Kurs:Einführung in die mathematische Logik/13/Klausur/latex

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%Daten zur Institution

%\input{Dozentdaten}

%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}

%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }

%Klausurdaten

\renewcommand{\klausurgebiet}{ }

\renewcommand{\klausurtyp}{ }

\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}

\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}

%Daten für folgende Punktetabelle


\renewcommand{\aeins}{ 3 }

\renewcommand{\azwei}{ 3 }

\renewcommand{\adrei}{ 3 }

\renewcommand{\avier}{ 3 }

\renewcommand{\afuenf}{ 2 }

\renewcommand{\asechs}{ 4 }

\renewcommand{\asieben}{ 7 }

\renewcommand{\aacht}{ 3 }

\renewcommand{\aneun}{ 0 }

\renewcommand{\azehn}{ 2 }

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\renewcommand{\adreizehn}{ 0 }

\renewcommand{\avierzehn}{ 11 }

\renewcommand{\afuenfzehn}{ 0 }

\renewcommand{\asechzehn}{ 0 }

\renewcommand{\asiebzehn}{ 0 }

\renewcommand{\aachtzehn}{ 49 }

\renewcommand{\aneunzehn}{ }

\renewcommand{\azwanzig}{ }

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\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }

\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }

\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }

\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }

\punktetabellesiebzehn

\klausurnote

\newpage


\setcounter{section}{0}




\inputaufgabegibtloesung
{3}
{

Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe. \aufzaehlungsechs{Eine \stichwort {Wahrheitsbelegung} {} für eine Menge an Aussagenvariablen.

}{Eine \stichwort {induktiv} {} geordnete Menge
\mathl{(I,\preccurlyeq)}{.}

}{Das \stichwort {Alphabet einer Sprache erster Stufe} {.}

}{Die Eigenschaft einer Ausdrucksmenge
\mathl{\Gamma \subseteq L^S}{,} \stichwort {Beispiele zu enthalten} {.}

}{Die \stichwort {Addition} {} in einem \definitionsverweis {Dedekind-Peano-Modell}{}{} $\N$.

}{Der \stichwort {modallogische Folgerungsbegriff} {.} }

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{3}
{

Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungdrei{Das Wohlordnungsprinzip für erststufige Aussagen.}{Das \stichwort {Isomorphielemma} {.}}{/Fakt/Name}

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{3}
{

In einem Hörsaal befindet sich ein Tafelgestell mit drei hintereinander liegenden, vertikal verschiebbaren Tafeln. Diese seien mit $V$ \zusatzklammer {vordere Tafel} {} {,} $M$ \zusatzklammer {mittlere Tafel} {} {} und $H$ \zusatzklammer {hintere Tafel} {} {} bezeichnet. Aufgrund der Höhe des Gestells sind nur \zusatzklammer {maximal} {} {} zwei Tafeln gleichzeitig einsehbar. Die Lehrperson schreibt in der Vorlesung jede Tafel genau einmal voll. In welcher Reihenfolge \zusatzklammer {alle Möglichkeiten} {!} {} muss sie die Tafeln einsetzen, wenn beim Beschreiben einer Tafel stets die zuletzt beschriebene Tafel sichtbar sein soll.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{3}
{

Bei einem Zwei-Personen-Regel-Spiel \zusatzklammer {wie Schach} {} {} spielen zwei Personen \zusatzklammer {$A$ und $B$} {} {} nach gewissen Regeln gegeneinander. Die Personen ziehen abwechselnd. Es ist klar, was eine Mattgewinnstellung für $A$ ist, da ist $A$ am Zug und kann $B$ schlagen und das Spiel ist beendet. Definiere rekursiv, was innerhalb der Menge $S$ aller Stellungen eine Gewinnstellung für $A$ \zusatzklammer {mit $A$ am Zug} {} {} ist.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{2}
{

Finde einen möglichst einfachen aussagenlogischen Ausdruck, der die folgende tabellarisch dargestellte Wahrheitsfunktion ergibt. \wahrheitstabelledreieins{ } {\tabellenzeilevier {$ p $} {$ q $} {$ r $} {$? $} } {\tabellendoppelzeilevier {w} {w} {w} {f} {w} {w} {f} {f} } {\tabellendoppelzeilevier {w} {f} {w} {w} {w} {f} {f} {f} } {\tabellendoppelzeilevier {f} {w} {w} {f} {f} {w} {f} {f} } {\tabellendoppelzeilevier {f} {f} {w} {w} {f} {f} {f} {w} }

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{4}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Gamma }
{ \subseteq }{L^V }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine Ausdrucksmenge in der \definitionsverweis {Sprache der Aussagenlogik}{}{} zu einer \definitionsverweis {Aussagenvariablenmenge}{}{} $V$. Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Gamma^\vdash }
{ =} { { \left( \Gamma^\vdash \right) }^\vdash }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{7}
{

Beweise den Satz über die Auffüllung widerspruchsfreier aussagenlogischer Mengen im abzählbaren Fall.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{3}
{

Es seien $x_1,x_2$ Variablen, $t_1,t_2$ Terme und $\alpha$ ein Ausdruck in einer \definitionsverweis {prädikatenlogischen Sprache}{}{.} Zeige, dass
\mathdisp {{ \left( \alpha { \frac{ t_1 }{ x_1 } } \right) } { \frac{ t_2 }{ x_2 } } \rightarrow \alpha { \frac{ t_1,t_2 }{ x_1,x_2 } }} { }
im Allgemeinen nicht allgemeingültig ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{0}
{

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{2 (0.5+0.5+0.5+0.5)}
{

Wir zählen
\mathdisp {\text{ ich},\, \text{ Mama},\, \text{ Oma}, \, \text{Uroma}, \, \text{Ururoma}, \ldots} { . }
\aufzaehlungvier{Was ist die Mama der Urururoma? }{Was ist die Uroma der Uroma? }{Was ist die Oma der Oma der Oma? }{Was ist die Ururoma der Uroma? }

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{8}
{

Beweise das Wohlordnungsprinzip für erststufige Aussagen für Peano-Halbringe.

}
{} {}




\inputaufgabe
{0}
{

}
{} {}




\inputaufgabe
{0}
{

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{11 (2+2+4+1+2)}
{

Wir betrachten die Identität \maabbdisp {\operatorname{Id}} {\N} {\N } {} und den Ausdruck
\mathl{x=y}{,} den wir mit $\psi$ bezeichnen. Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Gamma }
{ \subseteq }{ L^{\rm Ar} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{}
} {}{}{} die Ausdrucksmenge, die die Kommutativität und die Assoziativität der Addition besagt sowie, dass $0$ das neutrale Element der Addition ist. \aufzaehlungfuenf{Zeige, dass der Graph der Identität durch $\psi$ \definitionsverweis {schwach repräsentierbar}{}{} in $\Gamma$ ist. }{Zeige, dass der Graph der Identität nicht \definitionsverweis {repräsentierbar}{}{} in $\Gamma$ ist. }{Zeige, dass der Graph der Identität \definitionsverweis {repräsentierbar}{}{} in der Peano-Arithmetik ${\rm PA}$ ist. }{Ist die Identität als Abbildung repräsentierbar in der Peano-Arithmetik? }{Gilt
\mathdisp {\Gamma \vdash \exists ! y \psi (n, y)} { }
für jedes
\mathl{n \in \N}{} \zusatzklammer {dabei werde $n$ durch eine $n$-fache Summe der $1$ mit sich in beliebiger Klammerung wiedergegeben} {} {?} }

}
{} {}




\inputaufgabe
{0}
{

}
{} {}




\inputaufgabe
{0}
{

}
{} {}




\inputaufgabe
{0}
{

}
{} {}