Kurs:Einführung in die Theorie der Schemata/Arbeitsblatt 17/latex
\setcounter{section}{17}
\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien
\mathkor {} {{ \mathcal F }} {und} {{ \mathcal G }} {}
\definitionsverweis {lokal freie Garben}{}{}
auf einem
\definitionsverweis {beringten Raum}{}{}
vom
\definitionsverweis {Rang}{}{}
\mathkor {} {r} {bzw.} {s} {.}
Zeige, dass die
\definitionsverweis {direkte Summe}{}{}
\mathl{{ \mathcal F } \oplus { \mathcal G }}{} lokal frei vom Rang $r+s$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathl{{ \mathcal F }}{} eine
\definitionsverweis {lokal freie Garbe}{}{}
vom Rang $r$ auf einem
\definitionsverweis {beringten Raum}{}{}
\mathl{(X, {\mathcal O}_{ X })}{.} Zeige, dass die
\definitionsverweis {duale Garbe}{}{}
\mathl{{ \mathcal F } ^*}{} ebenfalls lokal frei vom Rang $r$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass eine
\definitionsverweis {lokal freie Garbe}{}{}
${ \mathcal F }$ auf einem
\definitionsverweis {beringten Raum}{}{}
\mathl{(X, {\mathcal O}_{ X })}{} in natürlicher Weise
\definitionsverweis {isomorph}{}{}
zu ihrem Bidual ${ \mathcal F } ^{**}$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien
\mathkor {} {{ \mathcal F }} {und} {{ \mathcal G }} {}
\definitionsverweis {lokal freie Garben}{}{}
auf einem
\definitionsverweis {beringten Raum}{}{.}
und sei
\maabb {\varphi} { { \mathcal F } } { { \mathcal G }
} {}
ein
\definitionsverweis {surjektiver}{}{}
\definitionsverweis {Modulhomomorphismus}{}{.}
Zeige, dass der Kern
\mathl{\operatorname{kern} \varphi}{} ebenfalls lokal frei ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass der Rang von
\definitionsverweis {lokal freien Garben}{}{}
auf einem
\definitionsverweis {beringten Raum}{}{}
$(X, {\mathcal O}_{ X } )$ additiv für kurze exakte Sequenzen ist. Dies bedeutet, dass wenn eine kurze exakte Sequenz
\mathdisp {0 \, \stackrel{ }{\longrightarrow} \, { \mathcal F } \, \stackrel{ }{ \longrightarrow} \, { \mathcal G } \, \stackrel{ }{\longrightarrow} \, { \mathcal H } \,\stackrel{ } {\longrightarrow} \, 0} { }
von lokal freien Garben vorliegt, dass dann
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{rang} \, { \mathcal G }
}
{ =} { \operatorname{rang} \, { \mathcal F } + \operatorname{rang} \, { \mathcal H }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien
\mathkor {} {{ \mathcal F }} {und} {{ \mathcal G }} {}
\definitionsverweis {lokal freie Garben}{}{}
auf einem
\definitionsverweis {beringten Raum}{}{}
vom
\definitionsverweis {Rang}{}{}
\mathkor {} {r} {bzw.} {s} {.}
Zeige, dass das
\definitionsverweis {Tensorprodukt}{}{}
\mathl{{ \mathcal F } \otimes_{ {\mathcal O}_{ X } } { \mathcal G }}{} lokal frei vom Rang $rs$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien
\mathkor {} {{ \mathcal F }} {und} {{ \mathcal G }} {}
\definitionsverweis {lokal freie Garben}{}{}
auf einem
\definitionsverweis {beringten Raum}{}{}
und sei
\maabb {\varphi} { { \mathcal F } } { { \mathcal G }
} {}
ein
\definitionsverweis {injektiver}{}{}
\definitionsverweis {Modulhomomorphismus}{}{.}
Zeige, dass die
\definitionsverweis {Quotientengarbe}{}{}
\mathl{{ \mathcal G }/ { \mathcal F }}{} im Allgemeinen nicht lokal frei ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei ${ \mathcal F }$ ein
\definitionsverweis {kohärenter Modul}{}{}
auf einem
\definitionsverweis {noetherschen Schema}{}{}
$(X, {\mathcal O}_{ X })$. Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{r
}
{ \in }{\N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass die folgenden Eigenschaften äquivalent sind.
\aufzaehlungzwei { ${ \mathcal F }$ ist
\definitionsverweis {lokal frei}{}{}
vom Rang $r$.
} {Für jeden Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ \in }{ X
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist der
\mathl{{\mathcal O}_{X,P}}{-}Modul
\mathl{{ \mathcal F }_P}{}
\definitionsverweis {frei}{}{}
vom Rang $r$.
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathl{(X, {\mathcal O}_{ X })}{} ein
\definitionsverweis {noethersches}{}{}
\definitionsverweis {integres Schema}{}{}
und sei ${ \mathcal F }$ ein
\definitionsverweis {kohärenter Modul}{}{}
auf $X$. Zeige, dass es eine offene nichtleere Teilmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U
}
{ \subseteq }{ X
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
derart gibt, dass
\mathl{{ \mathcal F } {{|}}_U}{} frei ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathl{(X, {\mathcal O}_{ X })}{} ein
\definitionsverweis {noethersches Schema}{}{}
und sei
\maabb {\varphi} { { \mathcal F } } { { \mathcal G }
} {}
ein
\definitionsverweis {Modulhomomorphismus}{}{}
von
\definitionsverweis {kohärenten Moduln}{}{}
\mathkor {} {{ \mathcal F }} {und} {{ \mathcal G }} {}
auf $X$. Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ \in }{ X
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Punkt derart, dass
\maabb {\varphi_P} { { \mathcal F }_P } { { \mathcal G }_P
} {}
ein
\definitionsverweis {Isomorphismus}{}{}
ist. Zeige, dass es eine offene Umgebung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ \in }{ U
}
{ \subseteq }{ X
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
derart gibt, dass
\maabb {\varphi} { { \mathcal F } {{|}}_U } { { \mathcal G } {{|}}_U
} {}
ein
\definitionsverweis {Isomorphismus}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{}
und $M$ ein
\definitionsverweis {flacher}{}{}
$R$-\definitionsverweis {Modul}{}{.}
Es sei $S$ eine
$R$-\definitionsverweis {Algebra}{}{.}
Zeige, dass
\mathl{M \otimes_{ R } S}{} ein flacher $S$-Modul ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} und $M$ ein
$R$-\definitionsverweis {Modul}{}{.} Zeige, dass $M$ genau dann ein
\definitionsverweis {projektiver Modul}{}{,}
wenn es einen weiteren Modul $N$ derart gibt, dass die direkte Summe
\mathl{M \oplus N}{}
\definitionsverweis {frei}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R
}
{ = }{ K^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
der
\definitionsverweis {Produktring}{}{.}
Zeige, dass jeder
$R$-\definitionsverweis {Modul}{}{}
$M$
\definitionsverweis {projektiv}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Man gebe ein Beispiel für einen \definitionsverweis {artinschen Ring}{}{} und einen \definitionsverweis {endlich erzeugten}{}{} $R$-\definitionsverweis {Modul}{}{} $M$, der nicht \definitionsverweis {projektiv}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass es zu dem
\definitionsverweis {surjektiven}{}{}
\definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{}
\maabbeledisp {p} {\Z^{(\N_+)}} { \Q
} {e_n } { { \frac{ 1 }{ n } }
} {,}
keinen Gruppenhomomorphismus
\maabbdisp {i} {\Q } {\Z^{(\N_+)}
} {}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ p \circ i
}
{ = }{
\operatorname{Id}_{ \Q }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt. Folgere, dass der
$\Z$-\definitionsverweis {Modul}{}{}
$\Q$ nicht
\definitionsverweis {projektiv}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{}
und $M$ ein
\definitionsverweis {projektiver}{}{}
$R$-\definitionsverweis {Modul}{}{.}
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{T
}
{ \subseteq }{ R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {multiplikatives System}{}{.}
Zeige, dass
\mathl{M_T}{} ein projektiver $R_T$-Modul ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{}
und $M$ ein
\definitionsverweis {projektiver}{}{}
$R$-\definitionsverweis {Modul}{}{.}
Es sei $S$ eine
$R$-\definitionsverweis {Algebra}{}{.}
Zeige, dass
\mathl{M \otimes_{ R } S}{} ein projektiver $S$-Modul ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f_1 , \ldots , f_n
}
{ \in }{ R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \mathcal S }
}
{ =} { \operatorname{Syz} { \left( f_1 , \ldots , f_n \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die zugehörige
\definitionsverweis {Syzygiengarbe}{}{}
auf
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U
}
{ = }{ D(f_1 , \ldots , f_n )
}
{ \subseteq }{ \operatorname{Spek} { \left( R \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Man gebe explizite Trivialisierungen für
\mathl{{ \mathcal S } {{|}}_{D(f_i)}}{} an.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein
$\Z$-\definitionsverweis {graduierter Ring}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f_1 , \ldots , f_n
}
{ \in }{ R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {homogene Elemente}{}{}
vom Grad $d_i$. Das von den $f_i$
\definitionsverweis {erzeugte Ideal}{}{}
$I$ und das
\definitionsverweis {irrelevante Ideal}{}{}
$R_+$ haben das gleiche Radikal. Zeige die folgenden Aussagen.
\aufzaehlungdrei{Es liegt eine kurze exakte Sequenz
\mathdisp {0 \, \stackrel{ }{\longrightarrow} \, \operatorname{Syz} { \left( f_1 , \ldots , f_n \right) } \, \stackrel{ }{ \longrightarrow} \, \bigoplus_{i = 1 }^n R(-d_i) \, \stackrel{ }{\longrightarrow} \, I \,\stackrel{ } {\longrightarrow} \, 0} { }
von
\definitionsverweis {graduierten}{}{}
$R$-\definitionsverweis {Moduln}{}{}
mit
\definitionsverweis {homogenen Homomorphismen}{}{}
vor.
}{Auf
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Y
}
{ = }{ \operatorname{Proj} { \left( R \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
liegt eine kurze exakte Sequenz
\mathdisp {0 \, \stackrel{ }{\longrightarrow} \, \operatorname{Syz} { \left( f_1 , \ldots , f_n \right) } \, \stackrel{ }{ \longrightarrow} \, \bigoplus_{i = 1 }^n {\mathcal O}_{ Y } ( -d_i ) \, \stackrel{ }{\longrightarrow} \, {\mathcal O}_{ Y } \,\stackrel{ } {\longrightarrow} \, 0} { }
von
\definitionsverweis {lokal freien Garben}{}{}
vor.
}{Auf
\mathl{D_+(f_i)}{} ist die Einschränkung der lokal freien Garbe
\mathl{\operatorname{Syz} { \left( f_1 , \ldots , f_n \right) }}{}
\definitionsverweis {isomorph}{}{}
zu einer direkten Summe von getwisteten Strukturgarben.
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei ${ \mathcal F }$ eine
\definitionsverweis {lokal freie Garbe}{}{}
auf einem
\definitionsverweis {beringten Raum}{}{.}
Zeige, dass die
\definitionsverweis {Determinantengarbe}{}{}
\mathl{\operatorname{Det} F}{}
\definitionsverweis {invertierbar}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei ${ \mathcal F }$ eine
\definitionsverweis {lokal freie Garbe}{}{}
auf einem
\definitionsverweis {beringten Raum}{}{}
mit der
\definitionsverweis {Dualgarbe}{}{}
${ \mathcal F } ^*$. Zeige, dass für die
\definitionsverweis {Determinantengarben}{}{}
die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left( \operatorname{Det} F \right)^*
}
{ =} { \operatorname{Det} \left( F^* \right)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathl{(X, {\mathcal O}_{ X })}{} ein
\definitionsverweis {beringter Raum}{}{}
und sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \mathcal F }
}
{ =} { { \mathcal L }_1 \oplus \cdots \oplus { \mathcal L }_r
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {direkte Summe}{}{}
von
\definitionsverweis {invertierbaren Garben}{}{.}
Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{Det} F
}
{ \cong} { { \mathcal L }_1 \otimes_{ } \cdots \otimes_{ } { \mathcal L }_r
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass in der Situation von
Aufgabe 17.19
die
\definitionsverweis {Determinantengarbe}{}{}
der
\definitionsverweis {lokal freien Garbe}{}{}
$\operatorname{Syz} { \left( f_1 , \ldots , f_n \right) }$ auf
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Y
}
{ = }{ \operatorname{Proj} { \left( R \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gleich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{Det} \left( \operatorname{Syz} { \left( f_1 , \ldots , f_n \right) } \right)
}
{ =} { {\mathcal O}_{ Y } ( - \sum_{i = 1}^n d_i )
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist.
}
{} {}