Kurs:Einführung in die mathematische Logik/20/Klausur/latex
%Daten zur Institution
%\input{Dozentdaten}
%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}
%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }
%Klausurdaten
\renewcommand{\klausurgebiet}{ }
\renewcommand{\klausurtyp}{ }
\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}
\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}
%Daten für folgende Punktetabelle
\renewcommand{\aeins}{ 3 }
\renewcommand{\azwei}{ 3 }
\renewcommand{\adrei}{ 2 }
\renewcommand{\avier}{ 2 }
\renewcommand{\afuenf}{ 1 }
\renewcommand{\asechs}{ 3 }
\renewcommand{\asieben}{ 6 }
\renewcommand{\aacht}{ 3 }
\renewcommand{\aneun}{ 0 }
\renewcommand{\azehn}{ 2 }
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\renewcommand{\azwoelf}{ 0 }
\renewcommand{\adreizehn}{ 2 }
\renewcommand{\avierzehn}{ 0 }
\renewcommand{\afuenfzehn}{ 0 }
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\renewcommand{\asiebzehn}{ 4 }
\renewcommand{\aachtzehn}{ 34 }
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\renewcommand{\azwanzig}{ }
\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }
\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }
\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }
\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }
\punktetabellesiebzehn
\klausurnote
\newpage
\setcounter{section}{0}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe. \aufzaehlungsechs{Die \stichwort {Sprache der Aussagenlogik} {} $L^V$ zu einer Aussagenvariablenmenge $V$.
}{Ein
\stichwort {maximales} {}
Ideal
\mathl{{\mathfrak m}}{} in einem
\definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{}
$R$.
}{Die
\stichwort {Uminterpretation} {}
\mathl{I { \frac{ m }{ x } }}{} zu einer
$S$-\definitionsverweis {Interpretation}{}{}
$I$ in einer Menge $M$, wobei $x$ eine Variable und
\mathl{m \in M}{} ein Element der Grundmenge ist.
}{Ein \stichwort {Nichtstandardmodell} {} zu einem fixierten $S$-Modell $M$.
}{Eine
\stichwort {arithmetisch repräsentierbare} {}
Relation
\mathl{R \subseteq \N^r}{.}
}{Die \stichwort {Gültigkeit} {} eines modallogischen Ausdrucks $\alpha$. }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungdrei{Das \stichwort {Koinzidenzlemma} {.}}{Der Satz über die Vorgängereigenschaft in einem Peano-Halbring.}{Der Satz über das \stichwort {Halteproblem} {.}}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Betrachte die beiden Aussagen \anfuehrung{Alkohol ist keine Lösung}{} und \anfuehrung{Kein Alkohol ist auch keine Lösung}{.} Formalisiere die beiden Aussagen. Man nehme an, dass beide Aussagen wahr sind. Mit welcher aussagenlogischen Regel kann man daraus auf eine Aussage schließen, in der Alkohol nicht vorkommt?
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Finde einen möglichst einfachen aussagenlogischen Ausdruck, der die folgende tabellarisch dargestellte Wahrheitsfunktion ergibt. \wahrheitstabelledreieins{ } {\tabellenzeilevier {$ p $} {$ q $} {$ r $} {$? $} } {\tabellendoppelzeilevier {w} {w} {w} {w} {w} {w} {f} {f} } {\tabellendoppelzeilevier {w} {f} {w} {f} {w} {f} {f} {f} } {\tabellendoppelzeilevier {f} {w} {w} {f} {f} {w} {f} {f} } {\tabellendoppelzeilevier {f} {f} {w} {f} {f} {f} {f} {w} }
}
{} {}
\inputaufgabe
{1}
{
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Gartentoreverbindung.png} }
\end{center}
\bildtext {} }
\bildlizenz { Gartentoreverbindung.png } {} {Bocardodarapti} {Commons} {CC-by-sa 4.0} {}
Lege in der Skizze für die drei Häuser überschneidungsfrei Wege zu den zugehörigen gleichfarbigen Gartentoren an.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Skizziere ein Verfahren, wie man \zusatzklammer {bei $V$ \definitionsverweis {abzählbar}{}{}} {} {} eine Auflistung sämtlicher \definitionsverweis {syntaktischer Tautologien}{}{} aus $L^V$ erhalten kann.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{6}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Gamma
}
{ \subseteq }{L^V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {aussagenlogische}{}{}
Ausdrucksmenge und es sei
\mathl{\alpha \in L^V}{} mit
\mathl{\Gamma \not\vdash \alpha}{.} Zeige
mit dem Lemma von Zorn,
dass es eine
\definitionsverweis {maximal widerspruchsfreie}{}{}
Ausdrucksmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Gamma
}
{ \subseteq }{\Gamma'
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mathl{\Gamma' \not\vdash \alpha}{} gibt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Es seien $x_1,x_2$ Variablen, $t_1,t_2$ Terme und $\alpha$ ein Ausdruck in einer
\definitionsverweis {prädikatenlogischen Sprache}{}{.}
Zeige, dass
\mathdisp {\alpha { \frac{ t_1,t_2 }{ x_1,x_2 } } \rightarrow { \left( \alpha { \frac{ t_1 }{ x_1 } } \right) } { \frac{ t_2 }{ x_2 } }} { }
im Allgemeinen nicht allgemeingültig ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{0}
{
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Man bringe die Aussage
\mathdisp {((p\vee (r\rightarrow q)) \wedge (q\rightarrow p) ) \vee (((p \wedge \neg q) \wedge (\neg r \vee \neg p) ) \wedge ( r \rightarrow ( p \vee \neg q)))} { }
in
\definitionsverweis {disjunktive Normalform}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Es sei
\mathl{L^V}{} die
\definitionsverweis {Sprache der Aussagenlogik}{}{}
zu einer
\definitionsverweis {Aussagenvariablenmenge}{}{}
$V$ und es sei $\lambda$ eine
\definitionsverweis {Wahrheitsbelegung}{}{}
der Variablen mit zugehöriger
\definitionsverweis {Interpretation}{}{}
$I$. Zeige, dass $I^\vDash$
\definitionsverweis {maximal widerspruchsfrei}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{0}
{
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Es sei $x$ eine Variable, $t$ ein Term und
\mathl{\alpha \in L^S}{} ein Ausdruck. Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{( \forall x \alpha) { \frac{ t }{ x } }
}
{ =} {\forall x \alpha
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{0}
{
}
{} {}
\inputaufgabe
{0}
{
}
{} {}
\inputaufgabe
{0}
{
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Formuliere den Vollständigkeitssatz der Modallogik und skizziere in Grundzügen, wie man ihn beweist.
}
{} {}