Kurs:Einführung in die mathematische Logik/18/Klausur/latex

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%Daten zur Institution

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%Klausurdaten

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\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}

\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}

%Daten für folgende Punktetabelle


\renewcommand{\aeins}{ 3 }

\renewcommand{\azwei}{ 3 }

\renewcommand{\adrei}{ 1 }

\renewcommand{\avier}{ 3 }

\renewcommand{\afuenf}{ 3 }

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\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }

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\punktetabellesiebzehn

\klausurnote

\newpage


\setcounter{section}{0}




\inputaufgabegibtloesung
{3}
{

Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe. \aufzaehlungsechs{Eine \stichwort {Wohlordnung} {} auf einer Menge $M$.

}{Eine \stichwortpraemath {n} {stellige Relation}{} auf einer Menge $M$.

}{Die \stichwort {Termmenge} {} zu einer Grundtermmenge
\mathl{(V,K,F_n)}{.}

}{Ein \stichwort {allgemeingültiger} {} prädikatenlogischer Ausdruck $\alpha \in L^S$.

}{Die \stichwort {Befehle} {} für eine Registermaschine.

}{Die \stichwort {modallogische Sprache} {} zu einer Aussagenvariablenmenge $V$. }

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{3}
{

Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungdrei{Der Satz über die Auffüllung widerspruchsfreier aussagenlogischer Mengen (abzählbarer Fall).}{Der \stichwort {Vollständigkeitssatz} {} der Prädikatenlogik.}{/Fakt/Name}

}
{} {}




\inputaufgabe
{1}
{

Bruno liest in der Zeitung: \anfuehrung{Im letzen Jahr war bei $50 \%$ aller Autounfälle Alkohol mit im Spiel}{.} Bruno überlegt: \anfuehrung{ $50 \%$ mit Alkohol, $50 \%$ ohne Alkohol. Dann ist es also egal, ob man was trinkt oder nicht. In Zukunft werde ich das auch nicht mehr so streng sehen}{.} Beurteile diese Überlegung!

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{3}
{

Beweise den Satz, dass es unendlich viele Primzahlen gibt.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{3}
{

Definiere zu jeder Aussage
\mathl{\alpha \in L^V}{} die Menge
\mathl{\operatorname{ Var}_{ } ^{ } { \left( \alpha \right) }}{} der in $\alpha$ vorkommenden \definitionsverweis {Aussagenvariablen}{}{.}

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{2}
{

Zeige
\mathdisp {\vdash \alpha \wedge \neg \alpha \rightarrow \beta} { }
unter Verwendung von
\mathdisp {\vdash \gamma \wedge \delta \rightarrow \delta \wedge \gamma} { }
\zusatzklammer {Lemma 3.14 (Einführung in die mathematische Logik (Osnabrück 2021))} {} {.}

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{3}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Gamma }
{ \subseteq }{L^V }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine Ausdrucksmenge in der \definitionsverweis {Sprache der Aussagenlogik}{}{} zu einer Aussagenvariablenmenge $V$. Begründe die Konjunktionsregel für die \definitionsverweis {Ableitungsbeziehung}{}{:} Wenn
\mathl{\Gamma \vdash \alpha}{} und
\mathl{\Gamma \vdash \beta}{,} dann ist auch
\mathl{\Gamma \vdash \alpha \wedge \beta}{.}

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{5 (4+1)}
{

Es sei $X$ ein \definitionsverweis {topologischer Raum}{}{} und $F$ ein \definitionsverweis {topologischer Filter}{}{} auf $X$,
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{T }
{ \subseteq }{X }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {offene Teilmenge}{}{} und
\mathl{T \notin F}{.} \aufzaehlungzwei {Zeige, dass das Mengensystem
\mathdisp {{ \left\{ U \mid U \subseteq X \text{ offen} , \, \text{es gibt } V \in F \text{ mit }V \cap { \left( X \setminus T \right) } \subseteq U \right\} }} { }
ein Filter auf $X$ ist, der
\mathl{X \setminus T}{} enthält und $T$ nicht enthält. } {Zeige mit Hilfe des Lemmas von Zorn, dass es einen \definitionsverweis {Ultrafilter}{}{} $G$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ F }
{ \subseteq }{G }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und mit
\mathl{T \notin G}{} gibt. }

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{1}
{

Man finde eine äquivalente Formulierung für die Aussage \anfuehrung{Frau Maier-Sengupta hat nicht alle Tassen im Schrank}{} mit Hilfe einer Existenzaussage.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{5}
{

Es seien
\mathl{s_1 , \ldots , s_n, t_1 , \ldots , t_n}{} \definitionsverweis {Terme}{}{} und $f$ ein $n$-stelliges Funktionssymbol. Zeige, dass die \definitionsverweis {Ableitbarkeit}{}{}
\mathdisp {\vdash s_1=t_1 \wedge \ldots \wedge s_n=t_n \rightarrow fs_1 \ldots s_n =ft_1 \ldots t_n} { }
gilt.

}
{} {}




\inputaufgabe
{0}
{

}
{} {}




\inputaufgabe
{0}
{

}
{} {}




\inputaufgabe
{0}
{

}
{} {}




\inputaufgabe
{0}
{

}
{} {}




\inputaufgabe
{0}
{

}
{} {}




\inputaufgabe
{0}
{

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{4}
{

Zeige, dass in einem \definitionsverweis {gerichteten Graphen}{}{}
\mathl{(M,R)}{} das modallogische \definitionsverweis {Reflexivitätsaxiom}{}{} genau dann gilt, wenn $R$ \definitionsverweis {reflexiv}{}{} ist.

}
{} {}