Kurs:Einführung in die mathematische Logik/18/Klausur/latex
%Daten zur Institution
%\input{Dozentdaten}
%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}
%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }
%Klausurdaten
\renewcommand{\klausurgebiet}{ }
\renewcommand{\klausurtyp}{ }
\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}
\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}
%Daten für folgende Punktetabelle
\renewcommand{\aeins}{ 3 }
\renewcommand{\azwei}{ 3 }
\renewcommand{\adrei}{ 1 }
\renewcommand{\avier}{ 3 }
\renewcommand{\afuenf}{ 3 }
\renewcommand{\asechs}{ 2 }
\renewcommand{\asieben}{ 3 }
\renewcommand{\aacht}{ 5 }
\renewcommand{\aneun}{ 1 }
\renewcommand{\azehn}{ 5 }
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\renewcommand{\azwoelf}{ 0 }
\renewcommand{\adreizehn}{ 0 }
\renewcommand{\avierzehn}{ 0 }
\renewcommand{\afuenfzehn}{ 0 }
\renewcommand{\asechzehn}{ 0 }
\renewcommand{\asiebzehn}{ 4 }
\renewcommand{\aachtzehn}{ 33 }
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\renewcommand{\azwanzig}{ }
\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }
\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }
\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }
\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }
\punktetabellesiebzehn
\klausurnote
\newpage
\setcounter{section}{0}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe. \aufzaehlungsechs{Eine \stichwort {Wohlordnung} {} auf einer Menge $M$.
}{Eine \stichwortpraemath {n} {stellige Relation}{} auf einer Menge $M$.
}{Die
\stichwort {Termmenge} {}
zu einer Grundtermmenge
\mathl{(V,K,F_n)}{.}
}{Ein \stichwort {allgemeingültiger} {} prädikatenlogischer Ausdruck $\alpha \in L^S$.
}{Die \stichwort {Befehle} {} für eine Registermaschine.
}{Die \stichwort {modallogische Sprache} {} zu einer Aussagenvariablenmenge $V$. }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungdrei{Der Satz über die Auffüllung widerspruchsfreier aussagenlogischer Mengen (abzählbarer Fall).}{Der \stichwort {Vollständigkeitssatz} {} der Prädikatenlogik.}{/Fakt/Name}
}
{} {}
\inputaufgabe
{1}
{
Bruno liest in der Zeitung: \anfuehrung{Im letzen Jahr war bei $50 \%$ aller Autounfälle Alkohol mit im Spiel}{.} Bruno überlegt: \anfuehrung{ $50 \%$ mit Alkohol, $50 \%$ ohne Alkohol. Dann ist es also egal, ob man was trinkt oder nicht. In Zukunft werde ich das auch nicht mehr so streng sehen}{.} Beurteile diese Überlegung!
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Beweise den Satz, dass es unendlich viele Primzahlen gibt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Definiere zu jeder Aussage
\mathl{\alpha \in L^V}{} die Menge
\mathl{\operatorname{ Var}_{ } ^{ } { \left( \alpha \right) }}{} der in $\alpha$ vorkommenden
\definitionsverweis {Aussagenvariablen}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Zeige
\mathdisp {\vdash \alpha \wedge \neg \alpha \rightarrow \beta} { }
unter Verwendung von
\mathdisp {\vdash \gamma \wedge \delta \rightarrow \delta \wedge \gamma} { }
\zusatzklammer {Lemma 3.14 (Einführung in die mathematische Logik (Osnabrück 2021))} {} {.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Gamma
}
{ \subseteq }{L^V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine Ausdrucksmenge in der
\definitionsverweis {Sprache der Aussagenlogik}{}{}
zu einer Aussagenvariablenmenge $V$. Begründe die Konjunktionsregel für die
\definitionsverweis {Ableitungsbeziehung}{}{:}
Wenn
\mathl{\Gamma \vdash \alpha}{} und
\mathl{\Gamma \vdash \beta}{,} dann ist auch
\mathl{\Gamma \vdash \alpha \wedge \beta}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{5 (4+1)}
{
Es sei $X$ ein
\definitionsverweis {topologischer Raum}{}{}
und $F$ ein
\definitionsverweis {topologischer Filter}{}{}
auf $X$,
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{T
}
{ \subseteq }{X
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {offene Teilmenge}{}{}
und
\mathl{T \notin F}{.}
\aufzaehlungzwei {Zeige, dass das Mengensystem
\mathdisp {{ \left\{ U \mid U \subseteq X \text{ offen} , \, \text{es gibt } V \in F \text{ mit }V \cap { \left( X \setminus T \right) } \subseteq U \right\} }} { }
ein Filter auf $X$ ist, der
\mathl{X \setminus T}{} enthält und $T$ nicht enthält.
} {Zeige mit Hilfe
des Lemmas von Zorn,
dass es einen
\definitionsverweis {Ultrafilter}{}{}
$G$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ F
}
{ \subseteq }{G
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und mit
\mathl{T \notin G}{} gibt.
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{1}
{
Man finde eine äquivalente Formulierung für die Aussage \anfuehrung{Frau Maier-Sengupta hat nicht alle Tassen im Schrank}{} mit Hilfe einer Existenzaussage.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{5}
{
Es seien
\mathl{s_1 , \ldots , s_n, t_1 , \ldots , t_n}{}
\definitionsverweis {Terme}{}{}
und $f$ ein $n$-stelliges Funktionssymbol. Zeige, dass die
\definitionsverweis {Ableitbarkeit}{}{}
\mathdisp {\vdash s_1=t_1 \wedge \ldots \wedge s_n=t_n \rightarrow fs_1 \ldots s_n =ft_1 \ldots t_n} { }
gilt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{0}
{
}
{} {}
\inputaufgabe
{0}
{
}
{} {}
\inputaufgabe
{0}
{
}
{} {}
\inputaufgabe
{0}
{
}
{} {}
\inputaufgabe
{0}
{
}
{} {}
\inputaufgabe
{0}
{
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Zeige, dass in einem
\definitionsverweis {gerichteten Graphen}{}{}
\mathl{(M,R)}{} das modallogische
\definitionsverweis {Reflexivitätsaxiom}{}{}
genau dann gilt, wenn $R$
\definitionsverweis {reflexiv}{}{}
ist.
}
{} {}