Kurs:Diskrete Mathematik (Osnabrück 2026)/Vorlesung 5

Gruppen

Wir besprechen Gruppen. Mit dieser Struktur kann man viele strukturelle Gemeinsamkeiten zwischen der Menge der bijektiven Abbildungen auf einer Menge oder der Addition in einem kommutativen Ring wie ${}\mathbb {Z}$ oder der Multiplikation in einem Körper, wenn man die ${}0$ herausnimmt (wie in ${}\mathbb {Q} \setminus \{0\}$ oder in ${}\mathbb {R} \setminus \{0\}$), erfassen.

Definition

Eine Menge ${}G$ mit einem ausgezeichneten Element  ${}e\in G$  und mit einer Verknüpfung

$G\times G\longrightarrow G,\,(g,h)\longmapsto g\circ h,$

heißt Gruppe, wenn folgende Eigenschaften erfüllt sind.

1. Die Verknüpfung ist assoziativ, d.h. für alle  ${}f,g,h\in G$  gilt

   ${}(f\circ g)\circ h=f\circ (g\circ h)\,.$

2. Das Element ${}e$ ist ein neutrales Element, d.h. für alle  ${}g\in G$  gilt

   ${}g\circ e=g=e\circ g\,.$

3. Zu jedem  ${}g\in G$  gibt es ein inverses Element, d.h. es gibt ein  ${}h\in G$  mit

   ${}h\circ g=g\circ h=e\,.$

Eine Gruppe ist also ein Monoid, in dem jedes Element ein inverses Element besitzt.

Definition

Eine Gruppe ${}(G,e,\circ )$ heißt kommutativ (oder abelsch), wenn die Verknüpfung kommutativ ist, wenn also  ${}x\circ y=y\circ x$  für alle  ${}x,y\in G$  gilt.

Lemma

Es sei ${}(G,e,\circ )$ eine Gruppe.

Dann ist zu jedem  ${}x\in G$  das Element  ${}y\in G$  mit

${}x\circ y=y\circ x=e\,$

eindeutig bestimmt.

Beweis

Es sei

${}x\circ y=y\circ x=e\,$

und

${}x\circ z=z\circ x=e\,.$

Dann ist

${}y=y\circ e=y\circ (x\circ z)=(y\circ x)\circ z=e\circ z=z\,.$

$\Box$

Allgemeiner gilt in Gruppen die eindeutige Lösbarkeit von mit der Verknüpfung formulierten Gleichungen.

Lemma

Es sei ${}(G,e,\circ )$ eine Gruppe.

Dann besitzen zu je zwei Gruppenelementen  ${}a,b\in G$  die beiden Gleichungen

$a\circ x=b{\text{ und }}y\circ a=b$

eindeutige Lösungen  ${}x,y\in G$. 

Beweis

Wir betrachten die linke Gleichung. Aus beidseitiger Multiplikation mit ${}a^{-1}$ von links folgt, dass nur

${}x=a^{-1}\circ b\,$

als Lösung in Frage kommt. Wenn man dies einsetzt, so sieht man, dass es sich in der Tat um eine Lösung handelt.

$\Box$

In einer (multiplikativ geschriebenen) Gruppe kann man Potenzen allgemeiner als in einem Monoid definieren, nämlich auch für negative ganze Zahlen im Exponenten. Wie in jedem Monoid bezeichnet zu  ${}a\in G$  und  ${}n\in \mathbb {N}$  der Ausdruck ${}a^{n}$ das ${}n$-fache Produkt von ${}a$ mit sich selbst, was  ${}a^{0}=1$  einschließt. Die Schreibweise ${}a^{-1}$ für das inverse Element zu ${}a$ reiht sich in die neue Potenzschreibweise ein. Für eine negative ganze Zahl ${}n$ mit  ${}n=-k$  und  ${}k\in \mathbb {N} _{+}$  setzt man

${}a^{n}:={\left(a^{-1}\right)}^{k}\,.$

Dass dies die richtige Definition ist, zeigt sich darin, dass sich die Potenzgesetze aus Lemma 4.8 in die neue Situation übertragen.

Lemma

Es sei ${}(G,1,\cdot )$ eine Gruppe und seien  ${}a,b\in G$.  Dann gelten die folgenden Potenzgesetze für  ${}m,n\in \mathbb {Z}$. 

1. Es ist

   ${}{\left(a^{-1}\right)}^{-1}=a\,.$

2. Es ist  ${}a^{-n}={\left(a^{-1}\right)}^{n}$  das inverse Element zu ${}a^{n}$.

3. ${}a^{m+n}=a^{m}\cdot a^{n}\,.$

4. ${}(a^{m})^{n}=a^{mn}\,.$

Beweis

(1) folgt aus Aufgabe 5.1. (2). Bei  ${}n\in \mathbb {N}$  ist die Gleichheit eine Definition. Die Behauptung folgt aus

${}{\left(a^{-1}\right)}^{n}\cdot a^{n}={\left(a^{-1}a\right)}^{n}=1^{n}=1\,.$

Daraus folgt die Aussage für negatives ${}n$, sagen wir  ${}n=-k$  mit  ${}k\in \mathbb {N}$,  aus

${}a^{-n}=a^{k}={\left({\left(a^{-1}\right)}^{-1}\right)}^{k}={\left(a^{-1}\right)}^{-k}={\left(a^{-1}\right)}^{n}\,.$

Für (3), (4) siehe Aufgabe 5.8.

$\Box$

In einer kommutativen Gruppe gilt für  ${}a,b\in G$  und  ${}n\in \mathbb {Z}$  wieder die Gleichheit

${}(ab)^{n}=a^{n}b^{n}\,,$

siehe Aufgabe 5.9.

Definition

Es sei ${}(G,e,\circ )$ eine Gruppe. Eine Teilmenge  ${}H\subseteq G$  heißt Untergruppe von ${}G$ wenn folgendes gilt.

1.  ${}e\in H$. 
2. Mit  ${}g,h\in H$  ist auch  ${}g\circ h\in H$. 
3. Mit  ${}g\in H$  ist auch  ${}g^{-1}\in H$. 

In einer Untergruppe kann man also die Verknüpfung der Gruppe ausführen, man kann das Inverse nehmen und das neutrale Element gehört dazu. In additiver Schreibweise bedeuten die Bedingungen einfach

1.  ${}0\in H$. 
2. Mit  ${}g,h\in H$  ist auch  ${}g+h\in H$. 
3. Mit  ${}g\in H$  ist auch das Negative  ${}-g\in H$. 

Beispielsweise bilden alle Vielfachen der ${}5$ innerhalb der ganzen Zahlen eine Untergruppe, die wir mit ${}\mathbb {Z} 5$ bezeichnen. Es ist ja

${}0=0\cdot 5\,,$

wenn  ${}g=5\cdot a$  und  ${}h=5\cdot b$  sind, so ist

${}h+g=5\cdot (a+b)\,$

nach dem Distributivgesetz und mit  ${}g=5\cdot a$  ist  ${}-g=5\cdot (-a)$.  Wir werden in Satz 8.4 sehen, dass jede Untergruppe von ${}\mathbb {Z}$ diese Bauart hat.

Kommutative Ringe

Definition

Ein Halbring ${}(R,0,1,+,\cdot )$ heißt ein Ring, wenn es zu jedem  ${}a\in R$  ein Element  ${}b\in R$  mit  ${}a+b=0$  gibt.

Definition

Ein Ring ${}R$ heißt kommutativ, wenn die Multiplikation kommutativ ist.

Ein kommutativer Ring ist insbesondere ein kommutativer Halbring, alle für kommutative Halbringe geltenden Eigenschaften wie beispielsweise die allgemeine binomische Formel gelten insbesondere auch für kommutative Ringe. Der wesentliche Unterschied liegt in der zusätzlichen Existenz des Negativen. Dies bedeutet, dass in einem Ring das additive Monoid ${}(R,+,0)$ eine (kommutative) Gruppe ist. Dieses Negative ist nach Lemma 5.3 eindeutig bestimmt. Für das zu jedem  ${}a\in R$  eindeutig bestimmte Negative schreiben wir ${}-a$. Wegen

${}a+(-a)=0\,$

ist ${}a$ auch das Negative zu ${}-a$, also  ${}-(-a)=a$. 

Mit diesem Begriff können wir festhalten.

Satz

Die ganzen Zahlen ${}(\mathbb {Z} ,0,1,+,\cdot )$

bilden einen kommutativen Ring.

Beispiel

Die einelementige Menge  ${}R=\{0\}$  kann man zu einem Ring machen, indem man sowohl die Addition als auch die Multiplikation auf die einzig mögliche Weise erklärt, nämlich durch ${}0+0=0$ und ${}0\cdot 0=0$. In diesem Fall ist  ${}1=0$,  dies ist also ausdrücklich erlaubt. Diesen Ring nennt man den Nullring.

Einen weiteren endlichen Ring (und zwar einen Körper) haben wir bereits in Beispiel 4.12 kennengelernt. In der zwölften Vorlesung werden wir einer Vielzahl von weiteren endlichen Ringen begegnen.

Für Elemente  ${}a,b\in R$  in einem kommutativen Ring ${}R$ verwendet man

${}a-b=a+(-b)\,$

als abkürzende Schreibweise. Man spricht von der Subtraktion bzw. der Differenz. Die Subtraktion ${}a-b$ ist also die Addition von ${}a$ mit dem Negativen (also ${}-b$) von ${}b$.

Lemma

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und seien ${}a,b,c$ Elemente aus ${}R$.

Dann gelten folgende Aussagen.

1. ${}0a=0\,$

   (Annullationsregel),

2. ${}a(-b)=-(ab)=(-a)b\,,$

3. ${}(-a)(-b)=ab\,$

   (Vorzeichenregel),

4. ${}a(b-c)=ab-ac\,.$

Beweis

1. Es ist  ${}a0=a(0+0)=a0+a0$.  Durch beidseitiges Abziehen (also Addition mit $-a0$) von ${}a0$ ergibt sich die Behauptung.

2. ${}(-a)b+ab=(-a+a)b=0b=0\,$

   nach Teil (1). Daher ist ${}(-a)b$ das (eindeutig bestimmte) Negative von ${}ab$.

3. Nach (2) ist  ${}(-a)(-b)=(-(-a))b$  und wegen  ${}-(-a)=a$  folgt die Behauptung.
4. Dies folgt auch aus dem bisher Bewiesenen.

$\Box$

Wie in jedem kommutativen Halbring kann man in jedem kommutativen Ring ${}R$ Ausdrücke der Form ${}nx$ mit  ${}n\in \mathbb {N}$  und  ${}x\in R$  sinnvoll interpretieren, und zwar ist ${}nx$ die ${}n$-fache Summe von ${}x$ mit sich selbst. Auch die Potenzschreibweise ${}x^{n}$ wird wieder verwendet und es gelten insbesondere die in Lemma 4.8 formulierten Potenzgesetze. Darüber hinaus kann man auch für negative Zahlen ${}-n$ den Ausdruck ${}(-n)x$ interpretieren, nämlich als

${}(-n)x=n(-x)=\underbrace {(-x)+\cdots +(-x)} _{n{\text{-mal}}}\,.$

Insbesondere ist

${}-n=(-n)\cdot 1=n\cdot (-1)=\underbrace {(-1)+\cdots +(-1)} _{n{\text{-mal}}}\,$

in jedem kommutativen Ring sinnvoll interpretierbar. Dabei gelten naheliegende Rechengesetze, siehe Aufgabe 5.25.

Körper

Definition

Ein kommutativer Ring ${}R$ heißt Körper, wenn  ${}R\neq 0$  ist und wenn jedes von ${}0$ verschiedene Element ein multiplikatives Inverses besitzt.

Ein Körper ist also insbesondere ein kommutativer Ring. Jede Eigenschaft, die in einem kommutativen Ring gilt, gilt auch in einem Körper (aber nicht umgekehrt).

Die wichtigsten Körper sind für uns der Körper der rationalen Zahlen, der Körper der reellen Zahlen und der Körper der komplexen Zahlen. Der Körper mit zwei Elementen wurde in Beispiel 4.12 besprochen. Wir werden weitere endliche Körper in der zwölften Vorlesung konstruieren. Zu einem Element  ${}x\in K$  bezeichnet man, wie in jedem kommutativen Ring, dasjenige Element, das mit ${}x$ addiert die ${}0$ ergibt, als das Negative von ${}x$, geschrieben ${}-x$. Zu einem Element ${}x\in K$, ${}x\neq 0$, bezeichnet man dasjenige Element, das mit ${}x$ multipliziert die ${}1$ ergibt, als das Inverse von ${}x$ (oder den Kehrwert von ${}x$ oder die zu ${}x$ reziproke Zahl), geschrieben ${}x^{-1}$. Auch dieses ist eindeutig bestimmt.

Bemerkung  

In einem Körper ${}K$ wird für beliebige Elemente ${}x,y\in K$ mit ${}y\neq 0$, die Bruchschreibweise

${}{\frac {x}{y}}:=x\cdot y^{-1}\,$

verwendet. Es handelt sich also um eine Abkürzung für das Produkt von ${}x$ mit dem inversen Element von ${}y$. Die Zahl ${}{\frac {x}{y}}$ ist das eindeutig bestimmte Element, das mit ${}y$ multipliziert das Element ${}x$ ergibt. Diese Schreibweise passt mit der Bruchschreibweise für rationale Zahlen zusammen, da ja

${}{\frac {a}{b}}\cdot b={\frac {a}{b}}\cdot {\frac {b}{1}}={\frac {ab}{b}}=a\,$

ist.

Die Berechnung von

${}{\frac {x}{y}}=x:y\,$

nennt man Division, wobei ${}x$ der Dividend und ${}y$ der Divisor der Division heißt, das Ergebnis heißt Quotient.

Bemerkung  

In einem Körper ${}K$ ist wie in jedem kommutativen Ring die additive Struktur ${}(K,0,+)$ eine kommutative Gruppe. Insbesondere besitzt in jedem Körper eine Gleichung der Form

${}a+x=b\,$

mit  ${}a,b\in K$  eine eindeutige Lösung, nämlich

${}b-a=b+(-a)\,,$

wie sich direkt aus Lemma 5.4 ergibt. Darüber hinaus ist zu jedem Körper ${}K$ die multiplikative Struktur, wenn man die ${}0$ herausnimmt, also ${}(K\setminus \{0\},\cdot ,1)$ eine kommutative Gruppe. Dies bedeutet wiederum, dass eine Gleichung der Form

${}c\cdot x=d\,$

mit  ${}c,d\neq 0$  eine eindeutige Lösung in ${}K$ besitzt, nämlich

${}dc^{-1}={\frac {d}{c}}\,.$

Die folgende Eigenschaft heißt die Nichtnullteilereigenschaft eines Körpers. Sie gilt auch für ${}\mathbb {Z}$, im Allgemeinen aber nicht für jeden kommutativen Ring, siehe Aufgabe 5.29.

Lemma

Es sei ${}K$ ein Körper. Aus  ${}a\cdot b=0$ 

folgt  ${}a=0$  oder  ${}b=0$. 

Beweis

Siehe Aufgabe 5.30.

$\Box$

In einem Körper ${}K$ kann man die Potenzschreibweise erweitern, da ja ${}K\setminus \{0\}$ eine Gruppe ist und man daher zu ${}x\in K$, ${}x\neq 0$ und  ${}n\in \mathbb {Z}$  der Ausdruck ${}x^{n}$ wohldefiniert ist. Wie bei jeder Gruppe ist zu einer natürlichen Zahl  ${}n\in \mathbb {N}$  ${}x^{n}$ das ${}n$-fache Produkt von ${}x$ mit sich selbst (${}n$ Faktoren), was den Fall  ${}x^{0}=1$  miteinschließt. Für negatives  ${}n\in \mathbb {Z} _{-}$  schreibt man  ${}n=-k$  mit  ${}k\in \mathbb {N} _{+}$  und setzt

${}x^{n}:={\left(x^{-1}\right)}^{k}={\left(x^{-1}\right)}^{-n}={\left(x^{-n}\right)}^{-1}\,.$

Für diese Potenzen gelten insbesondere die in Lemma 5.5 formulierten Potenzgesetze, die die Potenzgesetze für positive Exponenten (siehe Lemma 4.8), die in jedem kommutativen Halbring gelten, wesentlich erweitern.

Polynomring

Definition

Der Polynomring über einem kommutativen Ring ${}R$ besteht aus allen Polynomen

$P=a_{0}+a_{1}X+a_{2}X^{2}+\cdots +a_{n}X^{n}$

mit ${}a_{i}\in R,\,i=0,\ldots ,n,\,n\in \mathbb {N}$,

und mit komponentenweiser Addition und einer Multiplikation, die durch distributive Fortsetzung der Regel

${}X^{n}\cdot X^{m}:=X^{n+m}\,$

definiert ist.

Ein Polynom

${}P=\sum _{i=0}^{n}a_{i}X^{i}=a_{0}+a_{1}X+a_{2}X^{2}+\cdots +a_{n}X^{n}\,$

ist formal gesehen nichts anderes als das Tupel ${}(a_{0},a_{1},\ldots ,a_{n})$, die die Koeffizienten des Polynoms heißen. Der Ring ${}R$ heißt in diesem Zusammenhang der Grundring des Polynomrings. Aufgrund der komponentenweisen Definition der Addition liegt unmittelbar eine Gruppe vor, mit dem Nullpolynom (bei dem alle Koeffizienten null sind) als neutralem Element. Zwei Polynome sind genau dann gleich, wenn sie in allen ihren Koeffizienten übereinstimmen. Die Polynome mit  ${}a_{i}=0$  für alle  ${}i\geq 1$  heißen konstante Polynome, man schreibt sie einfach als ${}a_{0}$. Ein von ${}0$ verschiedenes Polynom kann man als ${}\sum _{i=0}^{n}a_{i}X^{i}$ mit  ${}a_{n}\neq 0$  schreiben. Der Koeffizient ${}a_{n}$ heißt dann der Leitkoeffizient des Polynoms und ${}n$ heißt der Grad des Polynoms.

Die für ein einfaches Tupel zunächst ungewöhnliche Schreibweise deutet in suggestiver Weise an, wie die Multiplikation aussehen soll, das Produkt ${}X^{i}X^{j}$ ist nämlich durch die Addition der Exponenten gegeben. Dabei nennt man ${}X$ die Variable des Polynomrings. Für beliebige Polynome ergibt sich die Multiplikation aus dieser einfachen Multiplikationsbedingung durch distributive Fortsetzung gemäß der Vorschrift, „alles mit allem“ zu multiplizieren. Die Multiplikation ist also explizit durch folgende Regel gegeben:

${\left(\sum _{i=0}^{n}a_{i}X^{i}\right)}\cdot {\left(\sum _{j=0}^{m}b_{j}X^{j}\right)}=\sum _{k=0}^{n+m}c_{k}X^{k}{\text{ mit }}c_{k}=\sum _{r=0}^{k}a_{r}b_{k-r}.$

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