Kurs:Einführung in die Theorie der Schemata/Arbeitsblatt 15

Übungsaufgaben

Aufgabe

Zeige durch ein Beispiel, dass die Kegelabbildung

${{\mathbb {A} }_{K}^{n+1}}\setminus \{0\}\longrightarrow {\mathbb {P} }_{K}^{n}$

nicht abgeschlossen sein muss.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein ${}\mathbb {Z}$- graduierter Ring und ${}{\mathfrak {p}}$ ein Primideal in ${}R$. Zeige, dass die Homogenisierung ${}{\mathfrak {p}}^{h}$ ebenfalls ein Primideal ist.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und  ${}R=K[X_{0},X_{1},\ldots ,X_{n}]/{\mathfrak {a}}$  eine standard-graduierte ${}K$- Algebra. Zeige, dass das Diagramm

${\begin{matrix}\operatorname {Spek} {\left(R\right)}\supseteq D(R_{+})&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&V({\mathfrak {a}})\cap D(X_{0},X_{1},\ldots ,X_{n})&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&{{\mathbb {A} }_{K}^{n+1}}\supseteq D(X_{0},X_{1},\ldots ,X_{n})&\\\downarrow &&\downarrow &&\downarrow &&\\\operatorname {Proj} {\left(R\right)}&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&V_{+}({\mathfrak {a}})&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&{\mathbb {P} }_{K}^{n}&\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$

aus Schemamorphismen kommutiert, wobei die vertikalen Abbildungen links und rechts Kegelabbildungen sind und die horizontalen Abbildungen Isomorphien und die natürlichen abgeschlossenen Einbettungen sind.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring, ${}D$ eine kommutative Gruppe und ${}A$ eine ${}D$- graduierte ${}R$-Algebra. Zeige  ${}1\in A_{0}$  und folgere, dass ${}A_{0}$ eine ${}R$- Unteralgebra von ${}A$ ist.

Aufgabe

Es sei  ${}A=\bigoplus _{d\in D}A_{d}$  ein graduierter kommutativer Ring und es sei ${}A_{e}$ eine Stufe, die eine Einheit enthalte. Zeige, dass ${}A_{e}$ als ${}A_{0}$- Modul isomorph zu ${}A_{0}$ ist.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring, ${}D$ eine kommutative Gruppe und ${}A$ eine ${}D$- graduierte kommutative ${}R$- Algebra. Es sei  ${}{\mathfrak {a}}\subseteq A$  ein homogenes Ideal. Zeige, dass der Restklassenring ${}A/{\mathfrak {a}}$ ebenfalls ${}D$-graduiert ist.

Aufgabe

Zeige, dass es im Polynomring in ${}n$ Variablen genau ${}{\binom {d+n-1}{n-1}}$ Monome vom Grad ${}d$ gibt.

Aufgabe *

Man gebe ein Beispiel für zwei monomiale Ideale ${}{\mathfrak {a}}$ und ${}{\mathfrak {b}}$ in einem Polynomring und einer natürlichen Zahl ${}d$ derart, dass das Produkt ${}{\mathfrak {a}}\cdot {\mathfrak {b}}$ ein Erzeugendensystem von Monomen vom Grad ${}\leq d$ besitzt, die beiden Ideale aber nicht.

Aufgabe

Zeige, dass die Teilmengen  ${}D_{+}({\mathfrak {a}})\subseteq \operatorname {Proj} {\left(R\right)}$  zu homogenen Idealen in einem ${}\mathbb {Z}$- graduierten Ring ${}R$ in der Tat eine Topologie auf dem projektiven Spektrum ${}\operatorname {Proj} {\left(R\right)}$ festlegen.

Aufgabe

Zeige, dass die offenen Teilmengen  ${}D_{+}(f)\subseteq \operatorname {Proj} {\left(R\right)}$  zu homogenen Elementen  ${}f\in R_{+}$  in einem ${}\mathbb {Z}$- graduierten Ring ${}R$ eine Basis der Topologie auf dem projektiven Spektrum bilden.

Aufgabe

Bestimme das projektive Spektrum zum Achsenkreuz ${}\operatorname {Spek} {\left(K[X,Y]/(XY)\right)}$ (in der Standardgraduierung).

Aufgabe

Skizziere das projektive Spektrum zu den Achsenebenen ${}\operatorname {Spek} {\left(K[X,Y,Z]/(XYZ)\right)}$ (in der Standardgraduierung).

Aufgabe *

Bestimme den Schnittpunkt der beiden Geraden

${}L=V_{+}(6X-8Y+3Z)\,$

und

${}M=V_{+}(2X+9Y-5Z)\,$

in der projektiven Ebene.

Aufgabe

Zeige, dass zwei verschiedene Punkte ${}P$ und ${}Q$ in der projektiven Ebene eindeutig eine projektive Gerade definieren, auf der beide Punkte liegen. Wie berechnet man die Geradengleichung aus den Koordinaten der Punkte?

Aufgabe

Zeige, dass der globale Schnittring ${}\Gamma {\left({\mathbb {P} }_{R}^{n},{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{R}^{n}}\right)}$ des projektiven Raumes gleich ${}R$ ist.

Aufgabe

Zeige, dass die in Beispiel 11.7 über Verklebungen konstruierte projektive Gerade ${}{\mathbb {P} }_{K}^{1}$ mit der projektiven Geraden im Sinne von Beispiel 15.10, also ${}\operatorname {Proj} {\left(K[X,Y]\right)}$, übereinstimmt.

Aufgabe

Es sei  ${}D_{+}(L)\cong {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}\subseteq {\mathbb {P} }_{K}^{n}$,  wobei ${}L$ eine homogene Linearform im zugehörigen Polynomring ${}K[X_{0},\ldots ,X_{n}]$ sei. Zeige, dass die Zariski-Topologie auf dem projektiven Raum die Zariski-Topologie auf dem affinen Raum induziert.

Aufgabe

Es sei  ${}P=\left(a_{0},\,\ldots ,\,a_{n}\right)\in {\mathbb {P} }_{K}^{n}$  ein Punkt im projektiven Raum. Zeige, dass es eine offene affine Umgebung  ${}U\cong {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}\subset {\mathbb {P} }_{K}^{n}$  derart gibt, dass ${}P$ in diesem affinen Raum dem Nullpunkt entspricht.

Aufgabe

Es sei ${}{\mathbb {P} }_{K}^{n}$ der projektive Raum der Dimension ${}n$ über dem Körper ${}K$ und seien

${}D_{+}(X_{i})\cong {{\mathbb {A} }_{K}^{n}},D_{+}(X_{j})\cong {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}\subset {\mathbb {P} }_{K}^{n}\,$

zwei affine offene Teilmengen. Beschreibe die (nicht überall definierte) Übergangsabbildung von ${}D_{+}(X_{i})$ nach ${}D_{+}(X_{j})$.

Aufgabe

Es seien ${}m+1$ homogene Polynome ${}F_{0},\ldots ,F_{m}$ in ${}n+1$ Variablen gegeben, die alle den gleichen Grad ${}d$ besitzen. Zeige, dass es eine offene Menge  ${}U\subseteq {\mathbb {P} }_{K}^{n}$  gibt, auf der die Polynome einen Morphismus

${\mathbb {P} }_{K}^{n}\supseteq U\longrightarrow {\mathbb {P} }_{K}^{m}$

definieren.

Aufgabe

Es sei ${}S$ ein ${}\mathbb {Z}$- graduierter Ring, der in der ersten Stufe eine homogene Einheit besitze, und es sei  ${}{\mathfrak {a}}\subseteq S$  ein homogenes Ideal. Zeige für  ${}n\in \mathbb {Z}$  die Gleichheit von ${}(S/{\mathfrak {a}})_{0}$- Moduln

${}(S/{\mathfrak {a}})_{n}=(S/{\mathfrak {a}})_{0}\otimes _{S_{0}}S_{n}\,.$

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein standard-graduierter Ring und  ${}{\mathfrak {a}}\subseteq R$  ein homogenes Ideal. Es sei  ${}f\in R$  ein homogenes Element vom Grad ${}1$. Zeige für  ${}n\in \mathbb {Z}$  die folgende Gleichheit von ${}(R_{f}/{\mathfrak {a}}_{f})_{0}$- Moduln

${}((R/{\mathfrak {a}})_{f})_{n}=(R_{f}/{\mathfrak {a}}_{f})_{n}=(R_{f}/{\mathfrak {a}}_{f})_{0}\otimes _{(R_{f})_{0}}(R_{f})_{n}\,.$

Aufgabe

Wir betrachten den projektiven Raum über einem Körper ${}K$ und die invertierbare Garbe ${}{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{K}^{n}}(m)$ zu  ${}m>0$.  Es sei  ${}f\in \Gamma {\left({\mathbb {P} }_{K}^{n},{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{K}^{n}}(m)\right)}=K[X_{0},X_{1},\ldots ,X_{n}]_{m}$.  Zeige für die Invertierbarkeitsmenge die Gleichheit  ${}{\left({\mathbb {P} }_{K}^{n}\right)}_{f}=D_{+}(f)$. 

Aufgabe

Wir betrachten den projektiven Raum über einem Körper ${}K$ und die invertierbaren Garben ${}{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{K}^{n}}(\ell )$. Zeige  ${}{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{K}^{n}}(\ell )\otimes {\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{K}^{n}}(m)\cong {\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{K}^{n}}(\ell +m)$. 

Aufgabe

Es sei  ${}F\in K[X_{0},X_{1},\ldots ,X_{n}]$  ein homogenes Polynom ${}\neq 0$ vom Grad ${}d$. Zeige, dass dies eine kurze exakte Garbensequenz

$0\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{K}^{n}}(-d)\,{\stackrel {\cdot F}{\longrightarrow }}\,{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{K}^{n}}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\mathcal {O}}_{V_{+}(F)}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,0$

auf dem projektiven Raum festlegt (hierbei wird die Strukturgarbe auf der projektiven Hyperfläche ${}V_{+}(F)$ als eine Garbe auf dem projektiven Raum aufgefasst).