Kurs:Einführung in die Theorie der Schemata/Arbeitsblatt 5

Übungsaufgaben

Aufgabe

Es seien $ℱ$ und $𝒢$ Prägarben auf dem topologischen Raum $X$ . Zeige, dass durch $U \mapsto ℱ (U) \times 𝒢 (U)$ mit den natürlichen Produktabbildungen eine Prägarbe auf $X$ gegeben ist.

Es sei $I$ eine Indexmenge und sei $ℱ_{i}$ , $i \in I$ , eine Familie von Prägarben auf dem topologischen Raum $X$ . Zeige, dass durch $U \mapsto \prod_{i \in I} ℱ_{i} (U)$ mit den natürlichen Produktabbildungen eine Prägarbe auf $X$ gegeben ist.

Aufgabe

Interpretiere Beispiel 5.2 im Sinne von Beispiel 5.6.

Aufgabe

Es sei $p : V \to X$ ein reelles Vektorbündel vom Rang $m$ auf einem topologischen Raum $X$ . Zeige, dass zu jeder offenen Menge $U \subseteq X$ , auf der $V$ trivial ist, die zugehörige Prägarbe der stetigen Schnitte isomorph (in welchem Sinn?) zu $C^{0} (U, ℝ)^{m}$ ist.

Aufgabe

Zeige, dass die Gruppen $(ℝ, +)$ , $(ℝ ∖ {0}, \cdot)$ , $(ℂ, +)$ , $(ℂ ∖ {0}, \cdot)$ , $(ℝ^{n}, +)$ , $(S^{1}, mit der Winkeladdition)$ , die allgemeine lineare Gruppe ${GL}_{n} (ℝ)$ bzw. ${GL}_{n} (ℂ)$ topologische Gruppen sind.

Aufgabe

Es sei $G$ eine topologische Gruppe und $H \subseteq G$ eine Untergruppe. Zeige, dass auf jedem topologischen Raum $X$ die Prägarbe $C^{0} (-, H)$ eine Unterprägarbe von $C^{0} (-, G)$ ist.

Eine differenzierbare Mannigfaltigkeit $G$ , die zugleich eine Gruppe ist, für die die Inversenabbildung und die Gruppenverknüpfung differenzierbare Abbildungen sind, heißt (reelle) Lie-Gruppe.

Aufgabe

Zeige, dass die Gruppen $(ℝ, +)$ , $(ℝ ∖ {0}, \cdot)$ , $(ℂ, +)$ , $(ℂ ∖ {0}, \cdot)$ , $(ℝ^{n}, +)$ , $(S^{1}, mit der Winkeladdition)$ , die allgemeine lineare Gruppe ${GL}_{n} (ℝ)$ bzw. ${GL}_{n} (ℂ)$ Lie-Gruppen sind.

Aufgabe

Zeige, dass das Tangentialbündel auf einer Lie-Gruppe trivial ist.

Tipp: Zeige, dass man den Tangentialraum am neutralen Element in sinnvoller Weise in die anderen Tangentialräume transportieren kann.

Aufgabe

Es sei $I$ eine gerichtete Indexmenge und sei $M_{i}$ , $i \in I$ , ein gerichtetes System von Mengen. Es sei $N$ eine weitere Menge und zu jedem $i \in I$ sei eine Abbildung

ψ_{i} : M_{i} ⟶ N

mit der Eigenschaft gegeben, dass $ψ_{i} = ψ_{j} \circ φ_{i j}$ ist für alle $i ≼ j$ (wobei $φ_{i j}$ die Abbildungen des Systems bezeichnen). Beweise die universelle Eigenschaft des Kolimes, nämlich, dass es eine eindeutig bestimmte Abbildung

ψ : colim_{i \in I} M_{i} ⟶ N

derart gibt, dass $ψ_{i} = ψ \circ j_{i}$ ist, wobei $j_{i} : M_{i} \to colim_{i \in I} M_{i}$ die natürlichen Abbildungen sind.

Zeige ferner, dass falls $M_{i}$ ein gerichtetes System von Gruppen und falls $N$ ebenfalls eine Gruppe ist und alle $ψ_{i}$ Gruppenhomomorphismen sind, dass dann auch $ψ$ ein Gruppenhomomorphismus ist.

Aufgabe

Es sei $I$ eine gerichtete Indexmenge und sei $G_{i}$ , $i \in I$ , ein gerichtetes System von kommutativen Gruppen. Zeige, dass der Kolimes eine kommutative Gruppe ist.

Aufgabe

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und sei $S \subseteq R$ ein multiplikatives System. Auf $S$ betrachten wir folgende (partielle) Ordnung, und zwar sagen wir $f ≼ g$ , falls $f$ eine Potenz von $g$ teilt (und wir identifizieren zwei Elemente, wenn diese Relation in beide Richtungen vorliegt). Zeige, dass die kommutativen Ringe

R_{f}, f \in S,

ein gerichtetes System bilden, und dass für den Kolimes

{colim}_{f \in S} R_{f} = R_{S}

gilt.

Aufgabe

Zeige, dass der Halm des Tangentialbündels einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit in einem Punkt nur von der Dimension der Mannigfaltigkeit (in diesem Punkt) abhängt.

Aufgabe

Es seien $ℱ$ und $𝒢$ Prägarben auf dem topologischen Raum $X$ und $ℱ \times 𝒢$ ihre Produktprägarbe. Zeige, dass für den Halm in jeden Punkt $P \in X$ die Beziehung

{(ℱ \times 𝒢)}_{P} = ℱ_{P} \times 𝒢_{P}

gilt.

Aufgabe

Es sei $X$ ein topologischer Raum und seien $ℱ, 𝒢, ℋ$ Prägarben auf $X$ . Zeige die folgenden Aussagen.

Die Identität
$ℱ ⟶ ℱ$

ist ein Homomorphismus von Prägarben.
Wenn $φ : ℱ \to 𝒢$ und $ψ : 𝒢 \to ℋ$ Homomorphismen von Prägarben sind, so ist auch die Verknüpfung $ψ \circ φ$ ein Homomorphismus von Prägarben.
Zu einer Unterprägarbe $ℱ \subseteq 𝒢$ ist die natürliche Inklusion ein Homomorphismus von Prägraben.

Aufgabe

Es sei $I$ eine Indexmenge und sei $ℱ_{i}$ , $i \in I$ , eine Familie von Prägarben auf dem topologischen Raum $X$ mit der Produktprägarbe $\prod_{i \in I} ℱ_{i}$ . Es sei $𝒢$ eine weitere Prägarbe auf $X$ . Zeige, dass ein Prägarbenmorphismus

ψ : 𝒢 ⟶ \prod_{i \in I} ℱ_{i}

das gleiche ist wie eine Familie von Prägarbenmorphismen

ψ_{i} : 𝒢 ⟶ ℱ_{i} .

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