Kurs:Diskrete Mathematik/8/Klausur/latex
%Daten zur Institution
%\input{Dozentdaten}
%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}
%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }
%Klausurdaten
\renewcommand{\klausurgebiet}{ }
\renewcommand{\klausurtyp}{ }
\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}
\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}
%Daten für folgende Punktetabelle
\renewcommand{\aeins}{ 3 }
\renewcommand{\azwei}{ 3 }
\renewcommand{\adrei}{ 5 }
\renewcommand{\avier}{ 8 }
\renewcommand{\afuenf}{ 5 }
\renewcommand{\asechs}{ 6 }
\renewcommand{\asieben}{ 2 }
\renewcommand{\aacht}{ 1 }
\renewcommand{\aneun}{ 7 }
\renewcommand{\azehn}{ 6 }
\renewcommand{\aelf}{ 0 }
\renewcommand{\azwoelf}{ 0 }
\renewcommand{\adreizehn}{ 0 }
\renewcommand{\avierzehn}{ 0 }
\renewcommand{\afuenfzehn}{ 0 }
\renewcommand{\asechzehn}{ 0 }
\renewcommand{\asiebzehn}{ 0 }
\renewcommand{\aachtzehn}{ 0 }
\renewcommand{\aneunzehn}{ 7 }
\renewcommand{\azwanzig}{ 53 }
\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }
\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }
\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }
\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }
\punktetabelleneunzehn
\klausurnote
\newpage
\setcounter{section}{0}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Definiere die folgenden
\zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe.
\aufzaehlungsechs{Ein \stichwort {inverses Element} {} zu einem Element
\mathl{x \in M}{} bezüglich einer
\definitionsverweis {Verknüpfung}{}{}
\maabbeledisp {\circ} {M \times M} {M
} {(x,y)} {x \circ y
} {,}
mit einem
\definitionsverweis {neutralen Element}{}{}
\mathl{e \in M}{.}
}{Eine \stichwort {lineare} {} (oder \stichwort {totale} {}) Ordnung $\preccurlyeq$ auf einer Menge $I$.
}{Ein \stichwort {distributiver} {} \definitionsverweis {Verband}{}{} $M$.
}{Ein \stichwort {ungerichteter Graph} {} auf einer Menge $V$.
}{Eine \stichwort {Basis} {} in einem \definitionsverweis {Matroid}{}{} ${\mathcal M }$.
}{Ein
\stichwort {alternierender} {}
Weg bezüglich einer
\definitionsverweis {Paarung}{}{}
$P$ eines
\definitionsverweis {Graphen}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ G
}
{ = }{ (V,E)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungdrei{Der Satz über die Anzahl von Abbildungen zwischen endlichen Mengen.}{Der Satz über die Nichtnullteilereigenschaft in einem Körper $K$.}{Der Charakterisierungssatz für eulersche Graphen.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{5}
{
Es sei $G$ eine Menge, die als
\definitionsverweis {disjunkte Vereinigung}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ G
}
{ =} { A \uplus B
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gegeben ist. Definiere eine Bijektion zwischen der
\definitionsverweis {Potenzmenge}{}{}
\mathl{\mathfrak {P} \, ( G )}{} und der
\definitionsverweis {Produktmenge}{}{}
\mathl{\mathfrak {P} \, (A ) \times \mathfrak {P} \, (B )}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{8 (1+1+1+3+2)}
{
Zur großen Pause fährt der Eiswagen \anfuehrung{Largo Maggiore}{} auf den Pausenhof. Eisverkäufer Lorenzo di Napoli bietet $10$ Eissorten an. Lucy Sonnenschein hat heute Lust auf ein Eis mit drei Kugeln, die in der Eistüte übereinander gestapelt werden. \aufzaehlungfuenf{Wie viele Möglichkeiten gibt es für diesen Eiskauf, wenn Lucy drei verschiedene Sorten möchte und die Schleckreihenfolge mitberücksichtigt wird? }{Wie viele Möglichkeiten gibt es für diesen Eiskauf, wenn Lucy drei verschiedene Sorten möchte und die Schleckreihenfolge nicht mitberücksichtigt wird? }{Wie viele Möglichkeiten gibt es für diesen Eiskauf, wenn Sorten mehrfach auftreten dürfen und die Schleckreihenfolge mitberücksichtigt wird? }{Wie viele Möglichkeiten gibt es für diesen Eiskauf, wenn Sorten mehrfach auftreten dürfen und die Schleckreihenfolge nicht mitberücksichtigt wird? }{Wie kann man mit den Schritten mit denen man (4) beantwortet hat die Antworten zu (1) und zu (3) herleiten? }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{5}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ \in }{ K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein beliebiges Element. Bestimme, welche Potenzen $a^n$ man
\zusatzklammer {ausgehend von $a$ und bei optimaler Verwertung von Zwischenschritten} {} {}
mit einer, zwei, drei oder vier Multiplikationen erhalten kann.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{6 (1+1+4)}
{
\aufzaehlungdrei{Skizziere vier Geraden im Raum mit der Eigenschaft, dass es insgesamt zwei Schnittpunkte gibt. }{Skizziere vier Geraden in der Ebene mit der Eigenschaft, dass es insgesamt drei Schnittpunkte gibt. }{Zeige, dass es in der Ebene nicht vier Geraden geben kann, die insgesamt zwei Schnittpunkte besitzen. }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Beweise den Satz über das inverse Element in einer Gruppe
\mathl{(G, \circ ,e)}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{1}
{
Bestimme die
\definitionsverweis {Primfaktorzerlegung}{}{}
von
\mathdisp {\binom { 15 } { 5 }} { . }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{7}
{
Es stehen zwei Eimer ohne Markierungen zur Verfügung, ferner eine Wasserquelle. Der eine Eimer hat ein Fassungsvermögen von $a$ und der andere ein Fassungsvermögen von $b$ Litern, wobei \mathkor {} {a} {und} {b} {} \definitionsverweis {teilerfremd}{}{} seien. Zeige, dass man allein durch Auffüllungen, Ausleerungen und Umschüttungen erreichen kann, dass in einem Eimer genau ein Liter Wasser enthalten ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{6}
{
Beweise den Satz über die atomare Darstellung in einem booleschen Verband.
}
{} {}
\inputaufgabe
{0}
{
}
{} {}
\inputaufgabe
{0}
{
}
{} {}
\inputaufgabe
{0}
{
}
{} {}
\inputaufgabe
{0}
{
}
{} {}
\inputaufgabe
{0}
{
}
{} {}
\inputaufgabe
{0}
{
}
{} {}
\inputaufgabe
{0}
{
}
{} {}
\inputaufgabe
{0}
{
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{7}
{
Beweise die eulersche Polyederformel.
}
{} {}