Kurs:Einführung in die Algebra (Osnabrück 2009)/Liste der Hauptsätze

???: Lösbarkeit von Gleichungen

Es sei ${}(G,e,\circ )$ eine Gruppe.

Dann besitzen zu je zwei Gruppenelementen ${}a,b\in G$ die beiden Gleichungen

$a\circ x=b{\text{ und }}y\circ a=b$

eindeutige Lösungen ${}x,y\in G$.

 

???: Elementordnung in endlicher Gruppe

Es sei ${}G$ eine endliche Gruppe.

Dann besitzt jedes Element ${}g\in G$ eine endliche Ordnung.

Die Potenzen

$g^{0}=e_{G},\,g^{1}=g,\,g^{2},\ldots ,g^{\operatorname {ord} \,(g)-1}$

sind alle verschieden.

 

???: Durchschnitt von Untergruppen

Es sei ${}G$ eine Gruppe und ${}H_{i}\subseteq G$, ${}i\in I$, eine Familie von Untergruppen. Dann ist auch der Durchschnitt

$\bigcap _{i\in I}H_{i}$

eine Untergruppe von ${}G$.

 

???: Division mit Rest (${}\mathbb {Z}$)

Es sei ${}d$ eine fixierte positive natürliche Zahl.

Dann gibt es zu jeder ganzen Zahl ${}n$ eine eindeutig bestimmte ganze Zahl ${}q$ und eine eindeutig bestimmte natürliche Zahl ${}r$, ${}0\leq r\leq d-1$, mit

${}n=qd+r\,.$

 

???: Untergruppen von ${}\mathbb {Z}$

Die Untergruppen von ${}\mathbb {Z}$ sind genau

die Teilmengen der Form

${}\mathbb {Z} d={\left\{kd\mid k\in \mathbb {Z} \right\}}\,$

mit einer eindeutig bestimmten nichtnegativen Zahl ${}d$.

 

???: Untergruppen von zyklischen Gruppen

Es sei ${}G$ eine zyklische Gruppe.

Dann ist auch jede Untergruppe von ${}G$ zyklisch.

 

???: Ordnung und Gruppenordnung in zyklischer Gruppe

Es sei ${}G$ eine endliche zyklische Gruppe und ${}x\in G$ ein Element.

Dann teilt die Ordnung ${}\operatorname {ord} \,(x)$ die Gruppenordnung ${}\operatorname {ord} \,(G)$.

 

???: Untergruppen von ${}\mathbb {Z}$ und größter gemeinsamer Teiler

Es seien ${}a_{1},\ldots ,a_{k}$ ganze Zahlen und ${}H=(a_{1},\ldots ,a_{k})={\left\{n_{1}a_{1}+n_{2}a_{2}+\cdots +n_{k}a_{k}\mid n_{j}\in \mathbb {Z} \right\}}$ die davon erzeugte Untergruppe.

Eine ganze Zahl ${}t$ ist ein gemeinsamer Teiler der ${}a_{1},\ldots ,a_{k}$ genau dann, wenn ${}H\subseteq \mathbb {Z} t$ ist, und ${}t$ ist ein größter gemeinsamer Teiler genau dann, wenn ${}H=\mathbb {Z} t$ ist.

 

???: Lemma von Bézout (${}\mathbb {Z}$)

Jede Menge von ganzen Zahlen ${}a_{1},\ldots ,a_{n}$

besitzt einen größten gemeinsamen Teiler ${}d$, und dieser lässt sich als Linearkombination der ${}a_{1},\ldots ,a_{n}$ darstellen, d.h. es gibt ganze Zahlen ${}r_{1},\ldots ,r_{n}$ mit

${}r_{1}a_{1}+r_{2}a_{2}+\cdots +r_{n}a_{n}=d\,.$

Insbesondere gibt es zu teilerfremden ganzen Zahlen ${}a_{1},\ldots ,a_{n}$ eine Darstellung der ${}1$.

 

???: Euklidischer Algorithmus (${}\mathbb {Z}$)

Es seien ganze Zahlen ${}r_{0}=a$ und ${}r_{1}=b\neq 0$ gegeben.

Dann besitzt die Folge ${}r_{i}$, ${}i=0,1,2,\ldots$, ${},$ der euklidischen Reste folgende Eigenschaften.

1. Es ist ${}r_{i+2}=0$ oder ${}r_{i+2}<r_{i+1}$.
2. Es gibt ein (minimales) ${}k\geq 2$ mit ${}r_{k}=0$.
3. Es ist

   ${}\operatorname {ggT} (r_{i-1},r_{i})=\operatorname {ggT} (r_{i},r_{i+1})\,$

   für alle ${}i=1,\ldots ,k$

4. Sei ${}k\geq 2$ der erste Index derart, dass ${}r_{k}=0$ ist. Dann ist

   ${}\operatorname {ggT} (a,b)=r_{k-1}\,.$

 

???: Untergruppen von ${}\mathbb {Z}$ und kleinstes gemeinsames Vielfaches

Zu einer Menge von ganzen Zahlen ${}a_{1},\ldots ,a_{n}$

existiert genau ein kleinstes gemeinsames Vielfaches ${}\geq 0$,

und zwar ist ${}\operatorname {kgV} \,(a_{1},\ldots ,a_{n})$ der eindeutig bestimmte Erzeuger ${}b\geq 0$ der Untergruppe

$\mathbb {Z} a_{1}\cap \ldots \cap \mathbb {Z} a_{n}.$

 

???: Inverses unter Gruppenhomomorphismus

Es seien ${}G$ und ${}H$ Gruppen und ${}\varphi \colon G\rightarrow H$ sei ein Gruppenhomomorphismus.

Dann ist ${}\varphi (e_{G})=e_{H}$ und ${}(\varphi (g))^{-1}=\varphi {\left(g^{-1}\right)}$ für jedes ${}g\in G$.

 

???: ${}\operatorname {Hom} \,(\mathbb {Z} ,G)$

Es sei ${}G$ eine Gruppe.

Dann entsprechen sich eindeutig Gruppenelemente ${}g\in G$ und Gruppenhomomorphismen ${}\varphi$ von ${}\mathbb {Z}$ nach ${}G$ über die Korrespondenz

$g\longmapsto (n\mapsto g^{n}){\text{ und }}\varphi \longmapsto \varphi (1).$

 

???: Umkehrabbildung eines Isomorphismus

Seien ${}G$ und ${}H$ Gruppen und sei

$\varphi \colon G\longrightarrow H$

ein Gruppenisomorphismus.

Dann ist auch die Umkehrabbildung

$\varphi ^{-1}\colon H\longrightarrow G,\,h\longmapsto \varphi ^{-1}(h),$

ein Gruppenisomorphismus.

 

???: Innerer Automorphismus

Ein innerer Automorphismus ist in der Tat

ein Automorphismus.

Die Zuordnung

$G\longrightarrow \operatorname {Aut} \,G,\,g\longmapsto \kappa _{g},$

ist ein Gruppenhomomorphismus.

 

???: Injektivität und Kern

Es seien ${}G$ und ${}H$ Gruppen.

Ein Gruppenhomomorphismus ${}\varphi :G\rightarrow H$ ist genau dann injektiv, wenn der Kern von ${}\varphi$ trivial ist.

 

???: Eigenschaften von Äquivalenzklassen

Es sei ${}M$ eine Menge und ${}\sim$ eine Äquivalenzrelation auf ${}M$ mit den Äquivalenzklassen ${}[x]$ und der Quotientenmenge ${}M/\sim$. Dann gelten folgende Aussagen.

1. Es ist ${}x\sim y$ genau dann, wenn ${}[x]=[y]$ ist, und dies gilt genau dann, wenn ${}[x]\cap [y]\neq \emptyset$.
2. ${}M=\bigcup _{[x]\in M/\sim }[x]$ ist eine disjunkte Vereinigung.
3. Die kanonische Projektion

   $q\colon M\longrightarrow M/\sim ,\,x\longmapsto [x],$

   ist surjektiv.

4. Es ist ${}q^{-1}([x])=[x]$.
5. Sei ${}\varphi \colon M\rightarrow W$ eine Abbildung mit ${}\varphi (x)=\varphi (y)$ für alle ${}x,y\in M$ mit ${}x\sim y$. Dann gibt es eine eindeutig bestimmte Abbildung ${}{\overline {\varphi }}\colon M/\sim \,\,\rightarrow W$ mit ${}\varphi ={\overline {\varphi }}\circ q$.

 

???: Satz von Lagrange

Es sei ${}G$ eine endliche Gruppe und ${}H\subseteq G$ eine Untergruppe von ${}G$.

Dann ist ihre Kardinalität ${}{\#\left(H\right)}$ ein Teiler von ${}{\#\left(G\right)}$.

 

???: Satz von Lagrange für ein Element

Es sei ${}G$ eine endliche Gruppe und sei ${}g\in G$ ein Element.

Dann teilt die Ordnung von ${}g$ die Gruppenordnung.

 

???: Kern ist ...

Es seien ${}G$ und ${}H$ Gruppen und sei

$\varphi \colon G\longrightarrow H$

ein Gruppenhomomorphismus.

Dann ist der Kern ${}\ker \varphi$ ein Normalteiler in ${}G$.

 

???: Restklassengruppe

Es sei ${}G$ eine Gruppe und ${}H\subseteq G$ ein Normalteiler. Es sei ${}G/H$ die Menge der Nebenklassen (die Quotientenmenge) und

$q\colon G\longrightarrow G/H,\,g\longmapsto [g],$

die kanonische Projektion.

Dann gibt es eine eindeutig bestimmte Gruppenstruktur auf ${}G/H$ derart, dass ${}q$ ein Gruppenhomomorphismus ist.

 

???: Der Satz vom induzierten Homomorphismus

Seien ${}G,Q$ und ${}H$ Gruppen, es sei ${}\varphi \colon G\rightarrow H$ ein Gruppenhomomorphismus und ${}\psi \colon G\rightarrow Q$ ein surjektiver Gruppenhomomorphismus. Es sei vorausgesetzt, dass

${}\operatorname {kern} \psi \subseteq \operatorname {kern} \varphi \,$

ist.

Dann gibt es einen eindeutig bestimmten Gruppenhomomorphismus

${\tilde {\varphi }}\colon Q\longrightarrow H$

derart, dass ${}\varphi ={\tilde {\varphi }}\circ \psi$ ist.

Mit anderen Worten: das Diagramm

${\begin{matrix}G&{\stackrel {\varphi }{\longrightarrow }}&H&\\\!\!\!\!\!\psi \downarrow &\nearrow {\tilde {\varphi }}\!\!\!\!\!&\\Q&&&&\!\!\!\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$

ist kommutativ.

 

???: Surjektiver Gruppenhomomorphismus und Restklassengruppe

Es seien ${}G$ und ${}H$ Gruppen und sei

$\varphi \colon G\longrightarrow H$

ein surjektiver Gruppenhomomorphismus.

Dann gibt es eine kanonische Isomorphie

${\tilde {\varphi }}\colon G/\operatorname {kern} \varphi \longrightarrow H.$

 

???: Faktorisierung für Gruppenhomomorphismen

Es seien ${}G$ und ${}H$ Gruppen und sei

$\varphi \colon G\longrightarrow H$

ein Gruppenhomomorphismus.

Dann gibt es eine kanonische Faktorisierung

$G{\stackrel {q}{\longrightarrow }}G/\operatorname {kern} \varphi {\stackrel {\theta }{\longrightarrow }}\operatorname {bild} \varphi {\stackrel {\iota }{\hookrightarrow }}H,$

wobei ${}q$ die kanonische Projektion, ${}\theta$ ein Gruppenisomorphismus und ${}\iota$ die kanonische Inklusion der Bildgruppe ist.

 

???: Isomorphiesatz für Restklassengruppen

Es sei ${}G$ eine Gruppe und ${}N\subseteq G$ ein Normalteiler mit der Restklassengruppe ${}Q=G/N$. Es sei ${}H\subseteq G$ ein weiterer Normalteiler in ${}G$, der ${}N$ umfasst.

Dann ist das Bild ${}{\overline {H}}$ von ${}H$ in ${}Q$ ein Normalteiler und es gilt die kanonische Isomorphie

${}G/H\cong Q/{\overline {H}}\,.$

 

???: Ordnung der Permutationsgruppe

Es sei ${}M$ eine endliche Menge mit ${}n$ Elementen.

Dann besitzt die Permutationsgruppe ${}\operatorname {Perm} \,(M)\cong S_{n}$ genau ${}n!$ Elemente.

 

???: Permutationen und Transpositionen

Jede Permutation auf einer endlichen Menge ${}M$

kann man als Produkt von Transpositionen schreiben.

 

???: Zyklendarstellung

Es sei ${}M$ eine endliche Menge und ${}\sigma$ eine Permutation auf ${}M$.

Dann gibt es eine Darstellung

${}\sigma =\sigma _{1}\cdots \sigma _{k}\,,$

wobei die ${}\sigma _{i}$ Zykel der Ordnung ${}\geq 2$ sind mit disjunkten Wirkungsbereichen.

Dabei ist die Darstellung bis auf die Reihenfolge eindeutig.

 

???: Signum

Die durch das Signum gegebene Zuordnung

$S_{n}\longrightarrow \{1,-1\},\,\pi \longmapsto \operatorname {sgn} (\pi ),$

ist ein Gruppenhomomorphismus.

 

???: Signum und Transpositionen

Es sei ${}M={\{1,\ldots ,n\}}$ und sei ${}\pi$ eine Permutation auf ${}M$. Es sei

${}\pi =\tau _{1}\cdots \tau _{r}\,$

als ein Produkt von ${}r$ Transpositionen geschrieben.

Dann gilt für das Signum die Darstellung

${}\operatorname {sgn} (\pi )=(-1)^{r}\,.$

 

???: Lemma von Cayley

Es sei ${}G$ eine Gruppe und ${}\operatorname {Perm} \,(G)$ die Gruppe der Bijektionen auf ${}G$.

Dann ist die Abbildung, die einem Gruppenelement die Linksmultiplikation zuordnet, also

$G\longrightarrow \operatorname {Perm} \,(G),\,g\longmapsto L_{g},$

ein injektiver Gruppenhomomorphismus.

 

???: Satz von Cayley

Jede Gruppe lässt sich als Untergruppe einer Permutationsgruppe realisieren. Jede endliche Gruppe lässt sich als Untergruppe einer endlichen Permutationsgruppe realisieren.

 

???: Eigentliche Isometrie in der Ebene

Sei

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2}$

eine eigentliche, lineare Isometrie.

Dann ist ${}\varphi$ eine Drehung,

und ihre Matrix hat bezüglich der Standardbasis die Gestalt

${}D(\theta )={\begin{pmatrix}\operatorname {cos} \,\theta &-\operatorname {sin} \,\theta \\\operatorname {sin} \,\theta &\operatorname {cos} \,\theta \end{pmatrix}}\,$

mit einem eindeutig bestimmten Drehwinkel ${}\theta \in [0,2\pi [$.

 

???: Endliche Untergruppen der ${}\operatorname {SO} _{2}$

Es sei ${}G\subseteq \operatorname {SO} _{2}$ eine endliche Untergruppe der linearen Bewegungsgruppe der reellen Ebene.

Dann ist ${}G$ eine zyklische Gruppe.

 

???: Eigentliche Isometrie im ${}\mathbb {R} ^{3}$ ist ...

Es sei

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ^{3}$

eine eigentliche Isometrie.

Dann ist ${}\varphi$ eine Drehung um eine feste Achse.

Das bedeutet, dass ${}\varphi$ in einer geeigneten Orthonormalbasis durch eine Matrix der Form

${\begin{pmatrix}1&0&0\\0&\operatorname {cos} \,\alpha &-\operatorname {sin} \,\alpha \\0&\operatorname {sin} \,\alpha &\operatorname {cos} \,\alpha \end{pmatrix}}$

beschrieben wird.

 

???: Isotropiegruppen von äquivalenten Halbachsen

Es sei ${}G\subseteq \operatorname {SO} _{3}\,(\mathbb {R} )$ eine endliche Untergruppe der Gruppe der eigentlichen, linearen Isometrien des ${}\mathbb {R} ^{3}$. Zu einer Halbachse ${}H$ von ${}G$ sei

${}G_{H}={\left\{g\in G\mid g(H)=H\right\}}\,.$

Dann sind für zwei äquivalente Halbachsen ${}H_{1}$ und ${}H_{2}$ die Gruppen ${}G_{H_{1}}$ und ${}G_{H_{2}}$ isomorph.

Insbesondere besitzen sie die gleiche Ordnung.

 

???: Numerische Bedingung für endliche Symmetriegruppen

Es sei ${}G\subseteq \operatorname {SO} _{3}\,(\mathbb {R} )$ eine endliche Untergruppe der Ordnung ${}n$ in der Gruppe der eigentlichen, linearen Isometrien des ${}\mathbb {R} ^{3}$. Es seien ${}K_{1},\ldots ,K_{m}$ die verschiedenen Halbachsenklassen zu ${}G$, und zu jeder dieser Klassen sei ${}n_{i}$, ${}i=1,\ldots ,m$, die Ordnung der Gruppe ${}G_{H}$, ${}H\in K_{i}$, die nach Fakt ***** unabhängig von ${}H\in K_{i}$ ist.

Dann ist

$2{\left(1-{\frac {1}{n}}\right)}=\sum _{i=1}^{m}{\left(1-{\frac {1}{n_{i}}}\right)}$

 

???: Lösungen für Platongleichung

Die numerische Gleichung

$2{\left(1-{\frac {1}{n}}\right)}=\sum _{i=1}^{m}{\left(1-{\frac {1}{n_{i}}}\right)}$

mit

${}n\geq 2,\,m\in \mathbb {N}$ und mit ${}2\leq n_{1}\leq n_{2}\leq \ldots \leq n_{m}\leq n$ besitzt folgende ganzzahlige Lösungen.

1. ${}m=2$ und ${}n=n_{1}=n_{2}$.
2. Bei ${}m=3$ gibt es die Möglichkeiten
   1. ${}n_{1}=n_{2}=2$ und ${}n=2n_{3}$,
   2. ${}n_{1}=2$, ${}n_{2}=n_{3}=3$ und ${}n=12$,
   3. ${}n_{1}=2$, ${}n_{2}=3$, ${}n_{3}=4$, und ${}n=24$,
   4. ${}n_{1}=2$, ${}n_{2}=3$, ${}n_{3}=5$, und ${}n=60$.

 

???: Permutation der Halbachsen

Es sei ${}G\subseteq \operatorname {SO} _{3}\,(\mathbb {R} )$ eine endliche Untergruppe der Gruppe der eigentlichen, linearen Isometrien des ${}\mathbb {R} ^{3}$ mit einer fixierten Halbachsenklasse ${}K$.

Dann ist die Abbildung

$G\longrightarrow \operatorname {Perm} \,(K),\,g\longmapsto \sigma _{g}:H\mapsto g(H),$

ein Gruppenhomomorphismus.

 

???: Hauptsatz über endliche Symmetriegruppen im Raum

Es sei ${}G\subseteq \operatorname {SO} _{3}\,(\mathbb {R} )$ eine endliche Untergruppe der Gruppe der eigentlichen, linearen Isometrien des ${}\mathbb {R} ^{3}$.

Dann ist ${}G$ eine der folgenden Gruppen.

1. Eine zyklische Gruppe ${}\mathbb {Z} /(n)$, ${}n\geq 1$,
2. Eine Diedergruppe ${}D_{k}$, ${}k\geq 2$,
3. Die Tetraedergruppe ${}A_{4}$,
4. Die Würfelgruppe ${}S_{4}$,
5. Die Ikosaedergruppe ${}A_{5}$.

 

???: Binomischer Lehrsatz

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}a,b\in R$. Ferner sei ${}n$ eine natürliche Zahl.

Dann gilt

$(a+b)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}a^{k}b^{n-k}.$

 

???: Kürzungsregel für Nichtnullteiler

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und sei ${}f\in R$ ein Nichtnullteiler.

Dann folgt aus einer Gleichung

${}fx=fy\,,$

dass ${}x=y$ sein muss.

 

???: Ringhomomorphismen von ${}\mathbb {Z}$ nach ${}R$

Es sei ${}R$ ein Ring.

Dann gibt es einen eindeutig bestimmten Ringhomomorphismus

$\mathbb {Z} \longrightarrow R.$

 

???: Charakteristik eines Integritätsbereiches

Sei ${}R$ ein Integritätsbereich.

Dann ist die Charakteristik von ${}R$ null oder eine Primzahl.

 

???: Ringhomomorphismus nach Endomorphismenring

Es sei ${}R$ ein Ring und sei ${}\operatorname {End} (R)$ der Endomorphismenring der additiven Gruppe ${}(R,+,0)$.

Dann gibt es einen kanonischen injektiven Ringhomomorphismus

$R\longrightarrow \operatorname {End} (R),\,f\longmapsto (g\mapsto fg).$

 

???: Ideale in einem Körper

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring.

Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

1. ${}R$ ist ein Körper.
2. Es gibt in ${}R$ genau zwei Ideale.

 

???: Kern eines Ringhomomorphismus

Es seien ${}R$ und ${}S$ kommutative Ringe und sei

$\varphi \colon R\longrightarrow S$

ein Ringhomomorphismus. Dann ist der Kern

${}\operatorname {kern} \varphi ={\left\{f\in R\mid \varphi (f)=0\right\}}\,$

ein Ideal in ${}R$.

 

???: Homomorphiesatz für Ringe

Es seien ${}R,S$ und ${}T$ kommutative Ringe, es sei ${}\varphi \colon R\rightarrow S$ ein Ringhomomorphismus und ${}\psi \colon R\rightarrow T$ ein surjektiver Ringhomomorphismus. Es sei vorausgesetzt, dass

${}\operatorname {kern} \psi \subseteq \operatorname {kern} \varphi \,$

ist.

Dann gibt es einen eindeutig bestimmten Ringhomomorphismus

${\tilde {\varphi }}\colon T\longrightarrow S$

derart, dass ${}\varphi ={\tilde {\varphi }}\circ \psi$ ist.

Mit anderen Worten: das Diagramm

${\begin{matrix}R&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&T&\\&\searrow &\downarrow &\\&&S&\!\!\!\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$

ist kommutativ.

 

???: Restklassenring und surjektiver Ringhomomorphismus

Es seien ${}R$ und ${}S$ kommutative Ringe und es sei

$\varphi \colon R\longrightarrow S$

ein surjektiver Ringhomomorphismus.

Dann gibt es eine kanonische Isomorphie von Ringen

${\tilde {\varphi }}\colon R/\operatorname {kern} \varphi \longrightarrow S.$

 

???: Faktorisierung für Ringhomomorphismen

Es seien ${}R$ und ${}S$ kommutative Ringe und es sei

$\varphi \colon R\longrightarrow S$

ein Ringhomomorphismus.

Dann gibt es eine kanonische Faktorisierung

$R{\stackrel {q}{\longrightarrow }}R/\operatorname {kern} \varphi {\stackrel {\theta }{\longrightarrow }}\operatorname {bild} \varphi {\stackrel {\iota }{\hookrightarrow }}S,$

wobei ${}q$ die kanonische Projektion, ${}\theta$ ein Ringisomorphismus und ${}\iota$ die kanonische Inklusion des Bildes ist.

 

???: Isomorphiesatz für Restklassenringe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}I\subseteq R$ ein Ideal in ${}R$ mit dem Restklassenring ${}S=R/I$. Es sei ${}J$ ein weiteres Ideal in ${}R$, das ${}I$ umfasst.

Dann ist das Bild ${}{\overline {J}}$ von ${}J$ in ${}S$ ein Ideal und es gilt die kanonische Isomorphie

${}R/J\cong S/{\overline {J}}\,.$

 

???: Der Ring der ganzen Zahlen ist ...

Der Ring ${}\mathbb {Z}$ der ganzen Zahlen

ist ein Hauptidealbereich.

 

???: Die Restklassenringe von ${}\mathbb {Z}$

Sei ${}d\geq 0$ eine natürliche Zahl.

Dann gibt es eine eindeutig bestimmte Ringstruktur auf ${}\mathbb {Z} /(d)$ derart, dass die Restklassenabbildung

$\mathbb {Z} \longrightarrow \mathbb {Z} /(d),\,a\longmapsto {\overline {a}}\,,$

ein Ringhomomorphismus ist.

${}\mathbb {Z} /(d)$ ist ein kommutativer Ring mit ${}d$ Elementen (bei $d\geq 1$).

 

???: Beziehung zwischen Restklassenringe von ${}\mathbb {Z}$

Seien ${}n$ und ${}k$ positive natürliche Zahlen, und ${}k$ teile ${}n$.

Dann gibt es einen kanonischen Ringhomomorphismus

$\mathbb {Z} /(n)\longrightarrow \mathbb {Z} /(k),\,(a\mod n)\longmapsto (a\mod k).$

 

???: Charakterisierung der Restklassenkörper von ${}\mathbb {Z}$

Es sei ${}n\geq 1$ eine natürliche Zahl und ${}\mathbb {Z} /(n)$ der zugehörige Restklassenring. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

1. ${}\mathbb {Z} /(n)$ ist ein Körper.
2. ${}\mathbb {Z} /(n)$ ist ein Integritätsbereich.
3. ${}n$ ist eine Primzahl.

 

???: Kleiner Fermat

Für eine Primzahl ${}p$ und eine beliebige ganze Zahl ${}a$ gilt

$a^{p}\equiv a\mod p.$

Anders ausgedrückt: ${}a^{p}-a$ ist durch ${}p$ teilbar.

 

???: Lemma von Euklid für Primzahlen

Es sei ${}p$ eine Primzahl und ${}p$ teile ein Produkt ${}ab$ von natürlichen Zahlen ${}a,b\in \mathbb {N}$.

Dann teilt ${}p$ einen der Faktoren.

 

???: Der Hauptsatz der elementaren Zahlentheorie

Jede natürliche Zahl ${}n\in \mathbb {N}$, ${}n\geq 2$, besitzt eine eindeutige Zerlegung in Primfaktoren.

D.h. es gibt eine Darstellung

${}n=p_{1}{\cdots }p_{r}\,$

mit Primzahlen ${}p_{i}$, und dabei sind die Primfaktoren bis auf ihre Reihenfolge eindeutig bestimmt.

 

???: Teilbarkeit mit ${}p$-Exponenten

Es seien ${}n$ und ${}k$ positive natürliche Zahlen. Dann wird ${}n$ von ${}k$ genau dann geteilt,

wenn für jede Primzahl ${}p$ die Beziehung

${}{\nu _{p}(n)}\geq {\nu _{p}(k)}\,$

gilt.

 

???: KgV und ggT mit ${}p$-Exponenten

Es seien ${}n$ und ${}m$ positive natürliche Zahlen mit den Primfaktorzerlegungen ${}n=\prod _{p}p^{\nu _{p}(n)}$ und ${}m=\prod _{p}p^{\nu _{p}(m)}$.

Dann ist

${}\operatorname {kgV} (n,m)=\prod _{p}p^{\max {\left({\nu _{p}(n)},{\nu _{p}(m)}\right)}}\,$

und

${}\operatorname {ggT} (n,m)=\prod _{p}p^{\min {\left({\nu _{p}(n)},{\nu _{p}(m)}\right)}}\,.$

 

???: Chinesischer Restsatz

Es sei ${}n$ eine positive natürliche Zahl mit kanonischer Primfaktorzerlegung

${}n=p_{1}^{r_{1}}\cdot p_{2}^{r_{2}}{\cdots }p_{k}^{r_{k}}\,$

(die ${}p_{i}$ seien also verschieden und ${}r_{i}\geq 1$).

Dann induzieren die kanonischen Ringhomomorphismen ${}\mathbb {Z} /(n)\rightarrow \mathbb {Z} /(p_{i}^{r_{i}})$ einen Ringisomorphismus

${}\mathbb {Z} /(n)\cong \mathbb {Z} /(p_{1}^{r_{1}})\times \mathbb {Z} /(p_{2}^{r_{2}})\times \cdots \times \mathbb {Z} /(p_{k}^{r_{k}})\,.$

Zu gegebenen ganzen Zahlen ${}(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{k})$ gibt es also genau eine natürliche Zahl ${}a<n$, die die simultanen Kongruenzen

$a=a_{1}\mod p_{1}^{r_{1}},\,\,a=a_{2}\mod p_{2}^{r_{2}},\,\ldots ,\,\,a=a_{k}\mod p_{k}^{r_{k}}$

löst.

 

???: Chinesischer Restsatz für Einheiten

Es sei ${}n$ eine positive natürliche Zahl mit kanonischer Primfaktorzerlegung ${}n=p_{1}^{r_{1}}\cdot p_{2}^{r_{2}}\cdots p_{k}^{r_{k}}$ (die ${}p_{i}$ seien also verschieden und $r_{i}\geq 1$).

Dann gibt es einen kanonischen Gruppenisomorphismus

${}{\left(\mathbb {Z} /(n)\right)}^{\times }\cong {\left(\mathbb {Z} /(p_{1}^{r_{1}})\right)}^{\times }\times \cdots \times {\left(\mathbb {Z} /(p_{k}^{r_{k}})\right)}^{\times }\,.$

Insbesondere ist eine Zahl ${}a$ genau dann eine Einheit modulo ${}n$, wenn sie eine Einheit modulo ${}p_{i}^{r_{i}}$ ist für ${}i=1,\ldots ,k$.

 

???: Einheiten modulo n

Genau dann ist ${}a\in \mathbb {Z}$ eine Einheit modulo ${}n$ (d.h. ${}a$ repräsentiert eine Einheit in $\mathbb {Z} /(n)$), wenn ${}a$ und ${}n$ teilerfremd sind.

 

???: Satz von Euler

Es sei ${}n$ eine natürliche Zahl.

Dann gilt für jede zu ${}n$ teilerfremde Zahl ${}a$ die Beziehung

${}a^{\varphi (n)}=1\!\!\!\mod n\,.$

 

???: Eulersche Funktion für faktorisierte Zahl

Es sei ${}n$ eine positive natürliche Zahl mit kanonischer Primfaktorzerlegung

${}n=p_{1}^{r_{1}}{\cdots }p_{k}^{r_{k}}\,$

(die ${}p_{i}$ seien also verschieden und $r_{i}\geq 1$).

Dann ist

${}{\varphi (n)}={\varphi (p_{1}^{r_{1}})}{\cdots }{\varphi (p_{k}^{r_{k}})}=(p_{1}-1)p_{1}^{r_{1}-1}{\cdots }(p_{k}-1)p_{k}^{r_{k}-1}\,.$

 

???: Einsetzungshomomorphismus

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und sei ${}R[X]$ der Polynomring über ${}R$. Es sei ${}A$ ein weiterer kommutativer Ring und es sei ${}\varphi \colon R\rightarrow A$ ein Ringhomomorphismus und ${}a\in A$ ein Element.

Dann gibt es einen eindeutig bestimmten Ringhomomorphismus

$\psi \colon R[X]\longrightarrow A$

mit ${}\psi (X)=a$ und mit ${}\psi \circ i=\varphi$, wobei ${}i\colon R\rightarrow R[X]$ die kanonische Einbettung ist.

Dabei geht das Polynom ${}P=\sum _{j=0}^{n}c_{j}X^{j}$ auf ${}\sum _{j=0}^{n}\varphi (c_{j})a^{j}$.

 

???: Variablenwechsel

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und sei ${}R[X]$ der Polynomring über ${}R$. Es sei ${}Y=aX+b$, wobei ${}a$ eine Einheit in ${}R$ sei.

Dann gibt es einen Ringisomorphismus

$R[X]\longrightarrow R[X],\,X\longmapsto aX+b.$

 

???: Division mit Rest in ${}K[X]$

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}K[X]$ der Polynomring über ${}K$. Es seien ${}P,T\in K[X]$ Polynome mit ${}T\neq 0$.

Dann gibt es eindeutig bestimmte Polynome ${}Q,R\in K[X]$ mit

$P=TQ+R{\text{ und mit }}\operatorname {grad} \,(R)<\operatorname {grad} \,(T){\text{ oder }}R=0.$

 

???: Polynomring in einer Variablen über einem Körper ist ...

Ein Polynomring über einem Körper

ist ein Hauptidealbereich.

 

???: Prim und irreduzibel in Integritätsbereichen

In einem Integritätsbereich ist ein Primelement stets irreduzibel.

 

???: Lemma von Bezout (Hauptidealbereich)

Es sei ${}R$ ein Hauptidealring. Dann gilt:

Elemente ${}a_{1},\ldots ,a_{n}$ besitzen stets einen größten gemeinsamen Teiler ${}d$, und dieser lässt sich als Linearkombination der ${}a_{1},\ldots ,a_{n}$ darstellen, d.h. es gibt Elemente ${}r_{1},\ldots ,r_{n}\in R$ mit ${}r_{1}a_{1}+r_{2}a_{2}+\cdots +r_{n}a_{n}=d$.

Insbesondere besitzen teilerfremde Elemente ${}a_{1},\ldots ,a_{n}$ eine Darstellung der ${}1$.

 

???: Lemma von Euklid (Hauptidealbereich)

Es sei ${}R$ ein Hauptidealbereich und ${}a,b,c\in R$. Es seien ${}a$ und ${}b$ teilerfremd und ${}a$ teile das Produkt ${}bc$. Dann teilt ${}a$ den Faktor ${}c$.

 

???: Prim und irreduzibel in Hauptidealbereichen

Es sei ${}R$ ein Hauptidealbereich. Dann ist ein Element genau dann prim,

wenn es irreduzibel ist.

 

???: Produktzerlegung in Hauptidealbereichen

In einem Hauptidealbereich lässt sich jede Nichteinheit ${}a\neq 0$ als ein Produkt von irreduziblen Elementen darstellen.

 

???: Hauptidealbereich ist ...

Ein Hauptidealbereich

ist ein faktorieller Ring.

 

???: Restklassenringe von Hauptidealbereichen

Es sei ${}R$ ein Hauptidealbereich und ${}p\neq 0$ ein Element. Dann sind folgende Bedingungen äquivalent.

1. ${}p$ ist ein Primelement.
2. ${}R/(p)$ ist ein Integritätsbereich.
3. ${}R/(p)$ ist ein Körper.

 

???: Chinesischer Restsatz

Es sei ${}R$ ein Hauptidealbereich und ${}f\in R$, ${}f\neq 0$, ein Element mit kanonischer Primfaktorzerlegung

${}f=p_{1}^{r_{1}}{\cdots }p_{k}^{r_{k}}\,.$

Dann gilt für den Restklassenring ${}R/(f)$ die kanonische Isomorphie

${}R/(f)\cong R/(p_{1}^{r_{1}})\times \cdots \times R/(p_{k}^{r_{k}})\,.$

 

???: Nullstellen und linearer Faktor

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}K[X]$ der Polynomring über ${}K$. Es sei ${}P\in K[X]$ ein Polynom und ${}a\in K$.

Dann ist ${}a$ genau dann eine Nullstelle von ${}P$, wenn ${}P$ ein Vielfaches des linearen Polynoms ${}X-a$ ist.

 

???: Anzahl von Nullstellen

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}K[X]$ der Polynomring über ${}K$. Es sei ${}P\in K[X]$ ein Polynom ($\neq 0$) vom Grad ${}d$.

Dann besitzt ${}P$ maximal ${}d$ Nullstellen.

 

???: Endliche multiplikative Untergruppen in einem Körper

Es sei ${}U\subseteq K^{\times }$ eine endliche Untergruppe der multiplikativen Gruppe eines Körpers ${}K$.

Dann ist ${}U$ zyklisch.

 

???: Einheitengruppe in Restklassenkörpern

Es sei ${}p$ eine Primzahl.

Dann ist die Einheitengruppe ${}{\left(\mathbb {Z} /(p)\right)}^{\times }$ zyklisch mit der Ordnung ${}p-1$.

Es gibt also Elemente ${}g$ mit der Eigenschaft, dass die Potenzen ${}g^{i}$, ${}i=0,1,\ldots ,p-2$, alle Einheiten durchlaufen.

 

???: Anzahl eines endlichen Körpers

Es sei ${}K$ ein endlicher Körper.

Dann besitzt ${}K$ genau ${}p^{n}$ Elemente, wobei ${}p$ eine Primzahl ist und ${}n\geq 1$.

 

???: Quotientenkörper

Sei ${}R$ ein Integritätsbereich mit Quotientenkörper ${}Q(R)$. Es sei

$\varphi \colon R\longrightarrow K$

ein injektiver Ringhomomorphismus in einen Körper ${}K$.

Dann gibt es einen eindeutig bestimmten Ringhomomorphismus

${\tilde {\varphi }}\colon Q(R)\longrightarrow K$

mit

${}\varphi ={\tilde {\varphi }}{\tilde {i}}\,,$

wobei ${}i$ die kanonische Einbettung

$i\colon R\longrightarrow Q(R)$

bezeichnet.

 

???: Primelement bei Polynomring

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und sei ${}R[X]$ der Polynomring über ${}R$. Es sei ${}p\in R$ ein Primelement.

Dann ist ${}p$ auch in ${}R[X]$ prim.

 

???: Lemma von Gauß

Es sei ${}R$ ein faktorieller Bereich und ${}K=Q(R)$ der zugehörige Quotientenkörper. Es sei ${}f\in R[X]$ ein nicht-konstantes Polynom derart, dass in ${}R[X]$ nur Faktorzerlegungen ${}f=gh$ mit ${}g\in R{\text{ oder }}h\in R$ möglich sind.

Dann ist ${}f$ irreduzibel in ${}K[X]$.

 

???: Satz von Gauß für Polynomringe

Sei ${}R$ ein faktorieller Bereich.

Dann ist auch der Polynomring ${}R[X]$ faktoriell.

 

???: Rechnen in einer Restklassenalgebra

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}K[X]$ der Polynomring über ${}K$. Es sei ${}P=\sum _{i=0}^{n}a_{i}X^{i}\in K[X]$ ein Polynom vom Grad ${}n$ und ${}R=K[X]/(P)$ der zugehörige Restklassenring. Dann gelten folgende Rechenregeln (wir bezeichnen die Restklasse von ${}X$ in ${}R$ mit ${}x$).

1. Man kann stets ${}P$ als normiert annehmen (also $a_{n}=1$; das werden wir im Folgenden tun).
2. In ${}R$ ist ${}x^{n}=-\sum _{i=0}^{n-1}a_{i}x^{i}$.
3. Höhere Potenzen ${}x^{k}$, ${}k\geq n$, kann man mit den Potenzen ${}x^{i}$, ${}i\leq n-1$, ausdrücken, indem man mittels Vielfachen von (2) sukzessive den Grad um eins reduziert.
4. Die Potenzen ${}x^{0}=1,\,x^{1}$ ${},\ldots ,x^{n-1}$ bilden eine ${}K$-Basis von ${}R$.
5. ${}R$ ist ein ${}K$-Vektorraum der Dimension ${}n$.
6. In ${}R$ werden zwei Elemente ${}P=\sum _{i=0}^{n-1}b_{i}x^{i}$ und ${}Q=\sum _{i=0}^{n-1}c_{i}x^{i}$ komponentenweise addiert, und multipliziert, indem sie als Polynome multipliziert werden und dann die Restklasse berechnet wird.

 

???: Minimalpolynom und Einsetzungshomomorphismus

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}A$ eine ${}K$- Algebra und ${}f\in A$ ein Element. Es sei ${}P$ das Minimalpolynom von ${}f$ über ${}K$.

Dann ist der Kern des kanonischen ${}K$- Algebrahomomorphismus

$K[X]\longrightarrow A,\,X\longmapsto f,$

das von ${}P$ erzeugte Hauptideal.

 

???: Charakterisierung von algebraischen Elementen

Es sei ${}K\subseteq L$ eine Körpererweiterung und sei ${}f\in L$ ein Element. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

1. ${}f$ ist algebraisch über ${}K$.
2. Es gibt ein normiertes Polynom ${}P\in K[X]$ mit ${}P(f)=0$.
3. Es besteht eine lineare Abhängigkeit zwischen den Potenzen

   $f^{0}=1,f^{1}=f,f^{2},f^{3},\ldots .$

4. Die von ${}f$ über ${}K$ erzeugte ${}K$-Algebra ${}K[f]$ hat endliche ${}K$-Dimension.
5. ${}f$ liegt in einer endlichdimensionalen ${}K$-Algebra ${}M\subseteq L$.

 

???: Erzeugte Algebra eines algebraischen Elementes

Sei ${}K\subseteq L$ eine Körpererweiterung und sei ${}f\in L$ ein algebraisches Element.

Dann ist die von ${}f$ erzeugte ${}K$-Algebra ${}K[f]\subseteq L$ ein Körper.

 

???: Algebraischer Abschluss ist ...

Es sei ${}K\subseteq L$ eine Körpererweiterung und sei ${}M$ der algebraische Abschluss von ${}K$ in ${}L$.

Dann ist ${}M$ ein Unterkörper von ${}L$.

 

???: Endliche Erweiterungen von ${}\mathbb {R}$

Sei

${}\mathbb {R} \subseteq K\,$

eine endliche Körpererweiterung der reellen Zahlen.

Dann ist ${}K$ isomorph zu ${}\mathbb {R}$ oder zu ${}{\mathbb {C} }$.

 

???: Eisenstein Irreduzibilitätskriterium

Sei ${}R$ ein faktorieller Bereich mit Quotientenkörper ${}K=Q(R)$ und sei ${}F=\sum _{i=0}^{n}c_{i}X^{i}\in R[X]$ ein Polynom. Es sei ${}p\in R$ ein Primelement mit der Eigenschaft, dass ${}p$ den Leitkoeffizienten ${}c_{n}$ nicht teilt, aber alle anderen Koeffizienten teilt, aber dass ${}p^{2}$ nicht den konstanten Koeffizienten ${}c_{0}$ teilt.

Dann ist ${}F$ irreduzibel in ${}K[X]$.

 

???: Körpererweiterungen von ${}\mathbb {Q}$

Es gibt endliche Körpererweiterungen von ${}\mathbb {Q}$ von beliebigem Grad.

 

???: Gradformel

Seien ${}K\subseteq L$ und ${}L\subseteq M$ endliche Körpererweiterungen.

Dann ist auch ${}K\subseteq M$ eine endliche Körpererweiterung und es gilt

${}\operatorname {grad} _{K}M=\operatorname {grad} _{K}L\cdot \operatorname {grad} _{L}M\,.$

 

???: Zerfällungskörper

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}F\in K[X]$ ein Polynom. Es seien ${}K\subseteq L_{1}$ und ${}K\subseteq L_{2}$ zwei Zerfällungskörper von ${}F$.

Dann gibt es einen ${}K$-Algebraisomorphismus

$\varphi \colon L_{1}\longrightarrow L_{2}.$

Insbesondere gibt es bis auf Isomorphie nur einen Zerfällungskörper zu einem Polynom.

 

???: Hauptsatz über endliche Körper

Es sei ${}p$ eine Primzahl und ${}e\in \mathbb {N} _{+}$.

Dann gibt es bis auf Isomorphie genau einen Körper mit ${}q=p^{e}$ Elementen.

 

???: Wichtige Konstruktionen mit Zirkel und Lineal

In der Ebene lassen sich folgende Konstruktionen mit Zirkel und Lineal durchführen.

1. Zu einer Geraden ${}G$ und zwei Punkten ${}Q_{1},Q_{2}\in G$ kann man die zu ${}G$ senkrechte Gerade zeichnen, die die Strecke zwischen ${}Q_{1}$ und ${}Q_{2}$ halbiert.
2. Zu einer Geraden ${}G$ und einem Punkt ${}P\in G$ kann man die zu ${}G$ senkrechte Gerade durch ${}P$ zeichnen.
3. Zu einer Geraden ${}G$ und einem Punkt ${}P$ kann man die zu ${}G$ senkrechte Gerade durch ${}P$ zeichnen.
4. Zu einer gegebenen Geraden ${}G$ und einem gegebenen Punkt ${}P$ kann man die Gerade ${}G'$ durch ${}P$ zeichnen, die zu ${}G$ parallel ist.

 

???: Konstruierbare Zahlen bilden ...

Die Menge der konstruierbaren Zahlen ist ein Unterkörper von ${}{\mathbb {C} }$.

 

???: Konstruktion der Quadratwurzel

Es sei ${}G$ eine mit zwei Punkten ${}0$ und ${}1$ markierte Gerade, die wir mit den reellen Zahlen identifizieren. Es sei ${}a\in G_{+}$ eine positive reelle Zahl. Dann ist die Quadratwurzel ${}{\sqrt {a}}$ aus ${}0,1,a$ mittels Zirkel und Lineal konstruierbar.

 

???: Quadratur des Rechtecks

Es sei ein Rechteck in der Ebene gegeben.

Dann lässt sich mit Zirkel und Lineal ein flächengleiches Quadrat konstruieren.

 

???: Charakterisierung konatruierbarer Zahlen

Es sei ${}P\in {\mathbb {C} }$ eine komplexe Zahl. Dann ist ${}P$ eine konstruierbare Zahl genau dann,

wenn es eine Kette von reell-quadratischen Körpererweiterungen

${}\mathbb {Q} \subset K_{1}\subset K_{2}\subset \ldots \subset K_{n}\,$

derart ist, dass die Koordinaten von ${}P$ zu ${}K_{n}$ gehören.

 

???: Konstruierbare Zahlen sind ...

Eine mit Zirkel und Lineal konstruierbare Zahl

ist algebraisch.

 

???: Minimalpolynom einer konstruierbaren Zahl

Es sei ${}z\in {\mathbb {C} }$ eine konstruierbare Zahl.

Dann ist der Grad des Minimalpolynoms von ${}z$ eine Potenz von zwei.

 

???: Würfelverdoppelung

Die Würfelverdopplung mit Zirkel und Lineal ist nicht möglich.

 

???: Quadratur des Kreises

Es ist nicht möglich, zu einem vorgegebenen Kreis ein flächengleiches Quadrat mit Zirkel und Lineal zu konstruieren.

 

???: Einheitswurzeln in ${}{\mathbb {C} }$

Es sei ${}n\in \mathbb {N} _{+}$.

Die Nullstellen des Polynoms ${}X^{n}-1$ über ${}{\mathbb {C} }$ sind

$e^{2\pi {\mathrm {i} }k/n}=\cos {\frac {2\pi k}{n}}+{\mathrm {i} }\sin {\frac {2\pi k}{n}},k=0,1,\ldots ,n-1.$

In ${}{\mathbb {C} }[X]$ gilt die Faktorisierung

${}X^{n}-1=(X-1)(X-e^{2\pi {\mathrm {i} }/n}){\cdots }(X-e^{2\pi {\mathrm {i} }(n-1)/n})\,.$

 

???: Faktorzerlegung von ${}X^{n}-1$

Es sei ${}n\in \mathbb {N} _{+}$.

Dann gilt in ${}{\mathbb {C} }[X]$ die Gleichung

${}X^{n}-1=\prod _{d{|}n}\Phi _{d}\,.$

 

???: Koeffizienten der Kreisteilungspolynome

Die Koeffizienten der Kreisteilungspolynome

liegen in ${}\mathbb {Z}$.

 

???: Kreisteilungspolynome sind ...

Die Kreisteilungspolynome ${}\Phi _{n}$ sind irreduzibel über ${}\mathbb {Q}$.

 

???: Grad der Kreisteilungskörper

Der ${}n$-te Kreisteilungskörper ${}K_{n}$ über ${}\mathbb {Q}$ hat die Beschreibung

${}K_{n}=\mathbb {Q} [X]/(\Phi _{n})\,,$

wobei ${}\Phi _{n}$ das ${}n$-te Kreisteilungspolynom bezeichnet.

Der Grad des ${}n$-ten Kreisteilungskörpers ist ${}{\varphi (n)}$.

 

???: Winkeldreiteilung

Es ist nicht möglich, einen beliebig vorgegebenen Winkel mittels Zirkel und Lineal in drei gleich große Teile zu unterteilen.

 

???: Exponentenlemma für Fermatsche Primzahlen

Bei einer Fermatschen Primzahl ${}2^{s}+1$ hat der Exponent die Form ${}s=2^{r}$ mit einem ${}r\in \mathbb {N}$.

 

???: Charakterisierung von konstruierbaren n-Ecken

Ein reguläres ${}n$-Eck ist genau dann mit Zirkel und Lineal konstruierbar, wenn die Primfaktorzerlegung von ${}n$ die Gestalt

${}n=2^{\alpha }p_{1}\cdots p_{k}\,$

hat, wobei die ${}p_{i}$ verschiedene Fermatsche Primzahlen sind.