Kurs:Bündel, Garben und Kohomologie (Osnabrück 2019-2020)/Arbeitsblatt 17/kontrolle

Aufgabe Referenznummer erstellen

Vergleiche die Definition 17.1 eines geometrischen Vektorbündels über einem Schema mit der Definition 1.4 eines reellen Vektorbündels über einem topologischen Raum.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}p\colon V\rightarrow X$ ein geometrisches Vektorbündel vom Rang ${}r$ über dem Schema ${}X$. Zeige, dass die Faser zu ${}p$ über dem Punkt ${}P\in X$ isomorph zu ${}{{\mathbb {A} }_{\kappa (P)}^{r}}$ ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Was ist ein Vektorbündel über einem Schema ${}X$ vom Rang ${}0$?

Aufgabe Referenznummer erstellen

Diskutiere das triviale Geradenbündel

$\operatorname {Spek} {\left(\mathbb {Z} [X]\right)}={\mathbb {A} }_{\mathbb {Z} }^{1}\longrightarrow \operatorname {Spek} {\left(\mathbb {Z} \right)}.$

Was kann man über die Fasern, was über Schnitte, was über abgeschlossene Teilmengen ${}Y\subseteq \operatorname {Spek} {\left(\mathbb {Z} [X]\right)}$ und ihre Bilder in ${}\operatorname {Spek} {\left(\mathbb {Z} \right)}$ sagen?

Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestimme in Beispiel 17.3 die Trivialisierungen und die Übergangsabbildungen explizit.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige, dass in Beispiel 17.4 bei ${}k=0$ das triviale Geradenbündel

${\mathbb {A} }_{{\mathbb {P} }_{K}^{n}}^{1}={\mathbb {A} }_{K}^{1}\times {\mathbb {P} }_{K}^{n}\longrightarrow {\mathbb {P} }_{K}^{n}$

vorliegt.

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Zeige, dass in Beispiel 17.4 bei ${}k=1$ die sogenannte Projektion weg von einem Punkt

${\mathbb {P} }_{K}^{n+1}\supset {\mathbb {P} }_{K}^{n+1}\setminus (0,0,\ldots ,0,1)=V_{1}\longrightarrow {\mathbb {P} }_{K}^{n}$

vorliegt.

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Es sei ${}X$ ein Schema und seien ${}p\colon V\rightarrow X$ und ${}W\rightarrow X$ Vektorbündel über ${}X$ vom Rang ${}r$ bzw. ${}s$. Definiere die direkte Summe ${}V\times _{X}W$ der beiden Vektorbündel unter Bezugnahme auf (simultane) Trivialisierungen ${}V{|}_{U}\cong {{\mathbb {A} }_{U}^{r}}$ und ${}W{|}_{U}\cong {{\mathbb {A} }_{U}^{s}}$ (es soll also ${}{\left(V\times _{X}W\right)}_{U}\cong V{|}_{U}\times _{U}W{|}_{U}\cong {{\mathbb {A} }_{U}^{r+s}}$ gelten).

Aufgabe Referenznummer erstellen

Definiere Konstruktionen aus der linearen Algebra wie direkte Summe, Dual, Tensorprodukt, äußeres Produkt für geometrische Vektorbündel über einem Schema.

Man orientiere sich an der dritten Vorlesung.

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Zeige, dass bei einem geometrischen Vektorbündel ${}V\rightarrow X$ der Nullschnitt eine abgeschlossene Einbettung ist.

Aufgabe Aufgabe 17.11 ändern

Es sei ${}p\colon V\rightarrow X$ ein Vektorbündel über ${}X$. Zeige, dass die Addition ${}\alpha \colon V\times _{X}V\rightarrow V$ die folgenden Eigenschaften besitzt (es ist zugleich zu zeigen, dass die angegebenen Morphismen existieren).

1. Das Diagramm

   ${\begin{matrix}V&{\stackrel {\operatorname {Id} \times (N\circ p)}{\longrightarrow }}&V\times _{X}V&\\&\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\operatorname {Id} \searrow &\downarrow \alpha \!\!\!\!\!&\\&&\!\!\!\!\!V&\!\!\!\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$

   kommutiert, wobei ${}N\colon X\rightarrow V$ den Nullschnitt bezeichnet.

2. Das Diagramm

   ${\begin{matrix}V\times _{X}V&{\stackrel {\pi }{\longrightarrow }}&V\times _{X}V&\\&\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\alpha \searrow &\downarrow \alpha \!\!\!\!\!&\\&&V&\!\!\!\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$

   kommutiert, wobei ${}\pi$ die Vertauschung der beiden Faktoren bezeichnet.

3. Das Diagramm

   ${\begin{matrix}V\times _{X}V\times _{X}V&{\stackrel {\alpha \times \operatorname {Id} }{\longrightarrow }}&V\times _{X}V&\\\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\operatorname {Id} \times \alpha \downarrow &&\downarrow \alpha \!\!\!\!\!&\\V\times _{X}V&{\stackrel {\alpha }{\longrightarrow }}&V&\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$

   kommutiert.

Zur folgenden Aufgabe vergleiche man Aufgabe 1.6.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}K$ ein Körper. Wir betrachten

${}A=K[X,Y,U,V]/(XU+YV-1)\,,$

die Spektrumsabbildung

$\operatorname {Spek} {\left(A\right)}\longrightarrow \operatorname {Spek} {\left(K[X,Y]\right)}={\mathbb {A} }_{K}^{2}$

und die Einschränkung

$p\colon \operatorname {Spek} {\left(A\right)}=D(X,Y)=V\longrightarrow U=D(X,Y)\subseteq {\mathbb {A} }_{K}^{2}$

(worauf beruht die Gleichheit links?) Zeige die folgenden Aussagen.

1. Die Abbildung ${}p$ ist auf ${}D(X)$ und auf ${}D(Y)$ isomorph zur affinen Gerade über der Basis.
2. Die Abbildung ${}p\colon V\rightarrow U$ besitzt keinen Schnitt.
3. ${}V$ ist kein Geradenbündel.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}R$ eine kommutative ${}K$- Algebra von endlichem Typ über einem Körper ${}K$. Es seien ${}f_{1},\ldots ,f_{n},f$ Elemente in ${}R$ und es sei

${}A=R[T_{1},\ldots ,T_{n}]/(f_{1}T_{1}+\cdots +f_{n}T_{n}+f)\,$

die erzwingende Algebra zu diesen Daten. Es sei

$p\colon \operatorname {Spek} {\left(A\right)}\supseteq V=D(f_{1},\ldots ,f_{n})\longrightarrow U=D(f_{1},\ldots ,f_{n})\subseteq \operatorname {Spek} {\left(R\right)}$

die eingeschränkte Spektrumsabbildung. Zeige, dass es eine offene affine Überdeckung ${}U=\bigcup _{i\in I}U_{i}$ derart gibt, dass ${}p^{-1}(U_{i})$ isomorph zu ${}U_{i}\times {{\mathbb {A} }_{}^{n-1}}$ ist, und dass dabei die Übergangsabbildungen affin-linear sind.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige, dass ein Homomorphismus von trivialen Vektorbündeln

$\varphi \colon {{\mathbb {A} }_{\operatorname {Spek} {\left(R\right)}}^{r}}\longrightarrow {{\mathbb {A} }_{\operatorname {Spek} {\left(R\right)}}^{s}}$

über dem affinen Schema ${}\operatorname {Spek} {\left(R\right)}$ durch eine ${}s\times r$- Matrix über ${}R$ gegeben ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige, dass ein Homomorphismus von Vektorbündeln

$\varphi \colon V\longrightarrow W$

über ${}X$ den Nullschnitt von ${}V$ (aufgefasst als abgeschlossenes Unterschema) in den Nullschnitt von ${}W$ abbildet.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}\varphi \colon V\rightarrow W$ ein Homomorphismus von Vektorbündeln ${}V,W$ über ${}X$. Zeige, dass das Diagramm

${\begin{matrix}V\times _{X}V&{\stackrel {\varphi \times \varphi }{\longrightarrow }}&W\times _{X}W&\\\!\!\!\!\!\alpha \downarrow &&\downarrow \alpha \!\!\!\!\!&\\V&{\stackrel {\varphi }{\longrightarrow }}&W&\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$

kommutiert (ein Vektorbündelhomomorphismus ist also mit der Addition verträglich).

Aufgabe Referenznummer erstellen

Wir betrachten den Homomorphismus von trivialen Vektorbündeln

$\varphi \colon {{\mathbb {A} }_{\operatorname {Spek} {\left(\mathbb {Z} \right)}}^{2}}\longrightarrow {{\mathbb {A} }_{\operatorname {Spek} {\left(\mathbb {Z} \right)}}^{2}}$

über ${}\operatorname {Spek} {\left(\mathbb {Z} \right)}$, der durch die ${}2\times 2$- Matrix ${}{\begin{pmatrix}5&6\\7&4\end{pmatrix}}$ gegeben ist. Bestimme die Punkte ${}P\in \operatorname {Spek} {\left(\mathbb {Z} \right)}$, für die die zugehörige Faserabbildung injektiv bzw. surjektiv ist.

Aufgabe Aufgabe 17.18 ändern

Es seien ${}V$ und ${}W$ Vektorbündel über einem Schema ${}X$ und ${}\varphi \colon V\rightarrow W$ ein surjektiver Homomorphismus von Vektorbündeln. Zeige, dass der (punktweise genommene) Kern ein Vektorbündel über ${}X$ ist.

Aufgabe Aufgabe 17.19 ändern

Es seien ${}V$ und ${}W$ Vektorbündel über einem Schema ${}X$. Zeige, dass die Garbe der Schnitte der direkten Summe ${}V\times _{X}W$ gleich der direkten Summe der Garbe der Schnitte von ${}V$ und ${}W$ ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige, dass die Garbe der Schnitte zu dem Geradenbündel

$V_{k}\longrightarrow {\mathbb {P} }_{K}^{n}$

aus Beispiel 17.4 die getwistete Strukturgarbe ${}{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{K}^{n}}(k)$ ist.

Aufgabe Aufgabe 17.21 ändern

Es seien ${}p\colon Y\rightarrow X$ und ${}q\colon Z\rightarrow X$ Schemata über einem Schema ${}X$ und sei ${}\varphi \colon Y\rightarrow Z$ ein Schemamorphismus über ${}X$. Zeige, dass die zugehörige Abbildung der Garbe der Schnitte (in der Kategorie der Schemata) ${}{\mathcal {S}}_{Y}\rightarrow {\mathcal {S}}_{Z}$, die einem Schnitt ${}s\colon U\rightarrow p^{-1}(U)$ den Schnitt ${}\varphi \circ s\colon U\rightarrow q^{-1}(U)$ zuordnet, ein Garbenmorphismus ist.

Aufgabe Aufgabe 17.22 ändern

Es sei ${}\varphi \colon V\rightarrow W$ ein Vektorbündelhomomorphismus zwischen den Vektorbündeln ${}V$ und ${}W$ über ${}X$ und sei

$\psi \colon {\mathcal {S}}_{V}\longrightarrow {\mathcal {S}}_{W}$

der zugehörigen Garbenmorphismus der Garbe der Schnitte. Zeige, dass ${}\psi$ ein ${}{\mathcal {O}}_{X}$- Modulhomomorphismus ist.

Aufgabe Aufgabe 17.23 ändern

Es seien ${}V$ und ${}W$ Vektorbündel über dem Schema ${}X$ und seien ${}{\mathcal {S}}_{V}$ ${}{\mathcal {S}}_{W}$ die zugehörigen Garben der Schnitte. Zeige, dass die Abbildung

$\operatorname {Hom} {\left(V,W\right)}\longrightarrow \operatorname {Hom} {\left({\mathcal {S}}_{V},{\mathcal {S}}_{W}\right)},$

die einem Vektorbündelhomomorphismus der zugehörigen ${}{\mathcal {O}}_{X}$- Modulhomomorphismus zuordnet, eine Bijektion ist. Zeige ferner, dass sich unter dieser Korrespondenz die Isomorphismen entsprechen.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es seien ${}V$ und ${}W$ Vektorbündel über einem Schema ${}X$ und ${}{\mathcal {F}}$ und ${}{\mathcal {G}}$ die zugehörigen lokal freien Garben der Schnitte. Es sei ${}\varphi \colon V\rightarrow W$ ein Homomorphismus von Vektorbündeln und ${}\psi \colon {\mathcal {F}}\rightarrow {\mathcal {G}}$ der zugehörige Garbenhomomorphismus. Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind.

1. ${}\varphi$ ist ein surjektiver Schemamorphismus.
2. In jedem Punkt ${}P\in X$ ist die Faserabbildung ${}V(x)\rightarrow W(x)$ surjektiv.
3. Der Homomorphismus ${}\psi \colon {\mathcal {F}}\rightarrow {\mathcal {G}}$ ist surjektiv.
4. Es gibt eine offene Überdeckung ${}X=\bigcup _{i\in I}U_{i}$ und lokale Schnitte (Vektorbündelhomomorphismen)

   $s_{i}\colon W{|}_{U_{i}}\longrightarrow V{|}_{U_{i}}$

   zu ${}\varphi$.

5. Es gibt eine offene Überdeckung ${}X=\bigcup _{i\in I}U_{i}$ und lokale Schnitte (Modulhomomorphismen)

   $t_{i}\colon {\mathcal {G}}{|}_{U_{i}}\longrightarrow {\mathcal {F}}{|}_{U_{i}}$

   zu ${}\psi$.