Kurs:Einführung in die Theorie der Schemata/Arbeitsblatt 14

Übungsaufgaben

Aufgabe

Es sei ${}{\mathfrak {a}}\subseteq R$ ein Ideal in einem kommutativen Ring ${}R$ und ${}X=\operatorname {Spek} \left(R\right)$ . Zeige

{}{\widetilde {\mathfrak {a}}}{|}_{D({\mathfrak {a}})}\cong {\mathcal {O}}_{X}{|}_{D({\mathfrak {a}})}\,.

Aufgabe

Es sei ${}M$ ein ${}R$ -Modul über einem kommutativen Ring ${}R$ und ${}f\in R$ . Zeige

{}{\widetilde {M}}{|}_{D(f)}\cong {\widetilde {M_{f}}}\,,

wobei rechts die Modulgarbe zum ${}R_{f}$ -Modul ${}M_{f}$ steht.

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}M$ ein endlich erzeugter ${}R$ -Modul. Es sei ${}{\mathfrak {p}}\in \operatorname {Spek} \left(R\right)$ ein Primideal mit ${}M_{\mathfrak {p}}=0$ . Zeige, dass es ein ${}f\notin {\mathfrak {p}}$ gibt mit ${}M_{f}=0$ .

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und sei ${}\varphi \colon M\rightarrow N$ ein ${}R$ -Modulhomomorphismus zwischen endlich erzeugten ${}R$ -Moduln. Es sei ${}{\mathfrak {p}}\in \operatorname {Spek} \left(R\right)$ ein Primideal derart, dass der induzierte Homomorphismus ${}\varphi \colon M_{\mathfrak {p}}\rightarrow N_{\mathfrak {p}}$ surjektiv ist. Zeige, dass es ein ${}f\notin {\mathfrak {p}}$ derart gibt, dass ${}\varphi \colon M_{f}\rightarrow N_{f}$ surjektiv ist.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein noetherscher kommutativer Ring und sei ${}\varphi \colon M\rightarrow N$ ein ${}R$ -Modulhomomorphismus zwischen endlich erzeugten ${}R$ -Moduln. Es sei ${}{\mathfrak {p}}\in \operatorname {Spek} \left(R\right)$ ein Primideal derart, dass der induzierte Homomorphismus ${}\varphi \colon M_{\mathfrak {p}}\rightarrow N_{\mathfrak {p}}$ injektiv ist. Zeige, dass es ein ${}f\notin {\mathfrak {p}}$ derart gibt, dass ${}\varphi \colon M_{f}\rightarrow N_{f}$ injektiv ist.

Aufgabe

Zeige anhand von ${}R=\mathbb {Z}$ und ${}M=\mathbb {Q} /\mathbb {Z}$ , dass die Aussagen aus Aufgabe 14.3, Aufgabe 14.4 und Aufgabe 14.5 ohne die Voraussetzung der endlichen Erzeugtheit nicht stimmen.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper,

{}R=K[X_{n},Y_{n},n\in \mathbb {N} ]/(X_{n}Y_{n},\,n\in \mathbb {N} )\,

und ${}{\mathfrak {p}}=\left(X_{n},\,n\in \mathbb {N} \right)\subseteq R$ .

Zeige, dass ${}{\mathfrak {p}}$ ein Primideal ist.
Zeige ${}{\mathfrak {p}}_{\mathfrak {p}}=0$ .
Zeige ${}{\mathfrak {p}}_{f}\neq 0$ für ${}f\notin {\mathfrak {p}}$ .
Zeige, dass
$\varphi \colon R\longrightarrow R/{\mathfrak {p}}$

lokalisiert in ${}{\mathfrak {p}}$ injektiv (also auch bijektiv) ist, aber keine Nenneraufnahme an einem einzigen Element ${}f\notin {\mathfrak {p}}$ injektiv ist.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein Integritätsbereich mit Quotientenkörper ${}Q(R)$ . Zeige, dass ${}{\widetilde {Q(R)}}$ eine konstante Garbe auf dem Spektrum ${}\operatorname {Spek} \left(R\right)$ ist.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}M,N$ seien ${}R$ -Moduln. Zeige

{}{\widetilde {\operatorname {Hom} \left(M,N\right)}}\cong {{\mathcal {H}}om}\left({\widetilde {M}},{\widetilde {N}}\right)\,.

Aufgabe

Es sei ${}U=\left({\mathbb {A} }_{K}^{2}\setminus \{(0,0)\},{\mathcal {O}}_{X}\right)$ die punktierte affine Ebene. Man gebe ein Beispiel für globale Schnitte ${}s_{1},s_{2}\in \Gamma (U,{\mathcal {O}}_{X})$ derart, dass ${}(s_{1},s_{2})$ nicht das Einheitsideal ist, dass aber der zugehörige ${}{\mathcal {O}}_{X}$ -Modulhomomorphismus ${}{\mathcal {O}}_{U}^{2}\longrightarrow {\mathcal {O}}_{U}$ , ${}e_{i}\longmapsto s_{i}$ , surjektiv ist.

Aufgabe

Wir betrachten zu ${}R=K[X,Y]$ die kurze exakte Sequenz

0\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,R\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,R^{2}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,(X,Y)={\mathfrak {m}}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,0,

wobei hinten die Standardvektoren auf die Idealerzeuger gehen und vorne die ${}1$ auf ${}(Y,-X)$ abgebildet wird. Dies führt nach Lemma 14.9 zu einer exakten Garbensequenz

0\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\mathcal {O}}_{\operatorname {Spek} \left(R\right)}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\mathcal {O}}_{\operatorname {Spek} \left(R\right)}^{2}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\widetilde {\mathfrak {m}}}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,0.

Es sei ${}U=D(X,Y)$ . Zeige die folgenden Aussagen.

Es ist ${}\Gamma \left(U,{\mathcal {O}}_{\operatorname {Spek} \left(R\right)}\right)=R$ .
Es ist ${}\Gamma \left(U,{\widetilde {\mathfrak {m}}}\right)=R$ .
Die Auswertung der exakten Garbensequenz auf ${}U$ ist
$0\longrightarrow R\longrightarrow R^{2}\longrightarrow R,$

wobei die hintere Abbildung nicht surjektiv ist.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}I\subseteq R$ ein Ideal in ${}R$ mit der zugehörigen kurzen exakten Sequenz

0\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,I\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,R\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,R/I\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,0.

Interpretiere die entsprechende kurze exakte Garbensequenz

0\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\widetilde {I}}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\widetilde {R}}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\widetilde {R/I}}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,0

auf dem Spektrum von ${}R$ . Auf welchen offenen Mengen und in welchen Punkten werden die Objekte (Auswertungen bzw. Halme) zu ${}0$ und die Homomorphismen zu Isomorphismen?

Aufgabe

Es sei ${}\theta \colon A\rightarrow B$ ein Ringhomomorphismus zwischen den kommutativen Ringen ${}A$ und ${}B$ und sei ${}\varphi \colon \operatorname {Spek} \left(B\right)\rightarrow \operatorname {Spek} \left(A\right)$ die zugehörige Spektrumsabbildung. Es sei ${}N$ ein ${}B$ -Modul mit der zugehörigen Modulgarbe ${}{\widetilde {N}}$ auf ${}\operatorname {Spek} \left(B\right)$ . Zeige

{}\varphi _{*}({\widetilde {N}})={\widetilde {N'}}\,,

wobei ${}N'$ einfach der ${}B$ -Modul ${}N$ , aufgefasst als ${}A$ -Modul, ist.

Aufgabe

Es sei ${}\theta \colon A\rightarrow B$ ein Ringhomomorphismus zwischen den kommutativen Ringen ${}A$ und ${}B$ und sei ${}\varphi \colon \operatorname {Spek} \left(B\right)\rightarrow \operatorname {Spek} \left(A\right)$ die zugehörige Spektrumsabbildung. Es sei ${}M$ ein ${}A$ -Modul mit der zugehörigen Modulgarbe ${}{\widetilde {M}}$ auf ${}\operatorname {Spek} \left(A\right)$ . Zeige

{}\varphi ^{*}({\widetilde {M}})={\widetilde {M\otimes _{A}B}}\,

auf ${}\operatorname {Spek} \left(B\right)$ .

Die folgende Aufgabe beschreibt die ringtheoretische Version zu Lemma 13.21. Zusammen mit den beiden vorstehenden Aufgaben ergibt sie wiederum die Spektrumsversion dieser Aussage.

Aufgabe

Es sei ${}\theta \colon A\rightarrow B$ ein Ringhomomorphismus zwischen den kommutativen Ringen ${}A$ und ${}B$ . Es sei ${}M$ ein ${}A$ -Modul und ${}N$ ein ${}B$ -Modul. Zeige, dass es einen natürlichen Gruppenisomorphismus

{}\operatorname {Hom} _{B}\left(M\otimes _{A}B,N\right)=\operatorname {Hom} _{A}\left(M,N'\right)\,

gibt, wobei ${}N'$ den ${}B$ -Modul ${}N$ , aufgefasst als ${}A$ -Modul, bezeichnet.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und sei ${}{\mathcal {M}}$ ein quasikohärenter Modul auf ${}\operatorname {Spek} \left(R\right)$ . Zeige ${}{\mathcal {M}}\cong {\widetilde {M}}$ für einen ${}R$ -Modul ${}M$ .

Aufgabe

Es seien ${}{\mathcal {F}}$ und ${}{\mathcal {G}}$ quasikohärente Moduln auf einem Schema ${}\left(X,{\mathcal {O}}_{X}\right)$ . Zeige, dass dann auch die direkte Summe ${}{\mathcal {F}}\oplus {\mathcal {G}}$ wieder quasikohärent ist.

Aufgabe

Es seien ${}{\mathcal {F}}$ und ${}{\mathcal {G}}$ kohärente Moduln auf einem Schema ${}\left(X,{\mathcal {O}}_{X}\right)$ . Zeige, dass dann auch die direkte Summe ${}{\mathcal {F}}\oplus {\mathcal {G}}$ wieder kohärent ist.

Aufgabe

Es seien ${}{\mathcal {F}}$ und ${}{\mathcal {G}}$ quasikohärente Moduln auf einem Schema ${}\left(X,{\mathcal {O}}_{X}\right)$ und sei ${}\varphi \colon {\mathcal {F}}\rightarrow {\mathcal {G}}$ ein Homomorphismus. Zeige, dass der Kern ${}\operatorname {kern} \varphi$ ebenfalls quasikohärent ist.

Aufgabe

Es seien ${}{\mathcal {F}}$ und ${}{\mathcal {G}}$ kohärente Moduln auf einem noetherschen Schema ${}\left(X,{\mathcal {O}}_{X}\right)$ und sei ${}\varphi \colon {\mathcal {F}}\rightarrow {\mathcal {G}}$ ein Homomorphismus. Zeige, dass der Kern ${}\operatorname {kern} \varphi$ ebenfalls kohärent ist.

Aufgabe

Es seien ${}{\mathcal {F}}$ und ${}{\mathcal {G}}$ quasikohärente Moduln auf einem Schema ${}\left(X,{\mathcal {O}}_{X}\right)$ und sei ${}\varphi \colon {\mathcal {F}}\rightarrow {\mathcal {G}}$ ein Homomorphismus. Zeige, dass der Kokern ${}\operatorname {Kokern} \varphi$ ebenfalls quasikohärent ist.

Aufgabe

Es sei ${}(X,{\mathcal {O}}_{X})$ ein noethersches Schema und sei ${}f\in \Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X})$ eine globale Funktion mit Invertierbarkeitsort ${}X_{f}$ . Es sei ${}{\mathcal {M}}$ ein quasikohärenter ${}{\mathcal {O}}_{U}$ -Modul auf ${}X$ . Zeige

{}\Gamma \left(X_{f},{\mathcal {M}}\right)=\Gamma \left(X,{\mathcal {M}}\right)_{f}\,.

Aufgabe

Es sei ${}(X,{\mathcal {O}}_{X})$ ein noethersches Schema und sei ${}U\subseteq X$ eine offene Teilmenge. Es sei ${}{\mathcal {M}}$ ein quasikohärenter ${}{\mathcal {O}}_{U}$ -Modul auf ${}U$ . Zeige, dass der Vorschub ${}i_{*}{\mathcal {M}}$ ein quasikohärenter Modul auf ${}X$ ist.

Betrachte zuerst die Situation, wo ${}X$ affin ist.

Aufgabe

Wir betrachten die invertierbare Garbe ${}{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{K}^{n}}(1)$ auf dem projektiven Raum über einem Körper ${}K$ zusammen mit dem globalen Schnitt ${}X_{0}\in \Gamma \left({\mathbb {P} }_{K}^{n},{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{K}^{n}}(1)\right)$ und der Invertierbarkeitsmenge ${}\left({\mathbb {P} }_{K}^{n}\right)_{X_{0}}=D_{+}(X_{0})$ . Es sei ${}f\in \Gamma \left(D_{+}(X_{0}),{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{K}^{n}}\right)$ eine auf ${}D_{+}(X_{0})\subseteq {\mathbb {P} }_{K}^{n}$ definierte Funktion. Zeige direkt, dass es ein ${}m\in \mathbb {N}$ derart gibt, dass

{}X_{0}^{m}f\in \Gamma \left({\mathbb {P} }_{K}^{n},\left({\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{K}^{n}}(1)\right)^{m}\otimes {\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{K}^{n}}\right)\,

von einem globalen Element aus ${}\Gamma \left({\mathbb {P} }_{K}^{n},\left({\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{K}^{n}}(1)\right)^{m}\otimes {\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{K}^{n}}\right)$ herrührt.

Aufgabe

Wir betrachten die invertierbare Garbe ${}{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{K}^{1}}(1)$ auf der projektiven Geraden ${}{\mathbb {P} }_{K}^{1}=\operatorname {Proj} \left(K[X,Y]\right)$ über einem Körper ${}K$ zusammen mit dem globalen Schnitt ${}X\in \Gamma \left({\mathbb {P} }_{K}^{1},{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{K}^{1}}(1)\right)$ und der Invertierbarkeitsmenge ${}\left({\mathbb {P} }_{K}^{1}\right)_{X}=D_{+}(X)$ . Finde für die folgenden Funktionen ${}f$ aus ${}\Gamma \left(D_{+}(X),{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{K}^{1}}(1)\right)$ ein geeignetes ${}n$ derart, dass ${}X^{n}f\in \Gamma \left(D_{+}(X),{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{K}^{1}}(n)\right)$ von einem (von welchen?) Element aus ${}\Gamma \left({\mathbb {P} }_{K}^{1},{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{K}^{1}}(n)\right)$ herrührt.