Kurs:Einführung in die Theorie der Schemata/Vorlesung 12

Lemma

In einem Schema ${}X$ besitzt jede abgeschlossene irreduzible Teilmenge  ${}Y\subseteq X$ 

einen eindeutig bestimmten generischen Punkt.

Beweis

Nach Voraussetzung ist ${}Y$ nicht leer. Sei  ${}P\in Y$  ein Punkt und  ${}P\in W=\operatorname {Spek} \left(R\right)$  eine offene affine Umgebung. Es ist dann

${}Y\cap W\subseteq W\,$

eine abgeschlossene irreduzible Teilmenge in einem affinen Schema. Nach Lemma 2.3 ist  ${}Y\cap W=V({\mathfrak {p}})$  mit einem Primideal  ${}{\mathfrak {p}}\in W$.  Wir behaupten, dass ${}{\mathfrak {p}}$ der generische Punkt von ${}Y$ ist. Wenn  ${}U\subseteq X$  offen und ${}Y\cap U$ nicht leer ist, so ist auch ${}Y\cap U\cap W$ wegen der Irreduzibilität von ${}Y$ nicht leer und daher  ${}{\mathfrak {p}}\in U$.  Der generische Punkt ist eindeutig bestimmt, da er als Punkt im affinen Schema ${}W$ eindeutig bestimmt ist.

$\Box$

Definition

Ein Schema ${}X$ heißt noethersch, wenn es durch endlich viele affine Schemata zu noetherschen Ringen überdeckt werden kann.

Insbesondere ist das Spektrum zu einem noetherschen Ring ein noethersches Schema.

Lemma

Ein noethersches Schema

ist ein noetherscher topologischer Raum.

Beweis

Eine endliche Vereinigung von noetherschen Räumen ist wieder noethersch, deshalb können wir direkt davon ausgehen, dass ein Spektrum zu einem noetherschen Ring vorliegt. Wir müssen gemäß Lemma 2.8 zeigen, dass eine jede offene Teilmenge  ${}U=D({\mathfrak {a}})\subseteq \operatorname {Spek} \left(R\right)$  quasikompakt ist. Da ${}R$ noethersch ist, gilt  ${}{\mathfrak {a}}=\left(f_{1},\ldots ,f_{n}\right)$  und daher

${}D({\mathfrak {a}})=D(f_{1})\cup \ldots \cup D(f_{n})\,$

nach Proposition 1.4  (2). Nach Korollar 1.6 in Verbindung mit Proposition 1.11 sind die ${}D(f_{i})$ quasikompakt, also auch ihre endliche Vereinigung.

$\Box$

Mit unseren bisher entwickelten topologischen Methoden können wir direkt das folgende rein algebraische Resultat beweisen.

Lemma

In einem noetherschen kommutativen Ring

gibt es nur endlich viele minimale Primideale.

Beweis

Siehe Aufgabe 2.15.

$\Box$

Integre Schemata

Definition

Ein beringter Raum ${}\left(X,{\mathcal {O}}_{X}\right)$ heißt reduziert, wenn für jede offene Teilmenge  ${}U\subseteq X$  der Ring ${}\Gamma (U,{\mathcal {O}}_{X})$ reduziert ist.

Definition

Ein Schema ${}X$ heißt integer, wenn es irreduzibel und reduziert ist.

Lemma

In einem integren Schema

sind die Restriktionsabbildungen

$\Gamma (U,{\mathcal {O}}_{X})\longrightarrow \Gamma (V,{\mathcal {O}}_{X})$

zu  ${}\emptyset \neq V\subseteq U\subseteq X$  injektiv.

Beweis

Sei  ${}f\in \Gamma (U,{\mathcal {O}}_{X})$  nicht ${}0$. Die Menge

${}X_{f}=\left\{P\in X\mid f(P)\neq 0\right\}\,$

ist offen nach Lemma 9.16 und wegen der Reduziertheit nicht leer. Wegen der Irreduzibilität von ${}X$ ist ${}X_{f}\cap V$ ebenfalls nicht leer und somit ist die Restriktion von ${}f$ auf ${}V$ ebenfalls nicht ${}0$.

$\Box$

Beispiel

Es sei ${}K$ ein Körper und  ${}R=K[X,Y]/(X^{2},XY)$.  Es ist  ${}{\mathfrak {q}}=(X)$  das einzige minimale Primideal von ${}R$ und daher ist ${}\operatorname {Spek} \left(R\right)$ irreduzibel. Wegen  ${}Y\notin {\mathfrak {q}}$  und  ${}XY=0$  gilt in der Lokalisierung ${}R_{\mathfrak {q}}$ die Gleichheit  ${}X=0$,  und es ist

${}R_{\mathfrak {q}}=K[Y]_{(0)}=K(Y)\,$

ein Körper. Die Restriktionsabbildung ${}R\rightarrow R_{\mathfrak {q}}$ ist nicht injektiv. Es ist

${}D(X)=\emptyset \,,$

das Element ${}X$ ist aber in der Lokalisierung ${}R_{(X,Y)}$ nicht ${}0$.

Lemma

In einem integren Schema ${}X$ ist zu jeder nichtleeren offenen Menge  ${}U\subseteq X$ 

der Schnittring ${}\Gamma (U,{\mathcal {O}}_{X})$ ein Integritätsbereich.

Beweis

Da ${}U$ offen und nicht leer ist, gibt es eine nichtleere offene affine Teilmenge

${}V=\operatorname {Spek} \left(R\right)\subseteq U\,.$

Nach Lemma 12.7 genügt es zu zeigen, dass ${}R$ ein Integritätsbereich ist. Es sei ${}{\mathfrak {a}}$ das Nilradikal von ${}R$. Wegen der Irreduzibilität von ${}V$, die aus der Irreduzibilität von ${}X$ folgt, ist nach Lemma 2.3 das Ideal ${}{\mathfrak {a}}$ ein Primideal. Da die Reduziertheit nach Fakt ***** eine lokale Eigenschaft ist, gilt  ${}{\mathfrak {a}}=0$.  Das Nullideal ist also ein Primideal und damit ist ${}R$ ein Integritätsbereich.

$\Box$

Lemma

Zu einem integren Schema

ist der Halm der Strukturgarbe im generischen Punkt ein Körper.

Beweis

Den Halm kann man ausgehend von einer beliebigen nichtleeren affinen offenen Teilmenge ${}U$ bestimmen. Diese haben die Form  ${}U=\operatorname {Spek} \left(R\right)$  mit einem kommutativen Ring ${}R$, der aufgrund von Lemma 12.9 ein Integritätsbereich ist. Der generische Punkt entspricht dabei dem Nullideal, und die Lokalisierung am Nullideal ergibt den Quotientenkörper von ${}R$.

$\Box$

Definition

Zu einem integren Schema nennt man den Halm der Strukturgarbe im generischen Punkt den Funktionenkörper von ${}X$.

In einem integren Schema ist der Schnittring zu jeder nichtleeren offenen Menge ein Unterring des Funktionenkörpers.

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