Kurs:Einführung in die Theorie der Schemata/Vorlesung 9

Beringte Räume

Definition

Ein topologischer Raum, der mit einer Garbe von kommutativen Ringen versehen ist, heißt beringter Raum.

Ein beringter Raum wird oft in der Form ${}(X,{\mathcal {O}}_{X})$ angegeben, wobei ${}X$ der zugrunde liegende Raum ist und ${}{\mathcal {O}}_{X}$ die Garbe von kommutativen Ringen ist. Diese heißt die Strukturgarbe des beringten Raumes. Die Auswertung  ${}\Gamma (U,{\mathcal {O}}_{X})={\mathcal {O}}_{X}(U)$  nennt man auch den Schnittring zur offenen Menge  ${}U\subseteq X$  und ${}\Gamma (U,{\mathcal {O}}_{X})$ den globalen Schnittring. Im Anschluss an Beispiel 5.3 bzw. Beispiel 5.4 haben wir die folgenden Standardbeispiele.

Beispiel

Es sei ${}X$ ein topologischer Raum. Zu jeder offenen Teilmenge  ${}U\subseteq X$  ist

${}{\mathcal {C}}{\left(U\right)}=C^{0}(U,\mathbb {R} )={\left\{f:U\rightarrow \mathbb {R} \mid f{\text{ stetig}}\right\}}\,$

ein kommutativer Ring und die Zuordnung ${}U\mapsto {\mathcal {C}}{\left(U\right)}$ ist mit den natürlichen Restriktionsabbildungen eine Garbe, wodurch ${}X$ zu einem beringten Raum wird.

Beispiel

Auf einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit ${}M$ ist zu jeder offenen Teilmenge  ${}U\subseteq M$  durch

${}C^{1}(U,\mathbb {R} )={\left\{f:U\rightarrow \mathbb {R} \mid f{\text{ stetig differenzierbar}}\right\}}\,$

ein kommutativer Ring gegeben. Diese Zuordnung ist eine Garbe, wodurch ${}M$ zu einem beringten Raum wird.

Beispiel

Auf einer komplexen Mannigfaltigkeit ${}M$ ist zu jeder offenen Teilmenge  ${}U\subseteq M$  durch

${}C^{1}(U,{\mathbb {C} })={\left\{f:U\rightarrow {\mathbb {C} }\mid f{\text{ holomorph}}\right\}}\,$

ein kommutativer Ring gegeben. Diese Zuordnung ist eine Garbe, wodurch ${}M$ zu einem beringten Raum wird.

Beispiel

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und  ${}X=\{P\}$  ein einpunktiger topologischer Raum. Dieser wird durch die Festlegung  ${}\Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X}):=R$  und  ${}\Gamma (\emptyset ,{\mathcal {O}}_{X}):=0$  zu einem beringten Raum.

Definition

Zu einem Punkt  ${}P\in X$  in einem beringten Raum ${}(X,{\mathcal {O}}_{X})$ nennt man den Halm der Strukturgarbe den Halm im Punkt ${}P$.

Er wird mit ${}{\mathcal {O}}_{X,P}$ oder kurz mit ${}{\mathcal {O}}_{P}$ bezeichnet.

Morphismen von beringten Räumen

Zu einer stetigen Abbildung ${}\varphi \colon X\rightarrow Y$ zwischen topologischen Räumen gehört zu jeder offenen Teilmenge  ${}V\subseteq Y$  der Ringhomomorphismus

$C^{0}(V,\mathbb {R} )\longrightarrow C^{0}(\varphi ^{-1}(V),\mathbb {R} ),\,f\longmapsto f\circ \varphi .$

Für diese zurückgezogene stetige Funktion schreibt man auch ${}\varphi ^{*}f$. Diese Schreibweise verwenden wir auch in der folgenden abstrakten Definition.

Definition

Es seien ${}{\left(X,{\mathcal {O}}_{X}\right)}$ und ${}{\left(Y,{\mathcal {O}}_{Y}\right)}$ beringte Räume. Ein Morphismus beringter Räume ist eine stetige Abbildung ${}\varphi \colon X\rightarrow Y$ zusammen mit einer Familie von Ringhomomorphismen

$\varphi _{V}^{*}\colon \Gamma (V,{\mathcal {O}}_{Y})\longrightarrow \Gamma (\varphi ^{-1}(V),{\mathcal {O}}_{X})$

zu jeder offenen Menge  ${}V\subseteq Y$,  die mit den Restriktionsabbildungen verträglich sind.

Die Verträglichkeit bedeutet, dass für offene Mengen  ${}W\subseteq V\subseteq Y$  das Diagramm

${\begin{matrix}\Gamma (V,{\mathcal {O}}_{Y})&{\stackrel {\varphi _{V}^{*}}{\longrightarrow }}&\Gamma (\varphi ^{-1}(V),{\mathcal {O}}_{X})&\\\downarrow &&\downarrow &\\\Gamma (W,{\mathcal {O}}_{Y})&{\stackrel {\varphi _{W}^{*}}{\longrightarrow }}&\Gamma (\varphi ^{-1}(W),{\mathcal {O}}_{X})&\!\!\!\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$

kommutiert. Ein Morphismus ${}\varphi \colon X\rightarrow Y$ von beringten Räumen induziert für jeden Punkt  ${}P\in X$  einen Ringhomomorphismus der Halme

${\mathcal {O}}_{Y,\varphi (P)}\longrightarrow {\mathcal {O}}_{X,P},$

wobei ein  ${}f\in {\mathcal {O}}_{Y,\varphi (P)}$,  das durch  ${}f\in \Gamma (V,{\mathcal {O}}_{Y})$  mit einer offenen Umgebung  ${}\varphi (P)\in V$  repräsentiert wird, auf den Keim von  ${}\varphi ^{*}(f)\in \Gamma (\varphi ^{-1}(V),{\mathcal {O}}_{X})$  abgebildet wird.

Definition

Ein Morphismus beringter Räume ${}\varphi \colon (X,{\mathcal {O}}_{X})\rightarrow (Y,{\mathcal {O}}_{Y})$ heißt Isomorphismus, wenn es einen Morphismus ${}\psi \colon (Y,{\mathcal {O}}_{Y})\rightarrow (X,{\mathcal {O}}_{X})$ beringter Räume mit  ${}\psi \circ \varphi =\operatorname {Id} _{X}$  und  ${}\varphi \circ \psi =\operatorname {Id} _{Y}$  (als Identität von beringten Räumen) gibt.

Verklebungsdaten für beringte Räume

Die folgende Konstruktion ist eine Erweiterung von Fakt *****.

Definition

Unter einem Verklebungsdatum für beringte Räume versteht man den folgenden Datensatz.

1. Eine Familie ${}(U_{i},{\mathcal {O}}_{U_{i}})$, ${}i\in I$, von beringten Räumen.
2. Für jedes Paar ${}(i,j)$ eine offene Teilmenge  ${}U_{ij}\subseteq U_{i}$  (mit ${}U_{ii}=U_{i}$).
3. Für jedes Paar ${}(i,j)$ einen Isomorphismus

   $\varphi _{ji}\colon {\left(U_{ij},{\mathcal {O}}_{U_{ij}}\right)}\longrightarrow {\left(U_{ji},{\mathcal {O}}_{U_{ji}}\right)}$

   von beringten Räumen (mit ${}\varphi _{ii}=\operatorname {Id} _{(U_{i},{\mathcal {O}}_{U_{i}})}$.)

4. Für Indizes  ${}i,j,k\in I$  ist die Kozykelbedingung

   ${}\varphi _{kj}\circ \varphi _{ji}=\varphi _{ki}\,$

   als Homomorphismus von ${}U_{ik}\cap U_{ij}$ nach ${}U_{k}$ erfüllt.

Lemma

Es sei ein Verklebungsdatum ${}(U_{i},{\mathcal {O}}_{U_{i}})$, ${}i\in I$, für beringte Räume gegeben.

Dann gibt es einen beringten Raum ${}{\left(X,{\mathcal {O}}_{X}\right)}$, eine offene Überdeckung  ${}X=\bigcup _{i\in I}V_{i}$  und Isomorphismen ${}\psi _{i}\colon U_{i}\rightarrow V_{i}$ derart, dass

${}\psi _{i}{\left(U_{ij}\right)}=V_{i}\cap V_{j}\,$

ist und

${}\psi _{i}{|}_{U_{ij}}=\psi _{j}{|}_{U_{ji}}\circ \varphi _{ji}\,$

gilt.

Beweis

Die Existenz eines zugrunde liegenden Raumes ${}X$ ergibt sich aus Fakt *****. Zu einer offenen Menge  ${}W\subseteq X$  liegt eine Überdeckung

${}W=\bigcup _{i\in I}W\cap V_{i}\,$

vor und wir setzen

${}{\begin{aligned}\Gamma (W,{\mathcal {O}}_{X})&:={\left\{(s_{i},i\in I)\mid s_{i}\in \Gamma (\psi _{i}^{-1}(W\cap V_{i}),{\mathcal {O}}_{U_{i}}),\,\varphi _{ji}{\left(s_{i}{|}_{\psi _{i}^{-1}(W)\cap U_{ij}}\right)}=s_{j}{|}_{\psi _{j}^{-1}(W)\cap U_{ji}}\right\}}.\,\end{aligned}}$

Dies ist eine Garbe auf ${}X$ von kommutativen Ringen, die auf den ${}V_{i}$ über die ${}\psi _{i}$ mit den vorgegebenen Garben auf ${}U_{i}$ übereinstimmt.

$\Box$

Lokal beringte Räume

Definition

Ein beringter Raum ${}(X,{\mathcal {O}}_{X})$ heißt lokal beringt, wenn für jeden Punkt  ${}P\in X$  der Halm ${}{\mathcal {O}}_{P}$ ein lokaler Ring ist.

Beispiel

Ein topologischer Raum ${}X$ ist mit der Garbe der stetigen Funktionen ${}C^{0}(-,\mathbb {R} )$ ein lokal beringter Raum: Für jeden Punkt  ${}P\in X$  und eine in einer offenen Umgebung von ${}x$ definierte stetige Funktion ${}f$ gilt  ${}f(P)\neq 0$  genau dann, wenn es eine offene Umgebung gibt, auf der ${}f$ invertierbar ist. Daher sind die Halme ${}{\mathcal {O}}_{P}$ lokale Ringe und ${}X$ ist lokal beringt.

Entsprechendes gilt auf einer reellen oder komplexen Mannigfaltigkeit.

Definition

Zu einem lokal beringten Raum ${}(X,{\mathcal {O}}_{X})$ und einem Punkt  ${}P\in X$  nennt man den Restekörper des lokalen Ringes ${}{\mathcal {O}}_{P}$ den Restekörper von ${}P$. Er wird mit ${}\kappa (P)$ bezeichnet.

Der Restekörper bei einem topologischen Raum versehen mit der Garbe der stetigen Funktionen ist einfach ${}\mathbb {R}$, siehe Aufgabe 9.16.

Definition

Zu einem lokal beringten Raum ${}(X,{\mathcal {O}}_{X})$, einem Punkt  ${}x\in X$  und einer globalen Funktion  ${}f\in \Gamma (X,{\mathcal {O}})$  nennt man den Wert von ${}f$ im Restekörper ${}\kappa (x)$ von ${}x$ die Auswertung von ${}f$ in ${}x$. Sie wird mit ${}f(x)$ bezeichnet.

IN einem lokal beringten Raum hat man zu jedem  ${}f\in \Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X})$  und jedem Punkt  ${}P\in X$  die Äquivalenz  ${}f(P)=0$  in ${}\kappa (P)$ genau dann, wenn  ${}f_{P}\in {\mathfrak {m}}_{P}$  genau dann, wenn ${}f_{P}$ ist keine Einheit in ${}{\mathcal {O}}_{X,P}$.

Definition

Es seien ${}{\left(X,{\mathcal {O}}_{X}\right)}$ und ${}{\left(Y,{\mathcal {O}}_{Y}\right)}$ lokal beringte Räume. Ein Morphismus lokal beringter Räume von ${}X$ nach ${}Y$ ist ein Morphismus ${}\varphi \colon X\rightarrow Y$ der beringten Räume, für den die induzierten Ringhomomorphismen

$\varphi _{P}^{*}\colon {\mathcal {O}}_{Y,\varphi (P)}\longrightarrow {\mathcal {O}}_{X,P}$

für jeden Punkt  ${}P\in X$  lokale Homomorphismen sind.

Der Invertierbarkeitsort

Lemma

Zu einem lokal beringten Raum ${}(X,{\mathcal {O}}_{X})$ und einer globalen Funktion  ${}f\in \Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X})$  ist

${}X_{f}:={\left\{P\in X\mid f(P)\neq 0{\text{ in }}\kappa (P)\right\}}\,$

offen.

Beweis

Zunächst ist  ${}f(P)=0$  im Restekörper genau dann, wenn  ${}f\in {\mathfrak {m}}_{P}$  im lokalen Ring ${}{\mathcal {O}}_{P}$ gilt, und dies ist genau dann der Fall, wenn ${}f$ in ${}{\mathcal {O}}_{P}$ nicht invertierbar ist. Sei  ${}P\in X_{f}$.  Dann ist ${}f$ in ${}{\mathcal {O}}_{P}$ invertierbar und es gibt  ${}g\in {\mathcal {O}}_{P}$  mit  ${}gf=1$.  Es gibt eine offene Umgebung  ${}P\in U\subseteq X$  mit (einem Repräsentanten)

${}g\in \Gamma (U,{\mathcal {O}})\,$

und eine eventuell kleinere offene Umgebung ${}U'$ mit  ${}fg=1$.  Auf dieser offenen Umgebung ist somit ${}f$ invertierbar und es gilt  ${}P\in U'\subseteq X_{f}$.  Die Vereinigung dieser offenen Umgebungen zeigt, dass ${}X_{f}$ offen ist.

$\Box$

Die Menge der Punkte, für die ${}f$ als Element im Halm ${}{\mathcal {O}}_{P}$ nicht ${}0$ ist, muss hingegen nicht offen sein, siehe Beispiel 12.8.

Definition

Zu einem lokal beringten Raum ${}(X,{\mathcal {O}}_{X})$ und einer globalen Funktion  ${}f\in \Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X})$  nennt man

${}X_{f}:={\left\{P\in X\mid f(P)\neq 0{\text{ in }}\kappa (P)\right\}}\,$

den Invertierbarkeitsort von ${}f$.

Nach Aufgabe 9.20 ist ${}f$ in ${}\Gamma (X_{f},{\mathcal {O}}_{X})$ eine Einheit.

Lemma

Es seien ${}X$ und ${}Y$ lokal beringte Räume und ${}\varphi \colon X\rightarrow Y$ ein Morphismus lokal beringter Räume.

Dann gilt für die Invertierbarkeitsorte zu  ${}f\in \Gamma (Y,{\mathcal {O}}_{Y})$  die Beziehung

${}\varphi ^{-1}(Y_{f})=X_{\varphi ^{*}f}\,.$

Beweis

Das Element ${}f$ ist in ${}\Gamma (Y_{f},{\mathcal {O}}_{Y})$ eine Einheit und der Ringhomomorphismus

$\Gamma (Y_{f},{\mathcal {O}}_{Y})\longrightarrow \Gamma (\varphi ^{-1}{\left(Y_{f}\right)},{\mathcal {O}}_{X})$

zeigt, dass ${}\varphi ^{*}f$ in ${}\Gamma (\varphi ^{-1}{\left(Y_{f}\right)},{\mathcal {O}}_{X})$ eine Einheit ist, was  ${}\varphi ^{-1}{\left(Y_{f}\right)}\subseteq X_{\varphi ^{*}f}$  bedeutet. Für einen Punkt

${}P\in X_{\varphi ^{*}f}\,$

ist ${}{\varphi ^{*}f}$ eine Einheit im lokalen Ring ${}{\mathcal {O}}_{X,P}$. Wegen der Lokalität des Ringhomomorphismus

${\mathcal {O}}_{Y,\varphi (P)}\longrightarrow {\mathcal {O}}_{X,P}$

muss auch  ${}f\in {\mathcal {O}}_{Y,\varphi (P)}$  eine Einheit sein, was  ${}\varphi (P)\in Y_{f}$  und damit

${}P\in \varphi ^{-1}{\left(Y_{f}\right)}\,$

bedeutet.

$\Box$

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