Kurs:Einführung in die mathematische Logik/14/Klausur/latex
%Daten zur Institution
%\input{Dozentdaten}
%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}
%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }
%Klausurdaten
\renewcommand{\klausurgebiet}{ }
\renewcommand{\klausurtyp}{ }
\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}
\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}
%Daten für folgende Punktetabelle
\renewcommand{\aeins}{ 3 }
\renewcommand{\azwei}{ 3 }
\renewcommand{\adrei}{ 2 }
\renewcommand{\avier}{ 2 }
\renewcommand{\afuenf}{ 2 }
\renewcommand{\asechs}{ 2 }
\renewcommand{\asieben}{ 5 }
\renewcommand{\aacht}{ 2 }
\renewcommand{\aneun}{ 4 }
\renewcommand{\azehn}{ 4 }
\renewcommand{\aelf}{ 12 }
\renewcommand{\azwoelf}{ 0 }
\renewcommand{\adreizehn}{ 0 }
\renewcommand{\avierzehn}{ 0 }
\renewcommand{\afuenfzehn}{ 0 }
\renewcommand{\asechzehn}{ 0 }
\renewcommand{\asiebzehn}{ 2 }
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\renewcommand{\azwanzig}{ }
\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }
\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }
\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }
\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }
\punktetabellesiebzehn
\klausurnote
\newpage
\setcounter{section}{0}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe. \aufzaehlungsechs{Die zu einer \zusatzklammer {aussagenlogischen} {} {} Wahrheitsbelegung \maabbdisp {\lambda} { V} { \{0,1\} } {} auf einer Aussagenvariablenmenge $V$ zugehörige \stichwort {Interpretation} {} auf der Sprache $L^V$.
}{Eine \stichwort {obere Schranke} {} zu einer Teilmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{J
}
{ \subseteq }{ I
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
in einer
\definitionsverweis {geordneten Menge}{}{}
\mathl{(I,\preccurlyeq)}{.}
}{Eine \stichwortpraemath {S} {Struktur}{} zu einem Symbolalphabet $S$ einer Sprache erster Stufe.
}{Die
\stichwort {Folgerungsbeziehung} {}
\mathl{\Gamma \vDash \alpha}{,} wobei $\Gamma$ eine Menge von
$S$-\definitionsverweis {Ausdrücken}{}{}
und $\alpha$ ein $S$-Ausdruck ist
\zusatzklammer {und $S$ ein
\definitionsverweis {Symbolalphabet}{}{.}} {} {}
}{Die
\stichwortpraemath {R} {Aufzählbarkeit}{}
einer Teilmenge
\mathl{T \subseteq \N}{.}
}{Die \stichwort {Gültigkeit} {} einer modallogischen Ausdrucksmenge $\Gamma$. }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungdrei{Der \stichwort {Isomorphiesatz} {} für \zusatzklammer {zweitstufige} {} {} Dedekind-Peano-Modelle.}{Das \stichwort {Koinzidenzlemma} {.}}{Der \stichwort {Vollständigkeitssatz} {} der Modallogik.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Erläutere das Prinzip \stichwort {Beweis durch Widerspruch} {.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Anna kann sich nicht zwischen Heinrich und Konrad entscheiden, deshalb lässt sie sich vom Zufall leiten. Sie wohnt an einer U-Bahn-Station der Linie $5$, die von Heinsheim nach Konsau fährt. Heinrich wohnt in Heinsheim und Konrad in Konsau. Wenn Anna Lust auf ein Date hat, geht sie einfach zu ihrer Station und nimmt die erstbeste U-Bahn, die gerade kommt. Die U-Bahnen fahren in beide Richtungen im Zehn-Minuten-Takt und die U-Bahnen nach Heinsheim fahren
\mathl{:\!01, :\!11, :\!21}{} etc. Nach einiger Zeit stellt Anna fest, dass sie Konrad viermal so häufig besucht wie Heinrich. Wann fahren die U-Bahnen nach Konsau ab?
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Gamma
}
{ \subseteq }{L^V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine Ausdrucksmenge in der
\definitionsverweis {Sprache der Aussagenlogik}{}{}
zu einer Aussagenvariablenmenge $V$. Begründe die folgende Regel für die
\definitionsverweis {Ableitungsbeziehung}{}{:}
Wenn
\mathl{\Gamma \vdash \alpha_1 , \ldots , \Gamma \vdash \alpha_n}{} und
\mathl{\Gamma \vdash \alpha_1 \wedge \ldots \wedge \alpha_n \rightarrow \beta}{,} dann auch
\mathl{\Gamma \vdash \beta}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Es sei $M$ eine endliche Menge. Betrachte die
\definitionsverweis {Relation}{}{}
auf der
\definitionsverweis {Potenzmenge}{}{}
\mathl{\mathfrak {P} \, (M )}{,} die durch
\mathdisp {S \preccurlyeq T, \text{ falls } { \# \left( S \right) } \leq { \# \left( T \right) }} { , }
gegeben ist. Handelt es sich dabei um eine
\definitionsverweis {Ordnungsrelation}{}{?}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{5}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Gamma
}
{ \subseteq }{L^V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine Ausdrucksmenge in der
\definitionsverweis {Sprache der Aussagenlogik}{}{}
zu einer Aussagenvariablenmenge $V$. Es sei $\Gamma$
\definitionsverweis {widerspruchsfrei}{}{,}
abgeschlossen unter Ableitungen und für jede Aussagenvariable
\mathl{p \in V}{} gelte
\mathl{p \in \Gamma}{} oder
\mathl{\neg p \in \Gamma}{.} Zeige, dass dann $\Gamma$
\definitionsverweis {maximal widerspruchsfrei}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2 (1+1)}
{
Wir betrachten den Satz \anfuehrung{Nachts sind alle Katzen grau}{.} \aufzaehlungzwei {Negiere diesen Satz durch eine Existenzausssage, wenn der Satz sich auf eine bestimmte Nacht bezieht. } {Negiere diesen Satz durch eine Existenzausssage, wenn der Satz sich auf jede Nacht bezieht. }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Es seien
\mathl{x_1 , \ldots , x_n}{} Variablen,
\mathl{s_1 , \ldots , s_n, t_1 , \ldots , t_n}{} Terme und
\mathl{\alpha}{} ein Ausdruck in einer
\definitionsverweis {prädikatenlogischen Sprache}{}{}
$L^S$. Zeige, dass
\mathdisp {s_1=t_1 \wedge \ldots \wedge s_n=t_n \rightarrow { \left( \alpha { \frac{ s_1 , \ldots , s_n }{ x_1 , \ldots , x_n } } \rightarrow \alpha { \frac{ t_1 , \ldots , t_n }{ x_1 , \ldots , x_n } } \right) }} { }
\definitionsverweis {allgemeingültig}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Zeige, dass
\mathdisp {\vdash \exists x \exists y \alpha \rightarrow \exists y \exists x \alpha} { }
im Kalkül der Prädikatenlogik ableitbar ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{12 (2+3+1+2+2+2)}
{
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M
}
{ =} {\{0\} \cup \Q_{\geq 1}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
\aufzaehlungsechs{Zeige, dass $M$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Halbring}{}{}
ist.
}{Zeige, dass in $M$ die Relationen
\mathdisp {a \text{ teilt } b \text{ oder } a = 0} { }
und
\mathdisp {a \leq b \text{ oder } b = 0} { }
zueinander äquivalent sind.
}{Zeige, dass
\mathl{{ \frac{ 6 }{ 5 } }}{} nicht
\definitionsverweis {irreduzibel}{}{}
in $M$ ist.
}{Zeige, dass es in $M$ keine irreduziblen Elemente gibt.
}{Es sei $\alpha$ die Aussage
\mathdisp {x = 0 \vee \exists y (x = y+ 1)} { . }
Zeige, dass in $M$ die Aussage
\mathdisp {\alpha { \frac{ 0 }{ x } } \wedge { \left( \alpha \rightarrow \alpha { \frac{ x+1 }{ x } } \right) }} { }
wahr ist.
}{Zeige, dass $M$ kein
\definitionsverweis {Peano-Halbring}{}{}
ist.
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{0}
{
}
{} {}
\inputaufgabe
{0}
{
}
{} {}
\inputaufgabe
{0}
{
}
{} {}
\inputaufgabe
{0}
{
}
{} {}
\inputaufgabe
{0}
{
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Zeige durch Angabe eines
\definitionsverweis {modallogischen Modelles}{}{,}
dass im
$K$-\definitionsverweis {System}{}{}
der Ausdruck
\mathdisp {\Box ( p \vee q) \rightarrow \Box p \vee \Box q} { }
nicht
\definitionsverweis {ableitbar}{}{}
ist
\zusatzklammer {dabei seien $p,q$ Aussagenvariablen} {} {.}
}
{} {}