Kurs:Differentialgeometrie (Osnabrück 2023)/Arbeitsblatt 20/latex
\setcounter{section}{20}
\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die
\definitionsverweis {äußere Ableitung}{}{}
der
$1$-\definitionsverweis {Differentialform}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \omega
}
{ =} { (x^2-y^3)dx+x^3y^2dy
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
auf dem $\R^2$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die
\definitionsverweis {äußere Ableitung}{}{}
der
$1$-\definitionsverweis {Differentialform}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \omega
}
{ =} { xy^2dx+yzdy+x^3dz
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
auf dem $\R^3$.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Berechne die
\definitionsverweis {äußere Ableitung}{}{}
$d \omega$ der
$1$-\definitionsverweis {Differentialform}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \omega
}
{ =} { { \frac{ x^2 }{ y } } dx- { \frac{ x }{ y^2 } } dy
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
auf
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ = }{ { \left\{ (x,y) \in \R^2 \mid y \neq 0 \right\} }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Berechne die äußere Ableitung $d \omega$ der Differentialform
\mathdisp {\omega = e^{xz} dx \wedge dy - xyz dx \wedge dz +( \sin ( \cos (xy) ) +y^{10}z^{100} ) dy \wedge dz} { }
auf dem
\mathl{\R^3}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei
\maabbeledisp {f} {\R} {\R
} {t} {f(t)
} {,}
die durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(t)
}
{ =} { { \frac{ \sin^{ 3 } (t^4) }{ 1+t^2 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gegeben ist.
a) Berechne die äußere Ableitung von $f$.
b) Berechne die äußere Ableitung von $fdt$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die
\definitionsverweis {äußere Ableitung}{}{} der
$2$-\definitionsverweis {Differentialform}{}{}
\mathdisp {\omega = xdx \wedge dy+xy^2zdy \wedge dz+xe^ydx\wedge dz} { }
auf dem $\R^3$.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Zeige, dass die
$1$-\definitionsverweis {Differentialform}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \omega
}
{ = }{ (2x- \sin y )dx-x\cos ydy
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
auf dem $\R^2$
\definitionsverweis {geschlossen}{}{}
und auch
\definitionsverweis {exakt}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \subseteq }{ \R^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {offene Teilmenge}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \omega
}
{ = }{ \sum_{i = 1}^n f_i dx_i
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
$1$-\definitionsverweis {Differentialform}{}{,}
die mit
\definitionsverweis {stetig differenzierbaren Funktionen}{}{}
\maabb {f_i} {U} { \R
} {}
beschrieben werde. Zeige, dass $\omega$ genau dann
\definitionsverweis {geschlossen}{}{}
ist, wenn
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \partial_i f_j
}
{ =} { \partial_j f_i
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle $i,j$ gilt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \subseteq }{ \R^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {offene Teilmenge}{}{}
und $\omega$ eine
\definitionsverweis {stetig differenzierbare}{}{}
$1$-\definitionsverweis {Form}{}{}
auf $U$ mit dem gemäß
Lemma 16.3
zugehörigen
\definitionsverweis {Vektorfeld}{}{}
$F$ auf $U$. Zeige, dass $\omega$ genau dann
\definitionsverweis {geschlossen}{}{}
ist, wenn $F$ die
\definitionsverweis {Integrabilitätsbedingung}{}{}
erfüllt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathl{U \subseteq \R^n}{} eine
\definitionsverweis {offene Teilmenge}{}{}
und $\omega$ eine
\definitionsverweis {stetig differenzierbare}{}{}
$1$-\definitionsverweis {Form}{}{}
auf $U$ mit dem gemäß
Lemma 16.3
zugehörigen
\definitionsverweis {Vektorfeld}{}{}
$F$ auf $U$. Zeige, dass $\omega$ genau dann
\definitionsverweis {exakt}{}{}
ist, wenn $F$ ein
\definitionsverweis {Gradientenfeld}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $\omega$ eine \definitionsverweis {differenzierbare}{}{} \definitionsverweis {Differentialform}{}{} auf einer Mannigfaltigkeit $M$ und \maabb {\varphi} {L} {M } {} eine auf der Mannigfaltigkeit $L$ definierte differenzierbare Abbildung.
\aufzaehlungzwei {Es sei $\omega$ \definitionsverweis {exakt}{}{.} Zeige, dass auch die zurückgezogene Differentialform $\varphi^*\omega$ exakt ist. } {Es sei $\omega$ \definitionsverweis {geschlossen}{}{.} Zeige, dass auch die \definitionsverweis {zurückgezogene}{}{} Differentialform $\varphi^*\omega$ geschlossen ist. }
}
{} {}
Für die folgenden Aufgaben vergleiche Beispiel 58.7 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) und Beispiel 58.10 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)).
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die
$1$-\definitionsverweis {Differentialform}{}{}
\mathdisp {-ydx+xdy} { }
auf dem $\R^2$ nicht
\definitionsverweis {geschlossen}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die
$1$-\definitionsverweis {Differentialform}{}{}
\mathdisp {- { \frac{ y }{ x^2+y^2 } } dx+ { \frac{ x }{ x^2+y^2 } } dy} { }
auf dem $\R^2 \setminus \{0\}$
\definitionsverweis {geschlossen}{}{,}
aber nicht
\definitionsverweis {exakt}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Zeige, dass jede stetige
$n$-\definitionsverweis {Differentialform}{}{}
$\omega$ auf einer offenen Menge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U
}
{ \subseteq }{\R^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {exakt}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $M$ eine
\definitionsverweis {zusammenhängende}{}{}
\definitionsverweis {differenzierbare Mannigfaltigkeit}{}{}
und $\omega$ eine
\definitionsverweis {differenzierbare}{}{}
$1$-\definitionsverweis {Form}{}{}
auf $M$. Zeige, dass $\omega$ genau dann
\definitionsverweis {exakt}{}{}
ist, wenn für jeden
\definitionsverweis {stetig differenzierbaren}{}{}
Weg
\maabbdisp {\gamma} {[a,b]} {M
} {}
das
\definitionsverweis {Wegintegral}{}{}
\mathl{\int_\gamma \omega}{} nur von
\mathl{\gamma(a)}{} und
\mathl{\gamma(b)}{} abhängt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien $M$ und $N$ \definitionsverweis {differenzierbare Mannigfaltigkeiten}{}{} und \maabbdisp {\varphi} {M} {N } {} eine \definitionsverweis {differenzierbare Abbildung}{}{.} Es sei $\omega$ eine \definitionsverweis {differenzierbare}{}{} $n$-\definitionsverweis {Form}{}{} auf $N$, wobei $n$ die Dimension von $N$ sei. Zeige, dass $\varphi^* \omega$ eine \definitionsverweis {geschlossene}{}{} \definitionsverweis {Differentialform}{}{} auf $M$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Welche der folgenden Funktionen
\maabbdisp {} {\R_+} {\R
} {}
lassen sich
\definitionsverweis {differenzierbar}{}{}
in den
\definitionsverweis {Randpunkt}{}{}
$0$ fortsetzen.
\aufzaehlungsechs{
\mathl{x^3+ \sin^{ 3 } x -e^{-x}}{,}
}{
\mathl{{ \frac{ 1 }{ x } }}{,}
}{
\mathl{\sin { \frac{ 1 }{ x } }}{,}
}{
\mathl{x \sin { \frac{ 1 }{ x } }}{,}
}{
\mathl{{ \frac{ e^{ { \frac{ 1 }{ x } } } }{ x } }}{,}
}{
\mathl{x^2 \sin { \frac{ 1 }{ x } }}{.}
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathl{H \subset \R^n}{} ein
\definitionsverweis {Halbraum}{}{.}
Es sei
\mathl{Q\in H}{} ein Punkt und $Q \in U \subseteq H$, wobei $U$ eine
\definitionsverweis {offene Teilmenge}{}{}
des $\R^n$ sei. Zeige, dass $Q$ kein Randpunkt von $H$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Definiere die Begriffe \stichwort {Diffeomorphismus} {,} \stichwort {totales Differential} {} und \stichwort {höhere Ableitungen} {} für \definitionsverweis {Halbräume}{}{} \zusatzklammer {bzw. offene Teilmengen davon} {} {.}
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{3}
{
Bestimme die
\definitionsverweis {äußere Ableitung}{}{} der
$1$-\definitionsverweis {Differentialform}{}{}
\mathdisp {\omega = xy^2z^3dx+xyzdy+x^3yz^4dz} { }
auf dem $\R^3$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Bestimme die
\definitionsverweis {äußere Ableitung}{}{} der
$2$-\definitionsverweis {Differentialform}{}{}
\mathdisp {\omega = xy^2dx \wedge dy+(x^3-y^2z^4)dy \wedge dz+ \sin (xy) dx \wedge dz} { }
auf dem $\R^3$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{5}
{
Es sei
\mathl{U \subseteq \R^n}{}
\definitionsverweis {offen}{}{} und es seien
\mathl{\omega_1 , \ldots , \omega_r}{} Differentialformen auf $U$, wobei $\omega_i$ eine
$k_i$-\definitionsverweis {Differentialform}{}{} sei. Finde und beweise eine Formel für
\mathdisp {d( \omega_1 \wedge \ldots \wedge \omega_r)} { . }
}
{} {}
\inputaufgabe
{5}
{
Zeige, dass die
\definitionsverweis {Differentialform}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \omega
}
{ =} { { \left( 2xy+3x^2-y e^{xy} \right) } dx + { \left( x^2-xe^{xy} +8y \right) } dy
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
auf dem $\R^2$
\definitionsverweis {geschlossen}{}{}
und auch
\definitionsverweis {exakt}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{6}
{
Zeige, dass die
\definitionsverweis {Halbebene}{}{}
$\R_{\geq 0} \times \R$ und der
\definitionsverweis {Quadrant}{}{}
\mathl{\R_{\geq 0} \times \R_{\geq 0}}{}
\definitionsverweis {homöomorph}{}{}
sind.
}
{} {}