Kurs:Einführung in die Theorie der Schemata/Vorlesung 13

Moduln auf einem beringten Raum

So wie es für einen kommutativen Ring ${}R$ wichtig ist, die ${}R$- Moduln zu verstehen, muss man für einen beringten Raum die darauf gegebenen ${}{\mathcal {O}}_{X}$-Moduln verstehen.

Definition

Eine Garbe ${}{\mathcal {M}}$ auf einem beringten Raum ${}(X,{\mathcal {O}}_{X})$ heißt ${}{\mathcal {O}}_{X}$-Modul, wenn es für jede offene Menge  ${}U\subseteq X$  auf ${}\Gamma {\left(U,{\mathcal {M}}\right)}$ eine ${}\Gamma {\left(U,{\mathcal {O}}_{X}\right)}$- Modulstruktur gegeben ist, die mit den Restriktionsabbildungen zu  ${}U\subseteq V$  verträglich ist.

Die Verträglichkeitsbedingung bedeutet, dass zu offenen Mengen  ${}U\subseteq V$  das Diagramm

${\begin{matrix}\Gamma {\left(V,{\mathcal {O}}_{X}\right)}\times \Gamma {\left(V,{\mathcal {M}}\right)}&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&\Gamma {\left(V,{\mathcal {M}}\right)}&\\\downarrow &&\downarrow &\\\Gamma {\left(U,{\mathcal {O}}_{X}\right)}\times \Gamma {\left(U,{\mathcal {M}}\right)}&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&\Gamma {\left(U,{\mathcal {M}}\right)}&\!\!\!\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$

kommutiert. Die Strukturgarbe ${}{\mathcal {O}}_{X}$ ist insbesondere ein ${}{\mathcal {O}}_{X}$-Modul. Ein ${}{\mathcal {O}}_{X}$-Modul ist insbesondere eine Garbe von abelschen Gruppen.

Definition

Es sei ${}(X,{\mathcal {O}}_{X})$ ein beringter Raum und ${}{\mathcal {M}}$ ein ${}{\mathcal {O}}_{X}$- Modul. Eine Untergarbe  ${}{\mathcal {N}}\subseteq {\mathcal {M}}$  derart, dass ${}\Gamma {\left(U,{\mathcal {N}}\right)}$ für jede offene Teilmenge  ${}U\subseteq X$  ein ${}\Gamma (U,{\mathcal {O}}_{X})$- Untermodul von ${}\Gamma {\left(U,{\mathcal {M}}\right)}$ ist, heißt ${}{\mathcal {O}}_{X}$-Untermodul von ${}{\mathcal {M}}$.

Definition

Es sei ${}(X,{\mathcal {O}}_{X})$ ein beringter Raum. Ein ${}{\mathcal {O}}_{X}$- Untermodul  ${}{\mathcal {I}}\subseteq {\mathcal {O}}_{X}$  heißt Idealgarbe.

Definition

Es sei ${}(X,{\mathcal {O}}_{X})$ ein lokal beringter Raum und ${}{\mathcal {M}}$ ein ${}{\mathcal {O}}_{X}$- Modul. Zu einem Punkt  ${}P\in X$  nennt man

${}{\mathcal {M}}(P):={\mathcal {M}}_{P}\otimes _{{\mathcal {O}}_{X,P}}\kappa (P)\,$

die Faser von ${}{\mathcal {M}}$ im Punkt ${}P$.

Die Faser ist insbesondere ein Vektorraum über dem Restekörper ${}\kappa (P)$.

Definition

Es sei ${}{\left(X,{\mathcal {O}}_{X}\right)}$ ein beringter Raum und seien ${}{\mathcal {M}}$ und ${}{\mathcal {N}}$ ${}{\mathcal {O}}_{X}$- Moduln auf ${}X$. Ein Garbenhomomorphismus ${}\varphi \colon {\mathcal {M}}\rightarrow {\mathcal {N}}$ heißt ${}{\mathcal {O}}_{X}$-Modulhomomorphismus, wenn für jede offene Menge  ${}U\subseteq X$  die Abbildung

$\Gamma {\left(U,{\mathcal {M}}\right)}\longrightarrow \Gamma {\left(U,{\mathcal {N}}\right)}$

ein ${}\Gamma (U,{\mathcal {O}}_{X})$- Modulhomomorphismus ist.

Ein ${}{\mathcal {O}}_{X}$- Modulhomomorphismus ist insbesondere ein Homomorphismus von Garben von abelschen Gruppen.

Die folgende Aussage ist eine Version des Festlegungssatzes aus der linearen Algebra.

Satz

Es sei ${}{\left(X,{\mathcal {O}}_{X}\right)}$ ein beringter Raum und sei ${}{\mathcal {M}}$ ein ${}{\mathcal {O}}_{X}$- Modul auf ${}X$.

Dann geben globale Schnitte  ${}s_{1},\ldots ,s_{n}\in \Gamma {\left(X,{\mathcal {M}}\right)}$  Anlass zu einem eindeutig bestimmten Modulhomomorphismus

$\varphi \colon {\mathcal {O}}_{X}^{n}\longrightarrow {\mathcal {M}},\,e_{i}\longmapsto s_{i}.$

Beweis

Zu jeder offenen Menge  ${}U\subseteq X$  ist  ${}\Gamma {\left(U,{\mathcal {O}}_{X}^{n}\right)}=\Gamma {\left(U,{\mathcal {O}}_{X}\right)}^{n}$  der freie ${}\Gamma {\left(U,{\mathcal {O}}_{X}\right)}$- Modul mit der Basis ${}e_{1},\ldots ,e_{n}$. Die globalen Schnitte ${}s_{i}$ liefern Einschränkungen  ${}{\left(s_{i}\right)}{|}_{U}\in \Gamma {\left(U,{\mathcal {M}}\right)}$.  Nach dem Festlegungssatz gibt es dazu einen eindeutig bestimmten ${}\Gamma {\left(U,{\mathcal {O}}_{X}\right)}$- Modulhomomorphismus

$\Gamma {\left(U,{\mathcal {O}}_{X}\right)}^{n}\longrightarrow \Gamma {\left(U,{\mathcal {M}}\right)},\,e_{i}\longmapsto {\left(s_{i}\right)}{|}_{U}.$

Diese Modulhomomorphismen sind mit den Einschränkungen zu  ${}V\subseteq U$  verträglich und daher liegt ein Homomorphismus von Modulgarben vor.

$\Box$

Lemma

Es sei ${}{\left(X,{\mathcal {O}}_{X}\right)}$ ein beringter Raum und sei ${}{\mathcal {M}}$ ein ${}{\mathcal {O}}_{X}$- Moduln auf ${}X$.

Dann entspricht ein globaler Schnitt  ${}s\in \Gamma {\left(X,{\mathcal {M}}\right)}$  eindeutig dem Modulhomomorphismus

$\varphi \colon {\mathcal {O}}_{X}\longrightarrow {\mathcal {M}},\,1\longmapsto s.$

Beweis

Dies ist ein Spezialfall von Satz 13.6.

$\Box$

Konstruktionen für Modulgarben

Definition

Es sei ${}(X,{\mathcal {O}}_{X})$ ein beringter Raum und seien ${}{\mathcal {M}}$ und ${}{\mathcal {N}}$ Modulgarben auf ${}X$. Dann nennt man

${}\operatorname {Hom} {\left({\mathcal {M}},{\mathcal {N}}\right)}={\left\{\varphi :{\mathcal {M}}\rightarrow {\mathcal {N}}\mid \varphi {\text{ Modulhomomorphismus}}\right\}}\,$

mit der natürlichen ${}\Gamma {\left(X,{\mathcal {O}}_{X}\right)}$- Modulstruktur den (globalen) Homomorphismenmodul zu ${}{\mathcal {M}}$ und ${}{\mathcal {N}}$.

Im Wesentlichen gibt es zu jeder Konstruktion für ${}R$-Moduln eine analoge Konstruktion für ${}{\mathcal {O}}_{X}$-Moduln. Der Leitgedanke ist dabei, dass die konstruierten Objekte wieder die „richtigen Eigenschaften“ innerhalb der Kategorie aller ${}{\mathcal {O}}_{X}$-Moduln besitzt. Von daher ist auch zu erwarten, dass die vorstehende Definition noch nicht das letzte Wort ist, sondern um eine Garbenversion zu erweitern ist.

Definition

Es sei ${}(X,{\mathcal {O}}_{X})$ ein beringter Raum und seien ${}{\mathcal {M}}$ und ${}{\mathcal {N}}$ Modulgarben auf ${}X$. Dann nennt man die Zuordnung

$U\longmapsto \operatorname {Hom} {\left({\mathcal {M}}{|}_{U},{\mathcal {N}}{|}_{U}\right)}={\left\{\varphi :{\mathcal {M}}{|}_{U}\rightarrow {\mathcal {N}}{|}_{U}\mid \varphi {\text{ Modulhomomorphismus}}\right\}}$

die Homomorphismengarbe zu ${}{\mathcal {M}}$ und ${}{\mathcal {N}}$. Sie wird mit ${}{{\mathcal {H}}om}{\left({\mathcal {M}},{\mathcal {N}}\right)}$ bezeichnet.

Es ist also

${}{{\mathcal {H}}om}{\left({\mathcal {M}},{\mathcal {N}}\right)}{\left(U\right)}=\operatorname {Hom} {\left({\mathcal {M}}{|}_{U},{\mathcal {N}}{|}_{U}\right)}\,.$

Lemma

Es sei ${}(X,{\mathcal {O}}_{X})$ ein beringter Raum und seien ${}{\mathcal {M}}$ und ${}{\mathcal {N}}$ Modulgarben auf ${}X$.

Dann ist die Homomorphismengarbe ${}{{\mathcal {H}}om}{\left({\mathcal {M}},{\mathcal {N}}\right)}$ eine ${}{\mathcal {O}}_{X}$- Modulgarbe auf ${}X$.

Beweis

Es liegt die Beziehung

${}{{\mathcal {H}}om}{\left({\mathcal {M}},{\mathcal {N}}\right)}{\left(U\right)}=\operatorname {Hom} {\left({\mathcal {M}}{|}_{U},{\mathcal {N}}{|}_{U}\right)}\subseteq \operatorname {Mor} {\left({\mathcal {M}}{|}_{U},{\mathcal {N}}{|}_{U}\right)}\,$

vor, und rechts steht nach Lemma 6.9 eine Garbe. Die Homomorphieeigenschaft, also die Verträglichkeit mit der Addition und der Skalarmultiplikation, kann man dabei lokal testen (siehe Aufgabe 13.7), sodass links eine Untergarbe steht. Die ${}{\mathcal {O}}_{X}$-Struktur auf ${}{{\mathcal {H}}om}{\left({\mathcal {M}},{\mathcal {N}}\right)}$ wird durch die Addition und Skalarmultiplikation in der zweiten Komponente gegeben, und dies ist mit den Einschränkungen verträglich.

$\Box$

Definition

Es sei ${}(X,{\mathcal {O}}_{X})$ ein beringter Raum und sei ${}{\mathcal {M}}$ eine Modulgarbe auf ${}X$. Dann nennt man

${}{\mathcal {M}}^{*}={{\mathcal {H}}om}{\left({\mathcal {M}},{\mathcal {O}}_{X}\right)}\,$

mit der natürlichen ${}{\mathcal {O}}_{X}$- Modulstruktur den dualen Modul zu ${}{\mathcal {M}}$.

Definition

Es sei ${}(X,{\mathcal {O}}_{X})$ ein beringter Raum und seien ${}{\mathcal {F}},{\mathcal {G}}$ Modulgarben auf ${}X$. Dann nennt man die Vergarbung der Prägarbe

$U\longmapsto \Gamma {\left(U,{\mathcal {F}}\right)}\otimes _{\Gamma (U,{\mathcal {O}}_{X})}\Gamma {\left(U,{\mathcal {G}}\right)}$

das Tensorprodukt der Moduln. Sie wird mit ${}{\mathcal {F}}\otimes _{{\mathcal {O}}_{X}}{\mathcal {G}}$ bezeichnet.

Aufgrund der universellen Eigenschaft der Vergarbung gibt es eine kanonische Abbildung

$\Gamma {\left(U,{\mathcal {F}}\right)}\otimes _{\Gamma (U,{\mathcal {O}}_{X})}\Gamma {\left(U,{\mathcal {G}}\right)}\longrightarrow \Gamma {\left(U,{\mathcal {F}}\otimes _{{\mathcal {O}}_{X}}{\mathcal {G}}\right)},$

die in den Halmen ein Isomorphismus ist. Der Halm ist dabei das Tensorprodukt der Halme, siehe Aufgabe 13.9.

Invertierbare Garben

Definition

Ein ${}{\mathcal {O}}_{X}$- Modul ${}{\mathcal {L}}$ auf einem beringten Raum ${}{\left(X,{\mathcal {O}}_{X}\right)}$ heißt invertierbar, wenn es eine offene Überdeckung  ${}X=\bigcup _{i\in I}U_{i}$  derart gibt, dass die Einschränkungen ${}{\mathcal {L}}{|}_{U_{i}}$ isomorph zu ${}{\mathcal {O}}_{X}{|}_{U_{i}}$ sind.

Eine invertierbare Garbe ${}{\mathcal {L}}$ auf einem beringten Raum ${}(X,{\mathcal {O}}_{X})$ heißt trivial, wenn sie isomorph zur Strukturgarbe ${}{\mathcal {O}}_{X}$ ist.

Beispiel

Es sei ${}X$ ein topologischer Raum, versehen mit der Garbe der stetigen Funktionen ${}C(-,\mathbb {R} )$ und ${}L\rightarrow X$ eine reelles Geradenbündel auf ${}X$. Dann ist die Garbe der stetigen Schnitte ${}S$ im Sinne von Beispiel 5.6 ein invertierbarer ${}C(-,\mathbb {R} )$- Modul. Zu einer offenen Menge  ${}U\subseteq X$  mit einer Trivialisierung  ${}L{|}_{U}\cong \mathbb {R} \times U$  ist ja  ${}S(U,L{|}_{U})\cong C(U,\mathbb {R} )$, 

Beispiel

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}{\mathbb {P} }_{K}^{n}$ der projektive Raum über ${}K$. Die Strukturgarbe ist für jede offene Teilmenge ${}U$ eine Teilmenge des Funktionenkörpers

${}\Gamma {\left(U,{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{K}^{n}}\right)}\subseteq K({\frac {X_{1}}{X_{0}}},\ldots ,{\frac {X_{n}}{X_{0}}})\,.$

Wegen der Faktorialität des Polynomringes gibt es zu jedem homogenen Ideal ${}{\mathfrak {a}}$ ein bis auf Multiplikation mit einem Skalar eindeutig bestimmtes homogenes Polynom ${}f$ von maximalem Grad ohne mehrfache Faktoren mit

${}D_{+}({\mathfrak {a}})\subseteq D_{+}(f)\,$

(daei ist hier  ${}f=1$  erlaubt, wobei dann allerdings die Schreibweise ${}D_{+}(f)$ nicht verwendet wird.). Wegen Satz 10.8 ist der globale Schnittring gleich

${}\Gamma {\left(U,{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{K}^{n}}\right)}=\Gamma {\left(D_{+}(f),{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{K}^{n}}\right)}={\left(K[X_{0},X_{1},\ldots ,X_{n}]_{f}\right)}_{0}\subseteq K({\frac {X_{1}}{X_{0}}},\ldots ,{\frac {X_{n}}{X_{0}}})\,.$

Sei  ${}\ell \in \mathbb {Z}$  fixiert. Wir definieren eine Garbe ${}{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{K}^{n}}(\ell )$ durch

${}\Gamma {\left(U,{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{K}^{n}}(\ell )\right)}=\Gamma {\left(D_{+}(f),{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{K}^{n}}(\ell )\right)}:={\left(K[X_{0},X_{1},\ldots ,X_{n}]_{f}\right)}_{\ell }\,.$

Dabei handelt es sich um eine invertierbare Garbe. Auf ${}D_{+}(X_{0})$ (und ebenso auf den $D_{+}(X_{i})$) ist nämlich

${\left(K[X_{0},X_{1},\ldots ,X_{n}]_{X_{0}}\right)}_{0}\longrightarrow {\left(K[X_{0},X_{1},\ldots ,X_{n}]_{X_{0}}\right)}_{\ell },\,{\frac {F}{G}}\longmapsto X_{0}^{\ell }\cdot {\frac {F}{G}},$

ein ${}{\left(K[X_{0},X_{1},\ldots ,X_{n}]_{X_{0}}\right)}_{0}$- Modulisomorphismus, der sich auf die kleineren offenen Teilmengen überträgt. Die globale Auswertung auf dem projektiven Raum ist einfach ${}{\left(K[X_{0},X_{1},\ldots ,X_{n}]\right)}_{\ell }$, was zeigt, dass (bei ${}n\geq 1$) diese invertierbaren Garben zu  ${}\ell \geq 0$  nicht zueinander isomorph sind (das stimmt für alle ${}\ell$).

Definition

Zu einem lokal beringten Raum ${}(X,{\mathcal {O}}_{X})$, einer invertierbaren Garbe ${}{\mathcal {L}}$ auf ${}X$ und einem globalen Schnitt  ${}s\in \Gamma {\left(X,{\mathcal {L}}\right)}$  nennt man

${}X_{s}:={\left\{P\in X\mid s_{P}\notin {\mathfrak {m}}_{P}{\mathcal {L}}_{P}\right\}}\,$

den Invertierbarkeitsort von ${}s$.

Das Komplement ${}X\setminus X_{s}$, also das Nullstellengebilde des Schnittes, bezeichnen wir mit ${}Z(s)$.

Lemma

Es sei ${}(X,{\mathcal {O}}_{X})$ ein lokal beringter Raum, ${}{\mathcal {L}}$ eine invertierbare Garbe auf ${}X$ und  ${}s\in \Gamma {\left(X,{\mathcal {L}}\right)}$  ein globaler Schnitt.

Dann ist der Invertierbarkeitsort  ${}X_{s}\subseteq X$  offen.

Beweis

Dies folgt durch eine lokale Betrachtung aus Lemma 9.16.

$\Box$

Lemma

Es sei ${}(X,{\mathcal {O}}_{X})$ ein lokal beringter Raum und ${}{\mathcal {L}}$ eine invertierbare Garbe auf ${}X$. Es sei  ${}s\in \Gamma {\left(X,{\mathcal {L}}\right)}$  ein globaler Schnitt mit dem Invertierbarkeitsort ${}X_{s}$.

Dann ist die Einschränkung ${}{\mathcal {L}}{|}_{X_{s}}$ trivial.

Beweis

Der globale Schnitt ${}s$ gibt nach Lemma 13.7 Anlass zu einem Modulhomomorphismus

${\mathcal {O}}_{X}\longrightarrow {\mathcal {L}},\,1\longmapsto s,$

und insbesondere zu einem Modulhomomorphismus

$\varphi \colon {\mathcal {O}}_{X}{|}_{X_{s}}\longrightarrow {\mathcal {L}}{|}_{X_{s}}.$

Für jeden Punkt  ${}P\in X_{s}$  ist dies ein Isomorphismus, daher ist ${}\varphi$ nach Lemma 6.6 ebenfalls ein Isomorphismus.

$\Box$

Rückzug

Zu einem Morphismus beringter Räume ${}\varphi \colon (X,{\mathcal {O}}_{X})\rightarrow (Y,{\mathcal {O}}_{Y})$ und einem ${}{\mathcal {O}}_{Y}$- Modul ist die zurückgezogene Garbe ${}\varphi ^{-1}{\mathcal {G}}$ im Allgemeinen kein ${}{\mathcal {O}}_{X}$-Modul.

Definition

Zu einem Morphismus beringter Räume ${}\varphi \colon (X,{\mathcal {O}}_{X})\rightarrow (Y,{\mathcal {O}}_{Y})$ und einem ${}{\mathcal {O}}_{Y}$- Modul ${}{\mathcal {G}}$ ist die zurückgezogene Modulgarbe ${}\varphi ^{*}{\mathcal {G}}$ als Vergarbung der Prägarbe

$U\longmapsto \Gamma {\left(U,{\mathcal {O}}_{X}\right)}\otimes _{\Gamma {\left(U,\varphi ^{-1}{\mathcal {O}}_{Y}\right)}}\Gamma {\left(U,\varphi ^{-1}{\mathcal {G}}\right)}$

definiert.

Lemma

Es sei ${}\varphi \colon (X,{\mathcal {O}}_{X})\rightarrow (Y,{\mathcal {O}}_{Y})$ ein Morphismus beringter Räume und ${}{\mathcal {G}}$ ein ${}{\mathcal {O}}_{Y}$- Modul auf ${}Y$. Dann gelten folgende Eigenschaften.

1. Der zurückgezogene Modul ${}\varphi ^{*}{\mathcal {G}}$ ist ein ${}{\mathcal {O}}_{X}$-Modul.
2. Es ist

   ${}\varphi ^{*}{\mathcal {O}}_{Y}={\mathcal {O}}_{X}\,.$

3. Zu einer lokal freien Garbe ${}{\mathcal {G}}$ auf ${}Y$ vom Rang ${}r$ ist ${}\varphi ^{*}{\mathcal {G}}$ eine lokale freie Garbe auf ${}X$ vom Rang ${}r$.
4. Zu einer offenen Teilmenge  ${}V\subseteq Y$  ist

   ${}i_{V}^{*}({\mathcal {G}})=i_{V}^{-1}({\mathcal {G}})={\mathcal {G}}{|}V\,.$

5. Für einen Morphismus

   $\psi \colon (Y,{\mathcal {O}}_{Y})\longrightarrow (Z,{\mathcal {O}}_{Z})$

   in einen weiteren beringten Raum und einen ${}{\mathcal {O}}_{Z}$-Modul ${}{\mathcal {H}}$ ist  ${}\varphi ^{*}{\left(\psi ^{*}{\mathcal {H}}\right)}={\left(\psi \circ \varphi \right)}^{*}{\mathcal {H}}$. 

6. Zu einer offenen Teilmenge  ${}V\subseteq Y$  ist

   ${}{\left(\varphi ^{*}{\mathcal {G}}\right)}{|}_{\varphi ^{-1}(V)}={\left(\varphi ^{*}{\mathcal {G}}\right)}{|}_{V}\,.$

Beweis

Siehe Aufgabe *****.

$\Box$

Lemma

Es sei ${}\varphi \colon (X,{\mathcal {O}}_{X})\rightarrow (Y,{\mathcal {O}}_{Y})$ ein Morphismus beringter Räume. Es sei ${}{\mathcal {F}}$ ein ${}{\mathcal {O}}_{X}$- Modul auf ${}X$ und ${}{\mathcal {G}}$ ein ${}{\mathcal {O}}_{Y}$-Modul auf ${}Y$.

Dann gibt es einen natürlichen Gruppenisomorphismus

$\operatorname {Hom} _{{\mathcal {O}}_{X}}{\left(\varphi ^{*}{\mathcal {G}},{\mathcal {F}}\right)}\longrightarrow \operatorname {Hom} _{{\mathcal {O}}_{Y}}{\left({\mathcal {G}},\varphi _{*}{\mathcal {F}}\right)}.$

Beweis

Dies folgt im Wesentlichen aus Aufgabe 8.13.

$\Box$

Lemma

Es seien ${}X$ und ${}Y$ lokal beringte Räume und ${}\varphi \colon X\rightarrow Y$ ein Morphismus lokal beringter Räume. Es sei ${}{\mathcal {M}}$ eine invertierbare Garbe auf ${}Y$ und  ${}s\in \Gamma {\left(Y,{\mathcal {M}}\right)}$  ein Schnitt. Es sei ${}\varphi ^{*}(s)$ der zurückgezogene Schnitt in der zurückgezogenen Garbe ${}\varphi ^{*}{\mathcal {M}}$.

Dann gilt für die Invertierbarkeitsorte die Beziehung

${}\varphi ^{-1}(Y_{s})=X_{\varphi ^{*}(s)}\,.$

Beweis

Dies folgt aus Lemma 9.18.

$\Box$

Lemma

Es sei ${}\theta \colon R\rightarrow S$ ein Ringhomomorphismus zwischen kommutativen Ringen und ${}\varphi \colon \operatorname {Spek} {\left(S\right)}\rightarrow \operatorname {Spek} {\left(R\right)}$ der zugehörige Schemamorphismus. Es sei ${}M$ ein ${}R$- Modul.

Dann ist

${}\varphi ^{*}{\widetilde {M}}={\widetilde {M\otimes _{R}S}}\,.$

Beweis

Siehe Aufgabe *****.

$\Box$

Lemma

Es sei ${}\varphi \colon X\rightarrow Y$ ein Schemamorphismus.

Zu einem quasikohärenten ${}{\mathcal {O}}_{Y}$- Modul ${}{\mathcal {G}}$ ist ${}\varphi ^{*}{\mathcal {G}}$ eine quasikohärenter ${}{\mathcal {O}}_{X}$-Modul.

Beweis

Dies folgt direkt aus Lemma 13.23.

$\Box$

Lemma

Es sei ${}R$ ein standard-graduierter Ring und  ${}S=R/{\mathfrak {a}}$  ein Restklassenring zu einem homogenen Ideal  ${}{\mathfrak {a}}\subseteq R$.  Es sei

${}Z=\operatorname {Proj} {\left(S\right)}=V+({\mathfrak {a}})\subseteq \operatorname {Proj} {\left(R\right)}=Y\,$

die zugehörige abgeschlossene Einbettung.

Dann gilt für die getwisteten Strukturgarben die Beziehung

${}{\mathcal {O}}_{Z}(n)=j_{Z}^{*}{\mathcal {O}}_{Y}(n)\,.$

Beweis

Wir können direkt annehmen, dass

${}R=K[X_{0},X_{1},\ldots ,X_{d}]\,$

der standard-graduierte Polynomring über einem kommutativen Ring ${}K$ ist. Der homogene Restklassenhomomorphismus ${}R_{n}\rightarrow {\left(R/{\mathfrak {a}}\right)}_{n}$ definiert einen ${}{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{K}^{d}}$- Modulhomomorphismus

${\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{K}^{d}}(n)\longrightarrow j_{Z*}{\mathcal {O}}_{Z}(n).$

Durch Adjunktion im Sinne von Lemma 13.21 entspricht diesem ein ${}{\mathcal {O}}_{Z}$-Modulhomomorphismus

$j_{Z}^{*}{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{K}^{d}}(n)\longrightarrow {\mathcal {O}}_{Z}(n).$

Dieser ist ein Isomorphismus.

$\Box$

Eine direktere Beweismöglichkeit ergibt sich mit Aufgabe 15.22.

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