Kurs:Einführung in die mathematische Logik/13/Klausur/latex
%Daten zur Institution
%\input{Dozentdaten}
%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}
%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }
%Klausurdaten
\renewcommand{\klausurgebiet}{ }
\renewcommand{\klausurtyp}{ }
\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}
\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}
%Daten für folgende Punktetabelle
\renewcommand{\aeins}{ 3 }
\renewcommand{\azwei}{ 3 }
\renewcommand{\adrei}{ 3 }
\renewcommand{\avier}{ 3 }
\renewcommand{\afuenf}{ 2 }
\renewcommand{\asechs}{ 4 }
\renewcommand{\asieben}{ 7 }
\renewcommand{\aacht}{ 3 }
\renewcommand{\aneun}{ 0 }
\renewcommand{\azehn}{ 2 }
\renewcommand{\aelf}{ 8 }
\renewcommand{\azwoelf}{ 0 }
\renewcommand{\adreizehn}{ 0 }
\renewcommand{\avierzehn}{ 11 }
\renewcommand{\afuenfzehn}{ 0 }
\renewcommand{\asechzehn}{ 0 }
\renewcommand{\asiebzehn}{ 0 }
\renewcommand{\aachtzehn}{ 49 }
\renewcommand{\aneunzehn}{ }
\renewcommand{\azwanzig}{ }
\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }
\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }
\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }
\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }
\punktetabellesiebzehn
\klausurnote
\newpage
\setcounter{section}{0}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe. \aufzaehlungsechs{Eine \stichwort {Wahrheitsbelegung} {} für eine Menge an Aussagenvariablen.
}{Eine
\stichwort {induktiv} {}
geordnete Menge
\mathl{(I,\preccurlyeq)}{.}
}{Das \stichwort {Alphabet einer Sprache erster Stufe} {.}
}{Die Eigenschaft einer Ausdrucksmenge
\mathl{\Gamma \subseteq L^S}{,}
\stichwort {Beispiele zu enthalten} {.}
}{Die \stichwort {Addition} {} in einem \definitionsverweis {Dedekind-Peano-Modell}{}{} $\N$.
}{Der \stichwort {modallogische Folgerungsbegriff} {.} }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungdrei{Das Wohlordnungsprinzip für erststufige Aussagen.}{Das \stichwort {Isomorphielemma} {.}}{/Fakt/Name}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
In einem Hörsaal befindet sich ein Tafelgestell mit drei hintereinander liegenden, vertikal verschiebbaren Tafeln. Diese seien mit $V$ \zusatzklammer {vordere Tafel} {} {,} $M$ \zusatzklammer {mittlere Tafel} {} {} und $H$ \zusatzklammer {hintere Tafel} {} {} bezeichnet. Aufgrund der Höhe des Gestells sind nur \zusatzklammer {maximal} {} {} zwei Tafeln gleichzeitig einsehbar. Die Lehrperson schreibt in der Vorlesung jede Tafel genau einmal voll. In welcher Reihenfolge \zusatzklammer {alle Möglichkeiten} {!} {} muss sie die Tafeln einsetzen, wenn beim Beschreiben einer Tafel stets die zuletzt beschriebene Tafel sichtbar sein soll.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Bei einem Zwei-Personen-Regel-Spiel \zusatzklammer {wie Schach} {} {} spielen zwei Personen \zusatzklammer {$A$ und $B$} {} {} nach gewissen Regeln gegeneinander. Die Personen ziehen abwechselnd. Es ist klar, was eine Mattgewinnstellung für $A$ ist, da ist $A$ am Zug und kann $B$ schlagen und das Spiel ist beendet. Definiere rekursiv, was innerhalb der Menge $S$ aller Stellungen eine Gewinnstellung für $A$ \zusatzklammer {mit $A$ am Zug} {} {} ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Finde einen möglichst einfachen aussagenlogischen Ausdruck, der die folgende tabellarisch dargestellte Wahrheitsfunktion ergibt. \wahrheitstabelledreieins{ } {\tabellenzeilevier {$ p $} {$ q $} {$ r $} {$? $} } {\tabellendoppelzeilevier {w} {w} {w} {f} {w} {w} {f} {f} } {\tabellendoppelzeilevier {w} {f} {w} {w} {w} {f} {f} {f} } {\tabellendoppelzeilevier {f} {w} {w} {f} {f} {w} {f} {f} } {\tabellendoppelzeilevier {f} {f} {w} {w} {f} {f} {f} {w} }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Gamma
}
{ \subseteq }{L^V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine Ausdrucksmenge in der
\definitionsverweis {Sprache der Aussagenlogik}{}{}
zu einer
\definitionsverweis {Aussagenvariablenmenge}{}{}
$V$. Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Gamma^\vdash
}
{ =} { { \left( \Gamma^\vdash \right) }^\vdash
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{7}
{
Beweise den Satz über die Auffüllung widerspruchsfreier aussagenlogischer Mengen im abzählbaren Fall.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Es seien $x_1,x_2$ Variablen, $t_1,t_2$ Terme und $\alpha$ ein Ausdruck in einer
\definitionsverweis {prädikatenlogischen Sprache}{}{.}
Zeige, dass
\mathdisp {{ \left( \alpha { \frac{ t_1 }{ x_1 } } \right) } { \frac{ t_2 }{ x_2 } } \rightarrow \alpha { \frac{ t_1,t_2 }{ x_1,x_2 } }} { }
im Allgemeinen nicht allgemeingültig ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{0}
{
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2 (0.5+0.5+0.5+0.5)}
{
Wir zählen
\mathdisp {\text{ ich},\, \text{ Mama},\, \text{ Oma}, \, \text{Uroma}, \, \text{Ururoma}, \ldots} { . }
\aufzaehlungvier{Was ist die Mama der Urururoma?
}{Was ist die Uroma der Uroma?
}{Was ist die Oma der Oma der Oma?
}{Was ist die Ururoma der Uroma?
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{8}
{
Beweise das Wohlordnungsprinzip für erststufige Aussagen für Peano-Halbringe.
}
{} {}
\inputaufgabe
{0}
{
}
{} {}
\inputaufgabe
{0}
{
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{11 (2+2+4+1+2)}
{
Wir betrachten die Identität
\maabbdisp {\operatorname{Id}} {\N} {\N
} {}
und den Ausdruck
\mathl{x=y}{,} den wir mit $\psi$ bezeichnen. Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Gamma
}
{ \subseteq }{ L^{\rm Ar}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{}
}
{}{}{}
die Ausdrucksmenge, die die Kommutativität und die Assoziativität der Addition besagt sowie, dass $0$ das neutrale Element der Addition ist.
\aufzaehlungfuenf{Zeige, dass der Graph der Identität durch $\psi$
\definitionsverweis {schwach repräsentierbar}{}{}
in $\Gamma$ ist.
}{Zeige, dass der Graph der Identität nicht
\definitionsverweis {repräsentierbar}{}{}
in $\Gamma$ ist.
}{Zeige, dass der Graph der Identität
\definitionsverweis {repräsentierbar}{}{}
in der Peano-Arithmetik ${\rm PA}$ ist.
}{Ist die Identität als Abbildung repräsentierbar in der Peano-Arithmetik?
}{Gilt
\mathdisp {\Gamma \vdash \exists ! y \psi (n, y)} { }
für jedes
\mathl{n \in \N}{}
\zusatzklammer {dabei werde $n$ durch eine $n$-fache Summe der $1$ mit sich in beliebiger Klammerung wiedergegeben} {} {?}
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{0}
{
}
{} {}
\inputaufgabe
{0}
{
}
{} {}
\inputaufgabe
{0}
{
}
{} {}