Kurs:Differentialgeometrie/6/Klausur/latex
%Daten zur Institution
%\input{Dozentdaten}
%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}
%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }
%Klausurdaten
\renewcommand{\klausurgebiet}{ }
\renewcommand{\klausurtyp}{ }
\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}
\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}
%Daten für folgende Punktetabelle
\renewcommand{\aeins}{ 3 }
\renewcommand{\azwei}{ 3 }
\renewcommand{\adrei}{ 7 }
\renewcommand{\avier}{ 4 }
\renewcommand{\afuenf}{ 0 }
\renewcommand{\asechs}{ 0 }
\renewcommand{\asieben}{ 0 }
\renewcommand{\aacht}{ 5 }
\renewcommand{\aneun}{ 15 }
\renewcommand{\azehn}{ 5 }
\renewcommand{\aelf}{ 0 }
\renewcommand{\azwoelf}{ 3 }
\renewcommand{\adreizehn}{ 3 }
\renewcommand{\avierzehn}{ 0 }
\renewcommand{\afuenfzehn}{ 10 }
\renewcommand{\asechzehn}{ 4 }
\renewcommand{\asiebzehn}{ 62 }
\renewcommand{\aachtzehn}{ }
\renewcommand{\aneunzehn}{ }
\renewcommand{\azwanzig}{ }
\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }
\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }
\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }
\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }
\punktetabellesechzehn
\klausurnote
\newpage
\setcounter{section}{K}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe. \aufzaehlungsechs{Eine \stichwort {bogenparametrisierte} {} Kurve \maabbdisp {\gamma} {[a,b]} { \R^n } {.}
}{Zwei in einem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ M
}
{ }{}
{ }{}
{ }{}
}
{}{}{}
einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit $M$ \stichwort {tangential äquivalente} {} differenzierbare Kurven
\maabbdisp {\gamma_1, \gamma_2} { I } { M
} {}
\zusatzklammer {dabei sei
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{ 0
}
{ \in }{ I
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein offenes reelles Intervall und
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{ \gamma_1(0)
}
{ = }{ \gamma_2(0)
}
{ = }{ P
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}} {} {.}
}{Ein \stichwort {stetiger Schnitt} {} zu einer stetigen Abbildung \maabbdisp {p} {Y} {X } {} zwischen topologischen Räumen \mathkor {} {X} {und} {Y} {.}
}{Die \stichwort {kanonische Volumenform} {} auf einer orientierten riemannschen Mannigfaltigkeit $M$.
}{Die
\stichwort {äußere Ableitung} {}
einer
\definitionsverweis {stetig differenzierbaren}{}{}
$k$-\definitionsverweis {Differentialform}{}{}
\mathl{\omega \in
{ \mathcal E }^{ k } ( U )}{} auf einer
\definitionsverweis {offenen Menge}{}{}
\mathl{U \subseteq \R^n}{.}
}{Die \stichwort {Schnittkrümmung} {} zu linear unabhängigen Vektoren
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v,w
}
{ \in }{T_PM
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
auf einer
\definitionsverweis {riemannschen Mannigfaltigkeit}{}{}
$M$ in einem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Formuliere die folgenden Sätze.
\aufzaehlungdrei{Der
\stichwort {Satz über die Orientierungen auf einer differenzierbaren Hyperfläche} {}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Y
}
{ \subseteq }{ \R^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}{Die Formel für die Lie-Klammer von Vektorfeldern auf einer offenen Menge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \subseteq }{ \R^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}{Der Satz über
\stichwort {Retraktionen zum Rand} {}
auf Mannigfaltigkeiten.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{7}
{
Beweise den
\stichwort {Satz über die Lösung von gewöhnlichen Differentialgleichungen auf einer differenzierbaren Hyperfläche} {}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Y
}
{ \subseteq }{ \R^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Es sei
\maabb {h} { I } { V
} {}
eine zweimal differenzierbare Kurve in einem
\definitionsverweis {euklidischen Vektorraum}{}{}
$V$. Zeige, dass bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{h'(t)
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Gleichheit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Vert { h'(t)} \Vert'
}
{ =} { { \frac{ \left\langle h'(t) , h^{\prime \prime} (t) \right\rangle }{ \left\langle h'(t) , h'(t) \right\rangle } } \Vert { h'(t)} \Vert
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{0}
{
}
{} {}
\inputaufgabe
{0}
{
}
{} {}
\inputaufgabe
{0}
{
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{5}
{
Beweise die Aussage, dass die tangentiale Äquivalenz von Wegen auf einer Mannigfaltigkeit in einem Punkt $P$ mit einer beliebigen Karte überprüft werden kann.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{15 (3+3+4+5)}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{T
}
{ = }{S^1 \times S^1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
der Torus und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{S^2
}
{ \subset }{\R^3
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die
\definitionsverweis {Einheitssphäre}{}{.}
a) Zeige, dass durch \maabbeledisp {\varphi} {S^1 \times S^1} { S^2 } { \begin{pmatrix} \alpha \\ \beta \end{pmatrix} } { { \frac{ 1 }{ 2 } } \begin{pmatrix} \sqrt{ 2-2 \sin \alpha } \cos \beta \\ \cos \alpha + \sin \beta \cos \alpha \\ 1 + \sin \alpha - \sin \beta + \sin \alpha \sin \beta \end{pmatrix} } {} eine stetige Abbildung gegeben ist.
b) Zeige, dass $\varphi$ surjektiv ist.
c) Beschreibe die Fasern von $\varphi$.
d) Erläutere die Abbildung $\varphi$ unter Verwendung einer Skizze.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{5}
{
Berechne das Wegintegral
\mathl{\int_\gamma \omega}{} zu
\maabbeledisp {\gamma} { [-1,0] } {\R^3
} { t } {(-t^2,t^3-1,t+2)
} {,}
für die $1$-Differentialform
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \omega
}
{ =} { x^3dx -yzdy +xz^2 dz
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
auf dem $\R^3$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{0}
{
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3 (2+1)}
{
Es sei
\maabbeledisp {f} {\R} {\R
} { t } {f(t)
} {,}
die durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(t)
}
{ =} { { \frac{ \sin^{ 3 } (t^4) }{ 1+t^2 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gegeben ist.
a) Berechne die äußere Ableitung von $f$.
b) Berechne die äußere Ableitung von $fdt$.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Man gebe ein Beispiel für eine stetig differenzierbare Abbildung \maabbdisp {\varphi} { H } { H } {} einer euklidischen Halbebene in sich mit der Eigenschaft, dass genau ein Randpunkt von $H$ in einen Randpunkt und alle anderen Punkte in das Innere der Halbebene abgebildet werden.
}
{} {}
\inputaufgabe
{0}
{
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{10}
{
Beweise die Quaderversion des Satzes von Stokes.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Bestimme für die Kurve \maabbeledisp {\psi} {\R} { {\mathbb H} } { t } { \left( t , \, e^t \right) } {,} in die \definitionsverweis {Halbebene von Poincaré}{}{} ${\mathbb H}$ die \definitionsverweis {Christoffelsymbole}{}{} für den \definitionsverweis {zurückgezogenen Zusammenhang}{}{} \zusatzklammer {zum \definitionsverweis {Levi-Civita-Zusammenhang}{}{} auf ${\mathbb H}$} {} {} auf $\R$.
}
{} {}