Kurs:Einführung in die Theorie der Schemata/Vorlesung 5

Prägarben

Definition

Es sei ${}X$ ein topologischer Raum. Unter einer Prägarbe ${}{\mathcal {F}}$ auf ${}X$ versteht man eine Zuordnung, die jeder offenen Menge  ${}U\subseteq X$  eine Menge ${}{\mathcal {F}}{\left(U\right)}$ und zu je zwei offenen Mengen  ${}U\subseteq V$  eine Abbildung

$\rho _{V,U}\colon {\mathcal {F}}{\left(V\right)}\longrightarrow {\mathcal {F}}{\left(U\right)}$

zuordnet, wobei diese Zuordnung die beiden folgenden Bedingungen erfüllen muss.

1. Zu  ${}U=V$  ist

   ${}\rho _{U,U}=\operatorname {Id} _{{\mathcal {F}}{\left(U\right)}}\,.$

2. Zu offenen Mengen

   ${}U\subseteq V\subseteq W\,$

   ist stets

   ${}\rho _{W,U}=\rho _{V,U}\circ \rho _{W,V}\,.$

Die Abbildungen ${}\rho _{V,U}$ heißen dabei Restriktionsabbildungen. Die Mengen ${}{\mathcal {F}}{\left(U\right)}$ nennt man auch die Auswertung der Prägarbe an der offenen Menge ${}U$.

Grundbeispiele für Prägarben (und Garben) sind die folgenden Konstruktionen.

Beispiel

Es seien ${}X$ und ${}Z$ topologische Räume. Jeder offenen Teilmenge  ${}U\subseteq X$  kann man die Menge der auf ${}U$ definierten stetigen Abbildungen nach ${}Z$ zuordnen, also

${}C^{0}(U,Z)=\left\{\varphi :U\rightarrow Z\mid \varphi {\text{ stetig}}\right\}\,.$

Da man eine stetige Abbildung ${}\varphi \colon U\rightarrow Z$ auf jede offene Teilmenge  ${}V\subseteq U$  einschränken kann und da man zu  ${}U\subseteq V\subseteq W$  die Einschränkung von ${}W$ auf ${}U$ in einem Schritt oder in zwei Schritten machen kann, erhält man eine Prägarbe.

Ein Spezialfall hiervon wird im folgenden Beispiel formuliert, in dem eine zusätzliche Struktur, nämlich ein beringter Raum vorliegt.

Beispiel

Es sei ${}X$ ein topologischer Raum. Jeder offenen Teilmenge  ${}U\subseteq X$  kann man die Menge der auf ${}U$ definierten reellwertigen stetigen Funktionen zuordnen, also

${}{\mathcal {C}}{\left(U\right)}=C^{0}(U,\mathbb {R} )=\left\{f:U\rightarrow \mathbb {R} \mid f{\text{ stetig}}\right\}\,.$

Da man eine stetige Funktion ${}f\colon U\rightarrow \mathbb {R}$ auf jede offene Teilmenge  ${}V\subseteq U$  einschränken kann, erhält man eine Prägarbe.

Beispiel

Es sei ${}X$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit. Jeder offenen Teilmenge  ${}U\subseteq X$  kann man die Menge der auf ${}U$ definierten reellwertigen differenzierbaren Funktionen zuordnen, also

${}{\mathcal {C}}{\left(U\right)}=C^{1}(U,\mathbb {R} )=\left\{f:U\rightarrow \mathbb {R} \mid f{\text{ stetig differenzierbar}}\right\}\,.$

Da man eine differenzierbare Funktion ${}f\colon U\rightarrow \mathbb {R}$ auf jede offene Teilmenge  ${}V\subseteq U$  einschränken kann, erhält man eine Prägarbe.

Beispiel

Auf einem topologischen Raum ${}X$ und zu einer fixierten Menge ${}M$ ist die Zuordnung, die jeder offenen Menge  ${}U\subseteq X$  die Menge ${}M$ und jeder Inklusion die Identität auf ${}M$ zuordnet, eine Prägarbe, die die konstante Prägarbe heißt.

Beispiel

Es seien ${}X$ und ${}Y$ topologische Räume und es sei

$p\colon Y\longrightarrow X$

eine fixierte stetige Abbildung. Diese Situation induziert für jede offene Teilmenge  ${}U\subseteq X$  eine stetige Abbildung

$Y{|}_{U}=p^{-1}(U)\longrightarrow U.$

Somit kann man zu ${}U$ die Menge der auf ${}U$ definierten stetigen Schnitte zu ${}p^{-1}(U)\rightarrow U$ zuordnen, also

${}S(U,Y)=\left\{s:U\rightarrow p^{-1}(U)\mid s{\text{ stetiger Schnitt zu }}p\right\}\,.$

Da man einen stetigen Schnitt auf jede offene Teilmenge  ${}V\subseteq U$  einschränken kann, wobei der Bildbereich entsprechend auf ${}p^{-1}(V)$ eingeschränkt wird, erhält man eine Prägarbe.

Aufgrund dieses wichtigen Beispiels nennt man ein Element  ${}s\in {\mathcal {F}}{\left(U\right)}$  auch einen Schnitt der Prägarbe ${}{\mathcal {F}}$ über ${}U$. Für die Einschränkung eines Schnittes auf eine kleinere offene Menge  ${}V\subseteq U$  schreibt man auch suggestiver

${}s{|}_{V}=\rho _{U,V}(s)\,.$

Definition

Zu einer Prägarbe ${}{\mathcal {F}}$ auf einem topologischen Raum ${}X$ heißt eine Prägarbe ${}{\mathcal {G}}$ eine Unterprägarbe von ${}{\mathcal {F}}$, wenn  ${}{\mathcal {G}}{\left(U\right)}\subseteq {\mathcal {F}}{\left(U\right)}$  für jede offene Teilmenge  ${}U\subseteq X$  ist.

Da differenzierbare Funktionen auf einer Mannigfaltigkeit insbesondere stetig sind, bildet die Prägarbe der differenzierbaren Funktionen eine Untergarbe der Prägarbe der stetigen reellwertigen Funktionen.

Prägarben mit Strukturen

Definition

Eine Prägarbe ${}{\mathcal {F}}$ auf einem topologischen Raum ${}X$ heißt Prägarbe von Gruppen, wenn zu jeder offenen Menge  ${}U\subseteq X$  die Menge ${}{\mathcal {F}}{\left(U\right)}$ eine Gruppe und zu jeder Inklusion  ${}U\subseteq V$  die Restriktionsabbildung

$\rho _{V,U}\colon {\mathcal {F}}{\left(V\right)}\longrightarrow {\mathcal {F}}{\left(U\right)}$

ein Gruppenhomomorphismus ist.

Definition

Eine Prägarbe ${}{\mathcal {F}}$ auf einem topologischen Raum ${}X$ heißt Prägarbe von kommutativen Ringen, wenn zu jeder offenen Menge  ${}U\subseteq X$  die Menge ${}{\mathcal {F}}{\left(U\right)}$ ein kommutativer Ring und zu jeder Inklusion  ${}U\subseteq V$  die Restriktionsabbildung

$\rho _{V,U}\colon {\mathcal {F}}{\left(V\right)}\longrightarrow {\mathcal {F}}{\left(U\right)}$

ein Ringhomomorphismus ist.

Bemerkung  

Eine Prägarbe ${}{\mathcal {F}}$ auf einem topologischen Raum ${}(X,{\mathcal {T}})$ kann man als einen kontravarianten Funktor

${\mathcal {F}}\colon {\mathcal {T}}\longrightarrow \operatorname {MEN}$

auffassen, wobei ${}{\mathcal {T}}$ im Sinne von Beispiel ***** als Kategorie aufgefasst wird. Eine Prägarbe von kommutativen Gruppen ist entsprechend ein kontravarianter Funktor in die Kategorie der kommutativen Gruppen, eine Prägarbe von kommutativen Ringen ist ein kontravarianter Funktor in die Kategorie der kommutativen Ringe, u.s.w.

Definition

Eine topologische Gruppe ist eine Gruppe ${}G$, die zugleich ein topologischer Raum ist derart, dass die Verknüpfung

$G\times G\longrightarrow G,\,(g,h)\longmapsto g\circ h,$

und die Inversenbildung

$G\longrightarrow G,\,g\longmapsto g^{-1},$

stetige Abbildungen sind.

Topologische Gruppen sind ${}(\mathbb {R} ,+)$, ${}(\mathbb {R} \setminus \{0\},\cdot )$, ${}({\mathbb {C} },+)$, ${}({\mathbb {C} }\setminus \{0\},\cdot )$, ${}(\mathbb {R} ^{n},+)$, ${}(S^{1},{\text{ mit der Winkeladdition}})$, die allgemeine lineare Gruppe ${}\operatorname {GL} _{n}\!{\left(\mathbb {R} \right)}$ bzw. ${}\operatorname {GL} _{n}\!{\left({\mathbb {C} }\right)}$, ein komplexer Torus ${}{\mathbb {C} }/\Gamma$ zu einem Gitter  ${}\Gamma \subseteq {\mathbb {C} }$.  Man kann jede Gruppe mit der diskreten Topologie zu einer topologischen Gruppe machen.

Zu einem topologischen Raum ${}X$ ist die Mengen der stetigen Abbildungen von ${}X$ in eine topologische Gruppe ${}G$ mit der natürlichen Verknüpfung selbst eine Gruppe. Die Einschränkung auf eine offene Teilmenge von ${}X$ ist dabei ein Gruppenhomomorphismus. Daher ist die Zuordnung

$U\mapsto C^{0}(U,G)$

eine Prägarbe von Gruppen auf ${}X$.

Halme von Prägarben

Eine grundliegende Idee von Vektorbündeln und Prägarben ist, lokale und globale Eigenschaften von geometrischen Objekten sinnvoll zu trennen und ihr Wechselspiel zu verstehen. Eine lokale Eigenschaft ist beispielsweise eine, die auf „kleinen“ offenen Mengen gilt. Oft möchte man aber kleine offene Mengen durch noch kleinere offene Mengen ersetzen, insbesondere, um das Verhalten in einer beliebig kleinen Umgebung eines Punktes verstehen zu können. Dafür führen wir die folgenden Konzepte ein.

Definition

Es sei ${}X$ ein topologischer Raum. Ein System ${}F$ aus offenen Teilmengen von ${}X$ heißt Filter, wenn folgende Eigenschaften gelten ($U,V$ seien offen).

1.  ${}X\in F$. 
2. Mit  ${}U\in F$  und  ${}U\subseteq V$  ist auch  ${}V\in F$. 
3. Mit  ${}U\in F$  und  ${}V\in F$  ist auch  ${}U\cap V\in F$. 

Die wichtigsten Filter sind für und die Umgebungsfilter zu einer Punkt, der aus allen offenen Mengen eines fixierten Punktes besteht.

Definition

Eine geordnete Menge ${}(I,\preccurlyeq )$ heißt gerichtet geordnet oder gerichtet, wenn es zu jedem  ${}i,j\in I$  ein  ${}k\in I$  mit  ${}i,j\preccurlyeq k$  gibt.

Wir fassen einen topologischen Filter als eine durch die Inklusion geordnete Menge auf. Aus der Durchschnittseigenschaft eines Filters ergibt sich, dass eine gerichtete Menge vorliegt (Es ist dabei „$\preccurlyeq =\supseteq$“).

Definition

Es sei ${}(I,\preccurlyeq )$ eine geordnete Indexmenge. Eine Familie

$M_{i},\,i\in I,$

von Mengen nennt man ein geordnetes System von Mengen, wenn folgende Eigenschaften erfüllt sind.

1. Zu ${}i\preccurlyeq j$ gibt es eine Abbildung ${}\varphi _{ij}\colon M_{i}\rightarrow M_{j}$.
2. Zu  ${}i\preccurlyeq j$  und  ${}j\preccurlyeq k$  ist  ${}\varphi _{ik}=\varphi _{jk}\circ \varphi _{ij}$. 

Ist die Indexmenge zusätzlich gerichtet, so spricht man von einem gerichteten System von Mengen.

Wenn die beteiligten Mengen ${}M_{i}$ allesamt Gruppen (Ringe) sind und alle Abbildungen zwischen ihnen Gruppenhomorphismen (Ringhomomorphismen), so spricht man von einem geordneten bzw. gerichteten System von Gruppen (Ringen).

Definition

Es sei ${}M_{i}$, ${}i\in I$, ein gerichtetes System von Mengen. Dann nennt man

${}\operatorname {colim} \,_{i\in I}M_{i}=\biguplus _{i\in I}M_{i}/\sim \,$

den Kolimes (oder direkten oder induktiven Limes) des Systems. Dabei bezeichnet ${}\sim$ die Äquivalenzrelation, bei der zwei Elemente  ${}m\in M_{i}$  und  ${}n\in M_{j}$  als äquivalent erklärt werden, wenn es ein  ${}k\in I$  mit  ${}i,j\preccurlyeq k$  und mit

${}\varphi _{ik}(m)=\varphi _{jk}(n)\,$

gibt.

Bei dieser Definition ist insbesondere ein Element  ${}s_{i}\in M_{i}$  äquivalent zu seinem Bild  ${}\varphi _{ik}(s_{i})\in M_{k}$  für alle  ${}i\preccurlyeq k$.  Wenn ein gerichtetes System von Gruppen (Ringen) vorliegt, so kann man auf dem soeben eingeführten Kolimes der Mengen auch eine Gruppenstruktur (Ringstruktur) definieren. Dies beruht darauf, dass zwei Elemente in diesem Kolimes, die durch  ${}s_{i}\in M_{i}$  und  ${}s_{j}\in M_{j}$  repräsentiert seien, mit ihren Bildern in ${}M_{k}$ ($i,j\preccurlyeq k$) identifiziert werden können. Dann kann man dort die Gruppenverknüpfung erklären, siehe Aufgabe 5.10. Unser Hauptbeispiel für ein gerichtetes System ist das durch einen topologischen Filter gerichtete System zu einer Prägarbe ${}{\mathcal {F}}$ auf ${}X$, also das System

${\mathcal {F}}{\left(U\right)},U\in F.$

Definition

Zu einer Prägarbe ${}{\mathcal {F}}$ auf einem topologischen Raum ${}X$ und einem Punkt  ${}P\in X$  nennt man

${}{\mathcal {F}}_{P}:=\operatorname {colim} \,_{P\in U}\Gamma {\left(U,{\mathcal {F}}\right)}\,$

den Halm der Prägarbe im Punkt ${}P$.

Insbesondere gibt es zu jedem Schnitt  ${}s\in {\mathcal {F}}(U)$  und jedem Punkt  ${}P\in U$  ein eindeutig definiertes Element  ${}s_{P}\in {\mathcal {F}}_{P}$,  das der Keim von ${}s$ im Punkt ${}P$ heißt. Die Abbildung

${\mathcal {F}}(U)\longrightarrow {\mathcal {F}}_{P},\,s\longmapsto s_{P},$

heißt Restriktionsabbildung und wird mit ${}\rho _{U,P}$ bezeichnet. Zu  ${}P\in V\subseteq U$  kommutiert das Diagramm

${\begin{matrix}{\mathcal {F}}(U)&{\stackrel {\rho _{U,V}}{\longrightarrow }}&{\mathcal {F}}(V)&\\&\!\!\!\!\!\rho _{U,P}\searrow &\downarrow \rho _{V,P}\!\!\!\!\!&\\&&{\mathcal {F}}_{P}&\!\!\!\!\!\!\!\!.\\\end{matrix}}$

Etwas allgemeiner ist die folgende Definition.

Definition

Zu einer Prägarbe ${}{\mathcal {G}}$ auf einem topologischen Raum ${}X$ und einem topologischen Filter ${}F$ nennt man

${}{\mathcal {G}}_{F}:=\operatorname {colim} \,_{U\in F}\Gamma {\left(U,{\mathcal {G}}\right)}\,$

den Halm der Prägarbe im Filter ${}F$.

Homomorphismen von Prägarben

Definition

Es seien ${}{\mathcal {F}}$ und ${}{\mathcal {G}}$ Prägarben auf einem topologischen Raum ${}X$. Ein Morphismus von Prägarben

$\varphi \colon {\mathcal {F}}\longrightarrow {\mathcal {G}}$

ist eine Familie von Abbildungen

$\varphi _{U}\colon {\mathcal {F}}(U)\longrightarrow {\mathcal {G}}(U)$

für jede offene Menge  ${}U\subseteq X$  derart, dass zu jeder offenen Inklusion  ${}U\subseteq V$  das Diagramm

${\begin{matrix}{\mathcal {F}}(U)&{\stackrel {\varphi _{U}}{\longrightarrow }}&{\mathcal {G}}(U)&\\\!\!\!\!\!\rho _{U,V}\downarrow &&\downarrow \rho _{U,V}\!\!\!\!\!&\\{\mathcal {F}}(V)&{\stackrel {\varphi _{V}}{\longrightarrow }}&{\mathcal {G}}(V)&\!\!\!\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$

kommutiert.

Definition

Ein Morphismus von Prägarben ${}\varphi \colon {\mathcal {F}}\rightarrow {\mathcal {G}}$ auf ${}X$ heißt Isomorphismus, wenn für jede offene Teilmenge  ${}U\subseteq X$  eine Bijektion ${}{\mathcal {F}}{\left(U\right)}\rightarrow {\mathcal {G}}{\left(U\right)}$ vorliegt.

Lemma

Es sei ${}X$ ein topologischer Raum und seien ${}{\mathcal {F}},{\mathcal {G}},{\mathcal {H}}$ Prägarben auf ${}X$.

Dann gelten folgende Aussagen.

1. Die Identität

   ${\mathcal {F}}\longrightarrow {\mathcal {F}}$

   ist ein Morphismus von Prägarben.

2. Wenn ${}\varphi \colon {\mathcal {F}}\rightarrow {\mathcal {G}}$ und ${}\psi \colon {\mathcal {G}}\rightarrow {\mathcal {H}}$ Morphismen von Prägarben sind, so ist auch die Verknüpfung ${}\psi \circ \varphi$ ein Morphismus von Prägarben.
3. Zu einer Unterprägarbe  ${}{\mathcal {F}}\subseteq {\mathcal {G}}$  ist die natürliche Inklusion ein Morphismus von Prägraben.

Beweis

Siehe Aufgabe 5.14.

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Lemma

Ein Morphismus von Prägarben

$\varphi \colon {\mathcal {F}}\longrightarrow {\mathcal {G}}$

auf einem topologischen Raum ${}X$

definiert für jeden Punkt  ${}P\in X$  eine Abbildung

$\varphi _{P}\colon {\mathcal {F}}_{P}\longrightarrow {\mathcal {G}}_{P}$

zwischen den Halmen, die mit den Restriktionsabbildungen verträglich sind.

Das heißt, dass zu  ${}P\in U$  die Diagramme

${\begin{matrix}{\mathcal {F}}(U)&{\stackrel {\varphi _{U}}{\longrightarrow }}&{\mathcal {G}}(U)&\\\!\!\!\!\!\rho _{U,P}\downarrow &&\downarrow \rho _{U,P}\!\!\!\!\!&\\{\mathcal {F}}_{P}&{\stackrel {\varphi _{P}}{\longrightarrow }}&{\mathcal {G}}_{P}&\!\!\!\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$

kommutativ sind.

Beweis

Es sei  ${}s\in {\mathcal {F}}_{P}$.  Das bedeutet, dass es eine offene Umgebung ${}U$, ${}P\in U\subseteq X$, und ein  ${}s\in {\mathcal {F}}{\left(U\right)}$  mit  ${}\rho _{U,P}(s)=s_{P}$  gibt. Wir setzen

${}\varphi _{P}(s):=\rho _{U,P}(\varphi _{U}(s))\,$

an und müssen zeigen, dass dies wohldefiniert, also unabhängig vom gewählten Repräsentanten ${}s$ (und ${}U$) ist. Sei  ${}t\in {\mathcal {F}}{\left(V\right)}$  ein weiterer Repräsentant. Wegen  ${}s_{P}=t_{P}$  gibt es eine offene Umgebung

${}P\in W\subseteq U\cap V\,$

mit  ${}s{|}_{W}=t{|}_{W}$.  Somit ist

${}\varphi _{U}(s){|}_{W}=\varphi _{W}{\left(s{|}_{W}\right)}=\varphi _{W}{\left(t{|}_{W}\right)}=\varphi _{V}(t){|}_{W}\,$

und somit ist erst recht

${}\rho _{U,P}(\varphi _{U}(s))=\rho _{V,P}(\varphi _{V}(t))\,.$

$\Box$

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