorname{Spek} { \left( R \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Primideal}{}{}
derart, dass der induzierte Homomorphismus
\maabb {\varphi} { M_{\mathfrak p} } { N_{\mathfrak p}
} {}
\definitionsverweis {surjektiv}{}{}
ist. Zeige, dass es ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f
}
{ \notin }{ {\mathfrak p}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
derart gibt, dass
\maabb {\varphi} { M_f} {N_f
} {}
surjektiv ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {noetherscher}{}{}
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{}
und sei
\maabb {\varphi} { M } { N
} {}
ein
$R$-\definitionsverweis {Modulhomomorphismus}{}{}
zwischen
\definitionsverweis {endlich erzeugten}{}{}
$R$-\definitionsverweis {Moduln}{}{.}
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak p}
}
{ \in }{ \operatorname{Spek} { \left( R \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Primideal}{}{}
derart, dass der induzierte Homomorphismus
\maabb {\varphi} { M_{\mathfrak p} } { N_{\mathfrak p}
} {}
\definitionsverweis {injektiv}{}{}
ist. Zeige, dass es ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f
}
{ \notin }{ {\mathfrak p}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
derart gibt, dass
\maabb {\varphi} { M_f} {N_f
} {}
injektiv ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige anhand von
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R
}
{ = }{ \Z
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M
}
{ = }{ \Q/\Z
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
dass die Aussagen aus
Aufgabe 14.3,
Aufgabe 14.4
und
Aufgabe 14.5
ohne die Voraussetzung der endlichen Erzeugtheit nicht stimmen.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ R
}
{ =} { K[X_n,Y_n,n \in \N]/(X_nY_n,\, n \in \N)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak p}
}
{ = }{ { \left( X_n,\, n \in \N \right) }
}
{ \subseteq }{ R
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
\aufzaehlungvier{Zeige, dass ${\mathfrak p}$ ein
\definitionsverweis {Primideal}{}{}
ist.
}{Zeige
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak p}_{\mathfrak p}
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Zeige
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak p}_f
}
{ \neq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f
}
{ \notin }{ {\mathfrak p}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Zeige, dass
\maabbdisp {\varphi} { R } { R/ {\mathfrak p}
} {}
lokalisiert in ${\mathfrak p}$ injektiv
\zusatzklammer {also auch bijektiv} {} {}
ist, aber keine
\definitionsverweis {Nenneraufnahme}{}{}
an einem einzigen Element
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f
}
{ \notin }{ {\mathfrak p}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
injektiv ist.
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{}
mit
\definitionsverweis {Quotientenkörper}{}{}
\mathl{Q(R)}{.} Zeige, dass
\mathl{\widetilde { Q(R) }}{} eine
\definitionsverweis {konstante Garbe}{}{}
auf dem
\definitionsverweis {Spektrum}{}{}
\mathl{\operatorname{Spek} { \left( R \right) }}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{}
und
\mathl{M,N}{} seien
$R$-\definitionsverweis {Moduln}{}{.}
Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \widetilde { \operatorname{Hom} { \left( M , N \right) } }
}
{ \cong} { {\mathcal Hom} { \left( \widetilde { M } , \widetilde { N } \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U
}
{ = }{ { \left( {\mathbb A}^{2}_{K} \setminus \{ (0,0) \}, {\mathcal O}_{ X } \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die punktierte affine Ebene. Man gebe ein Beispiel für globale Schnitte
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{s_1,s_2
}
{ \in }{ \Gamma ( U , {\mathcal O}_X )
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
derart, dass
\mathl{(s_1,s_2)}{} nicht das
\definitionsverweis {Einheitsideal}{}{}
ist, dass aber der zugehörige
${\mathcal O}_{ X }$-\definitionsverweis {Modulhomomorphismus}{}{}
\maabbele {} { {\mathcal O}_{ U }^2 } { {\mathcal O}_{ U }
} {e_i } {s_i
} {,}
\definitionsverweis {surjektiv}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Wir betrachten zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R
}
{ = }{ K[X,Y]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die
\definitionsverweis {kurze exakte Sequenz}{}{}
\mathdisp {0 \, \stackrel{ }{\longrightarrow} \, R \, \stackrel{ }{ \longrightarrow} \, R^2 \, \stackrel{ }{\longrightarrow} \, (X,Y) = {\mathfrak m} \,\stackrel{ } {\longrightarrow} \, 0} { , }
wobei hinten die Standardvektoren auf die Idealerzeuger gehen und vorne die $1$ auf
\mathl{(Y,-X)}{} abgebildet wird. Dies führt nach
Lemma 14.9
zu einer exakten Garbensequenz
\mathdisp {0 \, \stackrel{ }{\longrightarrow} \, {\mathcal O}_{ \operatorname{Spek} { \left( R \right) } } \, \stackrel{ }{ \longrightarrow} \, {\mathcal O}_{ \operatorname{Spek} { \left( R \right) } }^2 \, \stackrel{ }{\longrightarrow} \, \widetilde { {\mathfrak m} } \,\stackrel{ } {\longrightarrow} \, 0} { . }
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U
}
{ = }{ D(X,Y)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige die folgenden Aussagen.
\aufzaehlungdrei{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Gamma { \left( U , {\mathcal O}_{ \operatorname{Spek} { \left( R \right) } } \right) }
}
{ = }{ R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Gamma { \left( U , \widetilde { {\mathfrak m} } \right) }
}
{ = }{ R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Die Auswertung der exakten Garbensequenz auf $U$ ist
\mathdisp {0 \longrightarrow R \longrightarrow R^2 \longrightarrow R} { , }
wobei die hintere Abbildung nicht surjektiv ist.
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{I
}
{ \subseteq }{ R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Ideal}{}{}
in $R$ mit der zugehörigen kurzen exakten Sequenz
\mathdisp {0 \, \stackrel{ }{\longrightarrow} \, I \, \stackrel{ }{ \longrightarrow} \, R \, \stackrel{ }{\longrightarrow} \, R/I \,\stackrel{ } {\longrightarrow} \, 0} { . }
Interpretiere die entsprechende kurze exakte Garbensequenz
\mathdisp {0 \, \stackrel{ }{\longrightarrow} \, \widetilde { I } \, \stackrel{ }{ \longrightarrow} \, \widetilde { R } \, \stackrel{ }{\longrightarrow} \, \widetilde { R/I } \,\stackrel{ } {\longrightarrow} \, 0} { }
auf dem
\definitionsverweis {Spektrum}{}{}
von $R$. Auf welchen offenen Mengen und in welchen Punkten werden die Objekte
\zusatzklammer {Auswertungen bzw. Halme} {} {}
zu $0$ und die
\definitionsverweis {Homomorphismen}{}{}
zu Isomorphismen?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\maabb {\theta} { A } { B
} {}
ein
\definitionsverweis {Ringhomomorphismus}{}{}
zwischen den
\definitionsverweis {kommutativen Ringen}{}{}
\mathkor {} {A} {und} {B} {}
und sei
\maabb {\varphi} { \operatorname{Spek} { \left( B \right) } } { \operatorname{Spek} { \left( A \right) }
} {}
die zugehörige
\definitionsverweis {Spektrumsabbildung}{}{.}
Es sei $N$ ein
$B$-\definitionsverweis {Modul}{}{}
mit der zugehörigen
\definitionsverweis {Modulgarbe}{}{}
\mathl{\widetilde { N }}{} auf
\mathl{\operatorname{Spek} { \left( B \right) }}{.} Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \varphi_*( \widetilde { N } )
}
{ =} { \widetilde { N' }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
wobei $N'$ einfach der $B$-Modul $N$, aufgefasst als $A$-Modul, ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\maabb {\theta} { A } { B
} {}
ein
\definitionsverweis {Ringhomomorphismus}{}{}
zwischen den
\definitionsverweis {kommutativen Ringen}{}{}
\mathkor {} {A} {und} {B} {}
und sei
\maabb {\varphi} { \operatorname{Spek} { \left( B \right) } } { \operatorname{Spek} { \left( A \right) }
} {}
die zugehörige
\definitionsverweis {Spektrumsabbildung}{}{.}
Es sei $M$ ein
$A$-\definitionsverweis {Modul}{}{}
mit der zugehörigen
\definitionsverweis {Modulgarbe}{}{}
\mathl{\widetilde { M }}{} auf
\mathl{\operatorname{Spek} { \left( A \right) }}{.} Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \varphi^*( \widetilde { M } )
}
{ =} { \widetilde { M \otimes_{ A } B }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
auf $\operatorname{Spek} { \left( B \right) }$.
}
{} {}
Die folgende Aufgabe beschreibt die ringtheoretische Version zu Lemma Anhang 4.3. Zusammen mit den beiden vorstehenden Aufgaben ergibt sie wiederum die Spektrumsversion dieser Aussage.
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\maabb {\theta} { A } { B
} {}
ein
\definitionsverweis {Ringhomomorphismus}{}{}
zwischen den
\definitionsverweis {kommutativen Ringen}{}{}
\mathkor {} {A} {und} {B} {.}
Es sei $M$ ein
$A$-\definitionsverweis {Modul}{}{}
und $N$ ein $B$-Modul. Zeige, dass es einen natürlichen
\definitionsverweis {Gruppenisomorphismus}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{Hom}_{ B } { \left( M \otimes_{ A } B , N \right) }
}
{ =} { \operatorname{Hom}_{ A } { \left( M , N' \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gibt, wobei $N'$ den $B$-Modul $N$, aufgefasst als $A$-Modul, bezeichnet.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{}
und sei ${ \mathcal M }$ ein
\definitionsverweis {quasikohärenter Modul}{}{}
auf $\operatorname{Spek} { \left( R \right) }$. Zeige
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ { \mathcal M }
}
{ \cong }{ \widetilde { M }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für einen
$R$-\definitionsverweis {Modul}{}{}
$M$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien
\mathkor {} {{ \mathcal F }} {und} {{ \mathcal G }} {}
\definitionsverweis {quasikohärente Moduln}{}{}
auf einem
\definitionsverweis {Schema}{}{}
\mathl{{ \left( X, {\mathcal O}_{ X } \right) }}{.} Zeige, dass dann auch die
\definitionsverweis {direkte Summe}{}{}
\mathl{{ \mathcal F } \oplus { \mathcal G }}{} wieder quasikohärent ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien
\mathkor {} {{ \mathcal F }} {und} {{ \mathcal G }} {}
\definitionsverweis {kohärente Moduln}{}{}
auf einem
\definitionsverweis {Schema}{}{}
\mathl{{ \left( X, {\mathcal O}_{ X } \right) }}{.} Zeige, dass dann auch die
\definitionsverweis {direkte Summe}{}{}
\mathl{{ \mathcal F } \oplus { \mathcal G }}{} wieder kohärent ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien
\mathkor {} {{ \mathcal F }} {und} {{ \mathcal G }} {}
\definitionsverweis {quasikohärente Moduln}{}{}
auf einem
\definitionsverweis {Schema}{}{}
\mathl{{ \left( X, {\mathcal O}_{ X } \right) }}{} und sei
\maabb {\varphi} { { \mathcal F } } { { \mathcal G }
} {}
ein
\definitionsverweis {Homomorphismus}{}{.}
Zeige, dass der Kern
\mathl{\operatorname{kern} \varphi}{} ebenfalls quasikohärent ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien
\mathkor {} {{ \mathcal F }} {und} {{ \mathcal G }} {}
\definitionsverweis {kohärente Moduln}{}{}
auf einem
\definitionsverweis {noetherschen Schema}{}{}
\mathl{{ \left( X, {\mathcal O}_{ X } \right) }}{} und sei
\maabb {\varphi} { { \mathcal F } } { { \mathcal G }
} {}
ein
\definitionsverweis {Homomorphismus}{}{.}
Zeige, dass der Kern
\mathl{\operatorname{kern} \varphi}{} ebenfalls kohärent ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien
\mathkor {} {{ \mathcal F }} {und} {{ \mathcal G }} {}
\definitionsverweis {quasikohärente Moduln}{}{}
auf einem
\definitionsverweis {Schema}{}{}
\mathl{{ \left( X, {\mathcal O}_{ X } \right) }}{} und sei
\maabb {\varphi} { { \mathcal F } } { { \mathcal G }
} {}
ein
\definitionsverweis {Homomorphismus}{}{.}
Zeige, dass der Kokern
\mathl{\operatorname{Kokern} \varphi}{} ebenfalls quasikohärent ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathl{(X, {\mathcal O}_{ X } )}{} ein
\definitionsverweis {noethersches Schema}{}{}
und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f
}
{ \in }{ \Gamma ( X , {\mathcal O}_X )
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine globale Funktion mit
\definitionsverweis {Invertierbarkeitsort}{}{}
$X_f$. Es sei ${ \mathcal M }$ ein
\definitionsverweis {quasikohärenter}{}{}
${\mathcal O}_{ U }$-\definitionsverweis {Modul}{}{}
auf $X$. Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Gamma { \left( X_f, { \mathcal M } \right) }
}
{ =} { \Gamma { \left( X , { \mathcal M } \right) }_f
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathl{(X, {\mathcal O}_{ X } )}{} ein
\definitionsverweis {noethersches Schema}{}{}
und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U
}
{ \subseteq }{ X
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine offene Teilmenge. Es sei ${ \mathcal M }$ ein
\definitionsverweis {quasikohärenter}{}{}
${\mathcal O}_{ U }$-\definitionsverweis {Modul}{}{}
auf $U$. Zeige, dass der
\definitionsverweis {Vorschub}{}{}
$i_* { \mathcal M }$ ein quasikohärenter Modul auf $X$ ist.
}
{} {Betrachte zuerst die Situation, wo $X$ affin ist.}
\inputaufgabe
{}
{
Wir betrachten die
\definitionsverweis {invertierbare Garbe}{}{}
\mathl{{\mathcal O}_{ {\mathbb P}^{ n }_{ K} } (1)}{} auf dem
\definitionsverweis {projektiven Raum}{}{}
über einem
\definitionsverweis {Körper}{}{}
$K$ zusammen mit dem globalen Schnitt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{X_0
}
{ \in }{ \Gamma { \left( {\mathbb P}^{ n }_{ K} , {\mathcal O}_{ {\mathbb P}^{ n }_{ K} } (1) \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und der
\definitionsverweis {Invertierbarkeitsmenge}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ { \left( {\mathbb P}^{ n }_{ K} \right) }_{X_0 }
}
{ = }{ D_+(X_0)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f
}
{ \in }{ \Gamma { \left( D_+(X_0), {\mathcal O}_{ {\mathbb P}^{ n }_{ K} } \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine auf
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{D_+(X_0)
}
{ \subseteq }{ {\mathbb P}^{ n }_{ K}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
definierte Funktion. Zeige direkt, dass es ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{m
}
{ \in }{\N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
derart gibt, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ X_0^m f
}
{ \in} { \Gamma { \left( {\mathbb P}^{ n }_{ K} , { \left( {\mathcal O}_{ {\mathbb P}^{ n }_{ K} } (1 ) \right) }^m \otimes {\mathcal O}_{ {\mathbb P}^{ n }_{ K} } \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
von einem globalen Element aus
\mathl{\Gamma { \left( {\mathbb P}^{ n }_{ K} , { \left( {\mathcal O}_{ {\mathbb P}^{ n }_{ K} } (1 ) \right) }^m \otimes {\mathcal O}_{ {\mathbb P}^{ n }_{ K} } \right) }}{} herrührt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Wir betrachten die
\definitionsverweis {invertierbare Garbe}{}{}
\mathl{{\mathcal O}_{ {\mathbb P}^{1}_{K} } (1)}{} auf der
\definitionsverweis {projektiven Geraden}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathbb P}^{1}_{K}
}
{ = }{ \operatorname{Proj} { \left( K[X,Y] \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
über einem
\definitionsverweis {Körper}{}{}
$K$ zusammen mit dem globalen Schnitt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{X
}
{ \in }{ \Gamma { \left( {\mathbb P}^{1}_{K} , {\mathcal O}_{ {\mathbb P}^{1}_{K} } (1) \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und der
\definitionsverweis {Invertierbarkeitsmenge}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ { \left( {\mathbb P}^{1}_{K} \right) }_{X}
}
{ = }{ D_+(X)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Finde für die folgenden Funktionen $f$ aus
\mathl{\Gamma { \left( D_+(X), {\mathcal O}_{ {\mathbb P}^{1}_{K} } (1) \right) }}{} ein geeignetes $n$ derart, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ X^nf
}
{ \in }{ \Gamma { \left( D_+(X) , {\mathcal O}_{ {\mathbb P}^{1}_{K} } (n) \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
von einem
\zusatzklammer {von welchen} {?} {}
Element aus
\mathl{\Gamma { \left( {\mathbb P}^{1}_{K} , {\mathcal O}_{ {\mathbb P}^{1}_{K} } (n) \right) }}{} herrührt.
\aufzaehlungdrei{ ${ \frac{ Y }{ X } }$,
}{ ${ \frac{ 2Y^3-3Y^2X+4X^3 }{ X^3 } }$,
}{ ${ \frac{ Y^{17} +X^{17} }{ X^{17} } }$.
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Spezialisiere Satz 14.13 für den Fall, wo ${ \mathcal M }$ die Strukturgarbe von $X$ ist.
}
{} {}