Kurs:Einführung in die Theorie der Schemata/Arbeitsblatt 11

Übungsaufgaben

Aufgabe

Man gebe ein Beispiel eines quasiaffinen, aber nicht affinen Schemas.

Aufgabe

Man gebe ein Beispiel eines quasiaffinen, aber nicht quasikompakten Schemas.

Aufgabe

Es sei ${}{\left(X,{\mathcal {O}}_{X}\right)}$ ein lokal beringter Raum. Zeige, dass jedes Funktionstupel  ${}f_{1},\ldots ,f_{n}\in \Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X})$  einen eindeutig bestimmten Morphismus lokal beringter Räume ${}X\rightarrow {{\mathbb {A} }_{\mathbb {Z} }^{n}}$ definiert, wobei die Variable ${}T_{i}$ (des affinen Raumes) auf ${}f_{i}$ abgebildet wird.

Aufgabe

Es sei ${}(X,{\mathcal {O}}_{X})$ ein Schema. Zeige, dass ${}X$ genau dann ein affines Schema ist, wenn der kanonische Morphismus

$X\longrightarrow \operatorname {Spek} {\left(\Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X})\right)}$

ein Isomorphismus ist.

Aufgabe

Es sei ${}X$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit. Zeige, dass der kanonische Morphismus

$X\longrightarrow \operatorname {Spek} {\left(C^{1}(X,\mathbb {R} )\right)}$

injektiv ist.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}A,B$ seien kommutative ${}R$- Algebren. Zeige, dass ein ${}R$- Algebrahomomorphismus ${}\varphi \colon A\rightarrow B$ dasselbe ist wie ein Schemamorphismus ${}\psi \colon \operatorname {Spek} {\left(B\right)}\rightarrow \operatorname {Spek} {\left(A\right)}$ über ${}\operatorname {Spek} {\left(R\right)}$.