Kurs:Diskrete Mathematik/22/Klausur/latex
%Daten zur Institution
%\input{Dozentdaten}
%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}
%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }
%Klausurdaten
\renewcommand{\klausurgebiet}{ }
\renewcommand{\klausurtyp}{ }
\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}
\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}
%Daten für folgende Punktetabelle
\renewcommand{\aeins}{ 3 }
\renewcommand{\azwei}{ 3 }
\renewcommand{\adrei}{ 4 }
\renewcommand{\avier}{ 3 }
\renewcommand{\afuenf}{ 6 }
\renewcommand{\asechs}{ 0 }
\renewcommand{\asieben}{ 2 }
\renewcommand{\aacht}{ 2 }
\renewcommand{\aneun}{ 2 }
\renewcommand{\azehn}{ 3 }
\renewcommand{\aelf}{ 1 }
\renewcommand{\azwoelf}{ 3 }
\renewcommand{\adreizehn}{ 2 }
\renewcommand{\avierzehn}{ 3 }
\renewcommand{\afuenfzehn}{ 0 }
\renewcommand{\asechzehn}{ 0 }
\renewcommand{\asiebzehn}{ 0 }
\renewcommand{\aachtzehn}{ 0 }
\renewcommand{\aneunzehn}{ 0 }
\renewcommand{\azwanzig}{ 37 }
\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }
\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }
\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }
\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }
\punktetabelleneunzehn
\klausurnote
\newpage
\setcounter{section}{0}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Definiere die folgenden
\zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe.
\aufzaehlungsechs{Ein
\stichwort {gemeinsamer Teiler} {}
von natürlichen Zahlen
\mathl{a_1 , \ldots , a_k}{.}
}{Ein
\stichwort {Infimum} {}
zu einer Teilmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{J
}
{ \subseteq }{ I
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
in einer
\definitionsverweis {geordneten Menge}{}{}
\mathl{(I,\preccurlyeq)}{.}
}{Ein \stichwort {Verband} {} $M$.
}{Der
\stichwort {Kantengraph} {}
zu einem
\definitionsverweis {Graphen}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ G
}
{ = }{ (V,E)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Ein \stichwort {Weg} {} in einem \definitionsverweis {Graphen}{}{.}
}{Ein \stichwort {planarer} {} Graph. }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungdrei{/Fakt/Name}{/Fakt/Name}{/Fakt/Name}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4 (2+1+1)}
{
Folgende Aussagen seien bekannt. \aufzaehlungsieben{Der frühe Vogel fängt den Wurm. }{Doro wird nicht von Lilly gefangen. }{Lilly ist ein Vogel oder ein Igel. }{Für Igel ist 5 Uhr am Morgen spät. }{Doro ist ein Wurm. }{Für Vögel ist 5 Uhr am Morgen früh. }{Lilly schläft bis 5 Uhr am Morgen und ist ab 5 Uhr unterwegs. } Beantworte folgende Fragen. \aufzaehlungdrei{Ist Lilly ein Vogel oder ein Igel? }{Ist sie ein frühes oder ein spätes Tier? }{Fängt der späte Igel den Wurm? }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Es sei $M$ eine endliche Menge und
\maabb {\varphi} { M } { M
} {}
eine Abbildung. Es sei $\varphi^n$ die $n$-fache
\definitionsverweis {Hintereinanderschaltung}{}{}
von $\varphi$ mit sich selbst. Zeige, dass es natürliche Zahlen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ m
}
{ > }{ n
}
{ \geq }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\varphi^n
}
{ = }{ \varphi^m
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{6 (1+5)}
{
Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ 1
}
{ \leq }{ k
}
{ \leq }{ n
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
natürliche Zahlen. Zu $k$ bezeichnet $S_k$ die Menge der
\definitionsverweis {Permutationen}{}{}
auf
\mathl{\{ 1 , \ldots , k \}}{} und
\mathl{{\mathfrak {P} }_{ k }\, (n )}{} bezeichnet die Menge der $k$-elementigen Teilmengen von
\mathl{{ \{ 1 , \ldots , n \} }}{.}
\aufzaehlungzwei {Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \# \left( S_n \right) }
}
{ =} { { \# \left( {\mathfrak {P} }_{ k }\, (n ) \right) } \cdot { \# \left( S_k \right) } \cdot { \# \left( S_{n-k} \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
} {Man definiere eine explizite natürliche bijektive Abbildung
\maabbdisp {} { S_n } { {\mathfrak {P} }_{ k }\, (n ) \times S_k \times S_{n-k}
} {.}
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{0}
{
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Zeige, dass in einem
\definitionsverweis {kommutativen Halbring}{}{}
die Beziehung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{0 \cdot 0
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Berechne
\mathdisp {(-2x^3+3x^2+3x-2)^2} { }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Bestimme, ob die durch die Relationstabelle %Daten für folgende Tabelle
\renewcommand{\leitzeilenull}{ $\,$ }
\renewcommand{\leitzeileeins}{ $A$ }
\renewcommand{\leitzeilezwei}{ $B$ }
\renewcommand{\leitzeiledrei}{ $C$ }
\renewcommand{\leitzeilevier}{ $D$ }
\renewcommand{\leitzeilefuenf}{ }
\renewcommand{\leitzeilesechs}{ }
\renewcommand{\leitzeilesieben}{ }
\renewcommand{\leitzeileacht}{ }
\renewcommand{\leitzeileneun}{ }
\renewcommand{\leitzeilezehn}{ }
\renewcommand{\leitzeileelf}{ }
\renewcommand{\leitzeilezwoelf}{ }
\renewcommand{\leitspaltenull}{ }
\renewcommand{\leitspalteeins}{ $A$ }
\renewcommand{\leitspaltezwei}{ $B$ }
\renewcommand{\leitspaltedrei}{ $C$ }
\renewcommand{\leitspaltevier}{ $D$ }
\renewcommand{\leitspaltefuenf}{ }
\renewcommand{\leitspaltesechs}{ }
\renewcommand{\leitspaltesieben}{ }
\renewcommand{\leitspalteacht}{ }
\renewcommand{\leitspalteneun}{ }
\renewcommand{\leitspaltezehn}{ }
\renewcommand{\leitspalteelf}{ }
\renewcommand{\leitspaltezwoelf}{ }
\renewcommand{\leitspaltedreizehn}{ }
\renewcommand{\leitspaltevierzehn}{ }
\renewcommand{\leitspaltefuenfzehn}{ }
\renewcommand{\leitspaltesechzehn}{ }
\renewcommand{\leitspaltesiebzehn}{ }
\renewcommand{\leitspalteachtzehn}{ }
\renewcommand{\leitspalteneunzehn}{ }
\renewcommand{\leitspaltezwanzig}{ }
\renewcommand{\aeinsxeins}{ \, }
\renewcommand{\aeinsxzwei}{ \, }
\renewcommand{\aeinsxdrei}{ \, }
\renewcommand{\aeinsxvier}{ \, }
\renewcommand{\aeinsxfuenf}{ }
\renewcommand{\aeinsxsechs}{ }
\renewcommand{\aeinsxsieben}{ }
\renewcommand{\aeinsxacht}{ }
\renewcommand{\aeinsxneun}{ }
\renewcommand{\aeinsxzehn}{ }
\renewcommand{\aeinsxelf}{ }
\renewcommand{\aeinsxzwoelf}{ }
\renewcommand{\azweixeins}{ \, }
\renewcommand{\azweixzwei}{ \times }
\renewcommand{\azweixdrei}{ \, }
\renewcommand{\azweixvier}{ \times }
\renewcommand{\azweixfuenf}{ }
\renewcommand{\azweixsechs}{ }
\renewcommand{\azweixsieben}{ }
\renewcommand{\azweixacht}{ }
\renewcommand{\azweixneun}{ }
\renewcommand{\azweixzehn}{ }
\renewcommand{\azweixelf}{ }
\renewcommand{\azweixzwoelf}{ }
\renewcommand{\adreixeins}{ \, }
\renewcommand{\adreixzwei}{ \, }
\renewcommand{\adreixdrei}{ \times }
\renewcommand{\adreixvier}{ \, }
\renewcommand{\adreixfuenf}{ }
\renewcommand{\adreixsechs}{ }
\renewcommand{\adreixsieben}{ }
\renewcommand{\adreixacht}{ }
\renewcommand{\adreixneun}{ }
\renewcommand{\adreixzehn}{ }
\renewcommand{\adreixelf}{ }
\renewcommand{\adreixzwoelf}{ }
\renewcommand{\avierxeins}{ \, }
\renewcommand{\avierxzwei}{ \times }
\renewcommand{\avierxdrei}{ \, }
\renewcommand{\avierxvier}{ \times }
\renewcommand{\avierxfuenf}{ }
\renewcommand{\avierxsechs}{ }
\renewcommand{\avierxsieben}{ }
\renewcommand{\avierxacht}{ }
\renewcommand{\avierxneun}{ }
\renewcommand{\avierxzehn}{ }
\renewcommand{\avierxelf}{ }
\renewcommand{\avierxzwoelf}{ }
\renewcommand{\afuenfxeins}{ }
\renewcommand{\afuenfxzwei}{ }
\renewcommand{\afuenfxdrei}{ }
\renewcommand{\afuenfxvier}{ }
\renewcommand{\afuenfxfuenf}{ }
\renewcommand{\afuenfxsechs}{ }
\renewcommand{\afuenfxsieben}{ }
\renewcommand{\afuenfxacht}{ }
\renewcommand{\afuenfxneun}{ }
\renewcommand{\afuenfxzehn}{ }
\renewcommand{\afuenfxelf}{ }
\renewcommand{\afuenfxzwoelf}{ }
\renewcommand{\asechsxeins}{ }
\renewcommand{\asechsxzwei}{ }
\renewcommand{\asechsxdrei}{ }
\renewcommand{\asechsxvier}{ }
\renewcommand{\asechsxfuenf}{ }
\renewcommand{\asechsxsechs}{ }
\renewcommand{\asechsxsieben}{ }
\renewcommand{\asechsxacht}{ }
\renewcommand{\asechsxneun}{ }
\renewcommand{\asechsxzehn}{ }
\renewcommand{\asechsxelf}{ }
\renewcommand{\asechsxzwoelf}{ }
\renewcommand{\asiebenxeins}{ }
\renewcommand{\asiebenxzwei}{ }
\renewcommand{\asiebenxdrei}{ }
\renewcommand{\asiebenxvier}{ }
\renewcommand{\asiebenxfuenf}{ }
\renewcommand{\asiebenxsechs}{ }
\renewcommand{\asiebenxsieben}{ }
\renewcommand{\asiebenxacht}{ }
\renewcommand{\asiebenxneun}{ }
\renewcommand{\asiebenxzehn}{ }
\renewcommand{\asiebenxelf}{ }
\renewcommand{\asiebenxzwoelf}{ }
\renewcommand{\aachtxeins}{ }
\renewcommand{\aachtxzwei}{ }
\renewcommand{\aachtxdrei}{ }
\renewcommand{\aachtxvier}{ }
\renewcommand{\aachtxfuenf}{ }
\renewcommand{\aachtxsechs}{ }
\renewcommand{\aachtxsieben}{ }
\renewcommand{\aachtxacht}{ }
\renewcommand{\aachtxneun}{ }
\renewcommand{\aachtxzehn}{ }
\renewcommand{\aachtxelf}{ }
\renewcommand{\aachtxzwoelf}{ }
\renewcommand{\aneunxeins}{ }
\renewcommand{\aneunxzwei}{ }
\renewcommand{\aneunxdrei}{ }
\renewcommand{\aneunxvier}{ }
\renewcommand{\aneunxfuenf}{ }
\renewcommand{\aneunxsechs}{ }
\renewcommand{\aneunxsieben}{ }
\renewcommand{\aneunxacht}{ }
\renewcommand{\aneunxneun}{ }
\renewcommand{\aneunxzehn}{ }
\renewcommand{\aneunxelf}{ }
\renewcommand{\aneunxzwoelf}{ }
\renewcommand{\azehnxeins}{ }
\renewcommand{\azehnxzwei}{ }
\renewcommand{\azehnxdrei}{ }
\renewcommand{\azehnxvier}{ }
\renewcommand{\azehnxfuenf}{ }
\renewcommand{\azehnxsechs}{ }
\renewcommand{\azehnxsieben}{ }
\renewcommand{\azehnxacht}{ }
\renewcommand{\azehnxneun}{ }
\renewcommand{\azehnxzehn}{ }
\renewcommand{\azehnxelf}{ }
\renewcommand{\azehnxzwoelf}{ }
\renewcommand{\aelfxeins}{ }
\renewcommand{\aelfxzwei}{ }
\renewcommand{\aelfxdrei}{ }
\renewcommand{\aelfxvier}{ }
\renewcommand{\aelfxfuenf}{ }
\renewcommand{\aelfxsechs}{ }
\renewcommand{\aelfxsieben}{ }
\renewcommand{\aelfxacht}{ }
\renewcommand{\aelfxneun}{ }
\renewcommand{\aelfxzehn}{ }
\renewcommand{\aelfxelf}{ }
\renewcommand{\aelfxzwoelf}{ }
\renewcommand{\azwoelfxeins}{ }
\renewcommand{\azwoelfxzwei}{ }
\renewcommand{\azwoelfxdrei}{ }
\renewcommand{\azwoelfxvier}{ }
\renewcommand{\azwoelfxfuenf}{ }
\renewcommand{\azwoelfxsechs}{ }
\renewcommand{\azwoelfxsieben}{ }
\renewcommand{\azwoelfxacht}{ }
\renewcommand{\azwoelfxneun}{ }
\renewcommand{\azwoelfxzehn}{ }
\renewcommand{\azwoelfxelf}{ }
\renewcommand{\azwoelfxzwoelf}{ }
\renewcommand{\adreizehnxeins}{ }
\renewcommand{\adreizehnxzwei}{ }
\renewcommand{\adreizehnxdrei}{ }
\renewcommand{\adreizehnxvier}{ }
\renewcommand{\adreizehnxfuenf}{ }
\renewcommand{\adreizehnxsechs}{ }
\renewcommand{\adreizehnxsieben}{ }
\renewcommand{\adreizehnxacht}{ }
\renewcommand{\adreizehnxneun}{ }
\renewcommand{\adreizehnxzehn}{ }
\renewcommand{\adreizehnxelf}{ }
\renewcommand{\adreizehnxzwoelf}{ }
\renewcommand{\avierzehnxeins}{ }
\renewcommand{\avierzehnxzwei}{ }
\renewcommand{\avierzehnxdrei}{ }
\renewcommand{\avierzehnxvier}{ }
\renewcommand{\avierzehnxfuenf}{ }
\renewcommand{\avierzehnxsechs}{ }
\renewcommand{\avierzehnxsieben}{ }
\renewcommand{\avierzehnxacht}{ }
\renewcommand{\avierzehnxneun}{ }
\renewcommand{\avierzehnxzehn}{ }
\renewcommand{\avierzehnxelf}{ }
\renewcommand{\avierzehnxzwoelf}{ }
\renewcommand{\afuenfzehnxeins}{ }
\renewcommand{\afuenfzehnxzwei}{ }
\renewcommand{\afuenfzehnxdrei}{ }
\renewcommand{\afuenfzehnxvier}{ }
\renewcommand{\afuenfzehnxfuenf}{ }
\renewcommand{\afuenfzehnxsechs}{ }
\renewcommand{\afuenfzehnxsieben}{ }
\renewcommand{\afuenfzehnxacht}{ }
\renewcommand{\afuenfzehnxneun}{ }
\renewcommand{\afuenfzehnxzehn}{ }
\renewcommand{\afuenfzehnxelf}{ }
\renewcommand{\afuenfzehnxzwoelf}{ }
\renewcommand{\asechzehnxeins}{ }
\renewcommand{\asechzehnxzwei}{ }
\renewcommand{\asechzehnxdrei}{ }
\renewcommand{\asechzehnxvier}{ }
\renewcommand{\asechzehnxfuenf}{ }
\renewcommand{\asechzehnxsechs}{ }
\renewcommand{\asechzehnxsieben}{ }
\renewcommand{\asechzehnxacht}{ }
\renewcommand{\asechzehnxneun}{ }
\renewcommand{\asechzehnxzehn}{ }
\renewcommand{\asechzehnxelf}{ }
\renewcommand{\asechzehnxzwoelf}{ }
\renewcommand{\asiebzehnxeins}{ }
\renewcommand{\asiebzehnxzwei}{ }
\renewcommand{\asiebzehnxdrei}{ }
\renewcommand{\asiebzehnxvier}{ }
\renewcommand{\asiebzehnxfuenf}{ }
\renewcommand{\asiebzehnxsechs}{ }
\renewcommand{\asiebzehnxsieben}{ }
\renewcommand{\asiebzehnxacht}{ }
\renewcommand{\asiebzehnxneun}{ }
\renewcommand{\asiebzehnxzehn}{ }
\renewcommand{\asiebzehnxelf}{ }
\renewcommand{\asiebzehnxzwoelf}{ }
\renewcommand{\aachtzehnxeins}{ }
\renewcommand{\aachtzehnxzwei}{ }
\renewcommand{\aachtzehnxdrei}{ }
\renewcommand{\aachtzehnxvier}{ }
\renewcommand{\aachtzehnxfuenf}{ }
\renewcommand{\aachtzehnxsechs}{ }
\renewcommand{\aachtzehnxsieben}{ }
\renewcommand{\aachtzehnxacht}{ }
\renewcommand{\aachtzehnxneun}{ }
\renewcommand{\aachtzehnxzehn}{ }
\renewcommand{\aachtzehnxelf}{ }
\renewcommand{\aachtzehnxzwoelf}{ }
\tabelleleitvierxvier
beschriebene
\definitionsverweis {Relation}{}{}
$R$ auf der Menge
\mathl{\{A,B,C,D\}}{}
\definitionsverweis {reflexiv}{}{,}
\definitionsverweis {symmetrisch}{}{,}
\definitionsverweis {transitiv}{}{,}
\definitionsverweis {antisymmetrisch}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Bestimme in $\Z$ mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den \definitionsverweis {größten gemeinsamen Teiler}{}{} von $10868$ und $9243$.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{1}
{
Finde die Primfaktorzerlegung von
\mathdisp {5 \cdot 41 + 6 \cdot 82 + 7 \cdot 123} { . }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U
}
{ \subseteq }{ K^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Untervektorraum}{}{.}
Wir betrachten die
\definitionsverweis {Relation}{}{}
auf dem $K^n$, die durch
\mathdisp {v_1 \sim v_2 \text{ genau dann, wenn } v_1 - v_2 \in U} { }
definiert ist. Zeige, dass diese Relation eine
\definitionsverweis {Äquivalenzrelation}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Zeige, dass es keinen \definitionsverweis {Ringhomomorphismus}{}{} von $\Q$ nach $\Z$ gibt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Bestimme die
\definitionsverweis {erzeugende Funktion}{}{}
zur Folge der Quadratzahlen
\mathbed {n^2} {}
{n \in \N} {}
{} {} {} {.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{0}
{
}
{} {}
\inputaufgabe
{0}
{
}
{} {}
\inputaufgabe
{0}
{
}
{} {}
\inputaufgabe
{0}
{
}
{} {}
\inputaufgabe
{0}
{
}
{} {}